Matrislerin singüler değer eşitsizlikleri

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATRİSLERİN SİNGÜLER DEĞER EŞİTSİZLİKLERİ

Esma BARAN YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı

Temmuz - 2012 KONYA Her Hakkı Saklıdır

iv ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATRİSLERİN SİNGÜLER DEĞER EŞİTSİZLİKLERİ

Esma BARAN

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Ramazan Türkmen 2012, 77 Sayfa

Jüri

Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Doç. Dr. Hakan Kasım AKMAZ

Bu tez matris teorinin temel tanım ve teoremleri ile başlamıştır ve singüler değer eşitsizlikleri ile sonlanmıştır. Ön bilgiler bölümü hermityen ve pozitif yarı tanımlı matrisler, matris normu ve matris ayrışımlarını içermektedir. Ayrıca hermityen matrislerin öz değerlerinin karakterizasyonları, majorizasyon tanımı ve blok matrislerin özellikleri ile ilgilenilmiştir.

Klasik analitik – geometri ortalama eşitsizliğinin matris versiyonları verilmiştir. Bu eşitsizlikler arasındaki ilişki incelenmiştir. Son olarak A, B matrisleri hermityen ve A, B matrislerinden biri veya ikisinin pozitif yarı tanımlı olduğunda A+B ve A+iB matrislerinin singüler değerleri ile ilgili bir takım eşitsizlikler sunulmuştur.

Anahtar Kelimeler: Blok Matrisler, Hermityen matrisler, Majorizasyon, Matris Eşitsizlikleri, Öz değerler, Pozitif Yarı tanımlı Matrisler, Singüler Değerler.

v ABSTRACT MS THESIS

SINGULAR VALUE INEQUALITIES OF MATRICES

Esma BARAN

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS

Advisor: Assoc. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN 2012, 77 Pages

Jury

Assoc. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Assoc. Prof. Dr. Hakan Kasım AKMAZ

The thesis starts with the fundamental theorems and definitions of matrix theory and ends with singular values inequalities of matrices.The background chapter includes hermitian and positive semidefinite matrices, matrix decomposition and matrix norms.. Moreover, we interested in variational characterizations of hermitian matrices, majorization definition and properties of block matrices

We give some matrix versions of the classical arithmetic – geometric mean inequality. The relationships between these inequalities is investigated. Finally we present several inequalities relating the singular values of A+B and those A+iB when A and B are hermitian, and when one or both of them are positive semidefinite.

Keywords: Block matices, Eigenvalues, Hermitian Matrices, Majorization, Matrix Inequalities, Positive

vi ÖNSÖZ

Bu tez çalışması, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN danışmanlığında hazırlanarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ ne yüksek lisans tezi olarak sunulmuştur.

Bu çalışmada yol gösteren ve destek olan değerli hocam Doç. Dr. Ramazan Türkmen’e ve desteklerinden dolayı TÜBİTAK’ a teşekkürlerimi sunarım.

Bu günlere gelmemde büyük pay sahibi olan aileme ve uğradığım her hayal kırıklığında beni hoşgörü ve sabırla dinleyen, cesaretlendiren, tekrar amacıma yönelten canım yol arkadaşım Fadime ÖZKAN’ a teşekkürlerimi sunarım.

Esma Baran KONYA-2012

vii İÇİNDEKİLER ÖZET ... iv ABSTRACT ...v ÖNSÖZ ... vi İÇİNDEKİLER ... vii 1. GİRİŞ VE KAYNAK ARAŞTIRMASI ...1 2. ÖN BİLGİLER ...4 2.1. Genel Kavramlar...4 2.2. Matris Ayrışımları ...8 2.3. Hermityen Matrisler ... 10

2.4. Pozitif Tanımlı Matrisler ... 13

2.5. Löwner Kısmi Sıralama Bağıntısı ... 18

2.6. Matris Normu ... 19

3. ÖZ DEĞER VE SİNGÜLER DEĞER EŞİTSİZLİKLERİ ... 24

3.1 Hermityen Matrislerin Öz Değerlerinin Karakterizasyonu ... 24

3.2. Blok Matrislerin Singüler Değer Eşitsizlikleri ... 36

3.3. Majorizasyon Eşitsizlikleri... 41

4.ANALİTİK ORTALAMA EŞİTSİZLİKLERİN MATRİSLERE UYGULANMASI ... 45

4.1. Aritmetik Geometrik Ortalama Eşitsizliği ... 46

4.2. Heinz Ortalaması ... 60

5. A + iB VE A+B MATRİSLERİNİN SİNGÜLER DEĞERLERİ ... 66

6. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 74

KAYNAKLAR ... 75

1. GİRİŞ

Kompleks sayıların bir çok özelliği matrislere de genişletilmiştir. Kompleks sayılarda reel sayıların yeri ile kompleks matrisler cümlesinde hermityen matrislerin yeri aynıdır. Hermityen matrislere spesifik bir pozitiflik özelliği eklenerek pozitif tanımlı matrisler elde edilmiştir. Böylece pozitiflik özelliği matrislere de genişletilmiştir. Bir matrisin kökü, kuvveti, mutlak değeri, eşleniği ve buna benzer reel sayılar üzerinde tanımlanan bir çok fonksiyon matrisler için de tanımlanmıştır.

Kompleks sayılar üzerinde tanımlanan bir çok eşitsizlik matrislere uygulanmaya çalışılmıştır. Eşitsizliğin matris versiyonu doğru değilse eşitsizliğin matrislerin singüler değer veya üniter invaryant norm versiyonları incelenmiştir.

Reel sayılar üzerinde tanımlanan ortalamalar matrisler üzerinde de tanımlanması bir çok problemin çözümünde önemli bir araç olmuştur. Bundan dolayı operatörler ve matrisler üzerinde yeni ortalamalar tanımlanmaya çalışılmıştır.

Bu çalışmada temel olarak reel sayılar üzerinde tanımlanan bir eşitsizliğin matrislere nasıl uygulandığı verilmiştir. Çalışmanın birinci bölümü Giriş ve Kaynak Araştırması’na ayrılmış, ikinci bölümde ise hermityen ve pozitif yarı tanımlı matrisler, matris ayrışımları, matris normları ve Löwner Kısmi Sıralama Bağıntısı hakkında bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde majorizasyon tanımı, 2 2 blok matrislerin bazı özellikleri, hermityen matrisin öz değerlerini ve herhangi bir matrisin singüler değerlerini karakterize eden Courant – Fischer, Rayleigh – Ritz teoremi ve bunların sonuçları ele alınmıştır. Dördüncü bölümde aritmetik - geometrik ortalama eşitsizliğinin matris versiyonları ve Heinz ortalaması yer almıştır. Beşinci bölümde ise

2

a b  a ib eşitsizliği aracılığıyla elde edilmiş, A+B ve A+iB matrislerinin singüler değerleri için majorizasyon eşitsizlikleri verilmiştir.

1.1. Kaynak Araştırması

Bu bölümde, matrislerin singüler değerleri ve normları hakkında yapılan çalışmalar hakkında bilgi vereceğiz.

* 1 * *

( ) ( )

2

j j

s AB  s AA BB , 1 j n

singüler değer eşitsizliği verilmiştir. Bu eşitsizliğin sonucu olarak ,A BM_n olmak üzere her üniter invaryant norm için

* * 1 ||| ||| ||| ||| 2 AB  AA BB dir.

Bhatia ve Davis (1993), Bhatia ve Kittaneh (1990) tarafından verilen norm eşitsizliğini genelleştirmiştir. A B X, , M_n olmak üzere

* 1 * *

||| ||| ||| ||| 2

A XB  AA X XBB

üniter invaryant norm eşitsizliği verilmiştir.

Bhatia R., Kittaneh F. (2000) Bu çalışmada, matrisler için aritmetik-geometrik ortalama eşitsizlikleri incelenmiş ve matrislerin iz ve üniter invaryant normları için eşitsizlikler elde edilmiştir.

Bhatia ve Kittaneh (2009), A, B matrisleri hermityen veya en az birinin pozitif yarı tanımlı olması durumunda A + B ve A+ iB matrisleri için singüler değer eşitsizliği sunulmuştur

Audenaert (2007), A B, M_n pozitif yarı tanımlı olmak üzere 0v1 için

1 1

( v v v v) ( )

j j

s A B A B s A B , 1 j_ n

olduğunu göstermiştir.

Tao (2006), Bhatia ve Kittaneh tarafından2 (s AB_j *)s A A B B_j( *  * ) matrislerin singüler değerleri için aritmetik geometrik eşitsizliği bulunmuştur. Bu çalışmada bu eşitsizliğe denk bir eşitsizlik ve daha genel bir eşitsizlik sunulmuştur.

Bhatia ve Kittaneh (2008), aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinin matris versiyonları incelenmiştir.

Zhang F. (2001) Bu çalışmada ilk olarak birçok yazar tarafından elde edilen sonuçları da içeren pozitif yarı tanımlı blok matrislerin singüler değerlerini içeren zayıf bir logaritmik majorizasyon eşitsizliği sunulmuştur. Daha sonra pozitif yarı tanımlı blok matrisler için daha önceki sonuçları da içeren matrislerin toplam, çarpım ve Hadamard çarpımları için birçok matris eşitsizliği elde edilmiştir.

Zhan X. (2004) Bhatia ve Kittaneh tarafından matrislerin singüler değerleri için

* * *

2 (s AB_j )s A A B B_j(  )aritmetik geometrik eşitsizliği bulunmuştur. Bu çalışmada bu eşitsizliğin farklı bir ispatı ve bu eşitsizliğe denk bir eşitsizlik verilmiştir. Ayrıca

bulunan bu eşitsizlik kullanılarak yeni bir iz eşitsizliği ispatlanmıştır.

Zhan X. ( 2000) Bu çalışmada matrislerin pozitif yarı tanımlı matrislerin toplamı, direkt toplamı ve farkı için için zayıf log majorizasyon, üniter invaryant norm ve öz değer üzerine bazı eşitsizlikler sunulmuştur.

2. ÖN BİLGİLER

n – kare kompleks matrislerin kümesi M ile gösterilmiştir. Benzer şekilde _n n m mertebeli kompleks matrislerin kümeside M_{n m,} ile gösterilmiştir.

Bu bölümde matris teori ile ilgili bazı temel kavram ve teoremler verilmiştir.

2.1. Genel Kavramlar

Tanım 2.1.1. V,  üzerinde vektör uzay olmak üzere

: L V V

lineer dönüşüm olsun. Bu takdirde herhangi bir v V için

( )

L v v (2.1)

şartını sağlayan   varsa v vektörüne L lineer dönüşümün öz vektörü denir. Eğer 0

v  ise (2.1) şartını sağlayan sadece bir tane   vardır. Bu durumda  

değerine v V öz vektörüne ait L lineer dönüşümün öz değeri denir.

Her matris lineer dönüşümle ifade edilebileceğinden matrisin öz değer ve öz vektörlerinden bahsedebiliriz. AM_n matrisinin temsil ettiği lineer dönüşüm L olsun. Bu takdirde L dönüşümü

: n n

L  

xAx

şeklindedir. Şimdi L lineer dönüşümünün öz değer ve öz vektörlerini bulalım: x   n olmak üzere

( ) ( ) 0

homojen lineer denklem sistemi elde edilir. (IA) matrisinin determinantından elde edilen polinoma A matrisinin Karakteristik polinomu denir. det(IA)= 0 deklemine

A matrisinin Karakteristik denklemi ve bu denklemin köklerine A matrisinin öz değerleri denir.  (_i 1 i n) için (IA x)  denklem sisteminin 0 x  çözüm _i 0 vektörüne A matrisinin öz vektörü denir.

Tanım 2.1.2. A matrisinin öz değerlerinin kümesine A matrisinin spektrumu denir ve ( )A

 ile gösterilir.

Teorem 2.1.1. (Spektral Dönüşüm Teoremi) AMn ve f herhangi bir polinom

olmak üzere





( ( ))f A f( ( ))A f( ) : ( )A

       (2.3)

dir. Ayrıca A tersinir bir matris ise

1 1 1 (A ) ( ( ))A : ( )A           _  _   (2.4)

olur. (Horn ve Johnson, 1985)

Sonuç 2.1.1. A matrisinin singüler olması için gerek ve yeter şart 0( )A olmasıdır. (Horn ve Johnson, 1985)

Sonuç 2.1.2. AM_nolsun. Bu takdirde k1, 2,...,n olmak üzere





( k) ( ( ))k k: ( ) A A A       (2.5) dir. (2.5) eşitliğinden 1 ( k) ( ) k _{A A}   (2.6) elde edilir.

Teorem 2.1.2. A B, M_nolmak üzere AB ve BA matrislerinin karakteristik polinomu aynıdır, dolayısıyla

(AB) (BA)

  (2.7)

dir. Fakat A ve B matrisleri kare matris değilse durum farklıdır.

,

m n

AM veBM_{n m,} (mn) olmak üzere (AB){ , _{1 2},..._m} ise

1 2 ( ) { , ,... , 0, 0,..., 0} n m m BA        (2.8)

olur. Sonuç olarak AB ve BA matrislerinin karakterisitik polinomu farklıdır ve sıfır olmayan öz değerleri aynıdır. (Murad, 2003)

Determinant ve iz fonksiyonu matrisler üzerinde tanımlıdır. Aşağıda bu fonksiyonlarla ile ilgili temel özellikler verilmiştir.

Teorem 2.1.3. ,A BMnolsun. Bu takdirde

(i) det(AB)det(BA) (ii) det(AB)det( )det( )A B

(iii) det( ) ndet( )

A A

 

(iv) ( ) { ,A   _{1 2},...,_n} olmak üzere

1 det n i i A   

_

eşitlikleri geçerlidir. Eğer AM_{m n,} veBM_{n m,} (mn) ise

det(BA  ve det() 0 BA)det(AB)

dır. (Murad, 2003)

Tanım 2.1.3. A_a_ij_M_nolmak üzere A matrisinin iz fonksiyonu

1 n ii i izA a  

_

şeklinde tanımlanır.

Teorem 2.1.4. ,A BM_nve   olsun. Bu takdirde aşağıdaki eşitlikler geçerlidir. (i) (iz A)iz A( )

(iii) (iz AB)iz BA( )(AM_{m n,} veBM_{n m,} matrisleri için de ifade geçerlidir.) (iv) P tersinir bir matris olmak üzere iz P AP( 1 ) iz A( )

 dır. (v) ( ) { ,A   1 2,...,n} olmak üzere 1 n i i izA   

_

dır. (Murad, 2003) Tanım 2.1.4. A_a_ij_M_nolmak üzere t

ji

A _{  }a  matrisine A matrisinin transpozesi

*

ji

A _{   matrisine de A matrisinin adjointi (eşlenik transpozesi) denir.} a 

Teorem 2.1.5. ,A BM_nve   olsun. Bu takdirde aşağıdaki eşitlikler geçerlidir. (i) (A* *) A (ii) (A B )* A*B* (iii) (AB)*B A* * (iv) (A)*A* (v) det(A*)det( )A (vi) iz A( *)iz A( ) (vii) * (A ) ( )A { : ( )}A     

(viii) A matrisi tersinir olması için gerek ve yeter şart A matrisi de tersinir *

olmasıdır, yani

* 1 1 *

(A ) (A )

 dir. (Murad, 2003)

Tanım 2.1.5.AM_{m n,} olmak üzere A A matrisinin öz değerlerinin mutlak değerlerinin *

kareköklerine A matrisinin singüler değeri denir ve ( ) (s A i_i 1, 2,..., )n ile gösterilir. Teorem 2.1.6. AM_{m n,} olmak üzere rank A( ) r min{ , }m n _{ise A matrisi, r tane sıfır}

olmayan singüler değere sahiptir. (Zhang, 1999) Tanım 2.1.6. AMnolmak üzere

(i)A A*  ise A matrisine üniter matris denir. I

(ii) A A* AA* ise A matrisine normal matris denir.

Matrisler Tanım 2.1.6’ da verilenlere göre sınıflandırılır. Bu sınıflandırma her çeşit matrisin sağladığı özellikler açısından önemlidir.

Sonuç 2.1.3. Her üniter matris normal matristir.

(i) A üniter matristir.

(ii) A regüler bir matristir ve A1 A* dir. (iii) A A*  dir. I

(iv) A matrisinin sütunlar kümesi ortonormaldir. (v) A matrisinin satırlarının kümesi ortonormaldir.

(vi)   için y Uxx n  olmak üzere y y* x x* dir. (Horn ve Johnson, 1985) Teorem 2.1.8. AaijMnolmak üzere aşağıdaki ifadeler eş değerdir.

(i) A normal matristir

(ii) A matrisin öz vektörleri ortonormal küme oluşturur. (iii) 2 2 , 1 1 n n ij i i j i a    





dir. (Horn ve Johnson, 1985)

Tanım 2.1.7. ,A BM_n olsun. Eğer P AP1 B şartını sağlayan P tersinir matrisi varsa

A ve B matrislerine benzer matrisler denir. A B ile gösterilir. Eğer P matrisi üniter

ise A ve B matrislerine üniter benzer matrisler denir.

Teorem 2.1.9. A B, M_n benzer matrisler olsun. Bu takdirde A ve B matrislerinin karakteristik polinomları aynıdır. O halde öz değerleri de aynıdır.

Teorem 2.1.10. ,A BM_nolsun. Bu takdirde (i) A veA matrisleri benzerdir T

(ii) A A ve * AA matrisleri benzerdir. *

(iii) AA ve AA matrisleri benzerdir. (Zhang, 1999)

2.2. Matris Ayrışımları

Benzerlik yardımıyla matrislerin bazı özel tipteki matrislerin çarpımı şeklinde ifade edilmesi matris teoride önemlidir. Matrislerin çarpanlarına ayrılması matris ayrışımları ile yapılmaktadır. Bu bölümde bazı matris ayrışımları ve bu ayrışımların öneminden bahsedilmiştir.

Tanım 2.2.1. AMnmatrisi köşegen bir matrise benzerse A matrisine köşegenleştirilebilir denir.

Teorem 2.2.1. AMnmatrisinin köşegenleştirilebilmesi için gerek ve yeter şart n tane

lineer bağımsız öz vektörü olmalıdır. (Horn ve Johnson, 1985)

Not 2.2.1. AM_nmatrisinin n tane farklı öz değeri varsa n tane lineer bağımsız öz vektörü vardır. Fakat tersi doğru değildir, yani AM_nmatrisinin n tane lineer bağımsız öz vektörü olması n tane farklı öz değeri olmasını gerektirmez.

Teorem 2.2.2. AM_nmatrisinin  ₁, ₂,..., öz değerlerine _n x x₁, ₂,...,x gibi n tane _n

lineer bağımsız öz vektör karşılık gelsin. Bu takdirde,

1

A P P

olacak şekilde A’nın öz vektörlerinden oluşan terslenebilir P matrisi ve A’nın öz değerlerinden oluşan  köş( , _{1 2},...,_n) köşegen matrisi vardır.(Bozkurt, Türen ve Solak, 2005)

Teorem 2.2.3. (Schur Ayrışımı) A Mn matrisinin öz değerleri  1, 2,..., olsun. Bu n

durumda 1 2 * * 0 _n U AU                 

olacak şekilde bir U üniter matrisi vardır. (Zhang, 1999)

Teorem 2.2.4. (Spektral Ayrışım) A M_n matrisinin öz değerleri  ₁, ₂,..., olsun. _n

Bu durumda A matrisinin normal olması için gerek ve yeter şart A matrisi üniter köşegenleştirilebilir olmasıdır, yani

*

1 2

( , ,..., _n)

olacak şekilde bir U üniter matrisinin vardır. (Zhang, 1999)

Not 2.2.2. A M_nmatrisi normal ise n tane lineer bağımsız öz vektörü vardır.

Teorem 2.2.5. (Singüler Değer Ayrışımı) AM_{m n,} matrisinin rankı r ve singüler değerleri s s₁, ,...,₂ s olsun. Bu durumda _r Dköş s s( , ,..., )_{1 2} s_r olmak üzere

0

0 0

D A U _ _V

 

olacak şekilde bir U ve V üniter matrisi vardır. (Zhang, 1999)

Singüler değer ayrışımının önemi kare olmayan matrisler için de geçerli olmasıdır.

Teorem 2.2.6. (Polar Ayrışımı) A Mnolmak üzere

A PU

şartını sağlayan bir P 0 matrisi ve U üniter matrisi vardır. (Zhang, 1999)

Her A M_nmatrisi Schur Ayrışımı ile üçgenleştirilebilir. A matrisinin n tane birbirinden farklı öz değeri varsa köşegenleştirilebilir. A matrisi normal ise Spektral Ayrışım ile üniter köşegenleştirilebilir.

2.3. Hermityen Matrisler

Tanım 2.3.1. AMnolmak üzere

*

A  A ise A matrisine hermityen matris denir EğerA*  ise A matrisine ters hermityen matris denir. A

Hermityen matris tanımından aşağıdaki sonuçlar açıktır.

(i) A = _a_ij _ M_n matrisinin hermityen olması için gerek ve yeter şart her , 1, 2,...,

i j n için a_ij a_jiolmasıdır. Bu takdirde A hermityen matris ise köşegen elemanları reeldir.

(ii) A Mnhermityen matris ise normal matristir.

(i) A, B hermityen matrisler ise A Bmatrisi de hermityendir

(ii) A, B hermityen matrisler olsun. O halde AB hermityen olması için gerek ve yeter şart AB = BA olmasıdır.

(iii) HerAM_niçin AA*,AA ve * A A hermityendir. *

(iv) A hermityen matris ise A matrisi de k k 1, 2,...,niçin hermityendir. (v) A hermityen matris ise öz değerleri reeldir.

(vi) A hermityen matris olmak üzere öz değerlerine karşılık gelen öz vektörler diktir. Öz vektörlerinin bir ortonormal kümesi vardır. (Horn ve Johnson, 1985)

Not 2.3.1.Bir n-kare hermityen matrisin öz değerlerini

1 2 ... n

   

şeklinde sıralayabiliriz.

Benzer şekilde AM_{m n,} matrisinin singüler değerlerini de

1( ) 2( ) ... n( ) 0

s A s A  s A 

şeklinde sıralayabiliriz.

Teorem 2.3.2. A M_n matrisi ,S TM_n hermityen olmak üzere ASiT şeklinde tek türlü yazılır: * 1 ( ) 2 S  A A ve ( * ) 2 i T  A A

dir. (Horn ve Johnson, 1985) Tanım 2.3.2. A M_n olsun.

* * 1 ( ) ( ) 2 2 i A A A i_ A A _  

yazılımına A matrisinin Cartesian ayrışımı denir.1( * )

2 A A matrisine A matrisinin reel

kısmı denir ve Re(A) ile gösterilir. ( * ) 2

i

A A matrisine de A matrisinin sanal kısmı denir ve Im(A) ile gösterilir.

Teorem 2.3.3. AaijMn matrisinin hermityen olması için gerek ve yeter şart

aşağıdaki şartlardan en az birini sağlamalıdır. (i)   için x n x Ax   dir. *

(ii) A normal matris ve öz değerleri reeldir. (iii)  S Mniçin

*

S AS hermityendir.(Horn ve Johnson, 1985)

Not 2.3.3. A_a_ij_M_n matrisi hermityen olsun. Bu takdirde A matrisinin öz vektörlerinin ortonormal kümesi olduğundan ve Teorem 2.2.2’den A U U  Tolacak şekilde köşegen elemanları A matrisinin öz değerleri olan  köşegen matrisi ve sütunları A matrisinin öz vektörlerinden oluşan U ortogonal matrisi vardır. A matrisinin öz değerleri 1, 2,..., ve bu öz değerlere sırasıyla karşılık gelen öz vektörler n

1, 2,..., n

x x x olmak üzere bu ayrışımı





1 1 2 1 2 0 ... 0 n n n x x A x x x x      _{  }  _{  }   _{  }          

şeklinde yazabiliriz.

2.4. Pozitif Tanımlı Matrisler

Bu bölümde pozitif yarı tanımlı matrislerle ilgili genel bilgi vereceğiz. Hermityen matrislerin kümesini pozitif yarı tanımlı matrislerin kümesini kapsar.

Tanım 2.4.1. A Mn verilsin. .,. , n

 vektör uzayı üzerinde Öklid iç çarpım fonksiyonunu göstermek üzere her x  için n Ax x, x Ax*  oluyorsa A matrisi 0

pozitif yarı tanımlı olarak adlandırılır ve A  ile gösterilir 0

Benzer şekilde sıfırdan farklı her x  içinn Ax x, x Ax*  oluyorsa A 0 matrisine pozitif tanımlı matris denir veA  ile gösterilir. 0

Aşağıdakiler tanımdan aşikardır.

(i) A M_n matrisinin pozitif yarı tanımlı olması için gerek ve yeter şartXM_{n m,} matrisi için X AX  olmalıdır. * 0

(ii) Her pozitif yarı tanımlı matris hermityendir. (iii) A Mn pozitif tanımlı ise

* 1

, , T,

A A A A matrisleri de pozitif tanımlıdır. Teorem 2.4.1.

(i) Pozitif yarı tanımlı (pozitif tanımlı) matrisin öz değerleri ve köşegen elemanları negatif olmayan reel sayılardır (pozitif reel sayı).

(ii) Pozitif yarı tanımlı (pozitif tanımlı) matrisin her esas alt matrisi pozitif yarı tanımlıdır (pozitif tanımlıdır).

(iii) Pozitif yarı tanımlı (pozitif tanımlı) matrisin determinantı ve izi negatif değildir (pozitifdir). (Horn ve Johnson, 1985)

Sonuç 2.4.1. Pozitif yarı tanımlı (pozitif tanımlı) matrisin öz değerleri ile singüler değerleri aynıdır.

Teorem 2.4.2. ,A BMnverilsin. ,   olmak üzere A,B matrisleri pozitif tanımlı 0

(pozitif yarı tanımlı) ise AB matrisi de pozitif tanımlı (pozitif yarı tanımlı) dır. (Horn ve Johnson, 1985)

İspat. A, B aynı mertebeden pozitif tanımlı matris olsun. Bu takdirde her x  için n

*

0 x Ax  ve *

0 x Bx 

olduğundan her x  için n

* * *

( ) 0

x AB xx Axx Bx_

olur.

Her pozitif yarı tanımlı matrisin hermityen matris olduğunu biliyoruz. Aşağıda hermityen matrisin pozitif yarı tanımlı olması için gerekli kriter verilmiştir.

Teorem 2.4.3. AM_n hermityen matrisinin pozitif yarı tanımlı olması için gerek ve yeter şart bütün öz değerlerinin negatif olmamasıdır. (Horn ve Johnson, 1985)

Benzer şekilde AM_n hermityen matrisinin pozitif tanımlı olması için gerek ve yeter şart bütün öz değerlerinin pozitif olmasıdır.

İspat.

:

 A 0ve , A matrisinin x 0vektörüne ait öz değeri olsun. Bu takdirde

* * * Axxx Axx xx x * _, 0 0 , Ax x x Ax x x x x  _     

olur. :

 A hermityen matrisinin öz değerleri negatif olmasın.(  ₁, ₂,...,  ) Bu takdirde _n 0 spektral ayrışımından

*

A UDU

olacak şekilde U üniter ve D = köş( , _{1 2},..., matrisi vardır. _n)

_

_

* 1,....,

T n

y y y U x

olmak üzere her x  için n

* * * , , , , Ax x  UDU x x  DU x U x  Dy y sağlanır ve 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 , , , 0 0 0 n i i i n n n n n n y y y y y y y y Dy y y y y y y                                                                  



          

olduğundan A matrisi pozitif yarı tanımlıdır.

Sonuç 2.4.2. AM_n regüler matrisi pozitif tanımlı olması için gerek ve yeter şart A1

matrisi pozitif tanımlı olmasıdır. Sonuç 2.4.3. AM_nolsun.

(ii) A matrisi hermityen ise A ( 2k k 1, 2,...) matrisi pozitif tanımlıdır. Teorem 2.4.4.AMn pozitif yarı tanımlı matris vek 1, 2,...olsun Bu takdirde

k

B A

olacak şekilde bir tek B 0 matrisi vardır. (Horn ve Johnson, 1985)

Tanım 2.4.2. AM_n pozitif yarı tanımlı matrisi için Bk A _{olacak şekilde} B 0 matrisine A matrisinin k. kökü denir ve

1

k

BA ile gösterilir.

Sonuç 2.4.4. AMn pozitif yarı tanımlı isek 1, 2,...olmak üzere

1 1

1 1

(_Ak) (_A )k

 dir.

Sonuç 2.4.5. ,A BM_n ve A  olsun. A, B matrisleri değişmeli ise 0 A1 2, B matrisleri

de değişmelidir.

Teorem 2.4.5. AM_nmatrisinin pozitif yarı tanımlı olması için gerek ve yeter şart herhangi bir B matrisi için AB B* olarak yazılabilmesidir. (Zhang, 1999)

İspat.

:

 AM_n pozitif yarı tanımlı matris olsun. Bu takdirde

1 1 2 2 AA A 1 1 * 2 2 (A ) A  yazılabilir. :

 Herhangi bir B matrisi için AB B* olsun. Bu takdirde her x  için iç çarpım n

fonksiyonunun özelliklerinden

*

, , , 0

Ax x  B Bx x  Bx Bx 

Sonuç 2.4.6. Her AM_n matrisi için A A matrisi pozitif yarı tanımlıdır. *

Tanım 2.4.3. Bir A matrisinin mutlak değeri



*



1₂

A  A A

şeklinde tanımlanır.

Not 2.4.1.AM_{m n,} olsun. Bu takdirde A (A A* )1 2 matrisinin öz değerlerine A matrisinin singüler değerleri denir.

Teorem 2.4.6. ,A BMnolsun. Bu takdirde A  ise 0

*

0

B AB  dır. (Horn ve Johnson, 1985)

İspat. A 0 olduğundan A matrisi vardır. Bu takdirde 1 2





*



 

*



* * 1 2 1 2 * 1 2 1 2 1 2 1 2

B ABB A A BB A A B A B A B

olduğundan Sonuç 2.4.6 ’dan _{B AB  dır.} * 0

Teorem 2.4.7. A B, M_npozitif tanımlı (pozitif yarı tanımlı) olsun. AB matrisinin pozitif tanımlı (pozitif yarı tanımlı) olması için gerek ve yeter şart A, B matrisleri değişmeli olmalıdır. (Zhang, 1999)

İspat. A B, M_npozitif tanımlı olmak üzere Teorem 2.1.2 den

1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ( )) ( ) j AB j A A B j A BA    , j1,...,n dir ve 1 1 2 2 ₀

A,B matrisleri değişmeli ve hermityen olduğundan AB matrisi de hermityendir.

Ayrıca j(AB)0 olduğundan AB matrisi pozitif yarı tanımlıdır.

2.5. Löwner Kısmi Sıralama Bağıntısı

, _n

A BM hermityen matrisler olmak üzere A B matrisi pozitif yarı tanımlı ise

AB yazılır. Benzer şekilde AB0 ise AByazılır.

Teorem 2.5.1. Hermityen matrisler cümlesinde " " bağıntısı bir kısmi sıralama bağıntısıdır. Bu bağıntıya Löwner Kısmi Sıralama bağıntısı denir.

Teorem 2.5.2. ,A BMn hermityen matrisler olmak üzere ABolması için gerek ve

yeter şart her CM_{n için} C AC* C BC* sağlanmalıdır. (Zhang, 1999)

Teorem 2.5.3. ,A BM_n hermityen matrisler, A pozitif tanımlı ve B pozitif yarı tanımlı olsun. Bu takdirde AB için gerek ve yeter şart(BA1) 1 ve AB için gerek ve yeter şart 1

(BA ) 1

 

 olmasıdır. (Horn ve Johnson, 1985)

Sonuç 2.5.1. ,A BM_npozitif tanımlı olsun. Bu takdirde aşağıdaki ifadeler geçerlidir. (i) AB olması için gerek ve yeter şartB1A1_olmalıdır.

(ii) AB iseizAizBve detAdetBdir.

(iii) j1,2,...,niçin _j( )A _j( )B dir.(Horn ve Johnson, 1985)

Karekök fonksiyonunun pozitif yarı tanımlı matrisler için Löwner sıralamasını koruduğu aşağıda teoremle verilmiştir.

Teorem 2.5.3. A B, M_n pozitif yarı tanımlı matrisler olsun. Bu takdirde AB

ise 1 1 2 2 A B dir. (Zhang, 1999) İspat. 1 1 2 2

A B matrisi hermityendir. O halde

1 1

2 2

A B matrisinin pozitif yarı tanımlı olduğunu göstermek için öz değerlerinin negatif olmadığını göstermeliyiz. Öz değer tanımından

1 1 1 1

2 2 2 2

(A B )xxB xA xx

elde edilir. Cauchy – Schwarz eşitsizliği, her x  için n

2

, , ,

x y  x x y y

olduğunu ifade eder. Buna göre

1 1 * * ₂ * ₂ 1 1 * 2 * 2 1 2 1 2 1 2 * 1 2 1 2 * 1 2 1 2 * 1 2 1 1 * _{2 2} 1 1 * 2 2 1 * * ₂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xA x x Ax x Ax x Ax x Bx A x A x B x B x A x B x x A B x x A A x x x Ax x A x                   

olur. Böylece her x  için n

1 * ₂ 0 x A x   olduğundan  0 dır. 2.6. Matris Normu

Tanım 2.6.1. _{M kümesi  üzerinde n n boyutlu vektör uzayıdır. ||| .|||:}2 M   _n

fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa buna Matris Normu denir. AM_nolmak üzere

(1) |||A  ||| 0

(2) |||A||| 0  A 0

(3)   c için |||cA||| c |||A||| (4) ||AB||| ||| A||| . |||B|||

(5) |||A B ||| ||| A||| ||| B|||

(1) - (4) şartlarını sağlayan fonksiyona da Genelleştirilmiş Matris Normu denir. Sonuç 2.6.1. AM_n ve ||| . ||| matris normu olmak üzere

(i) |||A2||| ||| A|||2 (ii) ||| ||| 1I 

(iii) A regüler matris olmak üzere ||| 1||| ||| ||| ||| ||| I A A  

dir. (Horn ve Johnson, 1985) Örnek 2.6.1. n AM olsun. (1) 1 2 2 2 , 1 n ij i j A a       





ifadesine Euclidian veya  normu denir. Ayrıca ₂

1 1 1 2 2 2 2 * * 2 , 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n ij i i i j i i A a iz A A  A A s A          _{ }  _{ } _{ }     









olur. (2) ₁ , 1 n ij i j A a       





ifadesine  normu denir. ₁

1 1 ( ) n _p p i p i A s A       



 , 1 p  _{ }

ifadesine Schatten p - normu denir. p =2 için Schatten p – normu Euclidian normuna eşittir.

(4) A matrisinin singüler değerleris A1( )s A2( )...s An( )olmak üzere

( ) 1 ( ) k i k i A s A  

_

ifadesine Ky Fan k – normu denir. p   Schatten p – normu k 1 için Ky Fan – k normuna eşittir. p  için Schatten p – normu 1 k n için için Ky Fan – k normuna eşittir.

Herhangi bir vektör normundan matris normu nasıl elde edileceği aşağıdaki teoremde verilmiştir.

Teorem 2.6.1. . , üzerinde vektör normu olsun. Bu takdirde, n AM_nolmak üzere

1 0 ||| ||| max max x x Ax A Ax x    

tanımlanan fonksiyon matris normudur. Bu norma . vektör normunun ürettiği norm veya operatör norm denir. Operatör norm

(i)   vex n  A Mn için Ax |||A||| x

(ii) ||| ||| 1I 

Örnek 2.6.2. (1) ₁ 1 : , n n i i x x   

_

   vektör normundan 1 1 1 ||| ||| max n ij j n i A a    

_

matris normu elde edilir. Bu norma sütun normu denir (2) 1 : n , max{ _i} j n x x         vektör normundan 1 1 ||| ||| max n ij i n i A  a    



matris normu elde edilir. Bu norma satır normu denir.

(3) 1 2 2 2 1 : , n n i i x x     _{  } 





   Öklid vektör normundan

* 2 1 ||| ||| max{ _i( )} i n A  A A   

matris normu elde edilir. Bu norma Spektral norm denir.

Tanım 2.6.2. ||| . ||| matris normu veAM_n olmak üzere her U veV üniter matrisleri için

|||A||| ||| UAV|||

Örnek 2.6.3. Euclidian normu, Schatten p- normu, Spektral norm, Ky Fan k – normu, satır ve sütun normu üniter invaryant normdur.

3. ÖZ DEĞER VE SİNGÜLER DEĞER EŞİTSİZLİKLERİ

3.1 Hermityen Matrislerin Öz Değerlerinin Karakterizasyonu

Herhangi bir matrisin öz değerleri sadece karakteristik denklemin kökleri ile karakterize edilirken hermityen matrislerin öz değerleri Courant – Fischer teoremiyle de karakterize edilebilir. Rayleigh – Ritz teoremi bir hermityen matrisin en küçük ve en büyük elemanlarını, Courant – Fischer teoremi ise bütün öz değerlerini karakterize eder. Teorem 3.1.1(Rayleigh - Ritz) AM_n hermityen matrisinin öz değerleri

1 1 ... n

    olmak üzere her _{x   için} n

* * * 1 nx x x Ax x x    (3.1) * * * 1 ₀ * 1 max max x x x x Ax x Ax x x      (3.2) * * * * 0 1 min min n _x x x x Ax x Ax x x      (3.3)

dir. (Horn ve Johnson, 1985)

İspat. AM_n hermityen matris olduğu için spektral ayrışımdan

1 2

( , ,..., _n)

köş   

  olmak üzere _{A U U } * _{eşitliğini sağlayan U üniter matrisi vardır.}

Bu takdirde her _{x   için} n

2 * * * * * 1 ( ) ( ) ( ) n i i i x Ax Ux Ux  Ux    

_

(3.4)

2 2 2 * * * * 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n i i i i i i i Ux Ux x Ax Ux         







(3.5)

dır. Ayrıca U üniter matris olduğundan

2 2 * * 1 1 ( ) n n i i i i Ux x x x    





eşitliği sağlanır. Bu eşitlik (3.5) eşitsizliğinde uygulanırsa (3.1) eşitsizliği elde edilir. (3.2) eşitliğini ispatlayalım. (3.3) eşitliği de benzer şekilde ispatlanır. (3.1) eşitsizliğinden her x   için n

*

1 *

x Ax

x x  (3.6)

dir. Eğer x vektörü  öz değerine ait öz vektör ise eşitlik sağlanır, yani ₁

* * * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * 1 1 x Ax Ax x x Ax x x x x         (3.7)

olur. (3.6) ve (3.7) ifadelerinin sonucu olarak (3.2) eşitliği elde edilir.

Not 3.1.1. Rayleigh – Ritz teoremi ile hermityen matrislerin sadece en büyük ve en küçük öz değerleri karakterize edilebilir. Geri kalan öz değerler hakkında yorum yapamayız. Şimdi Rayleigh – Ritz teoremini esas alarak hermityen matrislerin diğer öz değerlerini karakterize edelim:

n

AM hermityen matrisinin _i öz değerine ait öz vektöru olmak üzere _i

1 2

{ ,u u ,...,u kümesi A matrisinin ortonormal öz vektörleri kümesi olsun. Bu takdirde _n}

1 2

( , ,..., _n)

köş   

  ve U 



u₁ u₂ ... u_n



olmak üzere A U U  * dır. u₁ öz vektörüne dik her x   için n





2





2





2 * * * * 1 1 2 n n n i _i i i i i _i i i i x Ax  U x  u x  u x    

_



_



_

(3.8) dir.





2 * i _i u x negatif olmadığından





2





2





2 * * * * * 2 2 2 2 2 2 n n n i i i _i i i i x Ax  u x  u x  U x  x x    

_



_



_

 * 2 * x Ax x x    (3.9)

elde edilir. Eğer x, u vektörü alınırsa öz değer tanımından (3.9) eşitsizliğinde eşitlik ₂

sağlanır. * * * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * 2 2 u Au Au u u Au u u u u         (3.10) (3.9) ve (3.10) ifadelerinden * * * 2 ₀ * ₁ 1 1 max max x x x x u x u x Ax x Ax x x        (3.11)

karakterize edilir. Bu eşitliği her öz değer için genelleştirirsek * * * * 0 1 , , ,..., 1 2,..., ₁ 1 2 1 max max k x x x x u u _u x u u u_k k x Ax x Ax x x      _    , k2,3,...,n (3.12) * * * _* 0 1 , ₁,..., _{1 , ,...,} 1 1 min min n k x x x x u u_{n n} u_{n k x u u u} n n n k x Ax x Ax x x  _    _{   }      , k1, 2,...,n 1 (3.13) elde edilir.

(3.12) ve (3.13) eşitliklerinin kullanılması için öz vektörleri bilinmesi gerektiğinden kullanımı azdır. Fakat bu eşitlikler önemli bir karakterizasyonun gelişmesini sağlamıştır.

Teorem 3.1.2(Courant – Fischer). AM_n hermityen matrisinin öz değerleri

1 2 ... n     olsun. Bu takdirde 1 2 * * 0, , ,..., , ,..., 1 2 max min n n n k k x x w w w x w w _{wn k} x Ax x x      _    (3.14) 1 2 1 * * , ,..., 0, , ,..., 1 2 1 min max n n k k w w w x x x w w w_k x Ax x x      _    (3.15)

dir. (Horn ve Johnson, 1985)

İspat. AM_n hermityen matris olduğu için spektral ayrışımdan

1 2

( , ,..., _n)

köş   

  olmak üzere A U U  * eşitliğini sağlayan U üniter matrisi vardır. Herhangi bir{ ,w w_{1 2},...,w_{n k} } ncümlesi verilsin. w w₁, ₂,...,w_{n k} vektörlerinin her birine dik her 0 _x n

* * * * * * * * * * * * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x Ax U x U x U x U x y y x x x x U x U x y y       (3.16) dir. Ayrıca * * * 2 * * * * 0, 0, * * * , ,..., _{, ,...,} 1 2 _{1 2} * 1 * _, * _,..., * 1 2 2 1 1 * _, * _,..., * 1 2 1 * _, * _,..., * 1 2 .... 0 1 1 min min min min min n n x x y y x w w w_{n k y U w U w U w} n k y y y U w U w U w_{n k} n i i y y i y U w U w U w_{n k} i y y y U w U w _{U wn k} y y _yk x Ax y y x x y y y y y        _{ }    _    _   _   _      



  * 2 1 2 1 * _, * _,..., * 1 2 2 2 2 ... 1 1 2 min n i i n i i y y i k y U w U w U w_{n k} y_k y_k y_n n k i k i k y y y        _  _       







olur. O halde herhangi bir{ ,w w_{1 2},...,w_{n k} } ncümlesi

* * 0, , ,..., 1 2 min n k x x x w w _{wn k} x Ax x x     _   (3.17)

* * 0 , ₁,..., ₁ min k x x u u_{n n} u_k x Ax x x    _{ }  (3.18)

elde edilir. Bu taktirde (3.17) eşitsizliğinde w_iu_{n i 1}(1 i k1) alınırsa eşitlik sağlanır. Sonuç olarak

1 2 * * 0, , ,..., , ,..., 1 2 max min n n n k k x x w w w x w w _{wn k} x Ax x x      _    eşitliği sağlanır.

Not 3.1.2. Courant – Fischer teoremi

* * , 1 max min n _{x S} k boyS k S x x x Ax        (3.19) * * 1, 1 min max n _{x S} k boyS n k S x x x Ax          (3.20)

şeklinde de ifade edilebilir.

Sonuç 3.1.1. AM_n hermityen matrisinin _j( )A öz değerine karşılık gelen öz vektörü

j

e olmak üzere ortonormal öz vektörleri { ,e e_{1 2},..., }e_n olsun. e e₁, ,...,₂ e vektörlerinin _k

ürettiği uzay M olmak üzere

* 1, 1, ( ) min min , k x x M x x M A x Ax x Ax        (3.21)

dir. boy M  olmak üzere, k n

M   herhangi alt uzay ise

1, ( ) min , k x x M A x Ax     dir.

Teorem 3.1.3 (Singüler değerler için Courant – Fischer) AM_n olmak üzere

* , 1 max min n _{x S} k boyS k S x x Ax s       (3.22) * 1, 1 min max n _{x S} k boyS n k S x x Ax s         (3.23) dir. (Bhatia,1997)

Teorem 3.1.4 (Weyl) A B, M_n hermityen matris olsun. Bu takdirde k 1, 2,...,n için

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k A n B k A B k A B

      (3.24)

eşitsizliği vardır. (Horn ve Johnson, 1985) İspat. (1) eşitsizliğinden her 0   için x n

* 1 * ( ) ( ) n x Bx B B x x    (3.25)

dir. Bu takdirde 1 2 1 2 1 2 * * 0, , ,..., , ,..., 1 2 * * * * 0, , ,..., , ,..., 1 2 * * 0, , ,..., , ,..., 1 2 ( ) ( ) max min max min max min ( ) n n n k n n n k n n n k k x x w w w x w w w_{n k} x x w w w x w w w_{n k} n x x w w w x w w w_{n k} x A B x A B x x x Ax x Bx x x x x x Ax B x x          _     _     _       _  _      _         k( )A n( )B 

eşitsizliği, yani (3.24) eşitsizliğinin birinci kısmı elde edilir. Eşitsizliğin ikinci kısmı da benzer şekilde gösterilir.

Sonuç 3.1.2.(Weyl Monotonluk Teoremi) A B, M_n hermityen matris olsun. B pozitif yarı tanımlı matris olmak üzere k 1, 2,...,n için

( ) ( )

k A k A B

   (3.26)

dir. (Horn ve Johnson, 1985)

İspat. Weyl eşitsizliğinin birinci kısmından

( ) ( ) ( )

k A n B k A B

    , k1, 2,...,n (3.27)

olduğunu biliyoruz. B pozitif yarı tanımlı olduğundan _k( )B  dır. Bu takdirde (3.27) 0 eşitsizliğinden

( ) ( )

k A k A B

  

elde edilir.

Sonuç 3.1.3. A B, M_n hermityen matris olsun. Bu takdirdek1, 2,...,n için AB ise

( ) ( )

k A k B

  dir.

Teorem 3.1.5(Yer Değiştirme Teoremi) H, H A_* B

B C

 

  

 

olacak şekilde bir n × n hermityen matris ve 1 m  olmak üzere A, m – kare matrisi H’ın bir esas alt matrisi n

olsun. Bu durumda k1, 2,...m için

( ) ( ) ( )

k n m H k A k H

_{ }   (3.28)

dir. (Zhang, 1999)

İspat. Courant – Fischer teoreminden 1 m n  olmak üzere A m – kare matrisi için





* * , 1 ( ) max min k k m m m k k m x S x x S A x Ax boyS k        (3.29)





* * , 1 ( ) max min k k n n n k k n x S x x S H x Hx boyS k        (3.30) elde edilir. ₀k

boyS k olmak üzere

0 { : } 0 k k n m x S  y _{ } xS     (3.31)

şeklinde tanımlansın. Bu takdirdey Hy* x Ax* olduğundan * * * 0 0 * * * , 1 , 1 , 1

( ) max min max min max min ( )

k k k k n k n k n m n m k k x S x x y S y y x S x x S S S H x Hx y Hy x Hx A                

(3.28) eşitsizliğinin ikinci kısmı elde edilir. Eşitsizliğin birinci kısmının ispatı H yerine –H alınarak benzer şekilde gösterilir.

Sonuç 3.1.4. AM_m hermityen matris olsun. *

n

V V I şartıyla herhangi bir VM_{m n,}

matrisi için * ( ) ( ) ( ) i m n A i V AV i A     , 1 i m (3.32) dır. (Zhang,1999)

Sonuç 3.1.5.(Ky Fan Maksimum İlkesi) AM_n hermityen matris olmak üzere

1 2 * , ,..., , 1 1 , ,..., 1 2 ( ) max n k k k i i i x x x i i x x x ortonormal_k A x Ax     



_



, 1 k  n (3.33) dır. (Zhang, 1999) İspat. 2,..., n k

x x   herhangi ortonormal vektörler olmak üzere V 



x x_{1 2}...x_k



olsun.

*

n

* * *

1(V AV) 1( ),A 2(V AV) 2( ),....,A k(V AV) k( )A

      (3.34)

eşitsizlikleri elde edilir. Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa

* 1 1 ( ) ( ) k k i i i i V AV A     





(3.35) dir, ayrıca * k V AVM olduğundan * * * 1 1 ( ) ( ) k k i i i i i V AV iz V AV x Ax     





(3.36)

dir. O halde (3.35) ve (3.36) ifadelerinden

* 1 1 ( ) k k i i i i i x Ax  A   





(3.37)

elde edilir. Eğer ₁, ₂,...,

k

x x x vektörlerini A matrisinin birim öz vektörleri olarak

seçersek * 1 1 ( ) k k i i i i i x Ax  A   





(3.38)

1 2 * , ,..., , 1 1 , ,..., 1 2 ( ) max n k k k i i i x x x i i x x x ortonormal_k A x Ax     



_



istenilen elde edilir.

Not 3.1.3.Ky Fan Maksimum İlkesi AM_nhermityen matris olmak üzere

* * 1 , ( ) max ( ) k i UU I i U M_{n k} A iz UAU    _ 



, 1 k _ n _(3.39)

şeklinde de ifade edilebilir. (Horn ve Johnson, 1985)

Sonuç 3.1.6. AM_n herhangi bir matris olsun. x x₁, ₂,...,x  _k n ve y y₁, ₂,...y  _k n

olmak üzere 1,..., 1 _,..., 1 1 ( ) max , , 1 k y k k j j j x x ortonormal j _{y ortonormal} j k s A y Ax k n     





(3.40) dir. Bu eşitlik ₁, ₂,..., n k x x x   olmak üzere 1,..., 1 1 ( ) max , , 1 k k k j j j x x ortonormal j j U üniter s A x UAx k n     





(3.41)

Sonuç 3.1.7. AM_n hermityen matris olmak üzere * * 1 , ( ) max det( ) k i UU I i _{U M} n k A U AU    _ 



, 1 k _ n _(3.42) dir. (Bhatia, 1997)

Sonuç 3.1.8. AM_n olmak üzere

* * 1 , ( ) max det( ) k i UU I i _{U M} n k s A U AU   _ 



, 1 k _ n _(3.43) dir. (Bhatia, 1997)

3.2. Blok Matrislerin Singüler Değer Eşitsizlikleri

Blok matisler, çeşitli matris eşitsizliklerinin elde edilmesinde önemli rol oynamaktadır. Bu bölümde bazı özel tipteki blok matrislerin spektrumu karakterize edilmiştir. Son olarak da blok matrislerin singüler değer eşitsizliklerine yer verilmiştir. Lemma 3.2.1. A B, M_n olmak üzere 0

0 A M B       

blok matrisi tanımlansın. Bu takdirde

1 2 1

(M) { ( ),A ( ),....,A _n( ),A ( ),...,B _n( )}B

       (3.44)

Sonuç 3.2.1. AM_n hermityen olmak üzere 0 0 A M A     _   

blok matrisi tanımlansın. Bu takdirde

1 2 1

(M) { ( ),s A s A( ),....,s A_n( ), s A_n( ),..., s A( )}

    (3.45)

dir. Yani j1, 2,...,n için

( ) ( )

j j

s A  A A (3.46)

olur. (Zhang, 1999)

Lemma 3.2.2. AM_{m n,} ve rank A olmak üzere r 0_*

0 A M A        blok matrisi tanımlansın.

(i) M matrisi hermityendir.

(ii) ( ) { 1( ), 2( ),...., ( ), 0, 0,...., 0, ( ),..., ( )}1 m n r r r M s A s A s A s A s A         dır. Dolayısıyla 1, 2,...,

j r için s A_j( )_j(M)dir (Zhang, 1999).

Lemma 3.2.3. A B, M_n pozitif yarı tanımlı ise 0 0 A M B       

blok matrisi de pozitif yarı tanımlıdır. (Horn ve Johnson, 1985)

Lemma 3.2.4.A B, M_n pozitif yarı tanımlı ve AB olsun. Bu takdirde M B A

A B

 

  

 

blok matrisi de pozitif yarı tanımlıdır. (Zhang, 1999)

0 H K H K K H           (3.47) olur. (Zhang, 2001)

Teorem 3.2.2 AM_n pozitif yarı tanımlı ve BM_{n m,} olsun. XM_n olmak üzere

* 1 * 0 A B X B A B B X           (3.48) dir. (Zhang, 2001)

Teorem 3.2.3. A B, M_n pozitif yarı tanımlı matris olmak üzere

( ) ( )

j j

s AB s AB , 1 j n (3.49)

dir. (Zhan,2004)

İspat. A B, M_n pozitif yarı tanımlı matris olduğundan Lemma 3.2.3’ denAB 0 ve BA dır. Bu takdirde 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 A A B B A B B A A B B B A A                              (3.50)

(( ) ( )) ( ) ( ), 1 2

j A B B A j A B s Aj B j n

          (3.51)

olur. Son olarak (3.46) ve (3.51) ifadelerinden

( )) ( ), 1

j j

s AB s AB  jn

istenilen elde edilir.

(3.49) eşitsizliği Kittaneh (2008), çalışmasında (3.49) eşitsizliğinin genel hali ispatlanmıştır.

Teorem 3.2.4. A B X, , M_nve A, B pozitif yarı tanımlı matris olmak üzere

( ) ( )

j j

s AX XB  X s AB , j1, 2,...,n

dir. (Kittaneh, 2008)

Sonuç 3.2.2. A B X, , M_nve A, B pozitif yarı tanımlı matris olmak üzere her üniter invaryant norm için

|||AX XB||| ||| X ||| .|||AB||| (3.53)

dir. X I alınırsa

elde edilir. Teorem 3.2.5 M N, M_n ve M_* K 0 K N       

olsun. Bu takdirde rmin{ , }m n olmak üzere * 2 ( )s K_j s_j M K K N    _{ }   , j1, 2...,r (3.55) dir. (Tao, 2006)

İspat. M N, M_nolmak üzere 0_* 0 K Q K        olsun. Bu takdirde M_* K 0 K N       

olduğundan Teorem 2.4.6’dan

* * * * 0 0 0 2 2 0 0 m m n n I M K I M K M K M K Q Q I K N I K N K N K N            _{   }_{ }_{ }  _{ }  _{ }  _ _{    }     (3.56)

elde edilir. Sonuç 3.1.3 ve (3.56) ifadelerinden

* * 2 _j( )Q _j M K s_j M K K N K N   _ _ _ _     , j1, 2...,m n (3.57)