Faber ve genelleşmiş faber polinomlarının yaklaşım özellikleri

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

FABER VE GENELLEŞMİŞ FABER POLİNOMLARININ YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

DOKTORA TEZİ

Yunus Emre YILDIRIR

ÖZET

FABER VE GENELLEŞMİŞ FABER POLİNOMLARININ YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

Yunus Emre Yıldırır

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı

(Doktora Tezi / Tez Danışmanı: Prof. Dr. Daniyal M. İsrafilov)

Balıkesir, 2006 Bu tez 3 ana bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılmak üzere, bazı temel tanım, teorem ve özellikler verilmiştir. Bu özelliklerin içinde, esasen, yaklaşımın çalışılacağı Bergman ve ağırlıklı Bergman uzaylarının tanımlandığı kvazikonform sınırlı bölgelerin özellikleri verilmiştir.

İkinci ve üçüncü bölümler, bu tezdeki ana sonuçların verildiği bölümlerdir. İkinci bölümde, ilk olarak, Bergman ve ağırlıklı Bergman uzayları tanıtılmıştır. Ayrıca, sonsuz bölgeler için Faber polinomlarının tanımı ve bazı özellikleri incelenmiştir. Daha sonra, kvazikonform eğriyle sınırlı sonsuz bölgelerde geçerli bir integral gösterimi elde edilmiştir. Bu gösterim yardımıyla, Bergman uzaylarından olan fonksiyonlara Faber serileriyle yaklaşımın mümkünlüğü ispatlanmıştır. Son olarak, seriye açılımın tekliği incelenmiş ve yaklaşım hatası değerlendirilmiştir.

Üçüncü bölümde ise, bir önceki bölümde elde edilen sonuçlar, ağırlıklı Bergman uzaylarına genelleştirilmiştir.

ANAHTAR SÖZCÜKLER: Bergman uzayı / kvazikonform eğri / kvazikonform yansıma / kvazidisk / Faber polinomu / genelleşmiş Faber serisi.

ABSTRACT

APPROXIMATION PROPERTIES OF FABER AND GENERALIZED FABER POLYNOMIALS

Yunus Emre Yıldırır

Balıkesir University, Institue of Science, Department of Mathematics

(Ph. D. Thesis / Supervisor : Prof. Dr. Daniyal Mehmetoğlu İsrafilov)

Balıkesir, 2006 This thesis contains three main chapters.

In the first chapter, some fundamental definitions, theorems and properties have been given for using next two chapters. In these properties, especially,. it has been investigated properties of domains with a quasiconformal boundary where Bergman and weighted Bergman spaces (in which the approximation will be studied) have been defined.

In the second and third chapter, main results of this thesis have been given. In the second chapter, firstly, it has been introduced Bergman and weighted Bergman spaces. Then, it has been investigated the definition and some properties of Faber polynomials on infinite domains. After that, an integral representation on infinite domains with a quasiconformal boundary has been obtained. By using this integral representation, the possibility of the approximation to functions in Bergman spaces by their Faber series has been proved. Finally, the uniqueness of the expantion to the series has been investigated and the rate of the approximation has been evaluated.

In the final chapter, results obtained in the previous chapter have been generalized to the weighted Bergman spaces.

KEY WORDS : Bergman space / quasiconformal curve / quasiconformal reflection / quasidisk / Faber polynomial / generalized Faber series.

İÇİNDEKİLER ÖZET...ii ABSTRACT...iii İÇİNDEKİLER ... iv SEMBOL LİSTESİ ... v ÖNSÖZ ... vi GİRİŞ ... 1 1. ÖN BİLGİLER... 3

1.1 Temel Tanım ve Teoremler... 3

1.2 Kvazikonform Eğriler ve Yansımalar ... 6

2. BERGMAN UZAYLARINDA FABER SERİLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ ... 14

2.1 Bergman ve Ağırlıklı Bergman Uzayları ... 14

2.2 Sonsuz Bölgeler İçin Faber Polinomları ... 17

2.3 Yardımcı Sonuçlar ve İspatları... 19

2.4 Ana Sonuçlar ve İspatları ... 26

3. AĞIRLIKLI BERGMAN UZAYLARINDA GENELLEŞMİŞ FABER SERİLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ ... 34

3.1 Sonsuz Bölgelerde Genelleşmiş Faber Polinomları... 34

3.2 Yardımcı Sonuçlar ve İspatları... 36

3.3 Ana Sonuçlar ve İspatları ... 45

SEMBOL LİSTESİ

Simge Adı

C Kompleks sayılar kümesi

R Reel sayılar kümesi

D

{

z∈C: z <1

}

kümesi (açık birim disk)

A A kümesinin kapanışı CA C-A (A kümesinin tümleyeni) A ∂ A kümesinin sınırı ) , (z₀ r D

{

z∈C: z−z0 <r

}

kümesi ) , (z₀ r D

{

z∈C: z−z0 ≤r

}

kümesi

ÖNSÖZ

Doktora çalışmalarım boyunca, beni yönlendiren, yoğun çalışmaları arasında

bana değerli zamanını ayırıp yardım ve desteğini hiç esirgemeyen değerli Hocam

Prof. Dr. Daniyal Mehmetoğlu İsrafilov’a teşekkürlerimi sunarım.

Tüm öğrenim yaşantım süresince, maddi ve manevi destekleriyle bugünlere

gelmemde büyük katkıları olan başta annem ve babam olmak üzere aileme çok

teşekkür ederim.

Tanıştığımız günden itibaren sonsuz anlayış ve desteğiyle her zaman yanımda

olan biricik hayat arkadaşım, sevgili eşim Esra’ya sonsuz teşekkürler…

GİRİŞ

Yaklaşım teorisinde, incelenmesi zor olan fonksiyonlara iyi özelliklere sahip

basit fonksiyonlarla yaklaşım problemleri araştırılmaktadır. Genellikle, iyi

özelliklere sahip yaklaşan fonksiyonlar kümesi olarak, üzerinde çalışılan temel

fonksiyon uzayının belirli bir alt uzayı seçilir. Bu alt uzayın fonksiyonları temel uzayın fonksiyonlarına göre daha basit özelliklere sahip olmaktadır. Yaklaşım

teorisinde, yaklaşan alt uzaylar olarak sıklıkla cebirsel polinomlar, trigonometrik

polinomlar veya rasyonel fonksiyonlardan oluşan uzaylar seçilir.

Bu tez çalışmasında, sınırsız kvazidisklerde tanımlı Bergman uzayları ve

ağırlıklı Bergman uzayları üzerinde çalışılmış ve yaklaşan polinomlar, yaklaşılan

fonksiyonların Faber veya genelleşmiş Faber serilerinin kısmi toplamları yardımıyla

inşa edilmiştir. Faber polinomları yaklaşım teorisinde önemli bir rol oynamaktadır.

Bu polinomların doğurduğu Faber serileri, analitik fonksiyonların yaklaşımı ile ilgili

birçok temel teoremin ispatında önemli rol üstlenmiştir. Özel halde, Faber serileri,

dairesel bölgeler için mevcut olan Taylor serilerinin, basit bağlantılı bölgelere doğal

bir genelleşmesidir.

Fonksiyonların basit bağlantılı bölgelerde Faber serisine açılabilmeleri için

her zaman bir integral gösterimine gerek duyulmaktadır. Bilinen Cauchy integral gösterimi bölge sınırının sonlu uzunluklu olduğu durumlarda bu görevi başarı ile

üstlenmektedir. Bölge sınırının sonlu uzunluklu olmadığı durumlarda bu gösterim

kullanılamadığından yeni integral gösterimlerine gerek duyulmaktadır. Bu

çalışmada, kvazikonform eğriyle sınırlı sonsuz bölgelerde geçerli bir integral

gösterimi elde edilmiş olup bu integral gösterimi yardımıyla fonksiyonların Faber

serilerine açılabilme durumları, elde edilen serilerin yakınsaklık, teklik problemleri incelenmiş ve bakılan fonksiyonlara bu serilerle yaklaşım hatası değerlendirilmiştir.

Bu tezde elde edilen sonuçların bir kısmı sonlu bölgeler için 1996’da Çavuş

tarafından [1] ve 1981, 1989 ve 1998’de İsrafilov tarafından [2,3,4] ispatlanmıştır.

Metin içinde geçen c, c1, c2,.., farklı bağıntılarda genelde farklı olan ve tanım

1. ÖN BİLGİLER

1.1 Temel Tanım ve Teoremler

1.1.1 Tanım: Kompleks düzlemde, bağlantılı ve açık bir kümeye bölge,

bağlantılı ve kapalı bir kümeye de kontinyum denir[5, s.1]. 1.1.2 Tanım:

[

a,b

]

⊂R olmak üzere sürekli bir Γ:

[ ]

a,b →C

fonksiyonuna kompleks düzlemde bir eğri denir. Burada Γ(a) ve Γ(b) noktalarına sırasıyla eğrinin başlangıç ve bitim noktaları; bir Γ eğrisi verildiğinde Γ(a)=Γ(b)

oluyorsa Γ’ya kapalı eğri; Γ′ türevi var ve sürekli ise Γ’ya diferansiyellenebilir eğri; diferansiyellenebilir bir Γ eğrisi için Γ′ t( ≠) 0 oluyorsa Γ’ya düzgün eğri; bir Γ eğrisi için sadece t₁=t₂ durumunda Γ(t₁)=Γ(t₂) oluyorsa Γ’ya Jordan eğrisi

denir[6].

1.1.3 Tanım:

[

a,b

]

⊂R olmak üzere

Γ:z=z(t)=x(t)+iy(t)

sürekli eğrisi verilmiş olsun. Eğer, n doğal sayı olduğunda

t₁=a<t₂ <t₃<...<t_n+1=b

koşulunu sağlayan t₁,t₂,t₃,...,t_n+1 değerlerinin keyfi bir dizisi için

∑

₊ − n k k z t t z( ₁) ( )

toplamı sınırlı kalıyorsa Γ eğrisine sonlu uzunluklu eğri denir. Başka bir deyişle,

Γ eğrisini gösteren z fonksiyonu sınırlı değişimli ise Γ ’ya sonlu uzunluklu eğri

denir[7, s.417].

1.1.4 Teorem(Riemann Dönüşüm Teoremi): G⊂C sınırı en az iki

noktadan oluşan basit bağlantılı bir bölge ve z₀∈G olsun. Bu durumda, G bölgesini açık birim diske

f(z₀)=0 ve f′ z( ₀)>0

koşulları altında resmeden bir tek konform dönüşüm vardır[6, s.8].

1.1.5 Teorem: Eğer bir G bölgesinin sınırı Jordan eğrisi ise, G’nin D açık

birim diskine her konform dönüşümü G ’ye birebir ve sürekli olarak genişletilebilir.

Aynı şekilde, G’nin sınırı bir Jordan eğrisi ise, CG’nin C D ’ye her konform

dönüşümü CG’ye birebir ve sürekli olarak genişletilebilir[5, s.24].

1.1.6 Teorem(Sınırsız Bölgeler için Cauchy İntegral Teoremi): G, sonlu uzunluklu bir Jordan eğrisiyle sınırlanmış sınırlı bölge ve Γ bunun pozitif

yönlendirilmiş sınırı olsun. Eğer f, CG bölgesinde analitik bir fonksiyon ise,

∫

Γ    ∈ ∞ ∈ − ∞ = − f z G G C z z f f d z f i ( ) : : ) ( ) ( ) ( 2 1 ζ ζ ζ π olur[7, s.388].

1.1.7 Teorem(Lebedev-Millin): E, en az iki noktadan oluşan ve tümleyeni

bağlantılı olan sınırlı bir kontinyum ve Q, E’de analitik bir fonksiyon olsun. Ψ,

birim diskin dışını E’nin dışına resmeden bir konform dönüşüm olsun. Eğer ))

( ( t

Q Ψ fonksiyonunun 1< t <ρhalkasındaki Laurent açılımı

∑

∑

∞ = − ∞ = + = Ψ 1 s s b s k k kt t a t Q 0 )) ( (

ise, E’nin Q fonksiyonu altındaki görüntüsünün, Q fonksiyonunun Riemann yüzeyindeki alanı _       − =

∑

∑

∞ = ∞ = s 1 2 s 1 2 b s ) ( k k a k E S π olur[8, s.170].

1.1.8 Teorem(Green Formülü): G, sonlu uzunluklu bir Jordan eğrisi ile

sınırlanmış sınırlı bir bölge ve f, G bölgesinde f_z ve f_z sürekli kısmi türevlerine sahip ve G kümesinde sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer f_z fonksiyonu G üzerinde

integrallenebilirse f z dz i d f G z G z

∫

∫∫

∂ = ( ) 2 1 σ olur[9, s.9].

1.1.9 Teorem(Cauchy-Green Formülü): G, sınırı sonlu uzunluklu bir

Jordan eğrisi olan sınırlı bir bölge ve f, G bölgesinde f_z ve f_z sürekli kısmi

türevlerine sahip ve G kümesinde sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer f_z fonksiyonu G üzerinde integrallenebilir ise her z∈G için

ζ σ_ζ ζ π ζ ζ ζ π zd f d z f i z f G G

∫∫

∫

− ₋ − = ∂ 1 ) ( 2 1 ) ( olur[9, s.10].

1.1.10 Teorem(Dini Teoremi): G, kompleks düzlemde açık bir küme,

{ }

fn , C(G,R) uzayında monoton artan bir fonksiyon dizisi ve f ∈C(G,R) olmak

üzere her z∈G için lim f_n(z)= f(z)

olsun. Bu durumda, G’nin her kompakt alt kümesi üzerinde

{ }

f_n dizisi f

fonksiyonuna düzgün yakınsaktır[10, s.150].

1.2 Kvazikonform Eğriler ve Yansımalar

1.2.1 Tanım: G⊂C bir bölge veu, G’de tanımlı reel değerli ve sürekli bir

fonksiyon olsun. Eğer, kapanışı G’de bulunan ve kenarları x ve y eksenlerine paralel

olan her R dikdörtgeni için, u fonksiyonu R’de çizilen yatay ve düşey doğru

parçalarının hemen hepsi üzerinde mutlak sürekli ise, u fonksiyonu G bölgesinde

doğrular üzerinde mutlak süreklidir denir. Bir h:G→ C fonksiyonunun reel ve

sanal bileşenleri G bölgesinde doğrular üzerinde mutlak sürekli iseler, h fonksiyonu

G bölgesinde doğrular üzerinde mutlak süreklidir denir[11, s.127]. ⊂

G C bir bölge ve z=x+iy olmak üzere h(z)=u(x,y)+iv(x,y), G bölgesinde doğrular üzerinde mutlak sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda, y=c

doğruları üzerinde u ve v fonksiyonları x değişkenli fonksiyonlardır ve bu doğruların

hemen hepsi üzerinde mutlak süreklidirler. Bu nedenle, G’de hemen her yerde u_x ve

x

v kısmi türevleri vardır. Aynı şekilde, G’de hemen her yerde u_y ve v_y kısmi

türevleri vardır. Bu nedenle G’de hemen her yerde h_z =

(

h_x−ih_y

)

2 1 ve h_z =

(

h_x+ih_y

)

2 1

1.2.2 Tanım: G⊂C bir bölge, h:G→ C bir homeomorfizm ve K ≥ 1

olsun. Eğer aşağıdaki iki koşul sağlanıyorsa h dönüşümüne G üzerinde bir

K-kvazikonform dönüşüm denir[12, s.24].

1) h, G bölgesinde doğrular üzerinde mutlak süreklidir.

2) k =(K-1)/(K+1) olmak üzere, G’de hemen her yerde h_z ≤kh_z olur. Bir kvazikonform dönüşümün bir yansıma ile bileşkesine yön değiştiren

kvazikonform dönüşüm ya da antikvazikonform dönüşüm denir.

1.2.3 Teorem: Kvazikonform dönüşümlerin aşağıdaki özellikleri vardır.

a) Konform dönüşümler 1-kvazikonformdur. Tersine 1-kvazikonform

dönüşümler de konformdur.

b) K-kvazikonform bir dönüşümün tersi de K-kvazikonformdur.

c) K1-kvazikonform bir dönüşüm ile K2-kvazikonform bir dönüşümün

bileşkesi K1K2-kvazikonformdur[12, s.22].

1.2.4 Tanım: C ’nin kendi üzerine bir K-kvazikonform dönüşümü altında

bir çemberin görüntüsüne bir K-kvazikonform eğri, kvazikonform bir eğriyle sınırlı

bölgeye de kvazidisk denir[11, s.97].

Tanımdan görüldüğü gibi her kvazikonform eğri bir Jordan eğrisidir. Ayrıca,

her analitik eğri bir kvazikonform eğridir. Kvazikonform bir eğrinin 2 boyutlu

Lebesgue ölçümü sıfırdır, 1 boyutlu Lebesgue ölçümü ise sonlu olmayabilir, yani kvazikonform eğri sonlu uzunluklu olmayabilir[11, s.104].

1.2.5 Tanım: Γ, bir Jordan eğrisi olsun. G1 ve G2 ile sırasıylaC −Γ’nın

sınırlı ve sınırsız bileşenlerini gösterelim. G1 bölgesini G2 bölgesine, G2 bölgesini G1

bölgesine resmeden ve Γ eğrisinin noktalarını sabit bırakan bir antikvazikonform

dönüşüme Γ ’ya göre bir kvazikonform yansıma denir[11, s.98].

Γ, K-kvazikonform bir eğri olsun. Γ ’nın sınırladığı sınırlı bölgeyi G ile

çemberi Γ ’ya resmeden bir w K-kvazikonform dönüşümü vardır. Bu dönüşüm D’yi

G’ye ve C D ’yi CG ’ye resmeder. Birim çembere göre j(z)=1/z yansımasını göz önüne alalım. Bu durumda y=wo jow−1 dönüşümü G’yi CG ’ye, CG’yi G’ye

resmeden ve Γ ’nın noktalarını sabit bırakan bir K2-antikvazikonform dönüşümdür.

Yani, Γ ’ya göre bir K2-kvazikonform yansımadır.

Tersine, Γ Jordan eğrisinin bir y kvazikonform yansımasına sahip olduğunu

varsayalım. D’nin G’ye bir f konform dönüşümünü alalım. Bu durumda,

( )

   ∈ ∈ = D D C z z j f y z z f z h ; ) ( ; ) ( ) ( o o

dönüşümü, birim çemberi Γ ’ya resmeden, C’den C’ye bir kvazikonform

dönüşümdür. O halde Γ bir kvazikonform eğri olur.

Sonuç olarak, bir Jordan eğrisinin kvazikonform bir yansımaya sahip olması

için gerekli ve yeterli koşul kvazikonform bir eğri olmasıdır.

G, sınırı kvazikonform bir Γ eğrisi olan sınırlı ve basit bağlantılı bir bölge ve

0∈G olsun. Γ ’nın bir y kvazikonform yansımasına sahip olduğunu biliyoruz. Bu

kvazikonform yansıma, yeterince küçük bir δ >0 sayısı için c1 ve c2 sabit sayılar

olmak üzere δ ς δ < < 1 ve ς∉Γ olduğunda y_ς + y_ς ≤c₁ , ς δ < 1

ya da ς ≤δ olduğunda ise

2 2 − ≤ + _ς ς ς y c y (1.1)

koşullarını sağlayacak, Γ∪{0} dışında her yerde türevlenebilecek ve 0 ) ( , ) 0 ( =∞ y ∞ =

y olacak biçimde seçilebilir[4]. Bundan sonra bu şekildeki

yansımaları doğal kvazikonform yansıma olarak kullanacağız.

Ayrıca, y K-kvazikonform bir yansıma ise, y hemen her yerde türevlenebilen K-kvazikonform bir dönüşüm olur[4].

Sınırlı bir G bölgesinde analitik ve G ’de sürekli olan fonksiyonların

kümesini A(G) ile; G’de analitik olan ve

∫∫

<∞ G z d z f( ) σ

koşulunu sağlayan f fonksiyonlarının kümesini de A1(G) ile göstereceğiz. Burada

z

dσ iki boyutlu Lebesgue ölçümüdür.

1.2.6 Teorem: G, sınırı kvazikonform bir Γ eğrisi olan, sınırlı, basit

bağlantılı bir bölge, 0∈G ve f ∈A(G) olsun. Bu durumda, her z∈G için,

_ς ς σ_ς ς ς π z y d y f z f G C ) ( ) ( ) )( ( 1 ) (

∫∫

₂ − − = o

olur. Burada y, Γ ’ya göre kvazikonform bir yansımadır.

İspat: f fonksiyonun    ∈ ∈ = G C z z y f G z z f z f ; ) )( ( ; ) ( ) ( ~ o

sürekli genişlemesini oluşturalım. ~f fonksiyonunun hemen her yerde ~f_z ve ~f_z

    ∈ ∈ ′ = G C z z y z y f G z z f f z y z _{( )( ) ( ) ;} ; ) ( ~ o     ∈ ∈ = G C z z y z y f G z f z y z _{( )( ) ( ) ;} ; 0 ~ o olur. =

∫

∈ γ G z dt t f z F( ) ( ) ,

fonksiyonunu tanımlayalım. Burada γ , 0 ve z noktalarını birleştiren ve tümüyle G

içinde kalan sonlu uzunluklu bir yaydır. F, G’de analitik, G ’de türevlenebilir ve 0 ) 0 ( = F dır. F fonksiyonunun,    ∈ ∈ = G C z z y F G z z F z F ; ) )( ( ; ) ( ) ( ~ o

sürekli genişlemesini göz önüne alalım. F~ fonksiyonu C’de sürekli ve sınırlıdır. 0 ) 0 ( ) 0 ( ~ ) ( ~ = = = ∞ F F

F ’dır. F~_z ve F~_z türevleri vardır. Her z∈G için

) ( ) (z f z

F′ = olduğu açıktır. Şimdi F~_z ∈A2(C) olduğunu gösterelim. y

yansımasının K-kvazikonform olduğunu varsayalım. Bu durumda y hemen her

yerde türevlenebilir bir K-kvazikonform bir dönüşüm olacağından, k =(K-1)/(K+1)

olmak üzere, hemen her yerde

= ≤k<1 y y y y z z z z

∞ < − = − = − ≤         − =

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

− ) alan( 1 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 2 2 2 1 2 2 G k d k d y J k d y J y y d y G z G C z G C z z z G C z ζ σ σ σ σ

bulunur. F~, G’de analitik olduğundan her z∈G için F~_z =0 olur. Ayrıca Γ

eğrisinin 2 boyutlu Lebesgue ölçüsü sıfır olduğundan

∫∫

~ 2 _z =0 G z d F σ elde edilir. ∞ < − = − ≤ − = − ≤ = = = =

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

) alan( 1 1 ) ( 1 1 ) ( )) ( ( 1 1 )) ( ( )) ( ( ) ( ~ ~ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 G k M d k M d f k d y J z y f k d y z y f d y z y F d y y F d F d F G G z G C z G C z z G C z y z G C z y z G C z z z ζ ζ σ σ ζ σ σ σ σ σ σ o C

olduğundan F~_z ∈A2(C) olur. Burada M =max

{

f(ζ) :ζ ∈G

}

olarak alınmıştır.

Merkezi 0, yarıçapı r olan ve G’yi kapsayan bir disk alalım. Cauchy-Green formülünden, z < biçimindeki her z için r

∫

∫∫

≤ = − − − = r r d z F d z F i z F ζ ζ ζ ζ σ ζ π ζ ζ ζ π ~ 1 ) ( ~ 2 1 ) ( ~

(

)

_ζ

(

)

ζ ζ ζ σ ζ π ζ ζ ζ π z d F d z F i F z f r r z

∫

∫∫

≤ = − − − = = _{2 2} ~ 1 ) ( ~ 2 1 ~ ) (

elde edilir. ζ ∈CG için F~_ζ =(F_{y o} y)y_ζ ve ζ ∈G için F~_ζ =0 olduğundan, her G z∈ için

(

)

{

}

(

)

(

)

_{

∫∫

_}

(

)

∫

∫∫

∫

− ≤ = − ≤ = − − − = − − − = G r r G r y r d z y y f d z F i d z y y F d z F i z f ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ σ ζ ζ π ζ ζ ζ π σ ζ π ζ ζ ζ π : 2 2 : 2 2 ) )( ( 1 ) ( ~ 2 1 ) ( 1 ) ( ~ 2 1 ) ( o o ve

(

)

0 4 ) ( ~ max lim 4 ) ( ~ max 2 1 lim ) ( ~ 2 1 lim ₂ ≤ ₂ = = − →∞ = = = ∞ → = ∞ →

∫

_z d F _r

∫

d F r F i r r r r r r r _ζ ζ π ζ ζ ζ ζ π ζ ζ ζ ζ

olur. Çünkü r yeterince büyük olduğunda r ≤ ζ −z

2 eşitsizliği sağlanır.

Ayrıca r →∞ için

{

ζ :ζ ≤ r

}

→C olduğundan, her z∈G için

_ζ ζ σ_ζ ζ ζ π z y d y f z f CG ) ( ) ( ) )( ( 1 ) (

∫∫

₂ − − = o

elde edilir. Fakat, Γ’nın ölçüsü sıfır olduğundan, son eşitlik

y d z G z y f z f G C ∈ − − =

∫∫

( ) , ) ( ) )( ( 1 ) ( _{2 ζ} ζ σ_ζ ζ ζ π o halini alır.

Bu teorem Belyi tarafından ispatlanmıştır. Daha sonra bu integral gösterimi

Batchaev tarafından aşağıdaki şekilde güçlendirilmiştir[13].

1.2.7 Teorem: G, sınırı kvazikonform bir eğri olan, sınırlı, basit bağlantılı

bir bölge, 0∈G ve f, G’de tanımlı bir fonksiyon ve y, ∂G’ye göre bir doğal

kvazikonform yansıma olsun. Bu durumda,

y d z G z y f z f G C ∈ − − =

∫∫

( ) , ) ( ) )( ( 1 ) ( _{2 ς} ς σ_ς ς ς π o

olması için gerek ve yeter koşul f ∈A1(G) olmasıdır. Bu Teoremin tam ispatı [14, s.110]’da bulunabilir.

2. BERGMAN UZAYLARINDA FABER SERİLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

2.1 Bergman ve Ağırlıklı Bergman Uzayları

G, kompleks düzlemde basit bağlantılı bir bölge ve ω, G üzerinde bir

ağırlık fonksiyonu, yani G üzerinde tanımlı, hemen her yerde sıfırdan farklı, negatif

olmayan ve G üzerinde integrallenebilen bir fonksiyon olsun. G’de analitik olan ve

∫∫

<∞ G z d z z f( )2ω( ) σ

koşulunu sağlayan f fonksiyonlarının kümesini A2(G,ω) ile gösterelim. Burada

z

dσ iki boyutlu Lebesgue ölçümüdür. Bir f ∈A2(G,ω) fonksiyonunun normunu

2 1 2 ) , ( : ( ) ( ) 2 _       =

∫∫

G z G A f z z d f _ω ω σ

ile tanımlarsak, A2(G,ω) uzayı normlu bir uzay olur. A2(G,ω) uzayına G bölgesi üzerinde ağırlıklı Bergman uzayı denir. ω =1 durumunda ise A2(G) uzayına G

üzerinde Bergman uzayı denir. ) ( ,g A2 G f ∈ için _z G d z g z f g f, =

∫∫

( ) ( ) σ

biçiminde tanımlanan ⋅⋅, iç çarpımına göre A2(G) bir Hilbert uzayıdır. Ayrıca polinomların kümesi A2(G)’de

f 2_{( )}

(

f, f

)

1/2

G

A =

normuna göre yoğundur.

Şimdi, Γ, kompleks düzlemde sonlu bir Jordan eğrisi olsun. C\Γ’nın sınırlı

ve sınırsız bileşenlerini sırasıyla G1 ve G2 ile gösterelim. f ∈A2(G2)

fonksiyonlarının ∞’da en az ikinci dereceden sıfıra sahip oldukları açıktır. Sınırlı durumda olduğu gibi A2(G₂) uzayının da

_z G d z g z f g f =

∫∫

σ 2 ) ( ) ( ,

iç çarpımına göre bir Hilbert uzayı olduğu kolayca gösterilebilir. Ayrıca 1/z’ye göre

polinomların kümesi _{( )}

(

,

)

1/2 2 2 f f f G A =

normuna göre A2(G₂)’de yoğundur. Gerçekten, f(z)∈A2(G₂) olsun. Eğer

ζ / 1 = z dönüşümü yapar ve f(z)= f(1/ζ)=: f_∗(ζ)

tanımlarsak G2 sonlu bir G_ζ bölgesine dönüşür ve f∗∈A2(G_ζ) olur. Çünkü c>0

∫∫

_∗ =

∫∫

≤

∫∫

<∞ 2 2 2 4 2 2 ) ( ) ( ) ( G z G z G d z f c z d z f d f ζ σ σ σ ζ ζ

olur. f, ∞’da en az ikinci dereceden sıfıra sahip olduğundan ζ =0 noktası f_∗’ın en

az ikinci dereceden sıfırıdır ve

∫∫

∗ =

∫∫

<∞ 2 2 2 2 ( ) ) ( G z G d z f d f σ σ ζ ζ ζ ζ

olur. Dolayısıyla, f_∗(ζ)/ζ2∈A2(G_ζ) dır. Eğer P_n(ζ), ζ ’nın bir polinomu ise

z G n G n G n d z f z z P d f P d f P z σ σ ζ ζ ζ ζ σ ζ ζ ζ _{ζ ζ} ζ ζ 2 2 4 2 2 2 2 ) ( 1 ) / 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( ) (

∫∫

∫∫

∫∫

− = − = − ∗ _∗

elde ederiz. Bu, 1/z’ye göre polinomların kümesinin A2(G₂)’de yoğun olduğunu

gösterir. Çünkü, Pn(ζ) polinomlarının kümesi f _A2_{(G )} =

(

f,f

)

1/2

ζ

normuna göre A2(G_ζ)’da yoğundur[11, s:5].

℘n, derecesi n’yi aşmayan 1/z’ye göre polinomların kümesi olmak üzere,

n=1,2,… için _{2 ( )} 2 2 inf : ) , ( G A P n f G f P E n − = ℘ ∈

ile derecesi n’yi aşmayan 1/z’ye göre polinomlarla f’e en iyi yaklaşım sayısını gösteririz. n=1,2,… için ) ( 2 2 2 ) , ( G A n n f G f P E = − ∗

olacak biçimde derecesi n’yi aşmayan 1/z’in bir P_n∗( z1/ ) polinomu vardır[16, s.59].

Bu P_n∗( z1/ ) polinomuna, f(z)∈A2(G₂) fonksiyonuna en iyi yaklaşan polinom

denir.

2.2 Sonsuz Bölgeler İçin Faber Polinomları ) (z w=ϕ , G1’in CD’ye ϕ(0)=∞ ve lim ( ) 0 0 > → z z z ϕ

koşullarını sağlayan konform dönüşümü olsun ve ψ ile ϕ ’nin tersini gösterelim. Bu

koşullar altında ϕ fonksiyonu orijinde bir basit kutba sahiptir. Dolayısıyla orijinin

bir komşuluğunda

( )= + ₀+ ₁z+...+ _kzk +... z

z α α α α

ϕ

Laurent açılımı geçerlidir. Bu açılımda her iki tarafın m. kuvvetini alırsak z∈G₁

için

(

ϕ(z)

)

m =F_m(1/z)+Q_m(z) (2.1) olacak biçimde z’in negatif kuvvetlerinin bir F_m( z1/ ) polinomu ve z’in negatif olmayan kuvvetlerini içeren ve G1 bölgesinde analitik olan bir Qm(z) fonksiyonu

vardır. F_m( z1/ ) polinomuna G₂ bölgesi için Faber polinomu denir. z∈G₂ için son eşitlikte her iki tarafın Γ boyunca pozitif yönde integralini alırsak

(

)

ζ ζ ζ π ζ ζ ζ π ζ ζ ζ ϕ π z d Q i d z F i d z i m m m

∫

∫

∫

Γ Γ Γ − + − = − ) ( 2 1 ) / 1 ( 2 1 ) ( 2 1

olur. Sınırsız bölgeler için Cauchy integral formülünden

(1/ ) (1/ ) 2 1 z F d z F i m m ₌₋ −

∫

Γ ζ ζ ζ π

ve Cauchy integral teoreminden

( ) 0 2 1 = −

∫

Γ ζ ζ ζ π z d Q i m olur. Dolayısıyla,

(

)

dw z w w w i d z i z F w m m m

∫

∫

= Γ − ′ − = − − = 1 ( ) ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) / 1 ( ψ ψ π ζ ζ ζ ϕ π

elde ederiz. Bu formül F_m(1/z), m=1,2,... polinomlarının,

z G w CD z w w ∈ ∈ − ′ , , ) ( ) ( 2 ψ ψ

fonksiyonunun w=∞ noktasının komşuluğundaki seri açılımının Laurent katsayıları

olduğunu gösterir. Yani,

z G w CD w z F z w w m m m ∈ ∈ = − ′

∑

∞ = + , , 1 ) / 1 ( ) ( ) ( 2 1 1 ψ ψ

açılımı sağlanır. Bu açılımda seri G₂×CD’nin kompakt alt kümeleri üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır. Bu eşitliğin her iki tarafının z’ye göre diferansiyeli

her (z,w)∈G₂×CD için

(

)

∑

∞ = +       − ′ = − ′ 1 2 1 2 1 1 ) / 1 ( ) ( ) ( m m m w z z F z w w ψ ψ veya

(

)

∑

∞ = + ′ − = − ′ 1 1 2 2 ₁ ) / 1 ( ) ( ) ( m m m w z F z w w z ψ ψ _(2.2)

eşitliğini verir. Burada seri G₂×CD’nin kompakt alt kümeleri üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır.

2.3 Yardımcı Sonuçlar ve İspatları 2.3.1 Lemma: 2( ₂)

G A

f ∈ olsun. Eğer y(z), Γ eğrisine göre bir doğal

kvazikonform yansıma ise

(

)

(

) (

2

[

)

]

2 2 2 , ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 G z d y y z z y f z f G ∈ − − =

∫∫

_ζ ζ σ_ζ ζ ζ ζ π o (2.3) olur.

İspat: f ∈A2(G₂) ve y(z), Γ eğrisine göre bir doğal kvazikonform yansıma

olsun. Eğer ζ ∈G₂ için u 1 = ζ dönüşümü yapar ve f(ζ)= f(1/u)=: f_∗(u)

tanımlarsak G2, sonlu bir Gubölgesine dönüşür ve f∗∈A2(Gu) olur. Çünkü c>0 bir

sabit olmak üzere

∫∫

∗ =

∫∫

≤

∫∫

<∞ 2 2 2 4 2 2 ) ( ) ( ) ( G G G u c f d d f d u f u ζ ζ σ ζ ζ σ ζ σ

olur. Eğer y∗(t), ∂G_u’ya göre bir doğal kvazikonform yansıma ise 1.2.7 Teorem’e

göre

(

)

(

)

u u u G C G t d u y t u u y f t f u ∈ − − = ∗ ∗ ∗ ∗

∫∫

( ) , ) ( 1 ) ( ₂ σ π o

elde ederiz. Bu integral gösteriminde ζ 1 = u dönüşümü yaparak

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 , ) / 1 ( / 1 / 1 1 1 ) / 1 )( / 1 ( 1 / 1 / 1 1 ) / 1 ( / 1 / 1 ) / 1 ( 1 ) ( ) / 1 ( ) ( 1 1 1 G z d y z z y f Jd J y z z y f Jd y z y f t f t f z f G G u G ∈ − = − − − = − − = = = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∫∫

∫∫

∫∫

ζ ζ ζ ζ ζ σ ζ ζ ζ π σ ζ ζ ζ ζ ζ π σ ζ ζ ζ π o elde ederiz. Eğer ) / 1 ( 1 : ) ( ζ ζ = _∗ y y

[

_{( )}

]

2 ) ( ) / 1 ( ζ ζ ζ ζ ζ y y y∗ =−

olduğundan, f ∈A2(G₂) için

(

)

(

) (

2

[

)

]

2 2 2 , ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 G z d y y z z y f z f G ∈ − − =

∫∫

_ζ ζ σ_ζ ζ ζ ζ π o elde ederiz.

y(z), Γ’ya göre bir doğal K-kvazikonform yansıma olsun. f ∈A2(G₂)

olsun. (2.3)’de ζ =ψ(w) dönüşümü yaparsak

[

]

∫∫

∈ − ′ ⋅ ′ − = D 2 C w z G d z w w z w y w y w w y f z f ₂ 2 2 _{( ( ) )} , ) ( )) ( ( )) ( ( ) ( ))) ( ( ( 1 ) ( σ ψ ψ ψ ψ ψ ψ π ζ

elde edilir. Böylece, bunu ve (2.2)’yi göz önüne alırsak ve a_m( f) katsayılarını

[

]

∫∫

′ ⋅ = = + D C w m m y w d m w y w w w y f f a ( ( )) 1,2,... )) ( ( ) ( ))) ( ( ( 1 : ) ( ₂ 1 _ψ ψ σ ψ ψ π ζ (2.4)

biçiminde tanımlarsak f ∈A2(G₂) fonksiyonuna ₁a (f)F (1/z)

m m m

∑

∞

= ′ serisini

karşılık getirmiş oluruz. Yani,

f z a f F

(

z

)

m m m( ) 1/ ~ ) ( 1

∑

∞ = ′

olur. Bu seriye f ∈A2(G₂) fonksiyonunun Faber serisi ve a_m( f) katsayılarına da

2.3.2 Lemma:

{

F_m(1/z)

}

, m=1,2,..., G₂ bölgesi için Faber polinomları olsun. Bu durumda nπ m F n m G A z m ≤ ′

∑

=1 2 ) ( , 2 2 olur.

İspat: S_m(G₂), F_m( z1/ )’in Riemann yüzeyinde F_m( z1/ ) altında G₂’nin

görüntüsünün alanı olsun. (2.1) gereğince

(

1/ ( )

)

, 1 1 > + =

∑

∞ = − w w b w w F n n n m m ψ

olduğundan, 1.1.7 Lebedev-Millin Teoremi aracılığıyla

S G π m nb mπ n n m ≤       − =

∑

∞ =1 2 2) (

elde ederiz. Diğer yandan,

2 ) ( , 2 , 2 2 2 2 ) ( G A z m G z z m m G F d F S =

∫∫

′ σ = ′ dır. Son ikisinden, nπ m F n m G A z m ≤ ′

∑

=1 2 ) ( , 2 2 elde edilir.

Genelde, yukarıdaki eşitsizlikte nπ’yi iyileştiremeyiz. Gerçekten, eğer birim

diski göz önüne alırsak, F_m( z1/ ) =1/zm ve

nπ m F n m C A z m = ′

∑

=1 2 ) ( , 2 _D olur. 2.3.3 Lemma:

∑

∞ = + ′ 1 2 1 ) / 1 ( m m m z F

serisi G₂’nin kompakt alt kümeleri üzerinde düzgün yakınsaktır.

İspat: z, G2’de sabit bir nokta olsun. Bu durumda

1 1 1 ) / 1 ( ₊ ∞ =

∑

+ ′ _m m m w m z F

kuvvet serisi D’de bir A( wz, ) analitik fonksiyonu tanımlar. Yani

∈ + ′ = + ∞ =

∑

w w m z F w z A m m m _, 1 ) / 1 ( : ) , ( 1 1 D

olur. Böylece, her iki tarafın w’ya göre türevini alıp, (2.2)’yi göz önüne alırsak

(

)

(

)

(

−

)

∈ ′ − = ′ = ′

∑

∞ = w w z w w z w z F w z A m m m w , / 1 / 1 ) / 1 ( : ) , ( ₂ 2 1 ψ ψ D (2.5)

m m m z w F

∑

∞ = ′ 1 ) / 1 ( , z∈G₂

serisi D( r0, ) kapalı diskinde mutlak ve düzgün yakınsak olduğundan (2.5) bağıntısı

2 2 1 2 ) , 0 ( 2 1 ) / 1 ( ) , ( + ∞ =

∑

∫∫

′ = ′ ₊ m m m r D r m z F w z A π (2.6)

eşitliğini gerektirir. Dolayısıyla, (2.5) ve (2.6) gereğince

(

)

(

)

(

)

w r D m m m d w z w w z r m z F σ ψ ψ π

∑

∫∫

− ′ = + ′ ₊ ∞ = _{(0, )} 2 2 2 2 2 1 2 / 1 / 1 1 ) / 1 ( (2.7) elde ederiz.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

−

)

<∞ ′ = − ′

∫∫

∫∫

− → w D w r D r d w z w w z d w z w w z σ ψ ψ σ ψ ψ 2 2 2 ) , 0 ( 2 2 2 1 _1/ / 1 / 1 / 1 lim

olduğundan (2.7)’den

(

)

(

)

(

)

w D m m d w z w w z m z F σ ψ ψ π

∑

∫∫

− ′ = + ′ ∞ = 2 2 2 1 2 / 1 / 1 1 ) / 1 (

elde edilir. Diğer yandan,

(

)

(

)

(

)

w D d w z w w z σ ψ ψ

∫∫

− ′ 2 2 2 / 1 / 1

fonksiyonunun G2’de z’ye göre sürekli olduğu kolayca gösterilebilir. Dolayısıyla,

Dini teoremine göre

∑

∞ = + ′ 1 2 1 ) / 1 ( m m m z F

serisi G2’nin kompakt alt kümelerinde düzgün yakınsaktır.

2.3.4 Lemma: f ∈A2(G₂) ve y(ζ), Γ’ya göre bir doğal K-kvazikonform

yansıma olsun. Bu durumda, k:=(K-1)/(K+1) olmak üzere

(

)( )

( )

2 2 ) ( 2 2 1 2 2 1 k f d y y f A G G − ≤

∫∫

o ζ ζ ζ σζ olur.

İspat: y(ζ), genişletilmiş kompleks düzlemin kendisine bir doğal

K-kvazikonform dönüşümü olduğundan

y_ζ /y_ζ ≤k ve y_ζ 2 − y_ζ 2 >0 olur. Yine

y_ζ = y_ζ ve y_ζ = y_ζ

olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla,

olur. Bundan dolayı,

(

)( )

( )

(

)( )

(

)( )

_{ζ ζ ζ} ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ σ ζ σ ζ σ ζ ζ d y y y f k d y y y y y f d y y f G G G

∫∫

∫∫

∫∫

      − − ≤       −       − = − 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 / 1 o o o

elde ederiz. y(ζ)’nın Jakobiyeni

      − 2 2 ζ ζ y y

olduğundan son eşitsizliğin sağ tarafında y(ζ)=ζ dönüşümü yaparak

(

)( )

( )

2 2 ) ( 2 2 1 2 2 1 k f d y y f A G G − ≤

∫∫

o ζ ζ ζ σζ elde ederiz.

2.4 Ana Sonuçlar ve İspatları

2.4.1 Teorem: f ∈A2(G₂) olsun. f’in

a f F

(

z

)

m m m( ) 1/ 1

∑

∞ = ′

Faber serisi G2’nin kompakt alt kümelerinde f’e düzgün yakınsaktır.

İspat: M, G2’nin bir kompakt alt kümesi ve y(z), Γ’ya göre bir doğal

(

)

(

) (

[

)

]

(

)

(

)

w D C G d z w w z w y w y w w y f d y y z z y f z f σ ψ ψ ψ ψ ψ ψ π σ ζ ζ ζ ζ π ζ ζ ζ 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ( ))) ( ( ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 − ′ ′ − = − − =

∫∫

∫∫

o

olduğundan (2.4), Hölder eşitsizliği ve 2.3.4 Lemma aracılığıyla z∈M için

(

)

(

)

2 / 1 2 1 1 2 2 2 ) ( 3 1 ) / 1 ( ) ( ) ( 1 / 1 ) ( ) ( 2 2           ′ + − ′ − ≤ ′ −

∫∫

∑

∑

= + ∞ = D C w n m m m G A m m m d w z F z w w z k f c z F f a z f σ ψ ψ π (2.8)

elde ederiz. Burada c3 sabiti sadece Γ’ya bağlıdır.

∞ < < <r R

1 olsun. (2.2)’ye göre

(

)

∑

∑

∫∫

∑

∫∫

∑

∞ + = ∞ + = < < ∞ + = + < < = + + ′ ≤ ′       − = ′ = ′ + − ′ 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 ) / 1 ( 4 ) / 1 ( 1 1 1 ) / 1 ( ) / 1 ( ) ( ) ( n m m n m m m m R w w n m m m R w w n m m m m z F z F R r m d w z F d w z F z w w z π π σ σ ψ ψ

olur ve burada r→ 1+ ve R→∞ için limit alırsak

(

)

∑

∫∫

∑

∞ + = = + + ′ ≤ ′ + − ′ 1 2 2 1 1 2 2 1 ) / 1 ( 4 ) / 1 ( ) ( ) ( n m m D C w n m m m m z F d w z F z w w z π σ ψ ψ (2.9)

a f F

(

z

)

m m m( ) 1/ 1

∑

∞ = ′

serisinin M üzerinde f’e düzgün yakınsadığı sonucunu elde ederiz.

2.4.2 Teorem: P_n( z1/ ), n dereceli, 1/z’ye göre bir polinom ve

) ( ) / 1 ( z A2 G₂

P_n ∈ olsun. Eğer a_m(P_n), P_n( z1/ )’in Faber katsayıları ise her

2 + ≥ n m için am(Pn)=0 dır ve (1/ ) ( ) (1/ ) 1 1 z F P a z P n m m n m n

∑

+ = ′ = olur.

İspat: z∈G₂ olsun. 2.4.1 Teorem’e göre

(1/ ) ( ) (1/ ) 1 z F P a z P m m n m n

∑

∞ = ′ =

olur. Diğer yandan, P_n( z1/ ), k=1,2,...,n+1 için özel A_k katsayılarıyla

(1/ ) (1/ ) 1 1 z F A z P n k k k n

∑

+ = ′ =

formunda yazılabilir. y(ζ), Γ’ya göre bir doğal K-kvazikonform yansıma olsun. )

(ζ

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

dw w w F i A d w w y F w A d w y w y w w w y F A d w y w y w w w y P P a w m k n k k w D C m k n k k w D C m k n k k w D C m n n m

∫

∑

∫∫

∑

∫∫

∑

∫∫

= + + = + + = + + = + = ∂ ∂ − = ′ ′ = ′ = 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ) ( / 1 2 )) ( ( / 1 )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( / 1 )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( / 1 1 ) ( ψ π σ ψ π σ ψ ψ ψ ψ π σ ψ ψ ψ ψ π ζ ζ

elde ederiz. (2.1) gereğince Q_m(ψ(w)), CD’de analitik iken

F_m

(

1/ψ(w)

)

=wm −Q_m(ψ(w)) olur ve bunun yardımıyla

(

)

   ≠ = =

∫

= + _{k m} m k dw w w F i w m k ; 0 ; 1 ) ( / 1 2 1 1 1 ψ π (2.10)

elde edilir ki bu da m=1,...,n+1 için a_m(P_n)=A_m ve bütün m≥ n+2 için

0 ) ( _n =

m P

a olmasını gerektirir. Dolayısıyla,

(1/ ) ( ) (1/ ) 1 1 z F P a z P n m m n m n

∑

+ = ′ = olur.

2.4.3 Teorem:

{ }

am bir kompleks sayı dizisi olsun. Eğer a F

(

z

)

m m m 1/ 1

∑

∞ = ′ serisi _{( )} 2 2 _G A

⋅ normunda bir f ∈A2(G₂) fonksiyonuna yakınsıyorsa a_m, m=1,2,...

için f’in Faber katsayılarıdır.

İspat: y(ζ), Γ’ya göre bir doğal K-kvazikonform yansıma ve

S f z a F

(

z

)

n m m m n( ,1/ ): 1/ 1 1

∑

+ = ′ = ,

(

z

)

F a m 1 m m 1/

∑

∞

= ′ serisinin n. kısmi toplamı olsun. (2.10)’u kullanarak

(

)

(

( ( ))

)

( ( )) , 1,2,... ) ( )) ( ( / 1 1 lim 2 1 = = ′

∫∫

₊ ∞ → _{w y w} y w d a m w w y S m w D C m n n _ψ ψ σ ψ ψ π ζ (2.11)

olduğu gösterilebilir. Eğer m ve n doğal sayılar ise Hölder eşitsizliğini ve 2.3.4

Lemma’yı kullanarak

(

)

(

)

(

)

(

)

w m D C m n w D C m n m m a d w y w y w w w y S d w y w y w w w y S w y f a f a − ′ + ′ − ≤ −

∫∫

∫∫

+ + σ ψ ψ ψ ψ π σ ψ ψ ψ ψ ψ π ζ ζ )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( / 1 1 )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( / 1 ))) ( ( ( 1 ) ( 2 1 2 1

(

)

(

)

(

)

w m D C m n w D C n D C m w a d w y w y w w w y S d w y w y w w y S w y f w d − ′ +           ′ − ×         ≤

∫∫

∫∫

∫∫

+ + σ ψ ψ ψ ψ π σ ψ ψ ψ ψ ψ σ π ζ ζ )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( / 1 1 )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( / 1 ))) ( ( ( 1 2 1 2 / 1 4 2 2 2 2 / 1 2 2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

w m D C m n G A n m w D C m n G n a d w y w y w w w y S k m S f c a d w y w y w w w y S d y y S f m c − ′ + − − ≤ − ′ +         − ≤

∫∫

∫∫

∫∫

+ + σ ψ ψ ψ ψ π π σ ψ ψ ψ ψ π σ ζ ζ π ζ ζ ζ ζ )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( / 1 1 ) 1 ( )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( / 1 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 2 ) ( 4 2 1 2 / 1 2 2 4 2 2 1 o (2.12)

elde ederiz. lim _{( )} 0

2 2 = − ∞ → n A G n S

f olduğundan (2.11) ve (2.12), m=1,2,... için

m

m f a

a ( )= olduğunu gösterir.

2.4.4 Teorem : Eğer f ∈A2(G₂), ω(z):=1/z4 ve S f z a f F

(

z

)

n m m m n( ,1/ ) ( ) 1/ 1 1

∑

+ = ′ = , f’in a f F

(

z

)

m m m( ) 1/ 1

∑

∞ = ′

Faber serisinin n. kısmi toplamı ise, c, n’den bağımsız bir sabit olmak üzere, bütün n doğal sayıları için ( , ) 1 ) , ( ₂ 2 ) , ( 2 2 nE f G k c f S f _{n A G n} − ≤ ⋅ − _ω olur.

İspat: y(z), Γ’ya göre bir doğal K-kvazikonform yansıma ve P_n∗( z1/ ),

) ( ₂

2 _G

A

⋅ normunda f ∈A2(G₂) fonksiyonuna en iyi yaklaşan polinom olsun.

2

G

z∈ için Hölder eşitsizliği, 2.3.4 Lemma ve 2.4.2 Teorem gereğince her n doğal

sayısı için,

(

)

∑

+ = ∗ ∗ ∗ ∗ ′ − + − ≤ − + − ≤ − 1 1 ) / 1 ( ) ( ) ( ) / 1 ( ) ( ) / 1 , ( ) / 1 ( ) / 1 ( ) ( ) / 1 , ( ) ( n m m m n m n n n n n z F f a P a z P z f z f S z P z P z f z f S z f

(

)

2 / 1 2 1 1 1 2 / 1 2 2 ) / 1 ( )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( )( ( 1 ) / 1 ( ) (         ′ ×           ′ − + − ≤

∫∫ ∑

∫∫

+ = + ∗ ∗ D C w n m m m w D C n n d w z F d w y w y w w y P y f z P z f σ σ ψ ψ ψ ψ π ζ o o 2 / 1 1 1 2 2 / 1 2 2 5 ) / 1 ( ) ( ) )( ( ) / 1 ( ) ( 1         _′ ×         − + − ≤

∑

∫∫

+ = ∗ ∗ n m m G n n m z F d y y P y f c z P z f π σ ζ ζ π o o ζ ζ

2 / 1 1 1 2 2 2 5 2 / 1 1 1 2 ) ( 2 5 ) / 1 ( ) , ( ) 1 ( ) / 1 ( ) ( ) / 1 ( ) 1 ( ) / 1 ( ) ( 2 2         _′ − + − =         _′ − − + − ≤

∑

∑

+ = ∗ + = ∗ ∗ n m m n n n m m G A n n m z F G f E k c z P z f m z F P f k c z P z f π π

elde edilir. Bu,

∑

+ = ∗ ′ − + − ≤ − 1 1 2 2 2 2 5 2 2 (1/ ) ) , ( ) 1 ( 2 ) / 1 ( ) ( 2 ) / 1 , ( ) ( n m m n n n m z F G f E k c z P z f z f S z f π

olmasını gerektirir. Bu eşitsizliğin her iki yanını 1 z ile çarpıp, / 4 z∈G₂ için

6 4

/

1 z ≤c olduğunu dikkate alırsak

∑

+ = ∗ ′ − + − ≤ − 1 1 2 2 2 2 8 2 7 4 2 (1/ ) ) , ( ) 1 ( ) / 1 ( ) ( 1 ) / 1 , ( ) ( n m m n n n m z F G f E k c z P z f c z z f S z f π

elde ederiz. Şimdi, G2 üzerinden her iki tarafın integralini alır ve 2.3.2 Lemma’yı

kullanırsak her n doğal sayısı için

) , ( 1 ) , ( 1 ) 1 ( ) , ( ) 1 ( ) , ( ) / 1 , ( ) ( 2 2 2 9 2 2 2 8 7 1 1 2 ) ( , 2 2 2 8 2 2 7 2 ) , ( 2 2 2 2 G f E k n c G f E k n c c m F G f E k c G f E c z f S z f n n n m G A z m n n G A n − ≤       − + + ≤ ′ − + ≤ −

∑

+ = π ω yani, ( , ) 1 ) / 1 , ( ) ( ₂ 2 ) , ( 2 2 nE f G k c z f S z f n _{A G} n − ≤ − _ω elde ederiz.

3. AĞIRLIKLI BERGMAN UZAYLARINDA GENELLEŞMİŞ FABER SERİLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

3.1 Sonsuz Bölgelerde Genelleşmiş Faber Polinomları )

(z

g , G1’de analitik, z=0 noktasında ν≥2 mertebeli sıfıra sahip bir fonksiyon

ve ϕ ve ψ 2.2 bölümde tanımlandığı gibi olsun. Bu durumda, her m≥1 doğal

sayısı için g(z)ϕm+ν(z) _{fonksiyonu orijinde m. dereceden bir kutba sahiptir.} Dolayısıyla, F_m

(

1/z,g

)

, z’in negatif kuvvetlerinin oluşturduğu polinomu, Q_m( gz, )

ise z’in negatif olmayan kuvvetlerinin oluşturduğu fonksiyonu göstermek üzere z∈G1

için

g(z)ϕm+ν(z)=F_m(1/z,g)+Q_m(z,g) (3.1) açılımı geçerlidir. Buradaki F_m

(

1/z,g

)

polinomuna G2 bölgesi için genelleşmiş

Faber polinomu denir.

2

G

z∈ için son eşitlikte her iki tarafın Γ boyunca pozitif yönde integralini

alırsak

(

)

ζ ζ ζ π ζ ζ ζ π ζ ζ ζ ϕ ζ π ν d z g Q i d z g F i d z g i m m m

∫

∫

∫

Γ Γ Γ + − + − = − ) , ( 2 1 ) , / 1 ( 2 1 ) ( ) ( 2 1

olur. Sınırsız bölgeler için Cauchy integral formülünden

(1/ , ) (1/ , ) 2 1 g z F d z g F i m m ₌₋ −

∫

Γ ζ ζ ζ π

ve Cauchy integral teoreminden ( , ) 0 2 1 = −

∫

Γ ζ ζ ζ π z d g Q i m olur. Dolayısıyla,

(

)

dw z w w w w g i d z g i g z F w m m m

∫

∫

= + Γ + − ′ − = − − = 1 ( ) ) ( )) ( ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) , / 1 ( ψ ψ ψ π ζ ζ ζ ϕ ζ π ν ν

elde ederiz. Bu formüle göre, F_m(1/z,g), m=1,2,... polinomları,

z G w CD z w w w g ∈ ∈ − ′ , , ) ( ) ( )) ( ( 2 ψ ψ ψ

fonksiyonunun w=∞ noktasının komşuluğundaki seri açılımının Laurent katsayıları

olur. Yani,

∑

(

)

∞ = + + = − ′ 1 1 1 , / 1 ) ( ) ( )] ( [ m m m w g z F z w w w g ν ψ ψ ψ

bağıntısı geçerlidir ve seri G₂×CD’nin kompakt alt kümelerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır. Bu eşitliğin z’ye göre türevini alarak her (z,w)∈G₂×CD için

(

)

∑

(

)

∞ = + +       − ′ = − ′ 1 2 1 2 1 1 , / 1 ) ( ) ( )] ( [ m m m w z g z F z w w w g ν ψ ψ ψ veya

(

)

∑

(

)

∞ = + + ′ − = − ′ 1 1 2 2 ₁ , / 1 ) ( ) ( )] ( [ m m m w g z F z w w w g z ν ψ ψ ψ (3.2)

elde ederiz ki burada seri G₂×CD’nin kompakt alt kümelerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır.

3.2 Yardımcı Sonuçlar ve İspatları

Aşağıdaki Lemma, (2.3) integral gösteriminin A1(G₂) uzaylarında da geçerli

olduğunu göstermektedir.

3.2.1 Lemma: f ∈A1(G₂) olsun. Eğer y(z), Γ eğrisine göre bir doğal

kvazikonform yansıma ise

(

)

(

) (

2

[

)

]

2 2 2 , ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 G z d y y z z y f z f G ∈ − − =

∫∫

_ζ ζ σ_ζ ζ ζ ζ π o _(3.3) olur.

İspat: f ∈A1(G₂) ve y(z), Γ eğrisine göre bir doğal kvazikonform yansıma

olsun. Eğer ζ ∈G₂ için u 1 = ζ dönüşümü yapar ve f(ζ)= f(1/u)=: f_∗(u)

tanımlarsak G2, sonlu bir Gu bölgesine dönüşür ve f∗∈A1(Gu) olur. Çünkü c>0 bir

sabit olmak üzere

∫∫

_∗ =

∫∫

≤

∫∫

<∞ 2 2 ) ( ) ( ) ( ₄ G G G u c f d d f d u f u ζ ζ _{ζ σ} ζ σ ζ σ

(

)

(

)

u u u G C G t d u y t u u y f t f u ∈ − − = ∗ ∗ ∗ ∗

∫∫

( ) , ) ( 1 ) ( ₂ σ π o

elde ederiz. Bu integral gösteriminde ζ 1 = u dönüşümü yaparak

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 , ) / 1 ( / 1 / 1 1 1 ) / 1 )( / 1 ( 1 / 1 / 1 1 ) / 1 ( / 1 / 1 ) / 1 ( 1 ) ( ) / 1 ( ) ( 1 1 1 G z d y z z y f Jd J y z z y f Jd y z y f t f t f z f G G u G ∈ − = − − − = − − = = = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∫∫

∫∫

∫∫

ζ ζ ζ ζ ζ σ ζ ζ ζ π σ ζ ζ ζ ζ ζ π σ ζ ζ ζ π o elde ederiz. Eğer ) / 1 ( 1 : ) ( ζ ζ = _∗ y y

tanımlarsak y(ζ), Γ eğrisine göre bir doğal kvazikonform yansıma olur. Ayrıca

[

_{( )}

]

2 ) ( ) / 1 ( ζ ζ ζ ζ ζ y y y∗ =−

olduğundan, f ∈A1(G₂) için

(

)

(

) (

2

[

)

]

2 2 2 , ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 G z d y y z z y f z f G ∈ − − =

∫∫

_ζ ζ σ_ζ ζ ζ ζ π o elde ederiz.