T.C.
FIRAT ÜN˙IVERS˙ITES˙I
FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ
SEMI-RIEMANN GEOMETR˙IDE ˙INTEGRAL
FORMÜLLER˙I
Mihriban KÜLAHCI
Tez Yöneticisi Prof. Dr. Mahmut ERGÜT
DOKTORA TEZ˙I MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI
T.C.
FIRAT ÜN˙IVERS˙ITES˙I
FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ
SEMI-RIEMANN GEOMETR˙IDE ˙INTEGRAL FORMÜLLER˙I
Mihriban KÜLAHCI
Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı
Bu tez, 13/06/2008 tarihinde a¸sa˘gıda belirtilen juri tarafından oybirli˘gi / oyçoklu˘gu ile ba¸sarılı / ba¸sarısız olarak de˘gerlendirilmi¸stir.
Danı¸sman: Prof. Dr. Mahmut ERGÜT Üye: Prof. Dr. Sadık KELE¸S
Üye: Prof. Dr. Rifat GÜNE¸S Üye: Prof. Dr. Vedat AS˙IL Üye: Doç. Dr. Mehmet BEKTA¸S
Bu tezin kabulü, Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulunun .../.../... tarih ve ... sayılı kararıyla onaylanmı¸stır.
TE¸SEKKÜR
Doktora e˘gitimimin her a¸samasında; ¸sükran borçlu oldu˘gum, bu çalı¸smanın hazırlanmasında gerekli bütün imkanları sa˘glayarak bana yardımcı olan, de˘gerli önerileri ve katkılarıyla deste˘gini hiçbir zaman esirgemeyen hocam Sayın Prof. Dr. Mahmut ERGÜT’ e te¸sekkür eder, saygılarımı sunarım.
Yine çalı¸smalarım ve doktora e˘gitimimin tümünde; her zaman yanımda olan, yakın ilgi gördü˘güm, de˘gerli önerileri ve katkılarıyla deste˘gini hiçbir zaman esirgemeyen hocam Sayın Doç. Dr. Mehmet BEKTA¸S’ a te¸sekkür ederim.
Ayrıca doktora e˘gitimim boyunca her zaman yanımda olan e¸sime ve her¸seyimi borçlu oldu˘gum, bugünlere gelmemi sa˘glayan anneme ve babama te¸sekkür ederim.
˙IÇ˙INDEK˙ILER ˙Içindekiler . . . I Simgeler Listesi . . . II Özet . . . III Abstract . . . IV 0. G˙IR˙I¸S . . . 1 1. TEMEL KAVRAMLAR . . . 2
1.1. Tensörler ve Tensör Uzayları . . . 2
1.2. Semi-Riemann ˙Iç Çarpım Uzayı . . . 10
1.3. Hodge-Yıldız Operatörü . . . 16
1.4. Kovaryant Türev . . . 18
1.5. Non-dejenere Space-like ve Time-like Sınır . . . 24
2. LAPLACE OPERATÖRÜ. . . .38
2.1. Bazı Diferensiyel Operatörler . . . 38
2.2. Semi-Riemann Uzayında Stokes, Divergens ve Green Teoremleri . . . 44
3. ˙INTEGRAL FORMÜLLER˙I . . . 51
3.1. Non-dejenere Space-like ve Time-like Sınırlı Semi-Riemann Manifoldları ˙Için ˙Integral Formülleri . . . 51
S˙IMGELER L˙ISTES˙I
h, iR : Riemann ˙Iç Çarpımı
h, i1 : 1.Tip Semi-Riemann ˙Iç Çarpımı
h, i2 : 2.Tip Semi-Riemann ˙Iç Çarpımı
h, i : Semi-Riemann ˙Iç Çarpım Rn
v : n-boyutlu Semi-Riemann Uzayı
P : Riemann Manifoldu
N : (v-1)-indeksli Semi-Riemann Manifoldu M : Semi-Riemann Manifoldu
∧n(M ) : M Üzerinde Tanımlı n-Formların Cümlesi
∗ : Hodge-YıldızOperatörü
dv : Manifold Üzerinde Hacim Elementi Ric :Ricci E˘grilik Tensör Alanı
II :˙Ikinci Temel Form
∂M+ :Non-dejenere Space-like Sınır
∂M− :Non-dejenere Time-like Sınır
w∂M+ :Non-dejenere Space-like Sınır Üzerinde Hacim Elementi
w∂M− :Non-dejenere Time-like Sınır Üzerinde Hacim Elementi
vol(M ) :M Manifoldunun Hacmi div :Divergens Fonksiyonu
Grad :Riemann Manifoldu Üzerinde Gradient Fonksiyonu grad :Semi-Riemann Manifoldu Üzerinde Gradient Fonksiyonu L :Riemann Manifoldu Üzerinde Laplace Operatörü ∆ :Semi-Riemann Manifoldu Üzerinde Laplace Operatörü Hessf :f Fonksiyonunun Hessian Tensörü
Hf :f Fonksiyonunun Hessian Formu
ÖZET Doktora Tezi
SEMI-RIEMANN GEOMETR˙IDE ˙INTEGRAL FORMÜLLER˙I
Mihriban KÜLAHCI
Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
2008, Sayfa:66
Bu tez üç bölüm halinde düzenlenmi¸stir.
Giri¸s kısmında, çalı¸smanın kapsamı ve amacı belirtilmi¸stir.
Birinci bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak temel tanımlar ve teoremler verildi. ˙Ikinci ve üçüncü bölüm çalı¸smanın orijinal kısımlarını ihtiva etmektedir.
˙Ikinci bölümde, bazı diferensiyel operatörler tanıtıldı. Ayrıca semi-Riemann manifoldları üzerinde Stokes, Divergens ve Green teoremleri elde edildi.
Üçüncü bölümde, non-dejenere space-like ve non-dejenere time-like sınırlı semi-Riemann man-ifoldları için Reilly integral formülü ve bu integral formülünün herhangi iki diferensiyellenebilir fonksiyon için genelle¸stirilmi¸si verildi.
Anahtar Kelimeler: Non-dejenere Space-like Sınır, Non-dejenere Time-like Sınır, Stokes Teoremi, Divergens Teoremi, Green Formülü, Reilly ˙Integral Formülü.
ABSTRACT PhD Thesis
INTEGRAL FORMULAS IN SEMI-RIEMANNIAN GEOMETRY
Mihriban KÜLAHCI
Fırat University
Graduate School of Science and Technology Department of Mathematics
2008, Page:66
This thesis is arranged in three chapters.
In the introduction, the aim and content of the thesis are explained.
In the first chapter, some fundamental definitions and theorems are given which will be used in the later chapters.
Second and third chapter include the original parts of the thesis.
In the second chapter, some differential operators are introduced. Furthermore, Stokes, Diver-gence and Green theorems are obtained on the semi-Riemannian manifolds.
In the third chapter, the Reilly integral formula for semi-Riemannian manifolds with non-degenerate space-like and non-non-degenerate time-like boundary and generalized Reilly integral for-mula for any two differential functions are given.
Key Words: Non-degenerate Space-like Boundary, Non-degenerate Time-like Boundary, Stokes Theorem, Divergence Theorem, Green Formula, Reilly Integral Formula.
G˙IR˙I¸S
Matemati˘gin her dalında kullanılan Stokes, Divergens ve Green teoremlerinin mühendislik alanında da kullanım alanı bulunmaktadır. Bu teoremler teknikte ve matematikte oldukça uygu-lama alanına sahiptir. Bu teoremleri kulanarak integral formülleri elde edip ispatuygu-lamak ve geometrik yapılarını in¸sa etmek oldukça popüler bir çalı¸sma alanıdır.Ayrıca son zamanlarda
Riemann geometride bilinen teorem ve sonuçların
semi-Riemann geometrideki kar¸sılıklarını incelemek gerek diferensiyel geometri, gerekse fizik açısın-dan ilginç sonuçlar do˘gurmaktadır. Çünkü semi-Riemann geometri, Geometri ve Fizi˘gin geni¸s kul-lanım yelpazesinde bulunan Lorentz (Minkowski) geometriden daha genel ve daha orijinal teorileri içermektedir.
Riemann geometride bilinen teorem ve sonuçların semi-Riemann geometrideki kar¸sılıklarını incelemek için önce Riemann geometrideki temel kavramlar ve integral formülleri ara¸stırıldı [1-8].Ayrıca semi-Riemann geometride integral formülleri konusu birçok makale ve kitapta incelendi [9-16].
Semi-Riemann manifoldunun sınırı bazı noktalarda dejenere olup, bu noktalar da dı¸s birim nor-maller iyi tanımlanamayaca˘gı için gerek Divergens ve gerekse Stokes teoremini ispatlamak zordur. Çünkü bu noktalarda hacim elementi iyi tanımlanamaz.
Duggal [9], semi-Riemann manifoldları için regüler sınır tanımladı. Bu regüler sınır üzerinde ifade etti˘gi Divergens ve Stokes teoremlerinin Riemann manifoldları için bilinenlerle aynı oldu˘gunu gördü.
˙Ikinci bir yöntem ise, Ünal [27] tarafından tanımlanan non-dejenere sınır kavramının kullanıl-masıdır. Burada ki non-dejenere sınır ile dejenere noktalarda ölçümün sıfır olması kastedilmektedir. Bu yöntemle Divergens teoreminin daha genel bir ispatı yapılmı¸stır.
Üçüncü bir yöntem ise, Bekta¸s [25] tarafından verilen iki ayrı sınır tanımıdır. Lorentz mani-foldlarında sınır kavramı manifold üzerinde alınan iç çarpıma ba˘glı olarak tanımlanmı¸stır.
Bu çalı¸smada da yukarıda belirtilen çalı¸smalar do˘grultusunda, semi-Riemann manifoldları için iki sınır tanımı verildi. Non-dejenere space-like sınır ve non-dejenere time-like sınır. Bu sınır-ları kullanarak semi-Riemann manifoldsınır-ları için Stokes, Divergens ve Green formülü ispatlandı. Ayrıca non-dejenere space-like ve non-dejenere time-like sınırlı semi-Riemann manifoldları için Reilly integral formülü ve bu integral formülünün herhangi iki diferensiyellenebilir fonksiyon için genelle¸stirilmi¸si ifade ve ispat edildi.
1. TEMEL KAVRAMLAR
Temel kavramlara ayırdı˘gımız bu bölüm be¸s kısım olarak düzenlendi. Birinci kısım tensörler ve manifoldlar üzerindeki temel yapılara, ikinci kısım semi-Riemann iç çarpım uzayına, üçüncü kısım Hodge-Yıldız operatörüne ayrıldı. Dördüncü ve be¸sinci kısımlarda ise, sırasıyla, kovaryant türev ve non-dejenere time-like ve space-like sınır kavramları tanıtıldı.
1.1. Tensör ve Tensör Uzayları
Tanım 1.1.1. V bir reel vektör uzayı olsun.
h, i : V × V → IR dönü¸sümü ∀a, b R ve ∀u, v V için
i) hu, vi = hv, ui ,
ii)hau + bv, wi = a hu, wi + b hv, wi hu, av + bwi = a hu, vi + b hu, wi
özelliklerine sahip ise h, i dönü¸sümüne V vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form denir [17]. Tanım 1.1.2. h, i, V reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form olsun. Bu simetrik bilineer form üç de˘gi¸sik durum altında incelenebilir;
1) Definit Durum: E˘ger,
i) ∀v V, v 6= 0 için hv, vii0 ise h, i simetrik bilineer formuna pozitif definit, ii) ∀v V, v 6= 0 için hv, vi h0 ise h, i simetrik bilineer formuna negatif definit, 2) Semi-definit Durum: E˘ger,
i) ∀v V, v 6= 0 için hv, vi > 0 ise h, i simetrik bilineer formuna pozitif semi-definit, ii) ∀v V, v 6= 0 için hv, vi 6 0 ise h, i simetrik bilineer formuna negatif semi-definit, denir. 3) Non dejenere Durum:
E˘ger, ∀w V için hv, wi = 0 iken v = 0 ise h, i simetrik formuna non dejenere simetrik form denir [17].
Tanım 1.1.3. Reel sayılar cismi üzerinde, r-tane vektör uzayı, V1, ..., Vrolsun.
f : V1× V2× ... × Vr→ IR
f (v1, ..., vi−1, avi+ bui, vi+1, ..., vr) = af (v1, ..., vi−1, vi, vi+1, ..., vr)
+bf (v1, ..., vi−1, ui, vi+1, ..., vr)
¸seklinde tanımlı ise f ye r-lineer fonksiyon denir [18].
Tanım 1.1.4. V1× V2× ... × Vr den R ye tanımlı bütün r-lineer fonksiyonların cümlesini,
L(V1, ..., Vr; R)
ile gösterelim. Bu cümlede toplama ve skalarla çarpma i¸slemleri, sırasıyla, ∀(u1, u2, ..., ur) V1×
V2× ... × Vriçin
(f1+ f2)(u1, u2, ..., ur) = f1(u1, u2, ..., ur) + f2(u1, u2, ..., ur)
ve λ R olmak üzere,
(λf )(u1, u2, ..., ur) = λf (u1, u2, ..., ur)
¸seklinde tanımlanırsa, bu iki i¸sleme göre L(V1, ..., Vr; R), R üzerinde bir vektör uzayı olur. Bu
vektör uzayına V∗
1, V2∗, ..., Vr∗ dual vektör uzaylarının tensör çarpımı denir ve
L(V1, ..., Vr; R) = V1∗⊗ V2∗⊗ ... ⊗ Vr∗
ile gösterilir. V∗
1 ⊗ V2∗⊗ ... ⊗ Vr∗ tensör uzayının herbir elemanına r.dereceden bir tensör denir.
E˘ger
V1= V2= ... = Vr= V
ise V∗ ⊗ V∗ ⊗ ... ⊗ V∗ uzayına bir kovaryant tensör uzayı ve bu uzayın her bir elemanına da
r.dereceden bir kovaryant tensör denir. Tr(V ) veya ⊗rV∗ ile gösterilir [18].
Tanım 1.1.5. Kovaryant tensörler için verilen tanımda V yerine V∗(V nin dual uzayı) alınırsa
(V∗)∗uzayı V ye izomorf oldu˘gundan V∗üzerinde s-lineer fonksiyonların vektör uzayını elde ederiz. Bu uzaya kontravaryant uzay denir ve Ts(V∗) veya ⊗s(V ) ile gösterilir. Bu uzayın elemanlarına
s.dereceden kontravaryant tensörler denir [18].
Tanım 1.1.6. R reel sayılar cismi üzerinde bir vektör uzayı V ve V nin duali de V∗ olsun.
L(Vr, V∗s; R) = {f | f : Vr× Vsr + s − lineer −−−−−−−−−−−→R}
cümlesi yukarıda verilen toplama ve skalarla çarpma i¸slemlerine göre bir vektör uzayıdır. Bu uzaya r.dereceden kovaryant ve s.dereceden kontravaryant tensör uzayı denir. Bu uzayın elemanlarına da (r,s)-tipinden tensör denir ve
Tr(V ) ⊗ Ts(V∗) = ⊗rV∗⊗ ⊗s(V )
veya
Tsr(V )
ile gösterilir [18].
Tanım 1.1.7. ∀σ ∈ Sr permütasyonu ve bir V vektör uzayı üzerindeki bir r-lineer f fonksiyonu
için
σf = f yani
f (uσ(1), uσ(2), ..., uσ(r)) = f (u1, u2, ..., ur)
ise r-lineer f fonksiyonuna bir simetrik r-lineer fonksiyon veya r.mertebeden simetrik kovaryant tensör denir [19].
Simetrik kovaryant tensörlerin cümlesini PrV ile gösterece˘giz.
Tanım 1.1.8. ∀σ ∈ Sr permütasyonu ve bir V vektör uzayı üzerindeki bir r-lineer f fonksiyonu
için
σf = (sgnσ)f yani
f (uσ(1), uσ(2), ..., uσ(r)) = (sgnσ)f (u1, u2, ..., ur)
ise r-lineer f fonksiyonuna alterne r-lineer fonksiyon veya r.mertebeden alterne kovaryant tensör veya anti-simetrik r-lineer fonksiyon denir [19].
Anti-simetrik tensörlerin cümlesini γr(V ) ile gösterece˘giz.
Tanım 1.1.9. A¸sa˘gıdaki ¸sekilde tanımlı ⊗ dönü¸sümüne p. ve q. mertebeden t ve s tensör alan-larının t ⊗ s tensör çarpımı denir ve
(t ⊗ s)(x1, x2, ..., xp, ..., xp+q) = t(x1, x2, ..., xp)s(xp+1, , ..., xp+q)
¸seklinde gösterilir [18].
Tanım 1.1.10. V bir reel vektör uzayı θ γr(V ) ve φ γs(V ) olsun.
θ ∧ φ =(r + s)!r!s! A(θ ⊗ φ)
ile tanımlanan çarpıma alterne tensörlerin dı¸s (wedge) çarpımı denir [20].
Teorem 1.1.1. θ1, θ2, θ3, φ1, φ2, φ3ler V üzerinde alterne tensörler olmak üzere
1) θ1∧ (φ1+ φ2) = θ1∧ φ1+ θ1∧ φ2,
(φ1+ φ2) ∧ θ1= φ1∧ θ1+ φ2∧ θ1,
2) (aθ1) ∧ φ1= a(θ1∧ φ1) = θ1∧ (aφ1), a R,
3) θ1∧ (φ1∧ φ2) = (θ1∧ φ1) ∧ φ2,
4) θ γr(V ) ve φ γs(V ), θ ∧ φ = (−1)rsφ ∧ θ
dir [19].
Tanım 1.1.11. n-boyutlu Öklid uzayı En de bir açık cümle U olmak üzere,
f : U → R
fonksiyonunun k-yıncı mertebeden bütün kısmi türevleri var ve sürekli iseler f fonksiyonuna Ck-sınıfından diferensiyellenebilirdir denir ve
Ck(U, R) = {f | f : U → R ve f fonksiyonu Ck− sınıfından}
¸seklinde gösterilir. E˘ger f in her mertebeden kısmi türevleri var ve sürekli iseler f fonksiyonuna C∞-sınıfından diferensiyelenebilirdir denir ve
C∞(U, R) = {f | f : U → R ve f Ck(U, R), k IN} ¸seklinde gösterilir [21].
Tanım 1.1.12. M bir diferensiyellenebilir manifold olsun. E˘ger;
− →
Vp : C∞(M, R) → R
operatörü, ∀f, g C∞(M, R), ve λ, µ R için 1)−V→p[λf + µg] = λ−→Vp[f ] + µ−→Vp[g]
2)−V→p[f.g] = g(p)−V→p[f ] + f (p)−V→p[g]
aksiyomlarını sa˘glıyorsa bu operatöre M manifoldunun p M noktasında bir tanjant vektör denir [21].
M manifoldunun bir p M noktasındaki tanjant vektörlerinin cümlesi,
Tp(M ) = {−→Vp |−V→p: C∞(M, R) → R}
¸seklinde gösterilir.
Tanım 1.1.13. M bir diferensiyellenebilir manifold olsun.
X : M → S
p M
Tp(M )
1:1 ve üzerine olarak tanımlanan X fonksiyonuna, M manifoldu üzerinde bir vektör alanı denir. M üstünde tanımlanan vektör alanlarının cümlesi χ(M ) ile gösterilir [21].
Tanım 1.1.14. M, n−boyutlu bir manifold ve p noktasındaki tanjant uzay Tp(M ) olsun.
Tp∗(M ) = {f | f : Tp(M ) → R}
uzayına Tp(M ) nin dual uzayı veya kotanjant uzayı denir [18].
Tanım 1.1.15. M, n−boyutlu bir manifold ve M manifoldunun kotanjant uzayı T∗
p(M ) olsun.
W (p) Tp∗(M ) elemanına ko-vektör denir. Ayrıca
W : M → ∪ p MT ∗ p(M ) fonksiyonu için, π ◦ W = I : M → M olacak ¸sekilde π : ∪ p MT ∗ p(M ) → M
fonksiyonu mevcut ise W ya M üzerinde bir 1-form denir [18].
Tanım 1.1.16. M, n− boyutlu bir manifold olsun. U ⊂ M ve M üzerinde tanımlanan anti-simetrik tensör alanlarının uzayı γr(M ) olmak üzere
W : U ⊂ M →Sγr(M )
P → W (P ) : Tp(M ) × Tp(M ) × ... × Tp(M ) → R
r-lineer ve anti-simetrik W dönü¸sümüne U üzerinde r−form denir.
M üzerinde tanımlanan r−formların cümlesini ∧r(M ) ile gösterece˘giz. E˘ger r = 1 alınırsa, Tanım 1.1.15 elde edilir.
Bir P M noktasındaki lokal koordinat kom¸sulu˘gu {x1, x2, ..., xn} olsun. Böylece bir W, r−formu
Ai1...ir = W ( ∂ ∂x1 , ∂ ∂x2 , ..., ∂ ∂xr ) C∞(U, R) (1.1.1) olmak üzere, W = 1 r! X i1,i2,...,ir=1 Ai1...ir dxi1∧ ... ∧ dxir (1.1.2) veya W = X i1≤i2≤...≤ir Ai1...ir dxi1∧ ... ∧ dxir (1.1.3) olarak tanımlanır [20].
Tanım 1.1.17. i = 1, 2, ..., r için Wi ve Xi ler, sırasıyla, 1−formlar ve vektör alanları olmak üzere
Wi lerin dı¸s(wedge) çarpımı bir r−form olup
(W1∧ W2∧ ... ∧ Wr)(X1, X2, ..., Xr) = det[Wi(Xi)] (1.1.4)
¸seklinde tanımlanır [20].
Tanım 1.1.18. M, bir manifold olsun. E˘ger M nin her bir noktasındaki tanjant uzaylarda yönlendirme aynı ise M manifolduna uygun yönlendirilmi¸s manifold, aksi halde M manifolduna uygun yönlendirilmemi¸s manifold denir [21].
Üzerinde uygun bir yön seçilebilen bir M manifolduna yönlendirilebilir manifold denir. Böyle bir manifold üzerinde seçilmi¸s olan özel bir µ yönüne M manifoldu üzerinde µ yönü denir. (M, µ) ikilisine de yönlendirilmi¸s manifold denir [21].
Tanım 1.1.19. Wi ve τi (i = 1, ..., n) 1−formlar olmak üzere W = W1 ∧ W2∧ ... ∧ Wn ve
τ = τ1∧ τ2∧ ... ∧ τn n−formlarının ∧n(M ) üzerindeki iç çarpımı
olarak tanımlanır [16].
Tanım 1.1.20. M, manifoldu üzerinde tanımlı k−formların cümlesi ∧k(M ) ve (k + 1)−formların
cümlesi ∧k+1(M ) olmak üzere,
d : ∧k(M ) → ∧k+1(M ) W → dW dir. Ai1...ir = W ( ∂ ∂x1, ∂ ∂x2, ..., ∂ ∂xn) C ∞(U, R) ve i
1, ..., ir ler indisler olup
dW = 1 k! n X i1,i2,...,ik,j=1 (Ai1i2...ik)jdxj∧ dxi1∧ ... ∧ dxik ya da dW = X i1≤i2≤...≤ik n X j=1 (Ai1i2...ik)jdxj∧ dxi1∧ ... ∧ dxik
¸seklinde tanımlanan dönü¸süm, k−formların dı¸s türevi (veya dı¸s diferensiyeli) olarak adlandırılır [20].
Böylece a¸sa˘gıdaki teoremi verebiliriz:
Teorem 1.1.2. M manifoldu üzerinde tanımlı k−formların cümlesi ∧k(M ) ve (k + 1)−formların
cümlesi ∧k+1(M ) olmak üzere,
d : ∧k(M ) → ∧k+1(M )
¸seklinde tanımlı dı¸s türev w1, w2 ∧k(M ) için a¸sa˘gıdaki ¸sartları sa˘glar.
1) d(w1+ w2) = d(w1) + d(w2),
2) d(λw) = λd(w),
3) d(w1∧ w2) = dw1∧ w2+ (−1)kw1∧ dw2,
4) d2w = 0 (yani d(dw) = 0),
5) E˘ger f ∧0(M ) ise df, f in adi türevidir [20]. Tanım 1.1.21.
R : χ(En) × χ(En) × χ(En) → χ(En)
R(X, Y, Z) = DX(DYZ) − DY(DXZ) − D[X,Y ]Z
= (DXDY − DYDX− D[X,Y ])Z
= ([DX, DY] − D[X,Y ])Z
olarak tanımlanan R fonksiyonu χ(En) üzerinde 3. mertebeden bir kovaryant tensör alanıdır. Bu
kovaryant tensör alanına En in e˘grilik tensör alanı ve bunun bir p En noktasındaki de˘geri olan
R(Xp, Yp)Zp tensörüne de En in p noktasındaki e˘grilik tensörü veya kısaca En in p deki e˘grili˘gi
denir [21].
Tanım 1.1.22. M, bir manifold ve M üzerindeki vektör alanlarının uzayı χ(M ) olsun. ∀X, Y, Z, W χ(M) için
K : χ(M ) × χ(M) × χ(M) × χ(M) → C∞(M, IR) (1.1.5)
(X, Y, Z, W ) → K(X, Y, Z, W ) = hX, R (Z, W ) Y i
olarak tanımlanan 4.dereceden kovaryant tensöre M üzerinde Riemann-Christoffel e˘grilik tensörü denir. Buradaki R(Z, W )Y ifadesi e˘grilik tensörü olup,
R(Z, W )Y = ∇Z∇WY − ∇W∇ZY − ∇[Z,W ]Y
¸seklinde gösterilir. Bir p noktasındaki Riemann-Christoffel e˘grilik tensörünün de˘geri, ∀X, Y, Z, W χ(M) için,
K(P ) = hX, R (Z, W ) Y i ¸seklinde yazılır [22].
Teorem 1.1.3. Bir M manifoldunun Riemann e˘grilik tensörü a¸sa˘gıdaki ba˘gıntıları sa˘glar [22]. 1) R(X, Y )Z + R(Z, X)Y + R(Y, Z)X = 0, (1.Bianchi özde¸sli˘gi)
2) hR (Z, W ) Y, Xi = − hR (Z, W ) X, Y i , 3) hR (Z, W ) Y, Xi = − hR (W, Z) Y, Xi , 4) hR (Z, W ) Y, Xi = hR (X, Y ) W, Zi .
Tanım 1.1.23. M, n−boyutlu bir manifold, M nin p noktasındaki tanjant uzayının, 2−boyutlu bir alt uzayı ρ ve ρ yı geren birim vektörler xp ile yp, yani ρ = Sp{xp, yp} olsun. O zaman M
R(xp, yp, xp, yp) (1.1.6)
de˘gerine M nin p noktasında ki ρ düzlemine göre kesit e˘grili˘gi denir [22].
Yardımcı Teorem 1.1.1. (Cartan’ın Yardımcı Teoremi)M, n−boyutlu bir manifold olsun. M üzerinde i = 1, 2, ..., n olmak üzere wi, 1−formları verilsin. M üzerinde bu 1−formlarla lineer
ba˘gımsız olan di˘ger 1−formlar λi olsun. Bu taktirde n
X
i=1
wi∧ λi= 0
dir. Buradan 1 ≤ i, j ≤ n için aij = ajive aij C∞(M, R) olmak üzere
λi= n X j=1 aijwj yazılabilir [20].
1.2. Semi-Riemann ˙Iç Çarpım Uzayı Tanım 1.2.1. V bir reel vektör uzayı ve
h, i : V × V → R simetrik bilineer form olsun. W ⊂ V olmak üzere
h, i|W : W × W → R
negatif definit olacak ¸sekilde en büyük boyutlu W alt uzayının boyutuna h, i simetrik bilineer formun indeksi denir. Bundan sonraki çalı¸smamızda indeksi kısaca V ile gösterece˘giz [17]. Tanım 1.2.2. M, C∞-manifold olmak üzere;
h, i : χ(M) × χ(M) → C∞(M, R)
¸seklinde tanımlı simetrik, bilineer, non dejenere fonksiyona M üzerinde metrik tensör denir. Bu metrik tensörün indeksine M manifoldunun indeksi denir [17].
Tanım 1.2.3. M, C∞-manifold ve h, i de M üzerinde sabit indeksli metrik tensör olmak üzere
Tanım 1.2.4. boyM = n olmak üzere, (M, h, i) çifti bir Semi-Riemann manifold olsun. E˘ger V= 0 ise (M, h, i) çiftine bir Riemann manifoldu denir. Ayrıca n > 2 ve V = 1 ise (M, h, i) çiftine bir Lorentz manifoldu denir [17].
Tanım 1.2.5. n -boyutlu reel vektör uzayı Rn ve ∀−→X ,−→Y Rn için Riemann iç çarpımı
h, iR : R n × Rn → R (1.2.1) (−→X ,−→Y ) → D−→X ,−→YE R = n X i=1 xiyi ¸seklinde tanımlanır [21]. Semi- Riemann iç çarpımı:
Semi-Riemann iç çarpımının iki farklı tanımını verece˘giz.
Tanım 1.2.6. (Semi-Riemann ˙Iç Çarpımı)n-boyutlu reel vektör uzayı Rniçin semi-Riemann
iç çarpımı h, i1 : Rn× Rn→ R (1.2.2) (−→X ,−→Y ) → D−→X ,−→YE 1 = v X i=1 xiyi− n X j=v+1 xjyj ya da h, i2 : Rn× Rn→ R (1.2.3) (−→X ,−→Y ) → D−→X ,−→YE 2 = − v X i=1 xiyi+ n X j=v+1 xjyj ¸seklinde tanımlanır. Ayrıca βi= ⎧ ⎨ ⎩ 1 , 1 ≤ i ≤ v ise −1 , v + 1 ≤ i ≤ n ise (1.2.4) ve εi= ⎧ ⎨ ⎩ −1 , 1 ≤ i ≤ v ise 1 , v + 1 ≤ i ≤ n ise (1.2.5) olarak tanımlanır. Bunlar, (1.2.2) ile (1.2.3) e¸sitliklerinde, sırasıyla, göz önüne alınırsa,
D−→X ,−→YE 1= n X i=1 βixiyi (1.2.6) ve D−→X ,−→YE 2= n X i=1 εixiyi (1.2.7) ¸seklinde yazılabilir.
Burada tanımlanan h, i1 ve h, i2 fonksiyonları Rn de bir semi-Riemann iç çarpımı olup, bu
fonksiyonlarla birle¸sen vektör uzayına da semi-Riemann uzay denir ve Rn
v ile gösterilir.
¸
Simdi kısalı˘gın hatırı için, her iki semi-Riemann iç çarpım tanımını birle¸stirip a¸sa˘gıdaki ¸sekilde ifade edece˘giz:
E˘ger γi= ⎧ ⎨ ⎩ βi , h, i1 ise εi , h, i2 ise
alınırsa semi-Riemann iç çarpımı
D−→X ,−→YE=Xn
i=1
γixiyi (1.2.8)
¸seklinde tanımlanır.
Yardımcı Teorem 1.2.1. V, n-boyutlu bir reel vektör uzayı ve V üzerinde rankı r olan simetrik, non dejenere, 2.dereceden kovaryant tensör alanı h, i olsun. Bu durumda V nin sıralı bir bazı {e1, e2, ..., en} ve bu bazın dual bazı da {e1, e2, ..., en} ise bu iki baz arasında, h, i dönü¸sümü
yardımıyla, h, i = r X i=1 ciei⊗ ei, ci= ±1 ve r ≤ n,
e¸sitli˘gi vardır ve h, i tensör alanının matrisi; ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ c1 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 c2 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 c3 . . . 0 0 . . . 0 . . . . 0 0 0 . . . cr 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
¸seklindedir. Burada δij= ⎧ ⎨ ⎩ 1 , i = j ise 0 , i 6= j ise (1.2.9) ve Ωi= ⎧ ⎨ ⎩ 1 , 1 ≤ i ≤ v ise −1 , v + 1 ≤ j ≤ n ise ya da Ωi= ⎧ ⎨ ⎩ −1 , 1 ≤ i ≤ v ise 1 , v + 1 ≤ j ≤ n ise olmak üzere h, i tensör alanının {e1, e2, ..., en} sıralı bazı, sırası ile,
hei, eji = δij (1.2.10)
veya
hei, eji = Ωiδij (1.2.11)
yazılması durumunda h, i nın bir ortonormal bazı olarak adlandırılır. Bu durumda {e1, e2, ..., en}
sıralı bazı (1.2.10) ¸sartını sa˘glıyorsa Riemann ortonormal bazı veya (1.2.11) ¸sartını sa˘glıyorsa semi-Riemann ortonormal bazı olarak adlandırılır.
Böylece hei, eji de +1 lerin olu¸sması kadar −1 lerin de meydana gelmesi do˘gal olup, +1 lerin
sayısından −1 lerin sayısının farkına, h, i nın i¸sareti denir [23]. Tanım 1.2.7. ∀−→V Rn
v olmak üzere,
D−→V ,−→VE
i0 ise−→V ye space-like vektör, D−→V ,−→VE
h0 ise−→V ye time-like vektör, D−→
V ,−→VE= 0,−→V 6= 0, ise−→V ye light-like veya null vektör denir [17].
Tanım 1.2.8. M, bir semi-Riemann manifoldu olsun. M manifoldunun bir noktasındaki null vektörlerinin cümlesine null koni denir [17].
Tanım 1.2.9. n-boyutlu semi-Riemann uzayı Rn
v nin bütün time-like vektörlerinin cümlesi δ
C(−→u ) = {−→v δ | h−→u , −→v i h 0} olmak üzere C(−→u ) ya −→u yu ihtiva eden Rn
v nin time-konisi denir [17].
Tanım 1.2.10. n-boyutlu semi-Riemann uzayı Rvn nin iki−→X , −→Y vektörü için
D−→X ,−→YE= 0
ise bu iki vektöre semi-Riemann anlamında diktirler denir [17]. Tanım 1.2.11. n-boyutlu semi-Riemann uzayı Rn
v de bir vektör−→X ve h, i, Rnv de semi-Riemann
iç çarpımı olmak üzere,−→X vektörünün normu; ° °
°−→X°°° =r¯¯¯D−→X ,−→XE¯¯¯ ¸seklinde tanımlanır [17].
Tanım 1.2.12. ∀p M,−V→p Tp(M ) tanjant vektörü;
D−→ Vp,−V→p
E
i0 ise−V→p ye space-like tanjant vektör,
D−→V
p,−V→p
E
h0 ise−→Vp ye time-like tanjant vektör,
D−→ Vp,−V→p
E
= 0, −→Vp6= 0, ise−→Vp ye light-like veya null tanjant vektör denir [17].
Tanım 1.2.13.
n−boyutlu semi-Riemann uzayı Rn v de {∂x∂ 1 , ∂ ∂x2 , ..., ∂ ∂xn}
sistemi bir vektör alan sistemi olsun. Rn
v de tanımlanan bu n-liye do˘gal baz vektör alan sistemi
veya do˘gal baz alan sistemi denir. Bu do˘gal baz alan sistemi için
γi= ⎧ ⎨ ⎩ βi , h, i1 ise εi , h, i2 ise (1.2.12) ve δij = ⎧ ⎨ ⎩ 0 , i 6= j ise 1 , i = j ise olmak üzere, gij = γiδij = ¿ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj À (1.2.13)
e¸sitli˘gi vardır [17].
Teorem 1.2.1. n−boyutlu semi-Riemann uzayı Rn
v de−→X ,−→Y iki time-like vektör olsun. O zaman
1)¯¯¯D−→X ,−→YE¯¯¯ 1°°°−→X°°° .°°°−→Y°°° (Semi-Riemann uzayında Schwartz e¸sitsizli˘gi) dir, 2) E˘ger−→X ve −→Y vektörleri aynı time-konide ise
D−→
X ,→−YE= −°°°−→X° .°° °°°−→Y°°° chϕ
olacak ¸sekilde, bu vektörler arasında hiperbolik açı diye adlandırılan bir tek ϕ sayısı vardır [17]. Tanım 1.2.14. J : M → M inclusion dönü¸sümü olmak üzere J∗(h, i) , M üzerinde metrik tensör
ise M ye M nin semi-Riemann alt manifoldu denir [17].
Tanım 1.2.15. M , M semi-Riemann manifoldunun alt manifoldu olsun. M alt manifoldu üzerinde tanımlanan metrik tensör Riemann metri˘gi ise M alt manifolduna space-like alt manifold denir.
M alt manifoldu üzerinde tanımlanan metrik tensör semi-Riemann metri˘gi ise M alt mani-folduna time-like alt manifold denir [17].
Tanım 1.2.16. n−boyutlu semi-Riemann manifoldu M, M de M nin semi-Riemann alt manifoldu olsun. E˘ger boyM = (n − 1) ise M ye M nin semi-Riemann hiperyüzeyi denir [17].
Tanım 1.2.17. M , M nin bir semi-Riemann hiperyüzeyi olsun. M nin i¸sareti ε olsun. i) E˘ger M nin ko-indeksi 0 ise, yani her z 6= 0 normal vektör için hz, zii0 ise, ε = +1 dir. ii) E˘ger M nin ko-indeksi 1 ise, yani her z 6= 0 normal vektör için hz, zi h0 ise, ε = −1 dir [17]. Tanım 1.2.18. M semi-Riemann manifoldu üzerinde herhangi bir X vektör alanı için, X in ko-formu olarak adlandırılan bir X, 1−formu vardır ve
X(ei) = hX, eii , i = 1, 2, ..., n
¸seklinde tanımlanır [17].
Tanım 1.2.19. n−boyutlu bir semi-Riemann manifoldu M ve f C∞(M, R) olsun. Bu durumda f in diferensiyeli
df|p : Tp(M ) → R
− →
Xp → df|p(−→Xp) = −→Xp[f ]
¸seklinde tanımlanır. {x1, x2, ..., xn}, p noktasında lokal koordinat sistemi ise {dx1|p, dx2|p, ..., dxn|p}
de T∗
gij = γiδij= hdxi, dxji , 1 ≤ i, j ≤ n, (1.2.14)
ba˘gıntısı vardır.
Burada {dx1, dx2, ..., dxn} bazı {∂x∂1,∂x∂2, ...,∂x∂n} bazının dual bazı olup gij de gij matrisinin
invers matrisidir [17].
Yardımcı Teorem 1.2.2. V, n−boyutlu bir reel vektör uzayı ve V üzerinde rankı r olan simetrik, non-dejenere, 2.dereceden kovaryant tensör alanı h, i olsun. Bu durumda V nin ortonormal bir bazı {e1, e2, ..., en} ve bu bazın dual bazı da {e1, e2, ..., en} ise bu iki baz arasında, h, i dönü¸sümü
yardımıyla; h, i = r X i=1 ciei⊗ ei, ci= ±1 ve r ≤ n ve ei1∧ ... ∧ eir, ei1∧ ... ∧ eir®= c i1...ir (1.2.15) e¸sitlikleri vardır [23]. 1.3. Hodge-Yıldız Operatörü
Tanım 1.3.1. V bir reel vektör uzayı ve V nin bir bazı {v1, v2, ..., vn} olmak üzere V de seçilen
n−tane ϕi= n X j=1 aijvj, 1 ≤ i ≤ n
vektörü için bir W ∧n(V ) alterne n− formunun de˘geri,
W (ϕ1, ϕ2, ..., ϕn) = det[aij]W (v1, v2, ..., vn) (1.3.1)
dir. Bu son ifadeye göre W ∧n(V ) n− formu, V nin bazlarını iki gruba ayırır. Bunlar
W (v1, v2, ..., vn)i0 ve W (v1, v2, ..., vn)h0
bazlarıdır. E˘ger {v1, v2, ..., vn} ve {u1, u2, ..., un} iki farklı baz iseler; A = [aij] Rn matrisi bu iki
baz arasında bir lineer dönü¸sümü
ui= n
X
j=1
¸seklinde belirtir. E˘ger det Ai0 ise bu iki baz aynı gruptandır. Bu ifadenin tersi de do˘grudur. Bu kriter W nın ∧n(V ) deki seçili¸sinden ba˘gımsız olarak V nin bazlarını iki ayrık gruba ayırmak
için uygulanabilir. Bu gruplardan her birine V vektör uzayı için bir yönlendirme denir.
{v1, v2, ..., vn} bazının dahil oldu˘gu yönlendirmelerden biri [v1, v2, ..., vn] ve di˘geri de
−[v1, v2, ..., vn] ile gösterilir [21].
Tanım 1.3.2. a U ⊂ M de χ(U ) nun semi-Riemann ortonormal
bazı {∂x∂
1,
∂ ∂x2, ...,
∂
∂xn} ve bu bazın dual bazı {dx1, dx2, ..., dxn} olsun.
g = det(gij) olmak üzere
dv =p|g|dx1∧ ... ∧ dxn (1.3.2)
n−formuna M semi-Riemann manifoldunun hacim elementi denir [24].
Tanım 1.3.3. n−boyutlu semi-Riemann manifoldu M, M manifoldu üzerinde tanımlanan k−formların cümlesi ∧k(M ) ve hacim elementi de dv olsun. Böylece
∗ : ∧k(M ) → ∧n−k(M ) izomorfizmi ∀α, β ∧k(M ) için
α ∧ ∗β = hα, βi dv (1.3.3)
ba˘gıntısını sa˘glıyorsa, bu dönü¸süme Hodge-Yıldız operatörü denir [20]. Hodge-Yıldız Operatörünün Özellikleri:
1) M, bir semi-Riemann manifoldu ve bunun üzerinde tanımlanan iç çarpımda h, i olsun. E˘ger M nin ortonormal bir bazı {e1, e2, ..., en} ve bu bazın dual bazı da {e1, e2, ..., en} ise o zaman σ Sn,
σ(1)hσ(2)h...hσ(k)ve σ(k + 1)hσ(k + 2)h...hσ(n) olmak üzere
∗(eσ(1)∧ ... ∧ eσ(k)) = Cσ(1)...σ(k)sgn(σ)(eσ(k+1)∧ ... ∧ eσ(n)) (1.3.4)
dir.
2)"*" Hodge-Yıldız operatörü tanımı kulanılarak, keyfi yönlendirilmi¸s bir {e1, e2, ..., en} bazının
{e1, e2, ..., en} dual bazı ∗(ei1∧ ... ∧ eik) = Xsgn ⎛ ⎝ 1 . . . n j1 . . . jn ⎞ ⎠ (1.3.5) p |g|gi1j1...gikjk(ejk+1∧ ... ∧ ejn)
ve ∗ei= n X j=1 (−1)j−1(p|g|)gije1∧ ... ∧ bej∧ ... ∧ en (1.3.6) ¸seklinde tanımlanır. Burada ˆ silinmi¸s eleman anlamına gelir.
3) 2. özellik kullanılarak α ∧k (M ) için ∗α nın bile¸senleri, herhangi bir sıralı baz için
hesaplanabilir. α = X i1≤i2≤...≤ik αi1...ike i1 ∧ ... ∧ eik ise ∗α = X i1≤i2≤...≤ik sgn ⎛ ⎝ 1 . . . n j1 . . . jn ⎞ ⎠ (1.3.7) p |g|αi1...ikg i1j1...gikjkejk+1∧ ... ∧ ejn dir.
4) Özel olarak X ∧1(M ) için X = Pn i=1
xidxi olmak üzere ∗X ifadesi
∗X = n X i=1 (−1)i−1xi( p |g|)giidx1∧ ... ∧ cdxi∧ ... ∧ dxn (1.3.8) ¸seklindedir. 1.4. Kovaryant Türev
Tanım 1.4.1. M bir manifold ve M üzerinde bir lineer operatör ∀X, Y, Z χ(M) ve ∀f C∞(M, R)
için,
V : χ(M ) × χ(M) → χ(M) (X, Y ) → VXY
1) Vf X+gYZ = f VXZ + gVYZ
2) VXf Y = f VXY + X[f ]Y
özelliklerini sa˘glıyorsa, V ya M üzerinde bir afin konneksiyon veya lineer konneksiyon, VX e de X
vektör alanı yönünde kovaryant türev denir [21]. Tanım 1.4.2. u1, ..., un ler Rn
v de do˘gal koordinatlar olsun. E˘ger V ve W =
P Wi ∂
∂i, R
n v de
VVW =
X
V (Wi)∂ ∂i
vektör alanına da W nın V ye göre do˘gal kovaryant türevi denir [17].
Tanım 1.4.3. Bir M semi-Riemann manifoldu üzerinde konneksiyon a¸sa˘gıdaki ¸sartları sa˘glayan V : χ(M ) × χ(M) → χ(M) fonksiyonudur.
(D1) VVW, V de =(M)−lineerdir,
(D2) VVW, W da R−lineerdir,
(D3) VV(f W ) = (V f )W + f VVW, f =(M)
VVW ye V ye göre W nın kovaryant türevi denir [17].
Tanım 1.4.4. V, bir M semi-Riemann manifoldu üzerinde bir vektör alanı olsun. VV (Levi-Civita)
kovaryant türevi M üzerinde f =(M) için
VVf = V f
olacak ¸sekilde bir tek tensör türevidir. Ayrıca her W χ(M ) için VVW de Levi-Civita kovaryant
türevi adı verilir [17].
Tanım 1.4.5. x1, ...xn ler bir M semi-Riemann manifoldunun bir U kom¸sulu˘gunda koordinat
sistemi olsun. Bu koordinat sistemi için Christoffel sembolleri,
V ∂ ∂i( ∂ ∂j ) =X k Γkij ∂ ∂k (1 ≤ i, j ≤ n) olacak ¸sekilde Γk
ij reel de˘gerli fonksiyonlardır [17].
A¸sa˘gıda verilen Tanım 1.4.6. ve Tanım 1.4.7. Lorentz manifoldları için yapılan tanımlamadan [25] faydalanılarak semi-Riemann manifoldları için ifade edildi.
Tanım 1.4.6. M , n−boyutlu bir semi- Riemann manifoldu, M nin bir açık cümlesi U ve U nun bir ortonormal bazı {e1, e2, ..., en} olsun. Bu durumda Z bir vektör alanı olmak üzere bir Wi,
1−formu
Wi(Z) = hei, Zi (1.4.1)
¸seklinde tanımlanır. Ayrıca konneksiyon katsayıları Wi
j olan 1−formlar ise
Wji(ek) = ei, Vekej ® , 1 ≤ i, j, k ≤ n (1.4.2) olarak tanımlanır.
Tanım 1.4.7. M, bir semi-Riemann manifoldu ve M üzerinde vektör alanlarının uzayı χ(M ) olmak üzere
F : χ(M ) × χ(M) × ... × χ(M) → χ(M)
bir r−lineer dönü¸süm olsun. a U ⊂ M noktasında v TaM ile temsil edilen F in kovaryant türevi
bir (r + 1)−lineer dönü¸sümdür. Yani i = 1, 2, ..., r olmak üzere xi χ(M ) için
V F : TaM × χ(M) × ... × χ(M) → TaM (v, x1, x2, ..., xr) → (V F )(v, x1, x2, ..., xr) = (VVF )(x1, x2, ..., xr) dir. Burada (VVF )(x1, x2, ..., xr) = r X i=1 F (x1, ..., VVxi, ..., xr) (1.4.3) −VVF (x1, ..., xr) ¸seklinde tanımlanır.
Lokal koordinatlarda a M noktasında bir kom¸suluk U ⊂ M ve a U noktasında bir semi-Riemann ortonormal bazı {e1, e2, ..., en} olsun. Böylece F, r−lineer dönü¸süm oldu˘gundan a U
da F yi, {e1, e2, ..., en} bazının bir lineer kombinasyonu olarak
F (v1, v2..., vr) = n X k,i1,...,ir=1 Fik1...irvi1 1...vrirek tanımlayalım. Burada vj= n X i=1 vij j eij j = 1, 2, ..., r dir. Ayrıca v = n X i=1 viei
olmak üzere V F, (r + 1)− lineer dönü¸sümü V F (v1, v2..., vr, v) = n X i,k,i1,...,ir=1 ViFik1...irv i1 1...vrirviek
dFik1...ir− n X i,s=1 γiFi1...is−1iis+1...irw i is= n X i=1 ViFik1...irwi (1.4.4) ¸seklinde tanımlanır.
Teorem 1.4.1. (Semi-Riemann Geometrinin Temel Teoremi) M, bir n−boyutlu manifold olsun. M üzerinde
a) Torsiyon tensörü sıfırdır,
b) Bir e˘gri boyunca paralel öteleme Tp(M ) tanjant uzayında iç çarpımı korur.
Bu özelliklere sahip bir ve yalnız bir ∇ afin konneksiyon vardır [20]. Sonuç 1.4.1. D, bir Riemann konneksiyonu ve χ(Rn
v) de semi-Riemann uzayında vektör alanları
cümlesi olmak üzere, ∀X, Y, Z, W ∈ χ(Rn
v) vektör alanları için,
2 hDVW, Xi = V hW, Xi + W hX, V i − X hV, W i − hV, [W, X]i (1.4.5)
+ hW, [X, V ]i + hX, [V, W ]i dır. Bu formül KOZSUL E¸S˙ITL˙I ˘G˙I olarak adlandırılır [22].
Sonuç 1.4.2. M, bir semi-Riemann manifoldu ve M nin koordinat kom¸sulu˘gunda bir koordinat sistemi de {x1, x2, ..., xn} olsun. O zaman
Γkij =1 2g km {∂(g∂xjm) i +∂(gim) ∂xj − ∂(gij) ∂xm } (1.4.6) dir. ˙Ispat. (1.4.5) de V = ∂ ∂xi, W = ∂ ∂xj, X = ∂
∂xm alınır, (1.2.10) ve Tanım 1.4.5 kullanılırsa, (1.4.6)
elde edilir.
Tanım 1.4.8. M, semi-Riemann manifoldunun bir açık cümlesi U ve w1, w2, ..., wn ler U üzerinde 1−formlar olsun. Ayrıca wij ler konneksiyon katsayıları olmak üzere;
1. E. Cartan Yapı Denklemi;
dwi= n X j=1 γiwij∧ wj, wij+ w j i = 0, (1.4.7)
ve 2. E. Cartan Yapı Denklemi;
dwji = n X k=1 γkwik∧ wkj +1 2 n X k,l=1 γkγlRijklwk∧ wl (1.4.8)
¸seklinde tanımlanır. Burada Rijkl Riemann-Christoffel e˘grilik tensörünün bile¸senleridir [25].
Tanım 1.4.9. n−boyutlu bir semi-Riemann manifoldu M ve R de M nin Riemann e˘grilik tensörü olsun. Tp(M ) nin semi-Riemann ortonormal bir bazı {e1, e2, ..., en} olmak üzere;
Ric : Tp(M ) × Tp(M ) → IR (U, V ) → Ric(U, V ) (1.4.9) öyle ki, Ric(U, V ) = n X i=1 γihR(ei, V )U, eii (1.4.10)
¸seklinde tanımlı Ric e˘grilik tensör alanına, Ricci e˘grilik tensör alanı ve Ric(U, V ) nin p M nok-tasındaki de˘gerine de M nin Ricci e˘grili˘gi denir [17].
E˘ger (1.4.10) e¸sitli˘ginde
U = n X i=1 ui ∂ ∂xi , V = n X j=1 vj ∂ ∂xj χ(M ) olarak alınır ve Rij = n X k=1 Rkikj (1.4.11)
¸seklinde tanımlanırsa, bu durumda
Ric(U, V ) = n X i,j=1 Rijuivj (1.4.12) yazılabilir.
Ayrıca Ricci e˘grili˘gi a¸sa˘gıdaki özellikleri sa˘glar. 1) Ricci e˘grili˘gi simetriktir. Yani
Ric(U, V ) = Ric(V, U ) (1.4.13)
dir. 2)
Ric(U + V, U + V ) = Ric(U, U ) + Ric(V, V ) + 2Ric(U, V ).
Teorem 1.4.2. M, bir semi-Riemann manifoldu ve M nin bir açık alt cümlesi U olsun. U ⊂ M üzerinde 1−formlar w1, w2, ..., wn ve herhangi bir differensiyellenebilir fonksiyon f ise
fijk− fikj = n
X
l=1
γiγjRkjilfl (1.4.14)
dir. Burada i, j, k = 1, ..., n dir. ˙Ispat. f ∈ C∞(M, R), w
i∈ χ∗(M ) olmak üzere f in diferensiyeli
df =
n
X
i=1
fiwi
¸seklinde yazılabilir. Bu e¸sitli˘gin dı¸s türevi alınırsa,
dfi∧ wi− n
X
j=1
fjdwj= 0
olur. Burada (1.4.8) e¸sitli˘gi göz önüne alınır ve gerekli i¸slemler yapılırsa,
n X i=1 ⎡ ⎣dfi− n X j=1 γifjdwji ⎤ ⎦ ∧ wi= 0
elde edilir. Ayrıca Yardımcı Teorem 1.1.1 den M nin bir açık alt cümlesi olan U üzerinde fij
fonksiyonlarının varlı˘gını garanti eder. Bu durumda fij= fji alınabilece˘ginden yukarıdaki e¸sitlik,
dfi− n X j=1 γifjdwji = n X j=1 fijwj (1.4.15)
olur. Bu son e¸sitli˘gin tekrar dı¸s türevi alınırsa
n X j=1 (dfij− n X k=1 γifkjdwki − n X k=1 γifikdwkj) ∧ wj (1.4.16) = 1 2 n X l,k,j=1 γiγlRklijwk∧ wl
bulunur. Yine Yardımcı Teorem 1.1.1 den M nin bir açık alt cümlesi olan U üzerinde fijk
fonksiy-onlarının varlı˘gını garanti edece˘ginden,
dfij− n X k=1 γifkjwki − n X k=1 γifikwkj = n X k=1 fijkwk (1.4.17)
elde edilir. Di˘ger taraftan,
fijk= fjik (1.4.18)
fijk− fikj = n
X
l=1
γiγjRkjilfl
bulunur. Bu da teoremin ispatını tamamlar.
Tanım 1.4.13. M, bir semi-Riemann manifoldu ve M nin bir semi-Riemann alt manifolduda M olsun. M ve M deki konneksiyonlar, sırasıyla, 5 ve 5 olmak üzere Genelle¸stirilmi¸s Gauss denklemi,
5XY = 5XY + II(X, Y ) (1.4.19)
¸seklinde tanımlanır [17].
1.5. Non dejenere Space-like ve Time-like Sınır
Tanım 1.5.1. M, n−boyutlu bir semi-Riemann manifoldu ve N bir (v−1)−indeksli semi-Riemann alt manifoldu olsun.
τ : N → M
izometrik immersiyonunu göz önüne alalım. Bu izometrik immersiyon ile N nin bir U koordinat kom¸sulu˘gundaki lokal semi-Riemann ortonormal bazı {e1, e2, ..., en−1} ve N nin timlike dı¸s birim
normali en, M nin bir lokal semi-Riemann ortonormal {e1, e2, ..., en} bazına dönü¸sür. Ayrıca
{e1, e2, ..., en} lokal semi-Riemann ortonormal bazının dual bazı olan {w1, w2, ..., wn} 1−formları
bu dönü¸süm altında N nin
θi= τ∗(wi), 1 ≤ i ≤ n, (1.5.1)
dual 1−formlarına, wij, 1 ≤ i, j ≤ n, konneksiyon katsayıları da N nin
θij = τ∗(wji), 1 ≤ i, j ≤ n, (1.5.2) dual konneksiyon katsayılarına dönü¸sür. Yani wi, 1 ≤ i ≤ n, 1−formları τ dönü¸sümü ile
θn= 0 (1.5.3)
olmak üzere, N üzerinde θ1, θ2, ..., θn−1 1−formlarına kar¸sılık getirilir. Bu 1−formlara kısaca
ko-çatı denir.
Di˘ger taraftan (1.5.3) e¸sitli˘ginde dı¸s türevi alınırsa dθn = 0 olur. Ayrıca, N nin ikinci temel
θni = − n−1 X j=1 IIijθj (1.5.4) ve dθi= n−1 X j=1 βjθij∧ θj , θij= −θ j i (1.5.5) olarak tanımlanır [26].
Tanım 1.5.2. M ve M , sırasıyla, n−boyutlu ve (n − 1)−boyutlu semi-Riemann manifoldu olsun.
τ : M → M
izometrik immersiyonunu göz önüne alalım. Bu izometrik immersiyon ile M nin bir U koordinat
kom¸sulu˘gundaki lokal semi-Riemann ortonormal bazı
{e1, e2, ..., en−1} ve M nin space-like dı¸s birim normali en, M nin bir lokal semi-Riemann
ortonor-mal {e1, e2, ..., en} bazına dönü¸sür. Ayrıca {e1, e2, ..., en} lokal semi-Riemann ortonormal bazının
dual bazı olan {w1, w2, ..., wn} 1−formları bu dönü¸süm altında M nin
θi= τ∗(wi), 1 ≤ i ≤ n, (1.5.6)
dual 1−formlarına, wi
j, 1 ≤ i, j ≤ n, konneksiyon katsayıları da M nin
θij = τ∗(wji), 1 ≤ i, j ≤ n, (1.5.7) dual konneksiyon katsayılarına dönü¸sür. Yani wi, 1 ≤ i ≤ n, 1−formları τ dönü¸sümü ile
θn= 0 (1.5.8)
olmak üzere M üzerinde θ1, θ2, ..., θn−1 1−formlarına kar¸sılık getirilir. Bu
1−formlara semi-Riemann anlamında ko-çatı denir.
Di˘ger taraftan (1.5.8) e¸sitli˘ginde dı¸s türevi alınırsa dθn = 0 olur. Ayrıca, M nin ikinci temel
formunun bile¸senleri IIij= IIji olmak üzere, bu 1−formlar
θni = − n X j=1 IIijθj (1.5.9) ve dθi= nX−1 j=1 εjθij∧ θj θij = −θ j i (1.5.10)
olarak tanımlanır. Tanım 1.5.3. Rn
v, n−boyutlu semi-Riemann uzayı olsun. Rvnde yarı-uzay diye öyle bir Hk⊂ Rnv
alt cümlesine denir ki
Hk = {x Rnv | xk > 0} (1.5.11)
dir [23].
Tanım 1.5.4. M, Rn
v de bir k−boyutlu alt manifold olsun. h, M nin U ve V açıkları üzerinde bir
diferensiyellenebilir dönü¸süm olmak üzere
h(U ∩ M) = V ∩ (Hk× {0}) (1.5.12)
= {y V | yk≥ 0 ve yk+1= ... = yn= 0}
e¸sitli˘gi M de sa˘glanırsa, M ye sınırlıdır denir.
M nin bütün x noktaları için bu e¸sitli˘gin sa˘glanamayaca˘gı açıktır. Ancak bazı x M noktaları için bu sa˘glanabilir. Bu e¸sitli˘gin sa˘glanabilece˘gi x M noktalarının cümlesine M nin sınırı denir ve ∂M ile gösterilir. ∂M nin boyutu (k − 1) dir.
¸
Simdi, semi-Riemann manifoldu ve onun sınırı için Tanım 1.5.1 ve Tanım 1.5.2 deki kavramları ele almadan, öncelikle bu manifoldların sınırları için özel olan durumları inceleyelim:
Semi-Riemann manifoldunun sınırı bazı noktalarda dejenere olup, bu noktalar da dı¸s birim normaller iyi tanımlanamayaca˘gı için gerek Divergens ve gerekse Stokes teoremini ispatlamak zor-dur. Çünkü bu noktalarda hacim elementi iyi tanımlanamaz. Öyleyse bu teoremleri semi-Riemann manifoldları için ispatlamanın bir yöntemi bunlar için regüler bir sınır tanımlamaktır.
Duggal [9], 1992 yılında yayınlanan "Affine Conformal Vector Fields in Semi-Riemann Man-ifolds" adlı makalesinde semi-Riemann manifoldları için regüler sınır tanımladı. Bu regüler sınır üzerinde ifade etti˘gi Divergens ve Stokes teoremlerinin Riemann manifoldları için bilinenlerle aynı oldu˘gunu gördü.
˙Ikinci bir yöntem ise Ünal [27] tarafından tanımlanan non-dejenere sınır kavramının kullanıl-masıdır. Burada ki non dejenere sınır ile dejenere noktalarda ölçümün sıfır olması kastedilmektedir. Bu yöntemle Divergens teoreminin daha genel bir ispatı yapılmı¸stır.
Bu iki çalı¸smanın tek ortak noktası ise semi-Riemann manifoldları üzerinde bazı kısıtlamalar sonucunda bu manifoldların sınırlarının var olmasıdır.
Bekta¸s [25] ise Lorentz manifoldları için iki sınır tanımı verdi. Burada sınır kavramı mani-fold üzerinde alınan iç çarpıma ba˘glıdır. Bu bakımdan Lorentz iç çarpımının iki ¸sekli bir arada tanımlanmı¸stır.
Biz ise, bu çalı¸smamızda yukarıda belirtilen çalı¸smalar do˘grultusunda, a¸sa˘gıda semi-Riemann manifoldları için iki sınır tanımı verdik.
Tanım 1.5.5. M, n−boyutlu bir ∂M sınırlı semi-Riemann manifoldu olsun. Dı¸s birim normali time-like ve indeksi v −1 olan ∂M nin bir açık alt manifolduna M nin non-dejenere space-like sınırı denir ve ∂M+ ile gösterilir.
Tanım 1.5.6. M, n−boyutlu bir ∂M sınırlı semi-Riemann manifoldu olsun. Dı¸s birim normali space-like ve indeksi v olan ∂M nin bir açık alt manifolduna M nin non-dejenere time-like sınırı denir ve ∂M− ile gösterilir.
Çalı¸smanın bundan sonraki kısmında non-dejenere sınırlar olarak tanımlanan ∂M+ ve ∂M−
alınacaktır. E˘ger M semi-Riemann manifoldu ∂M+ sınırına sahip ise üzerindeki iç çarpım 1.
tipten iç çarpımdır. ∂M− sınırına sahip ise üzerindeki iç çarpım 2. tipten iç çarpımdır. ¸Simdi bu non-dejenere sınırlar üzerinde ki hacim elementlerini tanımlayalım.
Tanım 1.5.7. n−boyutlu semi-Riemann manifoldu üzerinde hacim elementi C∞ sınıfından bir
n−formdur öyleki M üzerindeki her çatı için w(e1, ..., en) = ±1 dir [17].
Tanım 1.5.8. M, n−boyutlu non-dejenere space-like sınırlı ve dı¸s birim normali time-like olan bir semi-Riemann manifoldu olsun. Ayrıca Ta∂M+nın bir ortonormal bazı {u1, ..., un−1} ve ∂M+
nin dı¸s time-like birim normali de D = (n1, ..., nn) olsun. O zaman
w∂M+(u1, u2, ..., un−1) = det ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ u1 . . . un−1 D ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = hu1∧ u2∧ ... ∧ un−1, Di1 (1.5.13)
¸seklinde tanımlanan e¸sitli˘ge ∂M+ nın hacim elementi denir.
Tanım 1.5.9. M, n−boyutlu non-dejenere time-like sınırlı ve dı¸s birim normali space-like olan bir semi-Riemann manifoldu olsun. Ayrıca Ta∂M−nın bir ortonormal bazı {u1, ..., un−1} ve ∂M−
w∂M−(u1, u2, ..., un−1) = det ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ u1 . . . un−1 D ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = hu1∧ u2∧ ... ∧ un−1, Di2 (1.5.14)
olarak tanımlanan e¸sitli˘ge ∂M− nin hacim elementi denir.
1−boyutlu hacim elementi uzunluk, 2−boyutlu hacim elementi ise alan elementi olarak ad-landırılır.
¸
Simdi hacim elementi ile ilgili a¸sa˘gıdaki teoremi verelim.
Teorem 1.5.1. M, n−boyutlu ve non-dejenere sınırı ∂M0 (∂M0 = ∂M+∪ ∂M−) olan
semi-Riemann manifoldu olsun. Ayrıca M manifoldunun dı¸s birim normali D = (n1, ..., nn) ve
semi-Riemann koordinat sistemi de {x1, ..., xn} olsun.
i) ∂M+space-like sınır ve D dı¸s birim normali time-like iken ∂M+ nın w∂M+ hacim elementi:
w∂M+ = n X j=1 (−1)j−1njdx1∧ ... ∧ ddxj∧ ... ∧ dxn (1.5.15) veya −βj.nj.w∂M+= (−1) j−1dx 1∧ ... ∧ ddxj∧ ... ∧ dxn, 1 ≤ j ≤ n (1.5.16)
dir. Burada βj ile (1.2.4) e¸sitli˘gi ifade edilmi¸stir.
ii) ∂M− time-like sınır ve D dı¸s birim normali space-like iken ∂M− nin w∂M− hacim elementi:
w∂M− = n X j=1 (−1)j−1njdx1∧ ... ∧ ddxj∧ ... ∧ dxn (1.5.17) veya εj.nj.w∂M−= (−1) j−1dx 1∧ ... ∧ ddxj∧ ... ∧ dxn, 1 ≤ j ≤ n (1.5.18)
dir. Burada εj ile (1.2.5) e¸sitli˘gi ifade edilmi¸stir.
˙Ispat. boy ∧n−1 (T∗ x(M )) = ⎛ ⎝ n n − 1 ⎞
⎠ = n oldu˘gundan, u1∧ u2∧ ... ∧ un−1, Tx(M ) nin bir
elemanıdır [28]. E˘ger Tx(∂M+) deki Riemann ortonormal baz sistemi {u1, ..., un−1} ise o zaman
w∂M+(u1, u2, ..., un−1) = det ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ u1 . . . un−1 D ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u11 u12 . . . u1n u21 u22 . . . u2n . . . . . . . . . un−11 un−12 . . . un−1n n1 n2 . . . nn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = n1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u12 u13 . . . u1n u22 u23 . . . u2n . . . . . . . . . un−12 un−13 . . . un−1n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ +(−1)n2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u11 u13 . . . u1n u21 u23 . . . u2n . . . . . . . . . un−11 un−13 . . . un−1n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (1.5.19) +... + (−1)n−1nn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u11 u12 . . . u1n−1 u21 u22 . . . u2n−1 . . . . . . . . . un−11 un−12 . . . un−1n−1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ bulunur. Tanım 1.1.10 dan
dxi1∧ ... ∧ ddxij∧ ... ∧ dxin= (1 + ... + 1)! 1!.1!...1! A(dxi1⊗ ... ⊗ ddxij ⊗ ... ⊗ dxin) = n! 1!.1!...1!. 1 n! X σ Sn−1
S(σ)(dxσ(i1)⊗ ... ⊗ \dxσ(ij)⊗ ... ⊗ dxσ(in))
σ = ⎛ ⎝ 1 2 . . . n i1 i2 . . . in ⎞ ⎠ dir. Bu son e¸sitlik ∀ui Tx(∂M+), 1 ≤ i ≤ n − 1, için
(dxi1∧ ... ∧ ddxij∧ ... ∧ dxin)(u1, ..., un−1) = = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dxi1(u1) dxi1(u2) . . . dxi1(un−1) . . . . . . . . . dxij(u1) dxij(u2) . . . dxij(un−1) . . . . . . . . . dxin(u1) dxin(u2) . . . dxin(un−1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ olur. Burada ij = 1 ve dxip= dxp olması göz önüne alınırsa,
(ddx1∧ dx2∧ ... ∧ dxn)(u1, ..., un−1) = = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dx2(u1) dx2(u2) . . . dx2(un−1) dx3(u1) dx3(u2) . . . dx3(un−1) . . . . . . dxn(u1) dxn(u2) . . . dxn(un−1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ bulunur. Bu e¸sitlikte dxip(uq) yerine uqp yazılırsa,
= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u12 u22 . . . un−12 u13 u23 . . . un−13 . . . . . . . . . u1n u2n . . . un−1n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ olur. Bu ifadenin transpozu alınırsa,
= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u12 u13 . . . u1n u22 u23 . . . u2n . . . . . . . . . un−12 un−13 . . . un−1n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (1.5.20)
elde edilir. Benzer dü¸sünceyle devam edilirse, o zaman ij= n için
(dx1∧ dx2∧ ... ∧ ddxn)(u1, ..., un−1) = = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u11 u12 . . . u1n−1 u21 u22 . . . u2n−1 . . . . . . . . . un−11 un−12 . . . un−1n−1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (1.5.21)
bulunur. (1.5.20) ve (1.5.21) e¸sitlikleri (1.5.19) da göz önüne alınırsa,
w∂M+(u1, u2, ..., un−1) = n1(ddx1∧ dx2∧ ... ∧ dxn)(u1, ..., un−1) −n2(dx1∧ ddx2∧ ... ∧ dxn)(u1, ..., un−1) . . . +(−1)n−1nn(dx1∧ dx2∧ ... ∧ ddxn)(u1, ..., un−1)
olur. Bu ifade ∀ui Tx(∂M+) için do˘gru oldu˘gundan
w∂M+ = n X j=1 (−1)j−1njdx1∧ ... ∧ ddxj∧ ... ∧ dxn elde edilir. ∀z Tx(M ) ve λD = u1∧ u2∧ ... ∧ un−1, λ IR için hz, Di1. hu1∧ u2∧ ... ∧ un−1, Di1 = hz, Di1hλD, Di1 = − hz, Di1.λ = − hz, λ.Di1
yazılır. Burada (1.5.13) ve λD = u1∧ u2∧ ... ∧ un−1 göz önünde tutulursa,
hz, Di1.w∂M+(u1, u2, ..., un−1) = − hu1∧ u2∧ ... ∧ un−1, zi1 (1.5.22)
olur. E˘ger z = ∂x∂
1 = (1, 0, ..., 0) alınırsa, n1.w∂M+(u1, u2, ..., un−1) = − ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 . . . 0 u11 u12 . . . u1n . . . . . . un−11 un−12 . . . un−1n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −(dx2∧ ... ∧ dxn).(u1, u2, ..., un−1)
elde edilir. Bu ifade ∀ui Tx(∂M+) için do˘gru oldu˘gundan
−n1.w∂M+= (dx2∧ ... ∧ dxn)
bulunur. E˘ger z nin, sırasıyla,
z = ∂ ∂x2 = (0, 1, ..., 0) . . . z = ∂ ∂xn = (0, 0, ..., 1)
de˘gerleri (1.5.22) de göz önüne alınıp, gerekli i¸slemler yapılırsa, 1 ≤ j ≤ n için
−βj.nj.w∂M+= (−1)
j−1dx
1∧ ... ∧ ddxj∧ ... ∧ dxn
elde edilir.
ii) i) ¸sıkkının ispatına benzer ¸sekilde yapılır. Bu da teoremin ispatını tamamlar.
Bu teorem ispatlanırken Kosif ve Hacısaliho˘glu [28] makalesinin ve Bekta¸s [25] tezinin ispat yöntemleri kullanıldı.
¸
Simdi bir semi-Riemann manifoldu ve onun non-dejenere sınırı üzerinde bulunan fonksiyonunun kovaryant türevleri arasındaki ba˘gıntıyı verelim.
Bu ba˘gıntı tanımlanırken Bekta¸s [25] de, Lorentz manifoldları için yapılan tanımlama gözönünde tutuldu.
Tanım 1.5.10. (∂M+ ileM üzerindeki bir fonksiyonun kovaryant türevleri arasında ki
ba˘gıntı):
M, ∂M+non-dejenere space-like sınırlı bir semi-Riemann manifoldu olsun. {e1, ..., en−1}, ∂M+
nın lokal semi-Riemann ortonormal çatısı ve en de ∂M+ nın dı¸s time-like birim normali olsun.
Böylece {e1, ..., en}, M nin lokal semi-Riemann ortonormal çatısı olur. {w1, ..., wn} bu lokal
semi-Riemann ortonormal çatının dual ko-çatısı ve f, M üzerindeki bir diferensiyellenebilir fonksiyon olsun.
¸
Simdi Tanım 1.5.1 de N yerine ∂M+alıp f fonksiyonunun durumunu inceleyelim. Bu durumda
∂M+ nın bir noktasında ki fi, fij, fniyi hesaplayalım. Bunun için;
τ : ∂M+→ M
inclusion dönü¸sümü olmak üzere,
z = τ∗(f ) alalım. Buradan dz = τ∗(df ) = n−1 X i=1 fi|∂M+θi (1.5.23) yazılır. Burada zi= fi|∂M+ (1.5.24) denirse, dz = n−1 X i=1 fiθi (1.5.25)
n−1 X j=1 zijθj = dzi− nX−1 j=1 βjzjθji = τ∗(dfi− n−1 X j=1 βjfjwij) = τ∗(dfi− n X j=1 βjfjwij− fnwin) = τ∗(dfi− n X j=1 βjfjwij) − fnτ∗(wni)
dir. Burada fn yerine u alınır (1.4.17) ve (1.5.2) e¸sitlikleri kullanılırsa,
= τ∗(
n
X
j=1
fijwj) − uθni (1.5.26)
elde edilir. Bu son e¸sitlikte (1.5.1) ve (1.5.4) e¸sitlikleri göz önüne alınırsa,
nX−1 j=1 zijθj = nX−1 j=1 fij |∂M+θj+ u nX−1 j=1 IIij |∂M+θj ya da fij|∂M+= zij− uIIij (1.5.27)
bulunur. ¸Simdi de fni yi hesaplamak için (1.5.23) e¸sitli˘gini göz önüne alalım. Buna göre,
n−1 X i=1 fni | ∂M+θi= τ∗( n X i=1 fniwi) = τ∗(dfn− n X i=1 βifiwni) = τ∗(dfn) − τ∗( n X i=1 βifiwin) = du− nX−1 i=1 ziτ∗(wni) = du− nX−1 i=1 ziθin, θ i n = − θ n i = du + nX−1 i=1 ziθni
nX−1 i=1 fni|∂M+ θi= du − n−1 X i,j=1 βiziIIijθj ya da fni|∂M+= ui− nX−1 j=1 βjzjIIij (1.5.28) bulunur.
Böylece ∂M+ non-dejenere space-like sınırlı semi-Riemann manifoldları için fi, fij, fni
ko-varyant türevleri elde edildi. ¸
Simdi, non-dejenere time-like sınırlı semi-Riemann manifoldları için bu türevleri hesaplayalım. Tanım 1.5.11. (∂M− ileM üzerindeki bir fonksiyonun kovaryant türevleri arasında ki ba˘gıntı):
M, ∂M− non-dejenere time-like sınırlı bir semi-Riemann manifoldu olsun. {e1, ..., en−1}, ∂M−
nin lokal semi-Riemann ortonormal çatısı ve en de ∂M− nin dı¸s space-like birim normali olsun.
Böylece {e1, ..., en}, M nin lokal semi-Riemann ortonormal çatısı olur. {w1, ..., wn} bu lokal
semi-Riemann ortonormal dual çatının ko-çatısı ve f, M üzerindeki bir diferensiyellenebilir fonksiyon olsun.
¸
Simdi Tanım 1.5.2 de M yerine ∂M−alıp f fonksiyonunun durumunu inceleyelim. Bu durumda ∂M− nin bir noktasında ki fi, fij, fniyi hesaplayalım. Bunun için;
τ : ∂M−→ M inclusion dönü¸sümü olmak üzere,
z = τ∗(f ) alalım. Buradan dz = τ∗(df ) = n−1 X i=1 fi|∂M−θi (1.5.29) yazılır. Burada zi= fi|∂M− (1.5.30) denirse, dz = n−1 X i=1 fiθi (1.5.31)
olur. (1.5.31) den dı¸s türev alınırsa, n−1 X j=1 zijθj = dzi− nX−1 j=1 εjzjθji = τ∗(dfi− nX−1 j=1 εjfjwij) = τ∗(dfi− n X j=1 εjfjwij+ fnwin) = τ∗(dfi− n X j=1 εjfjwij) + fnτ∗(wni)
dir. Burada fn yerine u alınır (1.4.17), (1.5.6) ve (1.5.7) e¸sitlikleri göz önüne alınırsa,
= nX−1 j=1 fij |∂M− θj+ uθ n i ve (1.5.9) e¸sitli˘gi kullanılırsa, = nX−1 j=1 fij |∂M− θj− u n−1 X j=1 IIijθj veya fij |∂M−= zij+ uIIij (1.5.32)
bulunur. ¸Simdi de fni yi hesaplamak için (1.5.29) e¸sitli˘gini göz önüne alalım. Buna göre, nX−1 i=1 fni | ∂M−θi= τ∗( n X i=1 fniwi) = τ∗(dfn− n X i=1 εifiwin) = τ∗(dfn) − τ∗( n X i=1 εifiwin) = du + nX−1 i=1 εiziθni
olur. Bu son ifade de (1.5.9) kullanılırsa,
= du − nX−1 i,j=1 εiziIIijθj ya da fni|∂M−= ui− nX−1 j=1 εjzjIIij (1.5.33) bulunur.
Tanım 1.5.12. Non-dejenere ∂M+ space-like sınırının U ve V gibi iki vektör alanının ikinci temel
formu,
II(U, V ) = h5Uen, V i1 (1.5.34)
dir.
Non-dejenere ∂M− time-like sınırının U ve V gibi iki vektör alanının ikinci temel formu da
II(U, V ) = h5Uen, V i2 (1.5.35)
dir.
Burada en, sırasıyla, ∂M+nın time-like, ∂M− nin space-like dı¸s birim normalidir.
E˘ger U = ei ve V = ej alınırsa (1.5.34) ve (1.5.35), sırasıyla,
IIij= h5eien, eji1 (1.5.36)
ve
IIij= h5eien, eji2 (1.5.37)
¸seklinde gösterilir.
Tanım 1.5.13. M, bir semi-Riemann manifoldu ve dv de M nin hacim elementi olsun. O zaman
vol(M ) = Z
M
dv (1.5.38)
2. LAPLACE OPERATÖRÜ
Bu bölümde; semi-Riemann manifoldları üzerinde tanımlı Divergens, Gradient ve Laplace operatörlerinin tanımı verildi. Ayrıca bu çalı¸smanın orjinal kısımlarından biri olan bu bölümde Stokes, Divergens teoremleri ve Green formülü, semi-Riemann manifoldları için ispatlandı. Bilindi˘gi gibi klasik anlamda bu teoremler diferensiyel formlarla açıklanabilir. Diferensiyel formların da fizik, mühendislik ve matematikte uygulama alanları çok fazladır. Dolayısıyla bu teoremler bu dallarda fazla uygulama alanına sahiptir. Böylece bu teoremlerin semi-Riemann uzayında ispatlanmasının, fizik ve mühendislik sahalarında yeni uygulama alanları ortaya çıkaraca˘gına inanmaktayız. 2.1. Bazı Diferensiyel Operatörler
Tanım 2.1.1. (Divergens Fonksiyonu) M, semi-Riemann manifoldunun bir lokal koordinat sistemi {x1, x2, ..., xn} olsun. div : χ(M ) → C∞(M, R) x → div(x) dönü¸sümünde X = n X i=1 ai ∂ ∂xi alınırsa, div(X) = n X i=1 ∂ai ∂xi (2.1.1) ya da X in ko-formu X olmak üzere,
(divX)dv = d ∗ X (2.1.2)
¸seklinde tanımlı div fonksiyonuna, M de {x1, x2, ..., xn} koordinat sistemine göre X vektör alanının
divergens fonksiyonu denir [23].
Di˘ger taraftan modern diferensiyel geometride bir vektör alanının divergens fonksiyonu a¸sa˘ gı-daki ¸sekilde tanımlanır.
Tanım 2.1.2. M, semi-Riemann manifoldu üzerinde C∞-sınıfından bir vektör alanı X olsun. X
in divergens fonksiyonu divX = p1 |g| n X i=1 ∂ ∂xi (p|g|ai) (2.1.3) ¸seklinde tanımlanır [20].
Tanım 2.1.3. P bir Riemann manifoldu, P üzerindeki vektör alanlarının uzayı χ(P ) ve C∞ -sınıfından fonksiyonların cümlesi C∞(P, R) olmak üzere;
Grad : C∞(P, R) → χ(P ) f → Gradf = n X i=1 ∂f ∂xi ∂ ∂xi (2.1.4) olarak tanımlanan fonksiyona f fonksiyonunun gradienti denir [18].
Tanım 2.1.4. M bir semi-Riemann manifoldu, M üzerindeki vektör alanlarının uzayı χ(M ) ve C∞-sınıfından fonksiyonların cümlesi C∞(M, R) olmak üzere;
grad : C∞(M, R) → χ(M) f → gradf = n X i,j=1 gij ∂f ∂xi ∂ ∂xj (2.1.5)
¸seklinde tanımlanan fonksiyona, f fonksiyonunun gradienti denir [17]. (2.1.5) e¸sitli˘ginde, i = j için (1.2.11) göz önüne alınırsa,
gradf = n X i=1 γi∂f ∂xi ∂ ∂xi (2.1.6) bulunur.
Lorentz manifoldları için ispatlanmı¸s olan a¸sa˘gıdaki teorem benzer ¸sekilde semi-Riemann man-ifoldları için ifade ve ispat edildi.
Teorem 2.1.1. M bir semi-Riemann manifoldu olmak üzere, ∀f, h C∞(M, R) için a¸sa˘gıdaki
ifadeler geçerlidir. 1) kgradfk2= ¯ ¯ ¯ ¯ n P i=1 γif2 i ¯ ¯ ¯ ¯ 2) hgradf, gradhi = n P i=1 γifihi (2.1.7)
3) grad(f.h) = f.grad(h) + h.grad(f ) ˙Ispat 1) (2.1.6) e¸sitli˘ginde ∂f
∂xi yerine fi alınıp Tanım 1.2.11 de göz önünde bulundurulursa,
kgradfk2 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ * n X i=1 γifi ∂ ∂xi , n X i=1 γifi ∂ ∂xi +¯¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n X i=1 γ2ifi2 ¿ ∂ ∂xi , ∂ ∂xi À¯¯ ¯ ¯ ¯
bulunur. Burada γ2i = 1 olması ve (1.2.13) den kgradfk2= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n X i=1 γifi2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ elde edilir.
2) (2.1.6) e¸sitli˘gini h fonksiyonu için yazıp ∂h
∂xj yerine hj alınırsa, gradh = n X j=1 γjhj ∂ ∂xj
olur. gradf ile gradh iç çarpıma tabii tututlursa,
hgradf, gradhi = * n X i=1 γifi ∂ ∂xi , n X j=1 γjhj ∂ ∂xj + = n X i,j=1 γiγjfihj ¿ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj À
elde edilir. Burada (1.2.13) e¸sitli˘ginin i = j olması göz önüne alınırsa,
hgradf, gradhi = n X i=1 γifihi bulunur. 3) (2.1.5) e¸sitli˘ginden, grad(f.h) = n X i,j=1 gij∂(f.h) ∂xi ∂ ∂xj = n X i,j=1 gij µ ∂f ∂xi .h + ∂h ∂xi .f ¶ ∂ ∂xj = n X i,j=1 gij ∂f ∂xi ∂ ∂xj .h + n X i,j=1 gij ∂h ∂xi ∂ ∂xj .f = h n X i,j=1 gij∂f ∂xi ∂ ∂xj + f n X i,j=1 gij ∂h ∂xi ∂ ∂xj ya da
grad(f.h) = f.grad(h) + h.grad(f ) elde edilir.
Tanım 2.1.5. P bir n−boyutlu Riemann manifoldu ve C∞−sınıfından fonksiyonların cümlesi C∞(P, R) olsun. Bu taktirde L : C∞(P, R) → C∞(P, R) f → L(f) = n X i=1 ∂2f ∂x2 i veya fii= ∂2f ∂x2 i olmak üzere L(f ) = n X i=1 fii (2.1.8)
¸seklinde tanımlanan L(f ) fonksiyonuna f C∞(P, R) fonksiyonunun Laplace operatörü denir [25].
Tanım 2.1.6. n−boyutlu bir semi-Riemann manifoldu M ve C∞−sınıfından fonksiyonların cüm-lesi C∞(M, R) olsun. Bu taktirde
∆ : C∞(M, R) → C∞(M, R) f → ∆(f) = n X i=1 γi∂ 2f ∂x2 i veya fii= ∂2f ∂x2 i olmak üzere ∆(f ) = n X i=1 γifii (2.1.9)
¸seklinde tanımlanan ∆(f ) fonksiyonuna f C∞(M, R) fonksiyonunun Laplace operatörü denir [17].
Tanım 2.1.7. M , n−boyutlu semi-Riemann manifoldu olmak üzere M üzerinde bilinen Laplace operatörü,
∆(f ) = div(gradf ) (2.1.10)
¸seklinde tanımlanır [17].
Laplace operatörünün bu tanımının genelle¸stirilmesiyle elde edilen tanım, f C∞(M, R) olmak
∆(f ) =
n
X
i,j=1
gij5ei5ejf
¸seklinde veya burada j yerine i alınır ve (1.2.14) gözönünde tutulursa,
∆(f ) = n X i=1 γi5ei5eif (2.1.11) dir.
Ayrıca lokal koordinatlarda; bir lokal koordinat sistemi {x1, x2, ..., xn} olmak üzere, (2.1.3),
(2.1.5) ve (2.1.10) e¸sitlikleri kullanılarak, Laplace operatörünün ba¸ska bir tanımı ∆(f ) = p1 |g| n X i,j=1 ∂ ∂xi (p|g|gij ∂f ∂xj ) (2.1.12) ¸seklinde yazılabilir.
Lorentz manifoldları için Bekta¸s [25] tarafından ispatlanmı¸s olan a¸sa˘gıdaki teorem benzer ¸sek-ilde semi-Riemann manifoldları için ifade ve ispat edildi.
Teorem 2.1.2. n−boyutlu bir semi-Riemann manifoldu M, M üzerindeki diferensiyellenebilir iki fonksiyon f ile h ve ” ∗ ” Hodge-Yıldız operatörü olmak üzere;
1) d ∗ df = ∆(f)dv, (2.1.13)
2) d ∗ (f.dh) = (hgradf, gradhi + f.∆(h))dv (2.1.14) 3) ∆(f.h) = 2 hgradf, gradhi + f.∆(h) + h.∆(f) (2.1.15) e¸sitlikleri vardır.
˙Ispat. 1) Kabul edelim ki M semi-Riemann manifoldunun bir koordinat sistemi {x1, x2, ..., xn} ve
χ(M ) üzerinde ki do˘gal baz vektör alan sistemi
{ ∂ ∂x1,
∂ ∂x2, ...,
∂
∂xn} ve sistemin dual bazı da {dx1, dx2, ..., dxn} olsun. Böylece f C
∞(M, R) için df = n X i=1 ∂f ∂xi dxi (2.1.16)
dir. (2.1.16) e¸sitli˘gine Hodge-Yıldız operatörü uygulanırsa, ∗df = n X i,j=1 (−1)j−1gijp|g|∂f ∂xi dx1∧ ... ∧ ddxj∧ ... ∧ dxn
bulunur. Burada i = j için ∗df = n X j=1 (−1)j−1γjp|g|∂f ∂xj dx1∧ ... ∧ ddxj∧ ... ∧ dxn
olur. Bu son e¸sitli˘gin dı¸s türevi alınırsa, d ∗ df = n X j=1 ∂ ∂xj (γj ∂f ∂xj )p|g|dx1∧ ... ∧ dxn
elde edilir. Son ifade de (1.3.2) ve (2.1.9) e¸sitlikleri, göz önüne alınırsa, d ∗ df = ∆(f)dv
bulunur.
2)h C∞(M, R) olmak üzere (2.1.16) dan
dh = n X i=1 ∂h ∂xi dxi
yazılabilir. Bu e¸sitli˘gin her iki yanı f C∞(M, IR) ile çarpılırsa,
f.dh = n X i=1 f.∂h ∂xi dxi
olur. Bu e¸sitli˘ge Hodge-Yıldız operatörü uygulanırsa, ∗fdh = n X j=1 (−1)j−1gijp|g|f ∂f ∂xj dx1∧ ... ∧ ddxj∧ ... ∧ dxn
bulunur. Burada j = i olması durumunda (1.2.14), Tanım 1.1.20 ve (1.3.2) e¸sitli˘gi göz önüne alınırsa, d ∗ f.dh = n X i=1 ∂ ∂xi (γif ∂h ∂xi )dv = ( n X i=1 γi∂f ∂xi .∂h ∂xi + f. n X i=1 γi∂ 2h ∂x2 i )dv
elde edilir. Bu ise (2.1.7) ve (2.1.9) dan
d ∗ (f.dh) = (hgradf, gradhi + f.∆(h))dv olur.
Benzer dü¸sünceyle
d ∗ (h.df) = (hgradf, gradhi + h.∆(f))dv (2.1.17) oldu˘gu da gösterilir.
3) f, h C∞(M, R) ve ” ∗ ” da Hodge-Yıldız operatörü olmak üzere
d ∗ (d(f.h)) = d ∗ (f.dh + h.df) = d ∗ (f.dh) + d ∗ (h.df)
