Normal Dağılım Fonksiyonunun Taylor Serisine Açılması ve Bu Seri Yardımıyla Normal Dağılımın İhtimal Değerlerının Hesaplanması ve Grafiklerinin Çizimi

(1)

NORMAL DAGILIM

FONKSİYONUNUN

TAVLOR

SERİSİNE

AÇILMASI VE BU

SERİ

YARDIMIYLA NORMAL DAGILIMIN

İHTİMAL

DEGERLERİNİN

HESAPLANMASI VE

GRAFİKLERİNİN ÇİZİMİ

Yrd.Doç.Dr. lbrahim Doğan (*)

Bu

çalışmada,

önce

ortalaması

(K), -25K52 ve standart

sapması

(R),

x<R55 olmak üzere uygun bir alt

sınırdan başlayarak

ve

ta~sayı

.

basamaklarda ilerleyerek normal kanunun ihtimal

değerleri hesaplanmıştır.

Daha sonra

aynı

K ve R

değerleri

için normal

dağılım

fonksiyonu bir taylor

serisine

açılmış

ve ilk

altı

terimi

alınarak

bir formül

oluşturulmuştur.

Bu

seriden

yararlanılarak

normal kanundakilerin

aynı

olan ihtimal

değerleri

ve

grafikler elde

edilmiştir.

İhtimal dağımlarında

Gauss-Laplace

dağılımı

olarak

adlandırılan

normal

dağılım,

uygulamada en çok

kullanılan dağılımdır.

Bu önemli

dağılımın ortalaması

ve standart

sapması bilindiği

takdirde herhangi bir

aralıktaki

ihtimal problemi

doğrudan doğruya

normal

dağılım kullanıldığında

güçtük

çıkarır.

Bu güçlük integral almadan

dolayıdır.

Fakat normal

dağılım

klasik

olarak basit bir

dönüşümle

standart normal

dağılıma

çevrilerek

(ortalaması

K=O ve

varyansı

R

2

= 1) bu

dağılımın tablolarından

yararlanmak suretiyle

kolayca bulunabilir.

Günümüzün

gelişen bilgi-işlem

teknikleri ve

sayısal

çözümlemeleri

sayesinde istenilen

işlemler

bilgisayarlara

kolaylıkla yaptırılabilmektedir.

Bilgisayara bir fonksiyonun

tanımlanması

ile istenilen

işlemi yaptırılmakta

ve

sonuçları alınabilmektedir.

Bu nedenle

de.ğişik sayısal

analiz

metodlarını

kullanabilir,

bunları asıl

fonksiyon

değerleri

ve grafikleriyle

karşılaştırabiliriz.

Burada normal

dağılım

fonksiyonu herhangi bir

1 noktasında

Taylar

serisine

açılmış

ve

1

değerini

0.5

arttırarak

her tam

sayı değerlerde

ve

0.5

değerlerde

Taylor serisine

açılmış

gibi

işlem yaptırılmıştır.

(2)

NORMAL DAGILIM

.

TANIM :

X bir sürekli tesadüfi

değişken

olmak üzere

x

in

ifıtimal

yoğunluk

fonksiyonu

<

x-K

)2

1

2R

2 .

f

Cx)-

e

_{oo<x<oo , -oo<K<+oo ,}

_R2

_>O

ise

x

normal

dağılma

haizdir denir.

K -

Normal

dağılımın ortalamasını

R-dağılımın

standart

sapmasını,

e

=

2,71828 ve

7t

=

3.14159' u

göstermektedir.

/

Eğer

X sürekli tesadüfi

değişkeni ortalaması

K ve standart

sapması

R

olan bir normal

dağılıma

haiz ise

x

in (a<b) a ve b

aralığında bulunması

ihtimali

dir.

b

pCa<x<b>=f f(xl dx

a

Normal

Dağılımın

Özellikleri :

1 -

Normal

dağılım eğrisi altında

kalan alan

1 dir.

2-

Eğri K ortalamasına

göre simetriktir ve

alanı

iki

eşit

parçaya

ayırır.

3-

Eğrinin

büküm

noktaları

K - R ve K + R dir.

4-Eğri

x

eksenine +

oo

ve -

oo

da (

x

=

O

yatay asimtoduna)

hızla yaklaşır.

Ayrıca

normal kanun

tablosuna.bakıldığında,

2

pCK-

R<X<K+ -

R)=0.50

3

3 plK-R<X<K+R>=0.68

ptK-2R<X<KT2R>=0.95

pCK-3R<X<K+3R)=0.99

(3)

TAVLOR FORMÜLÜ

Birçok terimli için Taylor formülü, terileri artan kuvvetlere göre

sıralanarak katsayıları

türevleri

yardımı

ile hesaplanarak elde edilir. n

+

· 1 inci

mertebeden

.

türevlemebilen bir f (x) fonksiyonu gözönüne

alalım.

1

2

TCx>=f(j)-f(x)-(j-x)f Cx)-[(J-x)

/2!Jf

<x>-n-1

< n-1> n

-[Cj-x)

/Cn-1>!lf

Cx)-[(j-x>

/n!JA

Fonksiyonunu

oluşturalım.

(1)

de T (J)

=

O

dir. Ve AT

(1)

=

O

olacak

şekilde

seçilsin. O halde

1 2 2

f < j > - f <

1

> -

C

j -

1 )

f <

1

> -- [

C

J - I

> /

2

!

l

f

<

1

>

-n-1

<n~l)

n

-((j'"""l) l<n-l>!Jf ( l ) - [ ( j - 1 ) /n!JA=O

denklemi

sağlanmalıdır.

T

(J)

= O

T

(1) =O

olduğuna

göre burada ROLLE

teoremi

uygulanır

ve gerekli

kısaltmalar yapılırsa,

J<Xod

n

T ' (

x

>

= [

< j --

x

> I <

n -

1

> !

l [ A --

f <

x )

J ==

O

o

olur. Buradan

n

A=f Cx )

o

bulunur. Bu ifade yerine

yazılır

ve

J =

x

konursa Taylor formülü

1 2 2 f ( x ) = = f ( ' [ ) + ( x - l ) f ( f ) + [ ( x - 1 > / 2 ! l f <IH

n-1

Cn-1)

n

+ [ ( x - 1 ) / ( n - l ) ! J f ( J ) + [ ( x - 1 > /n!Jf < x )

o

dır. ( 1)

(4)

f

Normal Dağılımın ihtimal Yoğunluk

_{Fonksiyonunun Taylor Formülüyle}

Yazılması:

1

f

<x>=---R/-21(

e

<x-K>2

2R2

dağılımının

ilk

beş

türevini

alalım

:

<x-K>

2

1

1 2R2 f

<x>=---

e

<x-K>2 <x-K)2 2

-2 ı 2R2 < x -K > 2R2 f ( x) = -

_e

₊

_e

R

rzT(

_R

nT(

< x-K>2 <x-K>2 3 3 3Cx-K) 2R2 _<x-K> _2R2 ( )() = - _e _e R

rzn

R rEi 2 ₂ ₂ Cx-K> < x-K > < x-K > 2 4 -4 3 2R2 _6Cx-K> 2R2 _<_{x-K >} 2R2 f ( )() = _e ₊ _e + - - - e R J2Jt R /2Tt _R

_J2.T(

2 2 < ><

-K >

_<x-K>

_(x-K>

3 ₅

-5

-15<x-K>

2R2 _{10< x-K>} 2R2 _<_ıc-K_>_. 2R2 ( )() = _e ₊ _e

-- -- -- e R

ffi

R

J

2Tt _R

_ffi

dır.

_{Fonksiyonu ve türev ifadelerinin X}

₌

₁

_{noktasındaki değerlerini yazıp,} 2

(5)

<x-K>2

1

2R2

e

yerine S koyarak gerekli

sadeleştirmeleri

yaparsak

f(l)=S[1/RJ

1 3

f <I>=S[-C

I~K>IR 2

3

2

5

f {l)~S[~1/R

+CI-K> /R

J

3

5

3

7

f <

l>=S[Cl-K>IR -CI-K>

/R

4

5

2

7

4

9

f

<I>=S[3/R -6(1-K> /R

+CI-K> /R

5

7

3

9

5

11

f <I>=SC-15CI-K>IR +10Cl-K> /R -Cl-K> /R

J

olur.

Bu ifadeler Taylor formülünde yerlerine

yazılırsa

3 3 2 5 f<x>=SC1/R-C (1-K)/R J<x-1 >+C-1/R +Cl-K) /R J<x-1> /2! 5 3 7 3 5 2 7 + C < 1 - K > / R -. C 1 "'" K ) / R J C .x - 1 ). / 3 ! + C 3 / R - 6 < 1 - K ) / R 4 9 4 7 3 9 +Cl-K> /R J<x-1> /4!+[-15<1-K)/R +10Cl-K> /R 5 11 5 -(1-K> /R J(x-1> /5!}

olur. Böylece normal

dağılımın

ihtimal

yoğunluk

fonksiyonu f (x) ilk

altı

terimiyle Taylar formülüne

açılmış

olur.

(6)

PROGRAMLAR

10 REM---20 REM NORMAL DAGILIMIN ORTALAHA-lO<X<ORTALAHA+lO ARALIGINDA 30 REM iNTEGRALi ALINARAK ALT SINIRDAN HER TAM SAYI UST SINIRA 40 REM KADAR OLAN ALANLARIN YAZDIRLMASI.

50 REM---:---60 DEF FNF<X>=1/CR*SQRC2M3.14159>*EXP<<X-K>ft2/(2MRft2>>>

70 FOR K=-2 TO 2

80 FOR R=.5 TO 5 STEP .5 90 TOP=O : W=O

100 ALT=K-10 : UST=K+10 : ADIM=.01 110 1 =O 120 X=ALT+ADIM 130 IF <UST-X><ADIM THEN 180 140 TOP=TOP+CADIM/2HCFNFCX+ADIM>+FNF<~>>> 150 ALT=X 160 1=1+1 170 IF 1<99 THEN GOTO 120 180 LPRJNT" J=";X;:LPRINT" INTEGRAL=";TOP 190 W=W+l 200 IF W<21 THEN GOTO 110 210 NEXT R 220 NEXT K 230 END K=";K; :LPRINT" R=" ;R; :LPRINT" 10 REM---20 REM NORMAL DAGllMIN ORTALAMA-5<X<ORTALAMA+5 ARALIGINDA 30 REM iHTiMAL YOGUNLUK FONKSiYONUNUN GRAFIGININ CIZIMI 40

REM---·

'-50 DEF FNFCXJ=1/CRHSQRC2•3.14159)ııEXP<<X-K>ft2/(2ııR~2>>> 60 FOR K=-2 TO 2

70 FOR R=.5 TO 5 STEP .5

80 LPRINT: LPRINT" FNF<X> K=";K;:LPRINT" R=";R 90 LPRINT"--->" 100 FOR X=K-5 TO K+S STEP .5

110 A=lOOııFNFCX>

120 LPRINT USING"tt. ll"ff";FNFCX>; :LPRINT"::; :LPRINT TA8CA+7)"ıı" 130 NEXT X : NEXT R : NEXT K

140 END

10 REM---20 REM NORMAL DAGILIMIN ORTALAMA-10<X<ORTALAMA+10 ARALIGINDA

30 REM TAYLOR SERiSiNE ACILIH iFADESiNiN ALT SINIRDAN HER .,5

40 REM ARTTIRARAK _{UST SINIRA KADAR OLAN ALANLARIN YAZDIRLMASJ.}

50 REH---~---60 FNA<X>=FCl/R-Cl-K>ııcı-1>1Rft3+C-1/Rft3+(1-k>ft2/Rft5>•CX-l>ft2/2 +((J-K>IRA5-Cl-K)-5/Rft7)M(X-l>-316-C3/RftS-6ııCl-K>ft2/R-7+Cl-K>ft4 ıR-sııcx-ı>-4124> 70 FOR K=-2 TO 2 80 FOR R=.5 TO 5 STEP .5 90 TOP=O 100 FOR l=K-10 TO K+10 .5 110 ALT=l-.25 : µsT=l+.25 : ADIM=.01 120 F=1/CRııSQRC2*3.14159)MEXP<<X-K>-21c2ııR·2>>> 130 X=ALT+ADIM

(7)

140 IF <UST-X><ADIH ~HEN 180

150 TOP=TOP+<.01/211<FNA<X+ADIM>+FNA<X>>> 160 ALT=X

170 GOTO 130

180 LPRINT" I="; 1; :LPRINT" K=;K; :LPRINT" R=";R; :LPRVJT"

INTEGRAL=";TOP

190 NEXT 1 : NEXT R : NEXT K 200 END

10 REM---20 REM NORMAL DAGILIMIN ORTALAHA-7<X<ORTALAMA+7 ARALIGINDA

30 REM TAYLOR SERiSiNE ACILMIS iHTiMAL YOGUNLUK FONKSiYONUNUN

40 REM GRAFIGININ CIZIMI.

50 REN---~---60 FNA<X>=F(l/R-Cl-K)lf(X-l)/RA3+(-1/RA3+<1-k>"2/RA5)M(X-l>A2/2 +(.(f-K)/RA5-(f-K)-5/RA7)M(X-l)-3/6-C3/RA5-6N(l-K)-2/R-7+Cl-K>-4 /R"9ıı <X-1 > "4/24> 70 FOR K=-2 TO 2 80 FOR R=.5 TO 5 STEP .5 90 B=O. 100 FOR l=K-7 TO K+7 110 FOR X=l-.5 TO l+.5 STEP .5 120 A=toOııFNA<X> 130 IF X=B THEi:N

140 LPRINT"<";:LPRINT USING"•M.ff";X;:LPRINT",";:LPRINT USING"ff.ffffff" ;FNA<X>s:LPRINT">";:LPRINT":";:LPRINT TABCA+14>"11"

150 B=X 160 NEXT X

170 NEXT 1 : NEXT R : NEXT K

180 END

SONUÇ

Daha öncede

çalışmamızın başlangıcında belirttiğimiz

gibi,

ortalaması

(K), -2sKs2 ve standart

sapması (R) , 0<RS5

olan

değerlerin

uygun bir

aralıkta

bir defa normal

dağılım

için bir defada Taylor serisine

acılmış

fonksiyon için bir program

yazılmıştır.

Her iki programa göre hesaplanan

ihtimal (integral)

değerlerinin

ve ihtimal

yoğunluk fonksiyonlarının

çizilen

grafiklerinin her iki yönteme göre

yaklaşık

olarak

aynı olduğu görülmüştür.

Ancak elde edilen yüzlerce sonucu burada göstermek zor

olduğundan

sadece programlar ilave

edilmiştir.

Programlar

çalıştırılıp

ihtimaller ve

grafikler

karşılaştırıldığında

sonlu. olarak

açılan

Taylor ifadesinin normal

kanunun

değerlerine yaklaştığı,

yani

yaklaşık

olarak

aynı

integral ve ihtimal

yoğunluk fonksiyonlarını verdiği

görülecektir. Bunun nedeni ise ihtimal

yoğunluk

fonksiyonunun çok

hızlı

olarak X eksenine yani, X

=

O yatay

asimtoduna

yaklaşmasıdır.

YARARLANILAN KAYNAKLAR

AKDENiZ, F. :

Olasılık

ve istatistik, Ankara, 1981.

BiRAN, L; YARIZ, E; Genel Matematik, lstanbul, 1982.

GÜLÇÜR, F.: istatistik, lstanbul, 1978.

KORUM, U. : Matematiksel

istatistiğe Giriş,