Test 59 Üçgende Benzerlik

(1)

www

.krakademi.com

1.

Bilgi:

Temel Benzerlik Teoremi (Açı – Açı – Açı), eşit açı-ların gördükleri kenar uzunlukaçı-larının oranı eşittir. Bu orana benzerlik oranı denir ve k ile gösterilir.

A B C D E // . DE BC ise ADE ABC AB AD BC DE AC AE k d ri + = = = 7 A 7 A & & A B C D E 4 12 8 y x 3

• [DE] // [BC] ise ADE üçgeni ABC üçgenine ben-zerdir. Buna göre temel benzerlik teoreminden,

. AB AD BC DE AC AE dir = = • , . . AB AD BC DE BC DE AC AE ise y _x y x y cm dir x x cm dir 7 4 8 14 8 12 12 4 56 24 2 42 14 2 18 9 2 3 $ = = = = + = + = = = =

Buna göre, x + y = 9 + 14 = 23 cm bulunur.

Cevap: D

2.

D E x A B C 4 8 8

• [DE] // [BC] ise Z kuralından (m EBC%)=m DEB(%) olur. Buna göre, DBE üçgeni ikizkenar üçgendir ve |BD| = |DE| = 8 cm olur.

• [DE] // [BC] ise ADE üçgeni ABC üçgenine ben-zerdir. Buna göre temel benzerlik teoreminden,

. . AB AD BC DE AC AE dir x x x cm bulunur 12 4 8 12 2 24 2 $ = = = = = Cevap: E

(2)

www

.krakademi.com

3.

A B C D G E F x 2 5 10

• [CE] // [FG] ise AFG üçgeni ACD üçgenine ben-zerdir. Temel benzerlik teoreminden,

, . AC AF CD FG ise AC AF dir 5 2 = =

• [BC] // [EF] ise AEF üçgeni ABC üçgenine ben-zerdir. Temel benzerlik teoreminden,

, . AB AE AC AF ise x x x x cm bulunur 10 10 5 2 25 10 25 10 15 5 = + = = + = -= Cevap: B

4.

A B E D C k 2k G 6 3 Bilgi:

Bir üçgende ağırlık merkezi (G) kenarortayların kesi-şim noktasıdır ve ağırlık merkezi (G) kenarortay uzunluklarını 1 e 2 oranında böler.

A B D C x y z F 2x E G 2y 2z |AG| = 2·|GD| |BG| = 2·|GE| |CG| = 2·|GF|

• ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ise [AG] doğru-su kenarortaydır.

|AG| = 2·|EG| ise |EG| = k ise |AG| = 2k olur. • [DG // [AC] ise EGD üçgeni ile EAC üçgeni

ben-zer üçgenlerdir. Temel benben-zerlik teoreminden,

. EA EG EC ED ise k k ED ED ED ED ED ED cm olur 2 6 6 3 2 6 3 $ $ = = + + = = =

(3)

www

.krakademi.com

5.

2x A B C D E F G k k k x K 9

• |AE| = |EG| = |GC| = k br olsun.

• [FG] // [DE] ise CGK üçgeni CED üçgenine ben-zerdir. Temel benzerlik teoreminden,

, . CE CG ED GK ise k k ED x ED x br olur 2 2 $ = = =

• [DE] // [FG] ise ADE üçgen AFG üçgenine ben-zerdir. Temel benzerlik teoreminden,

, . AG AE FG DE ise k k x x x x x x x x br bulunur 2 9 2 9 2 2 9 4 9 3 3 $ = = + + = + = = = Cevap: D

6.

A B C D E 10 x 3 8 F 3k 8k

• [DE] // [BC] ise DEF üçgeni ile CBF üçgeninin açıları aynı olduğundan bu iki üçgen benzerdir. Buna göre kelebek benzerliğinden,

. , . BC DE BF EF FC DF dir BC DE DE k ise BC k olur 8 3 3 8 = = = = =

• [DE] // [BC] ise ADE üçgen ABC üçgenine ben-zerdir. Temel benzerlik teoreminden,

AB AD BC DE AC AE k k x x x x x x x 8 10 3 30 8 30 8 3 30 5 3 = = + + = = -= . x 6 br olur = = Cevap: A

(4)

www

.krakademi.com

7.

A B D C E x b b _a 10 – x 3 5 6

• ABC üçgeninde pisagor bağıntısından |BC|2_{= |AB|}2_{+ |AC|}2 |BC|2_{= 6}2_{+ 8}2 |BC|2_{= 36 + 64} |BC|2_{= 100} |BC| = 10 cm bulunur. • |BD = x cm ise, . BD DC BC x DC DC x cm dir 10 10 + = + = =

-• m ACB(%)=a olsun. ABC ve EDC üçgenlerinin iki açısı (Å ve 90°) aynı olduğundan üçüncü açıları-da (ß) eşittir. Buna göre bu iki üçgen benzerdir. ABC ve EDC üçgenlerinin eşit açılarının gördüğü kenarların oranları birbirine eşittir.

, . fl ç› › ö ü€ü › › EC BC DC AC DE AB x x x x birim bulunur E it a lar n g rd kenarlar n oran 3 10 10 8 100 10 24 76 10 7 6 = = = -- = = = e o Cevap: E

8.

D E F x K A B C 4 6 9 4 x

• [EF] // [BC] ise AEK üçgeni ABD üçgenine ben-zerdir. Temel benzerlik teoreminden,

4+ =8 AB AE AD AK EB EB EB 4 4 2 1 & = + = . br olur 4 =

• [EF] // [BC] ise AKF üçgeni ADC üçgenine ben-zerdir. Temel benzerlik teoreminden,

+ = FC AF AD AK x FC x x FC x FC 2 1 2 & = + = . x br olur = Bilgi: İç Açiortay Bağıntıları D A B n C nA m y x

[AD] açıortay ise

• _mx =_ny _{yada y}x=m dir_n . • n_A= x y m n dir$ - $ .

(5)

www

.krakademi.com

9.

A B C D K E F 4 5 7 4 4 5 7 L 7 _d 1 d2 d₃ x 11

• [AE] doğrusuna B noktasından paralel [BL] doğ-rusu çizilir. Oluşan paralelkenarların karşılıklı kenarları birbirine eşit olacağından,

|AB| = |CK| = |EL|= 7 birim |AC| = |BK| = 4 birim |CE| = |KL| = 5 birim olur. • . CD br ise CK KD CD KD br dir KD 11 11 4 = + = = 7 + = • . EF x br ise EL LF EF LF x LF x 7 br dir = + = = -7 + =

• d2 // d3 ise BKD üçgeni BLF üçgenine benzerdir.

Temel benzerlik teoreminden,

. BL BK LF KD ise x x x x br bulunur 9 4 7 4 9 7 9 7 16 = = = -= + = Cevap: A

10.

A B C D E 2k = 4 3k = 6 x F 4 4 2 10 60° 30° 120° 60° 60° 60° 30° 60°

• m B( )V =60c ve |AB| = |BC| = 10 br olduğu için ABC üçgeni eşkenar üçgendir. ve

( ) ( ) ( ) .

m AW =m BV =m CW =60colur

• [BC] doğrusuna E noktasından paralel olan [EF] doğrusu çizilirse AFE üçgenide eşkenar üçgen olur. • . , AE EC EC AE AE k ise EC k olur ise 3 2 3 2 ₂ ₃ $ = $ = , = =

• ABC eşkenar üçgen olduğundan tüm kenar uzun-lukları 10 birim ise,

. AC k k AE k br EC k br olur 5 10 2 2 2 2 4 3 3 2 6 $ $ = = = = = = = = =

• AFE üçgeni eşkenar üçgen olduğundan tüm kenar uzunlukları 4 br ve tüm açıları 60° olur. • DFE 30° – 30° – 120° özel üçgendir. Buna göre,

120° nin gördüğü kenar uzunluğu 30° nin gördüğü kenar uzunluğunun 3 katına eşittir.

. br ise x br bulunur 30 4 120 4 3 fl› › fl› › kar s kar s c c = Cevap: B

(6)

www

.krakademi.com

11.

a a a b b b D E F G x x y y k k A B2 8 C

• |AG| = |GB| = k birim olsun.

• DEFG dikdörtgeninin karşılıklı kenarları eşit, köşeleri dik kesişir ve kenarları birbirine paralel-dir.

|DE| = |GF| = x br |GD| = |FE| = y br dir.

• [GF] // [BC] ise AGF üçgenin ABC üçgenine ben-zerdir. Temel benzerlik teoreminden,

. AB AG BC GF ise k k x x x x x x x br olur 2 2 8 2 1 10 10 2 10 = = + + = + + = =

• Üçgenlerin açılarını harflendirirsek.

( ) ( )

m BCA% =a ve m EFC% =b olsun.

Å + ß = 90° olur. Diğer üçgenleride harflendirirsek

( ) ( )

m ABC% =b ve m BGD% =a olur.

• BDG ve FEC üçgenlerinin açıları aynı olduğun-dan bu iki üçgen benzer üçgenlerdir. Eşit açıların gördüğü kenar uzunluklarının oranları birbirine eşit olacağından, . . FE BD EC GD dir y y y br olur 2 _& 2 ₁₆_& ₄ = = = =

12.

A B C D 3k k 56 E

• |AD| = 3·|DB| ; |DB| = k olsun, |AD| = 3k olur. • [DE] // [BC] ise ADE üçgeni ABC üçgenine

benzerdir. Temel benzerlik teoreminde benzerlik oranı bulunur. . . › › Benzerlik oran AB AD BC DE AC AE dir Benzerlik oran k k t r 4 3 4 3 ü = = = = =

• Benzer olan üçgenlerde benzerlik oranının karesi üçgenlerin olanları oranına eşittir.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) › Benzerlik oran A ABC A ADE A ABC A ADE A ABC A ADE 4 3 16 9 2 2 = = = e e o o

A(ADE) = 9S ise A(ABC) = 16S olur.

Buna göre, Alan(BEDC) = 16S – 9S = 7S olur. •

. Alan BEDC S br ise S br olur 7 56 8 2 2 = = = ` j • A(ADE) = 9S = 9·8 = 72 br2_bulunur. Cevap: C