Örnek 2 çin Optimal Çizelge

Dinamik programlama algoritmasile kesin çözüm elde edilebilmektedir. An ak

algoritmannçözümsüresi, problemparametrelerineba§ldr.Enönemlifaktör

a

ve

b

'ninde§eralabile e§iaralklarnboyutudur.Çünküalgoritmannçözümsüresi

a

ve

b

'ninde§eralabile e§iaralklarnboyutunun, i³lemyaplmasgereken

(n−2)

adet parçasays vemakine says olan3 ileçarplmasylabulunur. Algoritmann

çözüm süresi ³u³ekildedir:

O((n − 1)3_(f2_{− f}1_)(f3_{− f}2_{) + (n}2_{s − ns)(n − 1)(f}3_{− f}1_{) + (n}3_s2

_{− n}2_s2₎₎

Örnek2gibiçokküçükproblemparametrelerininoldu§uproblemdedahioptimal

sonu a ula³abilmek için 486 ayr hesaplama yaplm³tr. Çal³mann bundan

sonraki ksmnda

ai

ve

bi

'ninalabile e§ide§er saysnngerçekte çokdaha dü³ük oldu§u gösterile ektir.

Teorem 3.1 E§er

bi

> f

3_+3s

ise,

i

parçasnnesneki³lemimakine3'eatanmaz.

spat:

bi

> f

3

_{+ 3s}

oldu§u durumda,

i

parçasnn esnek i³leminin makine 3'e atand§ optimal bir çizelge oldu§unu varsayalm. spat için a³a§daki aksi

Durum 1: E§er

ai

≥ f

2

_{+ s}

ise,

i

parçasnn esnek i³lemini makine 3'ten makine 1'e kaydralm. Yeni çizelgedeki tamamlanma zaman de§erlerini ise

ˆ

C_ij

ilegösterelim.

h1

,

i

parçasndansonra tamamlanmazamande§eri

ˆ

C2

h1

> Ch12

olan ilk parça,

h2

ise

i

parçasndan sonratamamlanma zamande§eri

ˆ

C3

h2

> Ch23

− s

olan ilk parça olsun.Bunlarkullanarak

h = min{h1, h2}

ola ak ³ekildebir

h

parçasbelirlenir. E§er bu özellikleri sa§layan bir

h

parças yoksa, yeni çizelge optimaldir. E§er böyle bir

h

parças varsa, bu atama de§i³ikli§inden sonra bütün makineler için tamamlanmazaman de§erleria³a§daki e³itliklerdekigibiola aktr:

C_j1+ s = ˆC1

j

∀j = i, i + 1, ..., h,

C

1

h+ s = ˆCh1

Cj2

= ˆCj2

∀j = i, i + 1, ..., h,

Ch2

≤ ˆCh2

Cj3− s = ˆCj3

∀j = i, i + 1, ..., h,

Ch3

≤ ˆCh3

Durum 1.1: E§er

i

parçasndan sonra bütünparçalar makine 3'e atanm³:

E§er

i

parças makine 1'e atanrsa, makine 2 ve makine 3'te bu parça için bo³ zaman olu³maya aktr.

i

parçasndan sonra ise:

•

E§er

f

1

_{≤ f}2

ise,ikin imakinedebo³zamanolu³maz.

ai

de§eriherparçada birazdaha artaran ak makine2'deki tamamlanmazamanndaart³ olmaz.

•

E§er

f

1

_{> f}2

ise, ikin i makinede

i

ve

n

parçalararasnda

s

'ten küçükbir bo³zamanolu³abilir.Bu bo³zamanen büyük

f

1_{− f}2

de§eriniala aktrve

f1_{− f}2

_{< s}

oldu§ubilinmektedir.Yanibirparçannmakine 1'dekiba³lama

zaman ile makine 2'deki tamamlanma zaman arasndaki i³lem süresi en

fazla

f

1

olabilir.

f

1

³u ³ekilde elde edilir

f

1

_{− f}2

_{+ f}2

.

i

ve

n

parçalar arasndakibütünparçalarmakine3'eatand§ve

f

3_{+s > f}1

oldu§ubilindi§i

için makine 3'te bo³ zaman olu³maz. Ayr a makine 3'teki tamamlanma

zamanda artmaz.

Durum 1.2: E§er

i

parçasndan sonra,

i

ve

h

parçalar arasnda ilk makineye atananenazbirparçavarsa

k

olsun,budurumda

i

ve

h

parçalararasndamakine 1'e atanan ilk parçann esnek i³lemi makine 3'e kaydrlr. Böyle e

h

parçasnn tamamlanmazamanlarilk durumlaaynkalr.

Cj1+ s = ˆCj1

∀j = i, i + 1, ..., k,

Ch1

= ˆCh1,

C

1

j

= ˆCj1

∀j = k, ..., h

C_j2

= ˆC2

j

∀j = i, i + 1, ..., k,

Ch2

= ˆCh2,

C

2

j

= ˆCj2

∀j = k, ..., h

Cj3− s = ˆCj3

∀j = i, i + 1, ..., k,

Ch3

= ˆCh3,

C

3

j

= ˆCj3

∀j = k, ..., h

Buatamade§i³ikli§indensonra,

h

parçasnnmakine1'deki tamamlanmazaman

s

kadar azalr,makine2'nin tamamlanmazaman

s

'ten dahaküçükbirmiktarda azalr, makine 3'teki tamamlanma zaman ise de§i³mez. Yeni çizelgenin yaylma

zaman orjinalçizelgenin yaylmazamanna e³it olur.

Durum 1.3: E§er

i

parçasndansonra,

i

ve

h

parçalararasndaen azbir parça makine 2'yeatanm³vemakine 3'e atananhiçparçayoksa.Buparçann atamas

makine 2'den makine 3'e de§i³tirilir. Bu durumda

h

parçasnn tamamlanma zaman de§erleria³a§daki gibiola aktr.

C_j1+ s = ˆC1

j

∀j = i, i + 1, ..., h,

C

1

h

+ s = ˆCh1

Cj2

= ˆCj2

∀j = i, i + 1, ..., h,

C

2

h

≤ ˆCh2

Cj3− s = ˆCj3

∀j = i, i + 1, ..., h,

Ch3

≤ ˆCh3

h

parçasnn makine 1'deki tamamlanma zamann azaltmak için,

i

parçasnn atamas makine2'ye kaydrlr.Tamamlanma zamanlar³u³ekilde de§i³ir:

Cj1+ s = ˆCi1

∀j = i, i + 1, ..., h,

C

1

h

= ˆCh1

Cj2

= ˆCi2

∀j = i, i + 1, ..., h,

Ch2

= ˆCh2

C_j3− s = ˆC3

i

∀j = i, i + 1, ..., h,

C

3

h

= ˆCh3

h

ve

n

parçalar arasndaki tamamlanma zamanlar, çizelgenin ilk halindeki tamamlanma zamanlarna e³ittir. Yani, yeni çizelgenin yaylma zaman orjinal

çizelgenin yaylma zamannae³ittir.

Durum1.4:E§er

i

ve

h

parçalararasndakibütünparçalarmakine3'eatanrsa, Durum 1.1'e dayanarak makine 3'te herhangi bir bo³ zaman olu³maz.

h

parças,

i

parçasndan sonraki

ˆ

C2

j

> Cj2

³artnsa§layanilk parça olabilir.

k

parças ise

h

parçasndansonra makine3'te bo³ zamanolu³masnasebep olan ilkparça olsun.

•

E§er

f

1

_{≤ f}2

ise, her zaman

C

2

j

< ˆCj2

ola aktr,yeniçizelge optimaldir.

•

E§er

f

1

_{≥ f}2

ise,

h

ve

k

parçalar arasnda bir parça makine 1'e atanm³sa, bu parçann atamas de§i³tirilerek makine 3'e alnr.

h

ve

k

parçalararasndabo³zamanlarolu³abilir.Ama

k

parçasnnmakine1'deki tamamlanma zaman de§i³mez. Dolaysyla

k

parçasnn makine 2'deki tamamlanmazaman dade§i³mez.

Ci1+ s = ˆCi1, Ch1+ s = ˆCj1, Ck1+ s = ˆCk1

C_i2

= ˆC2

i,

Ch2

≤ ˆCj2,

C

2

k+ s ≤ ˆCk2

Ci3− s = ˆCi3,

Ch3

= ˆCj3,

Ck3+ s ≤ ˆCk3

Durum 2:E§er

ai

< f

2_{+ s}

ise,

i

parças makine 2'ye atanr.

Budurumdamakine1'dede§i³iklikolmaz,makine2'dekitamamlanmazamanlar

Durum 2.1:

i

parçasndan sonraki bütün parçalar makine 3'e atanm³sa yeni çizelge optimaldir.

f

3_{+ s > f}2

oldu§u bilindi§inden bu de§i³iklik, makine 3'te

aslabo³zamanolu³turmaya ak, ve makine 3'teki yeni yaylmazamande§eri ya

ayn kala ak ya da

s

birim kadar daha küçükola aktr. Yeni çizelgeoptimaldir.

Durum 2.2:

i

parçasndansonra makine 2'yeatanan en az birparça varsa;

öyle ki böyle bir durumda

k

parças makine 3'te bo³ zaman olu³masna sebep olan ilk parça olsun.

•

E§er böylebir

k

parçasyoksayeniçizelge optimaldir.

•

E§er böyle bir

k

parças varsa

i

ile

k

parçalar arasndaki makine 2'ye atananilkparçannesneki³lemimakine3'ealnr.

k

parçasnntamamlanma zamande§erleri ayn kalm³ olur. Yeniçizelge optimaldir.

Ci1

= ˆCi1,

Ch1

= ˆCh1

C2

i

+ s = ˆCi2,

Ch2

= ˆCh2

C_i3− s = ˆC3

i,

C

3

h

= ˆCh3

2

Bu teoremsonu unda

b

de§erinin hiçbirzaman

f

3_{+ 3s}

'tendaha büyükolamaya-

a§gösterilmi³tir.Dolaysyla

bi

∈ [f

3_{, f}3_+3s]

'tirve

b

'ninalabile e§ide§ersays

3s

'edü³ürülmü³olur.Bu ifadehalen esneki³lem süresininbüyüklü§üne

(s)

ba§l oldu§u içingeli³tirilenalgoritmannyapay polinom zamanlola a§ söylenebilir.

Teorem 3.2 E§er

ai

> f

2

_{+ 3s}

ise,

i

parçasnn esnek i³lemi makine 2'ye atanmaz.

spat:

ai

> f

2

_{+ 3s}

oldu§u durumda,

i

parçasnn esnek i³leminin makine 2'ye atand§optimal birçizelge oldu§unuvarsayalm.

Durum 1:

i

parçasndan sonra makine 1'e ba³ka herhangi bir parçann esnek i³lemi atanmadysa:

Bu durumda

f

1

_{≤ f}2

_{+ s}

ve

f

1

_{≤ f}3

_{+ s}

oldu§u bilindi§inden

i

parçasnn esneki³lemininmakine2'denmakine1'ekaydrlmas,makine3'dekitamamlanma

zamanlarn artrmaya aktr.Dolaysylayeni çizelgede optimalola aktr.

Durum2:

i

parçasndansonraenaz1parçannesneki³lemimakine1'eatadysa:

Bu durumda, iki altba³lk altndain elenebilir:

Durum2.1:

f

1

_{≤ f}2

ise: Bu durumda,

ai

> f

2_{+ 3s}

oldu§u bilindi§inden,esnek

i³lem makine 1'e atanmad§ süre e makine 2'de bo³ zaman olu³maya aktr.

i

parçasndan sonra esnek i³lemin makine 1'e atand§ ilk parça

h

olsun. O zaman

h

parçasna kadar yeni

C

2

j

de§erleri eski

C

2

j

de§erlerinden

s

kadar eksik ola aktr.Makine1'dekide§erler

s

kadarfazlaola aktr.Makine3'dekileriseayn ola aktr.

h

parçasnn atamas makine 1'den makine 2'ye de§i³tirildi§inde eski haline döne ektir. Dolaysylayeniçizelge optimaldir.

Durum 2.2:

f

1

_{> f}2

ise:

i

parçasndan sonra esnek i³lemi makine 1'e atanan ilk parça

h

olsun. Bu parçaya kadar makine 2'de bo³ zaman olu³madysa, bu parçann esnek i³lemi makine 1'den makine 2'ye kaydrlr ve eski tamamlanma

zamanlarelde edilir.

E§er

h

parçasndanön emakine2'debo³zamanolu³tuysa,bubo³zamannde§eri en fazla

f

1

_{− f}2

_{< s}

kadar ola aktr.

h

parçasna kadar bütün parçalarn esnek i³lemleri makine 2'ye atandysa böyle bir bo³ zaman olu³ma ihtimali yoktur. O

zaman,

i

ve

h

parçalar arasnda en az bir parçann esnek i³lemi makine 3'e atanm³olmaldr.Bu parçann esneki³lemi makine 2'yekaydrld§nda,makine

2'de olu³an bo³ zaman engellenmi³ ola aktr. Son olarak çizelgeyi eski haline

getirmek için esnek i³lemi makine 1'e atanm³ olan

h

parçasnn esnek i³lemi makine 3'e kaydrld§nda tamamlanma zamanlar eski haline gelmi³ ola aktr.

Dolaysylayeniçizelge optimalola aktr.

Ele alnan durumlar olabile ek bütün alternatieri kapsamaktadr. Her alterna-

tifte,

ai

> f

2

_{+ 3s}

oldu§u durumda

i

parçasnn esnek i³leminin makine 2'ye atanmad§ optimalbirçizelgenin bulundu§u ispatlanm³tr.

2

Teorem 3.2 ve 3.1 ile

ai

ve

bi

'nin

3s

kadar de§er alabile e§i gösterilmi³tir.

ai

ve

bi

için alabile e§i bütün de§erlerin hesaplanmasna ve bütün de§erler için

programlamannteoremler ara l§yla elde edilen yeni çözüm süresi ilk duruma

göre oldukça küçük bir de§er ola aktr.

ai

ve

bi

de§erlerinin artk sade e

3s

de§er alabildi§i ispatlann a algoritmann yeni çözüm süresi de

O(ns

2₎

olarak

bulunmu³tur. Böyle e 3 makine problemi için hem oldukça ksa sürede hem de

4.

m

-makine

(m − 1)

Esnek ³lemli Ak³

Atölyesi

Bu bölümde

m

makine

(m − 1)

esnek i³lemli probleme ve geli³tirilen çözüm yöntemlerineyerverilmektedir.Ayrntlolarakprobleminözelliklerinede§inilerek

kurulan karma tamsayl model anlatlmakta ardndan geli³tirilirken çözüm

yöntemineyer verilmektedir.

4.1 Problem Tanm ve Matematiksel Model

Bu problem tipinde,

n

tane özde³ i³in üretile e§i varsaylm³tr. Sistemde

m

adet makine vardr ve parçalarn üretiminde, her makinenin sade e kendisinin

yapt§ sabit i³lemlerin yan sra her ard³k iki makine tarafndan yaplabilen

esnek i³lemlerdeyeralmaktadr.Dolaysylaher parçaiçin

m

tanesabit i³lemve

(m − 1)

tane ise esnek i³lem yaplmaktadr. Her esnek i³lem ard³k iki makine tarafndanyaplabilmektedir.lkesnek i³lemimakine1vemakine2yapabilirken,

ikin i esnek i³lemi makine 2 ve makine 3,

(m − 1).

esnek i³lem ise

(m − 1)

ve

m

makinesitarafndanyaplabilmektedir.lkve son makinehariç di§ermakinelerin

hepsinde ard³k iki esnek i³lem yaplabilmektedir.

Sistemde üretilenparçalar özde³ oldu§uiçini³lem zamanlarparçaya göre de§i³-

memektedir. Makinelerdeki sabit i³lem zamanlar ise birbirlerine göre farkllk

gösterebilmektedir. An ak makineler özde³ oldu§u için esnek i³lemler hangi

makineyeatanrsaatansnayni³lemsüresine sahiptir.Makinelerini³lemzaman-

lar

f

1_{, f}2_{, . . . , f}m

, esnek i³lemlerin i³lem zamanlar ise

s

1_{, s}2_{, . . . , s}(m−1)

³eklinde

M₁

M₂

M₃

M

m-1

Mm

………..

s1

_s2

_sm-1

Belgede Özdeş parça üreten esnek işlemli akış tipi sistemlerde çıktı miktarının en büyüklenmesi (sayfa 59-67)