Belirli İntegral

DERS 12

Belirli İntegral

12.1. Bir eğri altında kalan alan. Bir [a , b] kapalı aralığı üzerinde sürekli bir f fonksiyonu verilmiş olsun ve her x ∈ [a , b] için f(x) ≥ 0 olduğunu kabul edelim. y= f(x) in grafiği ile x – ekseni arasında kalan bölgenin alanı ile bu derste göreceğimiz belirli integral kavramı çok yakından ilişkilidir.

Şekildeki taralı bölgenin alanının hesabı belirli integralle yapılır.

Belirli integrale geçmeden önce, bir sürekli eğri ile x-ekseni arasında kalan alanın yaklaşık olarak hesabına bir örnek verelim.

Örnek 1. [0 , 1] aralığı üzerinde y = x2 + 1 eğrisi ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı A olsun. [0 , 1] aralığı nın orta noktası olan

2 1

sayısını kullanarak [0 , 1] aralığını ikiye bölelim ve yandaki şekilde görüldüğü gibi tabanı bu iki parçaya oturan dik- dörtgenleri düşünelim. Hesaplamağa çalıştığımız A alanına yaklaşık değer olarak, alanın içinde kalan iki küçük dikdörtgenin alanları toplamı olan

8 9 4 5 2 1 1 2 1 = ⋅ + ⋅

ve alanı örten iki dikdörtgenin alanları toplamı olan 8 13 . 2 2 1 4 5 2 1 = ⋅ + ⋅ alınabilir:

[0 , 1] kapalı aralığı daha küçük aralıklara bölünerek A alanının gerçek değerine daha yakın değerler bulunabileceği açıktır.

a _b x y y=f(x)

A

x y 1 0 1 2 1/2 . 8 13 2 2 1 4 5 2 1 8 9 4 5 2 1 1 2 1 = ⋅ + ⋅ ≤ ≤ = ⋅ + ⋅ A

12.2. Belirli integral, Riemann Toplamları. Bir [a , b] kapalı aralığı üzerinde sürekli bir f fonksiyonu verilmiş olsun.

[a , b] aralığında

a=x0 < x1 < x2 < x3 < . . . < xn-2 < xn-1 < xn=b

olacak biçimde x0 , x1 , . . . , xn-1 , xn sayıları alalım. Bu sayılar [a , b] aralığını küçük

aralıklara(altaralıklara) böler. Bu şekilde seçilmiş a=x0 < x1 < x2 < . . . < xn-2 < xn-1 < xn=b

sayılarına [a , b] aralığının bir parçalanışı denir.

Şimdi, her k=1,2, . . . ,n için ck ∈ [xk -1 , xk] seçelim ve [xk -1 , xk] aralığının uzunluğunu

∆xk ile gösterelim:

∆xk = xk – xk-1 , 1 ≤ k ≤ n.

Aşağıda ifade edilen

∑

= ∆ = ∆ + + ∆ + ∆ = n k k k n n n f c x f c x f c x f c x T 1 2 2 1 1) ( ) ( ) ( ) ( _L

Tn toplamına f fonksiyonunun a=x0 < x1 < x2 < x3 < . . . < xn-2 < xn-1 < xn=b parçalanışı için

Riemann Toplamı denir.

Burada ∆ xk lardan her biri sıfıra yaklaşırken (ki bu durumda n sayısı sınırsız olarak artar,

yani sonsuza ıraksar) Tn Riemann Toplamı’nın limit değerinin mevcut olduğu kanıtlanabilir.

İşte bu limit değere f fonksiyonunun [a , b] kapalı aralığı üzerinde belirli integrali denir ve bu integral

∫

ab

f

(

x

)

dx

sembolü ile gösterilir. Bu gösterimde a sayısına belirli integralin altsınırı, b sayısına da üstsınırı denir. f(x)dx ifadesine, belirsiz integralde olduğu gibi, integrand denir.

x y a _b x0= x1 x2 x3 xn-3 xn-2 xn-1 =xn y = f(x) c1 c2 c3 cn-2 cn-1 cn (c1 , f(c1))

f fonksiyonunun [a , b] kapalı aralığı üzerinde belirli integrali

(

n n

)

x n x b a x c f x c f x c f T dx x f k k ∆ + + ∆ + ∆ = = → ∆ → ∆

∫

) ( ) ( ) ( lim lim ) ( 2 2 1 1 0 0 L

biçiminde ifade edilebilir.

Belirli integralin yukarıdaki tanımından, eğer f fonksiyonu [a , b] aralığında sürekli ve her x∈ [a , b] için f(x) ≥ 0 ise,

_∫

b

a f(x)dx belirli integralinin [a , b] aralığı üzerinde y = f(x) in grafiği ile x – ekseni arasında kalan bölgenin alanını verdiği sonucunu çıkarabiliriz. Gerçekten bu durumda, Tn Riemann toplamındaki her bir f(xk)∆xkteriminin taban uzunluğu

k x

∆ ve yüksekliği f(x_k) olan dikdörtgenin alanını ifade etmekte olduğu; bu alanların toplamı olan Tn toplamlarının limitinin de [a , b] aralığı üzerinde y= f(x) in grafiği ile

x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı olduğunu görmek zor değildir.

Benzer düşünce ile, eğer f fonksiyonu [a , b] kapalı aralığında sürekli ve her x∈ [a , b] için f(x) ≤ 0 ise,

_∫

b

af(x)dx belirli integrali [a , b] aralığı üzerinde y = f(x) in grafiği ile

x – ekseni arasındaki bölgenin alanının ters işaretlisi olan negatif sayıyı verir. Başka bir deyimle, [a , b] aralığı üzerinde y = f(x) in grafiği ile x – ekseni arasında kalan bölgenin alanı, −

∫

b

a f(x)dx dir.

Yukarıda açıklanan iki durum birleştirilerek [a , b] kapalı aralığında sürekli bir f fonksi-yonunun grafiği ile x – ekseni arasında kalan bölgenin alanı belirli integral cinsinden, ya da karşıt olarak, f nin [a , b] kapalı aralığı üzerinde belirli integrali f nin grafiği ile x –

x y a b y = f(x) A

∫

=

b a

f

x

dx

A

(

)

x y a b y = f(x) A

=

−

∫

b a

f

x

dx

A

(

)

ekseni arasında kalan bölgenin alanı cinsinden ifade edilebilir. Örneğin, f nin [a , b] kapalı aralığı üzerinde grafiği aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi ise,

bu takdirde, [a , c] kapalı aralığı üzerinde eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı A, [c , d] kapalı aralığı üzerinde eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı B ve [d , b] kapalı aralığı üzerinde eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı C ile gösterilmek üzere C B A dx x f b a = − +

∫

( )

dir. Başka bir ifade ile, [a , b] kapalı aralığı üzerinde eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin tamamının alanı

∫

∫

∫

− + b d d c c a f(x)dx f(x)dx f(x)dx dir.

Belirli integralin, tanımı, yukarıdaki alan yorumu ve limit özellikleri kullanılarak kanıtlana bilecek bazı özelliklerini aşağıya listeliyoruz.

1.

∫

a ( ) =0 a f x dx 2.

∫

(

⋅

)

= ⋅

∫

b a b a k f(x) dx k f(x)dx 3.

∫

(

)

=

∫

∫

b a b a b a f(x)mg(x) dx f(x)dxm g(x)dx 4. a < c < b için

∫

=

∫

+

∫

b c c a b a f(x)dx f(x)dx f(x)dx. 5.

∫

=−

∫

a b b a f(x)dx f(x)dx d c x y a _b y = f(x) A B C

12.3. Kalkülüs’ün Temel Teoremi. Batı çıkışlı kaynaklarda fonksiyonlar ve onların limit, türev ve integrallerini , yani bu dersimizin konularını işleyen derse kalkülüs(calculus) adı verilmektedir. Şimdi Bu kesimde ele alacağımız teorem, kalkülüs dersinin temel teoremidir. Bu teorem belirli integral ile belirsiz integral arasındaki ilişkiyi verir:

Kalkülüs’ün Temel Teoremi. f fonksiyonu [a , b] kapalı aralığında sürekli ve f nin bir ters türevi F ise,

) ( ) ( ) (x dx F b F a f b a = −

∫

dir.

Bundan böyle, F(b)−F(a) farkı için aşağıdaki gösterimi kullanacağız.

b a x F a F b F( )− ( ) = ( ) . Böylece, yeni gösterimle,

F'(x) f(x) f(x)dx F(x)b F(b) F(a) a b a = = − ⇒ =

_∫

_∫

f(x)dx=F(x)+C f(x)dx F(x) b F(b) F(a) a b a = = − ⇒

_∫

. Örnek 1.

(

2 1

)

1

( ) (

1 1 0 0

)

2. 0 2 1 0 + = + = + − + =

∫

x dx x x Örnek 2.

(

)

(

)

3 4 0 0 1 3 1 3 1 1 0 3 1 0 2 _{⎟− + =} ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = +

∫

x dx x x . Böylece başlangıçta bazı yaklaşık

değer-lerini bulduğumuz aşağıdaki taralı bölgenin alanının gerçek değerini belirlemiş olduk.

Örnek 3. Aşağıdaki integrali daha önce belirsiz integral olarak hesaplamıştık.

(

4 3 4ln2

)

(

1 3 0

)

3(1 ) 4ln2. ln 4 3 4 3 2 2 2 2 1 2 1 2 _{+ − = + − − + − = + − −} = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −}

∫

dx x e x e e e e x e x x x

(

)

.

3

4

1

1 0 2

₊

₌

=

∫

x

dx

A

x y 1 0 1 2 y = x2+1 A

Örnek 4. . 10 2 5 0 2

∫

₊ dx x x

belirli integralinin değerini bulmak için önce değişken değiştirme

yöntemi ile

∫

+ dx x x 10 2

2 belirsiz integralini hesaplayıp daha sonra belirli integrale geçebiliriz.

10

2 ₊

= x

u seçilirse, du 2= xdx olur ve söz konusu belirsiz integral aşağıdaki gibi hesaplanır: . ) 10 ln( ln 1 10 2 ₂ 2 dx _udu u x C x x + + = = = +

∫

∫

Dolayısıyla, ). 5 . 3 ( ln 10 ln 35 ln ) 10 ( ln 10 2 5 0 2 5 0 2+ = + = − =

∫

dx x x x

12.4. Belirli integralde değişken değiştirme ve kısmî integrasyon. Son örneğimizde belirli integrali hesaplarken, ters türevin, yani belirsiz integralin belirlenmesinde değişken değiştirme yöntemini kullandık. Bu yöntemi doğrudan doğruya belirli integral üzerinde de uygulayabiliriz. Hatta bu yapıldığı takdirde zaman kazanılacağı da söylenebilir.

∫

b

aF'(g(x))g'(x)dx gibi bir belirli integrali hesaplamak için, bu integral belirsiz integral olarak düşünülüp u=g(x) seçilince du=g'(x)dx olduğu ve integralin u cinsinden ifade edildiğini anımsayınız. Belirli integralde x değişkeni a ile b arasında değişmektedir. Bu durumda, u değişkeni de g(a) ile g(b) arasında değişeceğinden, aşağıdaki eşitliği yazabiliriz: . ) ( ' ) ( ' )) ( ( ' ( ) ) (

∫

∫

= gb a g b aF g x g x dx F u du Sağ taraftaki F'(u) nun ters türevi F(u) yu biliyorsak, hesabımızı

)) ( ( )) ( ( ) ( . ) ( ' ) ( ' )) ( ( ' ( ) (₍ )₎ ) ( F u du F u F g b F g a dx x g x g F g b g_g b_a a g b a =

∫

= = −

∫

biçiminde sürdürüp sonuçlandırırız.

O halde, belirli integrale değişken değiştirme yöntemi uygularken u=g(x) seçiminden sonra dx

x g

du= '( ) ile birlikte g(a) ve g(b) değerleri de hesaplanıp bu değerler yeni değişken u cinsinden yazılmış olan integral için alt ve üst sınırlar olarak alınır ve yeni integral de belirli integral olarak yeni sınırları ile hesaplanmış olur.

Yukarıdaki son örneğimizi bu yolla yapalım: Örnek 1. 1 ln ln35 ln10 ln

( )

3.5. 10 2 35 10 35 10 5 0 2 + =

∫

= = − =

∫

du u u dx x x

Örneğimizde, x değişkenine göre verilmiş olan integralin altsınırı olan 0 a karşılık u değişkenine göre yazılmış integralin u(0)=10 altsınırı ve x değişkenine göre verilmiş olan integralin üstsınırı olan 5 e karşılık u değişkenine göre yazılmış integralin u(5)=35üst sınırının kullanıldığına dikkat ediniz.

Bu örnekte olduğu gibi aşağıdaki örneklerde de u nun seçimi ve yeni sınırların hesabı kutu içinde gösterilmiştir. Örnek 2.

(

)

. 9 7 1 8 9 1 9 1 2 3 6 1 6 1 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 0 2 _{+ = = ⋅ = ⋅ = − =}

∫

x x dx udu u u Örnek 3.

(

)(

)

(

)

. 4 1 2 4 1 4 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 0 2 2 2 2 2 − − = ⋅ = ⋅ = = − − − − −

∫

∫

e x e dx udu u u e e e e x x

Örnek 4(Uygulama). Haftada x televizyon ünitesi üreten bir işletmenin haftalık marjinal kârı, YTL olarak, K´(x) = 165 - (0.1)x , 0 ≤ x ≤ 4000 biçiminde veriliyor. Şu anda haftada 1500 ünite üreten firma, haftalık üretimini artırmak istiyor. Haftalık üretimini 1600 e çıkarırsa, haftalık kârındaki değişim ne olacaktır?

Çözüm. Kârdaki artış

∫

= = − 1600 1500 1600 1500 '( ) ) ( ) 1500 ( ) 1600 ( K K x K x dx K

(

( )

)

(

)

1600 1500 2 1600 1500 165− 0.1x dx=165x− 0.05 x =

∫

u = x2 + 10 , du = 2x dx x=0 ⇒ u=10 ; x=5 ⇒ u =35 u = 3x2 _{+ 1 , du = 6x dx , x dx = (1/6) du} x=0 ⇒ u=1 ; x=1 ⇒ u =4 u = e2x – 2x , du = (2e2x – 2) dx , (e2x – 1) dx = (1/2) du x=0 ⇒ u=1 ; x=1 ⇒ u =e2 - 2

Son ifdede değerler yerleştirilince, = − (1500) ) 1600 ( K K 165⋅1600−0.05⋅2560000−

(

165⋅1500−0.05⋅2250000

)

=165⋅1600−0.05⋅2560000−

(

165⋅1500−0.05⋅2250000

)

=16500−0.05⋅31000=16500−15500=1000

YTL olarak elde edilir.

Daha önce belirsiz integral hesabında kullandığımız kısmî integrasyon yöntemini belirli integral hesaplarken de kullanabiliriz. Önce karşılık gelen belirsiz integralhesaplanır ve en sonunda sınırlar yerleştirilerek belirli integral bulunur.

Örnek 5. 1 0

( )

1 1.

0 1

0 =

∫

= −

∫

= −

∫

= − = − − =

∫

_xex_{dx udv uv vdu xe}x _ex_{dx xe}x _ex

Bazı integrallerin hesabında değişken değiştirme ve kısmî integrasyon yöntemleri birlikte kullanılabilir. Örnek 6.

∫

(

)

∫

( )

∫

( )

(

)

∫

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 2 1 1 0 2 _ln 1 2 1 ln 2 1 2 1 ln 1 ln dt t t t t dt t dt t dx x x

(

(

)

)

(

2ln2 2

(

0 1

)

)

2 1 ln 2 1 2 1 − − − = − = t t t

(

)

2 1 2 ln 1 2 ln 2 2 1 _{− = −} = . Örnek 7. 2 2 2

( )

2( )1 2(0) 2( 1) 2. 0 1 0 1 0 1 0 ⎟⎠= − = − − = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = = =

∫

∫

∫

∫

_e x _{dx te}t_{dt te}t _{dt te}t _et_{dt te}t _et . u = x , dv = ex dx du = dx , v = ex t= x2 + 1 , dt= 2x dx , x dx = (1/2) dt x = 0 ⇒ t = 1 , x = 1 ⇒ t = 2 u = ln t , dv = dt du = (1/t) dt , v = t t= x , dt= x 2 1 dx , dx =2 xdt=2t dt x = 0 ⇒ t = 0 , x = 1 ⇒ t = 1 u =t , dv = _et_dt du = dt , v = _et

12.5. Ortalama Değerler. Bir fonksiyonun sonlu sayıda değeri verildiği zaman bu değerlerin ortalamasını nasıl hesapladığımızı anımsayalım. Örneğin, f fonksiyonunun

f(a₁), f(a₂),_K, f(a_n) değerlerinin ortalaması n a f a f a f( ₁)+ ( ₂)+_L+ ( _n) olarak tanımlanır.

f fonksiyonu bir [a , b] kapalı aralığında tanımlı ise, f nin bu aralıkta aldığı tüm değerlerin ortalaması nasıl hesaplanabilir? Eğer f fonksiyonu [a , b] kapalı aralığında sürekli ise, bu ortalama değer aşağıdaki teorem ışığında integral yardımı ile hesaplanabilir. Teorem(İntegral için ortalama değer teoremi). f fonksiyonu [a , b] kapalı aralığında sürekli ise, öyle bir c∈ (a , b) vardır ki

∫

− = b a f x dx a b c f( ) 1 ( ) dir.

Teoremin ifadesindeki eşitlik ) ( ) ( ) (x dx b a f c f b a == −

∫

biçiminde yazılırsa, yandaki şekilden de izle- nebileceği üzere bu eşitlik, f nin grafiği ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanının, taban uzunluğu (b−a) ve yüksekliği f(c) olan dikdörtgenin alanına eşit olduğunu ifade etmektedir.

f nin grafiği ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı, kabaca, f nin [a , b] kapalı aralığında aldığı tüm değerlerin toplamı olarak düşünülürse, f fonksiyonunun [a , b] aralığı üzerindeortalama değerinin

∫

− = b a f x dx a b c f ( ) ) ( 1 ) ( olarak tanımlanabileceği görülür. a b x y c (c , f(c))

Örnek 1. f(x) = x - 3x2 nin [-1 , 2] aralığı üzerinde ortalama değeri

dir.

Örnek 2. Fiyat-talep fonksiyonu _p=500e(−0.01)x _{olarak verilmişse, [200 , 300] talep aralığı} üzerinde ortalama fiyatın ne olduğunu(YTL olarak) belirleyelim.

Verilen aralıktaki ortalama fiyat p ile gösterilirse,

300 200 ) 001 . 0 ( 300 200 ) 001 . 0 ( 300 200 ) 001 . 0 ( 001 . 0 5 500 100 500 500 200 300 1 − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = − − −

∫

∫

_e x_{dx e} x_dx e x p 5000 300 5000( 3 2) 42.75 200 ) 001 . 0 ( _{=− − ≈} − = _e − x _e− _e− YTL olur.

12.6. Alan Hesabı. Bir eğri ile x-ekseni arasında kalan alan ile belirli integral arasındaki ilişkiyi dersimizin başlangıcında görmüştük. Eğer eğrinin tamamı x-ekseninin yukarısında ise 2 5 )) 1 ( 2 1 ( 8 2 3 1 ) 2 ( 3 1 ) 3 ( )) 1 ( 2 ( 1 ) ( 2 1 3 2 2 1 2 _⎟=− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− − − −} = − = − − − = − −

∫

x x dx x x c f x y a b y = f(x) A

=

∫

b a

f

x

dx

A

(

)

Eğer eğrinin tamamı x-ekseninin aşağısında ise

Eğer eğrinin bir kısmı eğrinin x-ekseninin yukarısında bir kısmı da x-ekseninin aşağısında ise

Şimdi alan hesabına bazı somut örnekler vereceğiz.

Örnek 1. f(x) = 6x – x2 , 1 ≤ x ≤ 4 ile verilen bölgenin alanı.

d c x y a _b y = f(x)

(

)

∫

− = 4 1 2 6x x dx A 4 1 3 2 3 3x − x = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − − ⋅ = 3 1 1 3 3 4 4 3 3 3 3 2 . 24 3 63 45− = = 1 4 y = 6x – x2 3

A

x y x y a b y = f(x) A

∫

−

=

b a

f

x

dx

A

(

)

∫

∫

∫

− + = d c c b b a f x dx f x dx f x d A ( ) ( ) ( )

Örnek 2. f(x) = x2 - 2x , 1 ≤ x ≤ 2 ile verilen bölgenin alanı.

Örnek 3. f(x) = x2 - 2x , -1 ≤ x ≤ 1 ile verilen bölgenin alanı.

(

)

∫

− − = 2 1 2 _{2 dxx} x A 2 1 2 3

3

⎟⎟

_⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

x

x

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 3 1 4 3 8

.

3

2

3

3

7

₊

₌

−

=

2 1 x y y = x2 _{– 2x}

A

(

)

_∫

(

)

∫

− − − = − 1 0 2 0 1 2 _{2x dx x 2x dx} x A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ₋ − = 1 0 3 1 1 3 1 0 1 -1 x y y = x2 – 2x . 2 1 3 1 1 3 1 = + − + = 1 0 2 3 0 1 2 3 3 3 ⎟⎟_⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − x x x x

12.7. İki Eğri Arasında Kalan Bölgenin Alanı. f ve g [a , b ] aralığında sürekli fonksiyonlar, her x ∈[a , b ] için g(x) ≤ f(x) olsun . Bu durumda y = f(x) in grafiği y = g(x) in grafiğinin yukarısındadır ve [a , b ] aralığı üzerinde bu iki eğri arasında kalan alan integral olarak şöyle ifade edilir:

Örnek 1. f(x) = 2x +3 , g(x) = -x2 + 1 , 0≤ x ≤ 2 ile verilen bölgenin alanı.

=

∫

2

(

(

+

)

−

(

− +

)

)

0 2 ₁ 3 2x x dx A =

∫

2

(

x + x+

)

dx 0 2 _{2 2} 2 0 2 3 2 3 ⎟⎟_⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = x x x 3 32 4 4 3 8_{+ + =} = . b a x y y = f(x) y = g(x)

A

(

)

∫

−

=

b a

f

x

g

x

dx

A

(

)

(

)

2 1

x

y

y = -x

2

+ 1

A

y = 2x + 3

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı hesaplanırken, y = f(x) in grafiğinin bir kısmı y = g(x) in grafiğinin yukarısında, bir kısmı da aşağısında olabilir. Bu durumda söz konusu aralık alt aralıklara bölünerek alan hesaplanır. Örnek olarak aşağıdaki şekilde gösterilen bölgenin alanına bakalım.

Örnek 2. f(x) = -x +1 , g(x) = x2 - 1 , 0≤ x ≤ 2 ile verilen bölgenin alanı.

(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

∫

∫

+ − − − + − − + − = 2 1 2 1 0 2 1 1 1 1 dx x x dx x x A =

∫

(

−x −x+

)

dx+

∫

2

(

x +x−

)

dx 1 2 1 0 2 _{2 2} 2 1 2 3 1 0 2 3 2 2 3 2 2 3 ⎟⎟_⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − = x x x x x x _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} − − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− − + −} = 2 2 1 3 1 4 2 3 8 0 2 2 1 3 1 =3

A : Taralı bölgenin alanı

(

)

_∫

(

)

∫

−

+

−

=

b c c a

f

x

g

x

dx

g

x

f

x

dx

A

(

)

(

)

(

)

(

)

b a y = f(x) y = g(x) c x y 2 1 x y y = -x + 1 y = x2 _{- 1}

12.8. Hacim Hesabı , Dönel Cisimlerin Hacmi. Düzlemde bir bölgenin x-ekseni etrafında döndürülmesiyle meydana gelen cismin hacmi integral yardımıyla hesaplanabilir.

[a , b] aralığı üzerinde y = f(x) in grafiği ile x – ekseni arasında kalan bölgenin x – ekseni etrafında döndürüldüğünü düşünelim.

Yandaki şekilde görülene benzer bir katı cisim ortaya çıkacaktır. Bu katı cismin hacmini belirli integral kulla- narak hesaplayabiliriz. Gerçekten , taban uzunluğu dx ve yüksekliği f(x) olan dikdörtgen x – ekseni etra- fında döndürülürse bir silindir(şekil- de kırmızı olarak çizilen silindir) elde edilir. Bu silindirin hacmi

dV

=

π

(

f

(

x

)

)

2

dx

dir ve integral tanımı göz önüne alınarak şekildeki katı cismin hacminin

(

)

∫

π

=

b a

f

x

dx

V

(

)

2

olduğu sonucu çıkarılabilir.

Örnek 1. f(x) = x2 _{, 0 ≤ x ≤ 1 ile verilen bölgeyi x - ekseni etrafında döndürünce} meydana gelen cismin hacmini hesaplayalım.

=

π

∫

( )

1 0 2 2

_dx

x

V

=

π

∫

x

dx

1 0 4

₅

₅

1 0 5

_π

=

π

=

x

a x y y = f(x) b dx f(x)

1

x

y

y = x

2

Örnek 2(Kürenin hacmi). Yarıçapı r birim olan küre, yarıçapı r birim olan bir yarım çemberin çapı etrafında döndürülmesiyle elde edilir. Dolayısıyla, sözü edilen hacim f(x)= (r2 - x2)1/2 , -1 ≤ x ≤ 1 eğrisinin x - ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilir. =π

∫

₋ ⎜_⎝⎛ − ⎟_⎠⎞ r r r x dx V 2 2 2

(

r

x

)

dx

r r

∫

−

−

π

=

2 2 r r

x

x

r

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

π

=

3

3 2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

−

−

π

=

3

3

3 3 3 3

r

_r

r

r

.

3

4

_π

_r

3

=

Örnek 3(Koninin hacmi). Taban yarıçapı r birim ve yüksekliği h birim olan koni,

f(x) = (r/h)x , 0 ≤ x ≤ h eğrisinin x - ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilir.

=

π

∫

(

)

h

dx

x

h

r

V

0 2

)

/

(

_h

r

x

dx

h

∫

⎜⎜

_⎝

⎛

⎟⎟

_⎠

⎞

π

=

0 2 2 2 h

x

h

r

0 3 2 2

3 ⎟

⎟

_⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

π

=

h

r

h

h

r

3 2 2 2

3

3

π

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

π

=

_. . r x y -r 2 2 _x r y= −

h

x

y

x h r y =( / )

Problemler 12

1. Aşağıdaki şekilde verilen alanları belirli integraller olarak ifade ediniz:

a) [a , b] aralığı ile grafik arasındaki alan. b) [b , c] aralığı ile grafik arasındaki alan.

c) [c , d] aralığı ile grafik arasındaki alan. ç) [a , c] aralığı ile grafik arasındaki alan.

d) [b , d] aralığı ile grafik arasındaki alan. e) [a , d] aralığı ile grafik arasındaki alan.

2. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız.

a)

∫

2 − + 1 2 _{4 5)} 3 ( x x dx b)

∫

2 − − 1 2 2 _{3 )} 2 ( x x dx c)

∫

4 + 1 (x x)dx ç)

∫

+ 1 0 3 1 3 ₎ (x x dx d)

∫

e + dx x x 1 ) 1 ( e)

∫

2 − 1 2 2 1 ₎ ( dx x x f)

∫

1 + 0(x e )dx x e _g)

∫

ln2 + 0 2₎ 2 ( ex dx

3. Aşağıdaki belirli integralleri değişken değiştirme yöntemi ile hesaplayınız.

a)

∫

3 − 2 5 2 ₄₎ ( 12 x xdx b)

∫

− 5 3 1 1 dx x c)

∫

− − 10 5 05 . 0 _dx e x _ç)

∫

+ 1 0_x2 ₂dx x d)

∫

+ 1 0_x2 ₂dx x e)

∫

1 − − 0 2 2 _{2 )( 1)} (e x x e x dx _f)

∫

− ₊ 7 1 _{x 2}dx x y x 0 d c b a y = f(x)

4. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız. a)

∫

1 + 0(x 1)e dx x _b)

∫

3 1 ln(2x)dx c)

∫

e dx x x 1 2 ln ç)

∫

3 − 0 4 ) 1 2 ( 10 x dx d)

∫

10 − 0 02 . 0 10e xdx _e)

∫

− − + 2 1 _{1 2e} dx e x x

5. Dağ bisikleti üreten bir firmanın araştırma departmanı, marjinal gider fonksiyonunu, ayda x adet bisiklet üretilmesi durumunda, ´( )=500−3 ,0≤ x≤1000

x x

Gi olarak belirliyor. 300

bisikletlik bir üretim seviyesinden 900 bisikletlik bir üretim seviyesine geçilmesi durumunda toplam giderde ne kadar artış olacağını bir belirli integral olarak ifade edip hesaplayınız.

6. Aşağıda verilen eğriler ile verilen aralık üzerinde çevrelenmiş bölgelerin alanlarını bulunuz.

a) y=3x2 , y =0 ; 1≤ x≤2 b) y =−2x−1, y =0 ; 0≤ x≤4 c) y= x2+2, y =0 ; −1≤ x≤0 ç) y =ex , y =0 ; −1≤ x≤2 d) = −1, y=0 ; 0.5≤t ≤1 t y e) y=−2x+8, y =12 ; −1≤ x≤2 f) y =x2+1, y =2x−2 ; −1≤ x≤2 g) y= x3, y= x ; −2≤x≤2

7. Aşağıda verilen iki eğri arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

a) y=3x2, y =12 b) y =4−x2 , y =−5 c) y= x3, y =4x

ç) y= x , y= x d) y =2−x, y = x2 e) y= x4−6x2 , y =4x2−9

8. Alıştırma 6 da verilen bölgelerin x – ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cisimlerin hacimlerini bulunuz.