Yaşam sürdürme fonksiyonu - Yaşam Sürdürme Analizinde Kullanılan Fonksiyonlar

1. GİRİŞ

2.2. Yaşam Sürdürme Analizinde Kullanılan Fonksiyonlar

2.2.2. Yaşam sürdürme fonksiyonu

Yaşam Sürdürme Fonksiyonu S(t) , T’ nin belirlenmiş bir yaşam sürdürme zamanı olan t’ den daha büyük olması olasılığını verir.

T, sürekli bir değişken ise;

( ) ( ) ( ) olarak tanımlanır. Yaşam sürdürme fonksiyonu monoton azalan bir fonksiyondur.

S(t)

S(0) = 1

0 t 1

S(ω) = 0

∞

Şekil 2.3. Yaşam sürdürme fonksiyonu t=0 iken; S(t)=S(0)=1

t= iken; S(t)=S( )=0 ∞ ∞

Teorik olarak S(t) eğirisi 0’a doğru azalır. Fakat uygulamada her bir gözlenen yaşam sürdürme zamanı ti ‘de kesikli olduğu için yaşam sürdürme fonksiyonu basamak (step) fonksiyonu biçimindedir. Çalışma döneminin sona erdiği zaman kesin olarak belirlendiği için çalışılan dönem sonsuz uzunlukta olmaz ve çalışma dönemi sonunda S(t) fonksiyonu belli bir t zamanında kesilir [ Kleinbaum, 1996 ].

S(t)

0 t 1

Çalışma

Şekil 2.4. Yaşam sürdürme sürelerine ilişkin basamak fonksiyonu 2.2.3. Hazard fonksiyonu

Hazard fonksiyonu h(t), bireyin t zamanına kadar yaşadığı biliniyorken ( t+ Δ ) t zamanına kadar yaşamının sona ermesi riskidir. Bireyin ilgilenilen özellik bakımından başarısızlık eğiliminin bir ölçüsüdür.

Burada h(t) başarısızlık hızı (failure rate), ani ölüm hızı (instantaneous death rate) ya da ölümlülük gücü (force of mortality) olarak ifade edilebilir. Hazard fonksiyonu, yaşam sürdürme analizinde önemli bir yer tutar ;

şeklinde ifade edilir. Sürekli dağılımlar için h(t) fonksiyonu,

- h(t) 0 ≥ (2.5)

özelliklerini sağlar [Lawless, 1982].

Hazard fonksiyonu bir zaman aralığında var olan başarısızlık riskinin tanımıdır ve

“koşullu başarısızlık oranı “ olarak da tanımlanabilir. Hazard fonksiyonu bir olasılık fonksiyonu değil bir orandır. Olasılık değerleri gibi (0,1) aralığında değil (0, ∞ ) aralığında yer alır.Yaşam sürdürme fonksiyonunun sahip olduğu dağılıma göre hazard fonksiyonu farklı yapıdadır. Örneğin, yaşam sürdürme modeli üstel dağılıma sahip ise hazard fonksiyonu sabit bir değer, Weibull dağılımına sahipse artan ya da azalan değerler, log-normal dağılıma sahip ise önce artan sonra azalan değerler alır.

Örneğin; T üstel dağılımlı olduğunda,

t 0

h(t)

Şekil 2.5. Sabit hazard modeli

T weibull dağılımlı olduğunda,

Şekil 2.6. Artan hazard modeli T weibull dağılımlı olduğunda,

Şekil 2.7. Azalan hazard modeli T log-normal dağılımlı olduğunda,

t 0

h(t)

t 0

h(t)

0 h(t)

Şekil 2.8. İlk önce artan sonra azalan hazard modeli eğrileri elde edilir [Kleinbaum, 1996].

2.2.4.Birikimli hazard fonksiyonu

irikimli hazard fonksiyonu, araştırma dönemi içerisinde belirli bir t anı için B

hesaplanmış olan başarısızlık hızlarının birikimli fonksiyonudur. Birikimli hazard fonksiyonu H(t) ile gösterilir ve

→∞ = ∞olur. H(t) fonksiyonu artan bir fonksiyondur

.3.5.Yaşam sürdürme analizinde kullanılan fonksiyonlar arasındaki ilişkiler

oşullu olasılık tanımından hazard fonksiyonu;

[Cox&Oakes, 1984].

ş T değişkenin farklı şekillerde ifade edilmesi

lirtilen üç

olarak düşünülebilir. Be fonksiyonun da birbiri ile ilişkili olduğu söylenebilir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu yaşam sürdürme fonksiyonu cinsinden

( ) ( ) [1 ( )] '( )

eklinde ifade edilebilir. Bu ifade Eş. 2.8’de yerine yazılırsa, ş

ifadesi elde edilir. Yaşam sürdürme fonksiyonunun logaritmik ölçekte gösterilmesi hazard fonksiyonunu vermektedir.

Elde edilen ifade birikimli hazard fonksiyonunda yerine yazılırsa;

0 0

( ) ( ) ln( ( )) ln ( )

H t =

∫

h u du = − S u t = − S t (2.11) elde edilir. Yaşam sürdürme ve hazard fonksiyonu ise;

( ) exp[ ( ) ] exp[ ( )]

S t = −

∫

h u du = −H t (2.12)

şeklinde yazılabilir. Son olarak ise;

( ) ( ) / ( )

h t = f t S t eşitliği dikkate alınarak olasılık fonksiyonu hazard fonksiyonu cinsinden yazılabilir.

( ) ( ) exp[ ( ) ]

f t =h t −

∫

h u du (2.13)

Yaşam sürdürme analizi ile yapılan araştırmalarda her birey ya da birim için ilave bilgiler de kaydedilir. Örnek olarak iki tedavi şeklinin kıyaslandığı tıbbi araştırmalarda, hastanın yaşı ve cinsiyeti gibi demografik değişkenler, kandaki hemoglobin miktarı ve nabız gibi fizyolojik değişkenler ve hastanın sigara ve yeme alışkanlığı gibi yaşam tarzıyla ilgili değişkenler araştırılan durumun yanı sıra ek bilgi olarak elde edilebilir. Bu değişkenler hastanın yaşam süresi üzerinde etkili olabilir.

Yaşam süresini etkilediği düşünülen bu değişkenler eşdeğişken (covariate) olarak adlandırılabilir [Collet, 2003].

Birçok araştırmada incelenen yığın homojen yapıya sahip olmayıp heterojen bir durum sergiler. Yaşam sürdürme süresinin de çoğunlukla homojen olmayıp birçok durumdan etkilendiği söylenebilir. Yaşam sürdürme analizinde her bir birey veya her bir birim için belirli bir zaman aralığında yaşam sürdürme zamanını etkilediği düşünülen, bir ya da daha çok eşdeğişkenin değerine bağlı olarak, belli bir grubun yaşamsal deneyimi modellenir.

Yaşam sürdürme analizinde eşdeğişkenlere ait bilgi edinilebiliyorsa bu bilgilerin hesaplanan modelde nasıl ve ne şekilde yer aldığı önem kazanır. Yaşam sürdürme süresi bağımlı değişken olarak ve açıklayıcı değişkenler ise eşdeğişken olarak modelde yer alırlar.

Regresyon modelleri yaşam sürdürme süresi ile eş değişkenler arasındaki ilişkiyi açıklamakta önemli bir yere sahip olmaktadır. Değişkenler, yaşam sürdürme süresinin logaritması üzerinde toplamsal ya da yaşam sürdürme süresi üzerine çarpımsal etkiye sahip olduğu log-lineer modeller ve hazard fonksiyonu üzerinde çarpımsal etkiye sahip olduğu orantılı hazard modeli gibi farklı biçimlerde modellenebilir [Başar, 2003].

Orantılı hazard regresyon modellerinin en önemlisi Cox tarafından öne sürülen Cox orantılı hazard regresyon modelidir.

3.COX ORANTILI HAZARD REGRESYON MODELİ

Yaşam sürdürme analizinde, yaşam sürdürme süresini etkilediği düşünülen eş değişkenlere bağlı olarak yaşam sürdürme süresi modellenebilir. Bu modelleme, özellikle sağlık alanında büyük öneme sahiptir. Örneğin bir kanser hastasına uygulanan tedavi yönteminin kişinin yaşam süresine etkisi ortaya konulabilir ve ele alınan bir grup hastanın verisi karşılaştırılarak tedavi yöntemleri arasından daha başarılı olan belirlenebilir. Burada önemli olan çalışmanın başlangıç zamanında ölçülen eşdeğişken değerlerinin yaşam sürdürme süresini ya da ölüm riskini ne şekilde etkilediğinin tespit edilebilmesidir.

Yaşam sürdürme süresinin modellenmesinin iki önemli amacı bulunmaktadır.

Birincisi, hazard fonksiyonunun şeklini etkileyen eşdeğişkenlerin belirlenmesidir.

Böylece ölüm riskini etkileyen değişkenler belirlenirken eşdeğişkenlerin hazard oranına etkileri incelenebilir. İkincisi ise, bir birey için hazard fonksiyonunun tahmin edilmesidir. Elde edilen hazard fonksiyonu ile yaşam sürdürme fonksiyonu tahminlerine de ulaşılabilir. Böylece bireyin yaklaşık yaşam sürdürme süresi konusunda çıkarımlar yapılabilir. Cox orantılı hazard regresyon modeli yaşam sürdürme süresini etkilediği belirlenen eşdeğişkenlerin bu süreyi ne yönde ve ne kadar etkilediğinin belirlenebilmesi ve bu sayede mevcut ve gelecekteki hastaların yaşam sürdürme sürelerinin yaklaşık olarak bu değerlere göre tahmin edilmesini sağlar [Fleming ve Lin, 2000].

Cox regresyon modeliçalışmaya konu olan yığında farklı birey ya da birimlerin ilgilenilen durum için hazardların zamana orantılı olduğu varsayımına dayanır. Eğer hazardlar orantılı değilse bu, hazardların bazı durumlarda zamanla değiştiği anlamına gelmektedir.

Orantılı hazard regresyon modeli 1972 yılında Cox tarafından öne sürülen bir model olduğu için Cox regresyon modeli olarak bilinir. Modelde yaşam sürdürme süresi rasgele değişkeni için belirli bir olasılık dağılımı yoktur. Bu nedenle de yarı parametrik model olarak bilinir [Collet, 2003].

3.1.Cox Orantılı Hazard Regresyon Modelinin Yapısı

Cox orantılı hazard modeli durdurulmuş yaşam sürdürme verilerine kolayca uygulanması nedeniyle sıkça kullanılan bir modeldir. Model genel olarak;

,

,....,

X X X

açıklayıcı değişkenler ve x x₁, ,...,₂ x_p açıklayıcı değişkenlerin aldığı değerler olmak üzere;

i.birey için hazard fonksiyonu

( ) 0( ) ( )

h ti =h tψ x_i i=1,2,…,n (3.1)

şeklinde ifade edilir. Bütün x eşdeğişkenlerinin değerlerinin “0” olduğu durumda _i olur ve hazard fonksiyonu, temel hazard fonksiyonu olarak adlandırılır.

( ) 0( ) h ti =h t

Yaşam sürdürme analizinde iki farklı grubu karşılaştırmak için hazard oranları kullanılabilir.

X X

₁

,

₂

,...., X

_P ve X^*₁,X^*₂,....,X^*_P iki ayrı gruba ilişkin

şeklinde tanımlanır ve Θsabit bir değerdir.

Hazard fonksiyonunda ( ) exp( )ψ x_i = η_i dir. ( )ψ x_i , i. bireye ilişkin eşdeğişken değerlerinin bir fonksiyonudur. η_i, p tane eşdeğişkenin doğrusal kombinasyonudur ve η_i;

1 1 2 2 ...

i xi xi p pix

η β= +β + +β j=1,2,…p (3.2)

1 p

i j jxji

η =

∑

₌ β

olarak gösterilir. η_i’ye modelin doğrusal bileşeni denilebilir. Ayrıca η_ii. birey için risk skoru (risk score) ya da tahmin indeksi (prognostic index) olarak da tanımlanmaktadır. Orantılı hazard modeli yeniden yazılırsa,

1 1 2 2 0

şeklinde ifade edilebilir. Böylece orantılı hazard modeli, hazard oranının logaritması için doğrusal bir model haline gelir.

Orantılı hazard modelinin doğrusal bileşenleri sabit terim içermemektedir. Eğer modelβ₀ gibi sabit bir terim içerirse, h t₀( ) temel hazard fonksiyonu exp(β₀)’a bölünerek yeniden ölçeklendirilebilir. Ölçeklendirildikten sonra sabit terim modelde yer almayabilir [Collet,2003] .

3.2. Orantılı Hazard Modeli İçin Olabilirlik Fonksiyonunun Elde Edilmesi

Orantılı hazard modelinin yaşam sürdürme verisine uygulanabilmesi için temel hazard fonksiyonunun dolayısıyla da bilinmeyen parametrelerin tahmin edilmesi gerekir.

Orantılı hazard modelinin bilinmeyen parametreleri olan β katsayıları en çok olabilirlik yöntemi kullanılarak tahmin edilebilir [Gehan ve Siddiqui, 1973]. En çok olabilirlik yönteminin kullanılabilmesi için örneklem verisinin olabilirliğinin

bilinmesi gerekmektedir. Dikkate alınan modeldeki bilinmeyen parametrelerin bir fonksiyonu sayılan örneklem verisinin olabilirliği gözlenen verinin ortak olasılığıdır.

Bu olasılık;

( ) ( )

( )

( değişkenlerine sahip olan bir bireyin zamanında ölmesi) P( zamanında bir ölümün gerçekleşmesi)

j j

P x t

t (3.5)

ifadesinden hareketle bulunabilir.

r tane ayrı ölüm zamanlarına sahip n tane birey olsun ve bu bireylerin n–r tanesi sağdan durdurulmuş olsun. Her bir birey için farklı bir yaşam sürdürme süresinin olduğu, veriler arasında herhangi bir eşzamanlılığın (ties) olmadığı kabul edilsin. Bu durumda j. sıradaki yaşam sürdürme zamanı olmak üzere r tane yaşam sürdürme zamanı,

( )j

(1) (2) (3) ... ( )_r t <t <t < <t

ile gösterilebilir ve dolayısıyla t , zamanında risk altında bulunan bireyler kümesi _{( )}_j (( )_j )

R t olarak ifade edilebilir. Öyleyse, risk kümesi olarak adlandırılan R t(_{( )}_j ), zamanından önceki bir zamanda yaşamakta olan ve durdurulmamış bireyler grubudur. Eş. 3.5’de verilen ifadede pay, eşdeğişken vektörü

( )j

x olan bireyin zamanındaki ölüm riskidir. Payda ise,

( )j

t zamanında ölüm riski ile karşı karşıya olan bütün bireylerin ölüm risklerinin toplamlarıdır. Eş. 3.5’de belirtilen ifadeyi daha genel olarak,

şeklinde ifade edebiliriz. Sonuçta r tane ölüm zamanı üzerinden olasılıkların çarpımı olan orantılı hazard regresyon modeli için olabilirlik fonksiyonu;

( )

biçiminde yazılabilir. Eş.3.7.’de verilen olabilirlik fonksiyonuna durdurulmuş bireyler katılmazlar. Ancak herhangi bir durdurma zamanından hemen önceki zamanda risk kümesinde yer alırlar. Her ölüm zamanında risk kümesi belirlenmiş olduğu için olabilirlik fonksiyonu sadece ölüm zamanlarının sıralanmasına bağlıdır.

Eğer olabilirlik fonksiyonuna gözlemlenmiş bireylerin yanı sıra durdurulmuş bireyler de katılırsa olabilirlik fonksiyonu değişerek durdurmaya uygun hale gelir.

Orantılı hazard modeli için olabilirlik fonksiyonu;

0 , durdurma var ise 1 , durdurma yok ise λi _{= ⎨}^⎧ ^⎫_⎬

olarak gösterilebilir. En çok olabilirlik fonksiyonunun hesaplanabilirliği açısından fonksiyonun logaritmasının maksimum hale getirilmesi gerekmektedir. Eş. 3.7’de verilen olabilirlik fonksiyonunun logaritması alınarak;

1 ( )

log-olabilirlik fonksiyonu elde edilir. Elde edilen olabilirlik fonksiyonu, kısmi olabilirlik fonksiyonu olarak adlandırılır [Cox & Oakes, 1984].

Kısmi olabilirliği daha iyi açıklamak için 1’den 5’e kadar numaralandırılmış bireylerden oluşan bir örnek düşünelim.

Y-Axis

Zaman

Birey

C 1

0 ^t(1) t₍₂₎ t₍₃₎

Şekil 3.1.Bireyler için durdurma zamanı

2 ve 5 nolu bireylere ilişkin gözlenen yaşam sürdürme verileri sağdan durdurulmuş olsun ve üç sıralanmış ölüm zamanı sırasıyla t₍₁₎<t₍₂₎<t₍₃₎ olsun , 3 nolu bireyin

, 1 nolu bireyin, ise 4.nolu bireyin ölüm zamanı olsun.

t(1)

t(2) t₍₃₎

Sıralı ölüm zamanlarının her birindeki risk kümesi , her bir ölüm zamanından önce yaşayan ve durdurulmamış bireyleri içerir. R t( )₍₁₎ 1,2,3,4,5 bireylerini içerirken,

((2))

R t 1,2,4 bireyleri ve R t(₍₃₎) ise 4. bireyi içerir.

x ; i. birey için açıklayıcı değişken vektörü ve i i=1, 2,..,5 olmak üzere

( ) exp( ' )x_i x_i

ψ = β

(1), (2), (3)

t t t zamanlarında sırasıyla 3’üncü, 1’inci ve 4’üncü bireylerin öldüğü zamanlardır. Bu zamanlara ilişkin kısmı olabilirlik fonksiyonunun payı

(3), (1), (4)

şeklinde ifade edilebilir [Collet, 2003].

Eş. 3.9’da verilen ifade maksimize edilerek β katsayıları tahminleri elde edilir.β katsayılarının tahmin edilmesinde Newton-Raphson yöntemi kullanılmaktadır.

3.2.1. Newton – Raphson yöntemi

Durdurulmuş yaşam sürdürme verisinde β katsayılarının en çok olabilirlik tahminleri için kısmi olabilirlik fonksiyonunun maksimize edilmesinde Newton – Raphson yöntemi kullanılmaktadır.

( )

u β ; Eş. 3.9’daki log-olabilirlik fonksiyonunun β’ya göre birinci türevlerinden oluşan px1’lik vektör olsun. Bu değer “etkin skorların vektörü” olarak bilinmektedir.

( )

I β ; log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevlerinden oluşan p p boyutlu matris x olsun.

şeklindedir ve ( )I β matrisi “gözlenen bilgi matrisi” olarak bilinmektedir.

Newton – Raphson yöntemi adımsal bir yöntemdir. Bu yöntem (s+1). döngüsünde iken β parametreleri vektörünün tahmini β^ˆ_s₊₁ ‘dir .

Log–olabilirlik fonksiyonundaki değişim yeterince küçük olduğunda ya da katsayı tahminlerinin değerlerindeki göreli değişim yeterince küçük olduğunda hesaplama süreci sona erdirilir [Collet, 2003].

3.5. β Parametrelerine İlişkin Hipotez Testleri ve Güven Aralıkları

β parametreleri için,

hipotezi aşağıdaki istatistikler kullanılarak test edilir.

1-Wald Test İstatistiği: Wald testi, en çok olabilirlik tahmin edicilerinin normal dağıldığı varsayımına dayanır.

2 ˆ^T[ ( )]ˆ ˆ 1

w V ˆ

χ =β β ⁻ β biçiminde ifade edilir.

2-Olabilirlik Oran Test İstatistiği: Wald testinden daha genel bir yapısı olup kategorik değişkenlerin iki veya daha fazla düzeyinin olduğu ve Cox modeline aynı anda birden çok eşdeğişkenin alındığı durumlarda kullanılır.

2 2[ ( )ˆ (0)]

LR InL InL

χ = β −

biçiminde ifade edilir.

3-Skor Test İstatistiği: Modeldeki eşdeğişkenler sürekli olduğunda ya da birden fazla değişken bulunduğunda kullanılır.

2 [ ( ) ][ ( )] [ ( )]' 1

S V I V

χ = β β ⁻ β

olarak ifade edilebilir.

Yukarıdaki test istatistiklerinin tümüde, ’ın doğruluğu altında n serbestlik dereceli ki-kare (

H0 2

χn ) dağılımına sahiptir

Bir β parametresi için 1−α anlamlılık düzeyinde güven aralığıda yine aynı varsayım altında,

ˆ z sh_α/ 2 ( )ˆ

β± β (3.12)

olarak gösterilebilir [Hosmer ve Lemeslow, 1999; Collet, 2003].

4. ORANTILI HAZARD VARSAYIMININ DEĞERLENDİRİLMESİ

Cox regresyon modelinin en önemli varsayımı orantılı hazard varsayımı eşdeğişkenlere ilişkin hazardların orantılı olması varsayımıdır. Bu nedenle orantılılığın test edilmesi önemlidir. Genel olarak orantılı hazard varsayımının üç yaklaşımla incelenmesi mümkündür. Bu yaklaşımlar,

• Grafiksel yaklaşım,

• Uyum iyiliği yaklaşımı,

• Zamana bağlı değişkenlerdir.

4.1. Grafiksel Yaklaşım

Orantılı hazard varsayımlarının test edilmesinde kullanılan iki grafiksel yaklaşım, log-log yaşam sürdürme eğrilerinin karşılaştırılması, beklenen yaşam sürdürme eğrilerinin gözlenen yaşam sürdürme eğrileriyle karşılaştırılmasıdır.

4.1.1. Log-log grafikleri yaklaşımı

Grafiksel yaklaşımda en fazla uygulamakta olan yöntem incelenen değişkenlere ilişkin log-log yaşam sürdürme eğrilerinin karşılaştırılmasıdır. Karşılaştırılan eğrilerin birbirine paralel olması, varsayımın doğru olduğunu gösterir.

Bir log-log yaşam sürdürme eğrisi tahmin edilen yaşam sürdürme fonksiyonunun iki kere logaritmasının alınması ile elde edilen eğridir. Bir log-log eğrisi

şekilde ifade edilmektedir.

ln(-lnS(t) ) ˆ

Yaşam sürdürme fonksiyonu gibi (0,1) arasında değer alan bir olasılığın logaritması daima negatif bir sayı olacağından, birinci kez ’nın logaritması alınır ancak negatif işareti olan birinci logaritmanın yeniden logaritmasının alınması için ifade (-) ile çarpılarak pozitif işaret alması sağlanır. Yaşam sürdürme eğrileri bir adım

ˆS(t)

fonksiyonu olarak çizildiğinden log-log eğrisi de bir adım fonksiyonu olarak (-∞,+∞) arasında değer alır. Orantılı hazard modeli için hazard ve yaşam sürdürme fonksiyonları ;

şeklinde ifade edilir. Yaşam olasılığı tahmini olan yaşam sürdürme fonksiyonunun iki kez logaritması alındığında;

ifadesi elde edilir [Kleinbaum, 1996].

Örneğin;

iki bireye ait eşdeğişken vektörü olsun.

[ ] [

Yukarıdaki iki ifade oranlanırsa,

[

] [

]

ve eşitlik t zamanını içermediğinden yeniden düzenlenirse,

[

] [

]

ifadesi elde edilir. Bu iki birey için log(-log) yaşam eğrilerinin tahmini çizilirse, iki bireye ilişkin eğrilerinin paralellik olup olmadığı görülebilir.

∑

^β^j⁽^X²^j⁻^X¹^j⁾

Şekil 4.2. Bireylere ilişkin log-log grafiği

Grafiksel yöntemle orantılı hazard varsayımının test edilmesinin bazı olumsuz yönleri vardır. Bunlardan ilki; paralel olup olmadığına karar verirken yaşanan öznel kararlar sonucunda yöntemin güvenilirliği sarsılmaktadır. İkinci bir sorun da sürekli değişkenlerin nasıl sınıflandırılacağına karar vermektir. Farklı sınıflandırmalar farklı sonuçlar ortaya çıkarabilir. Sürekli değişkenler gruplanırken sınıf sayısının mümkün olduğunca az olmasına dikkat edilmelidir. Sınıfların seçiminde anlamlılık ön planda tutulmalıdır.

Bir diğer konu da, birçok değişken için orantılı hazard varsayımının eş zamanlı olarak nasıl değerlendirileceğidir. Bir çözüm yolu olarak bütün değişkenler ayrı ayrı sınıflandırılmalı, bu sınıflardan ayrı kombinasyonlar oluşturulmalı daha sonra ise aynı grafik üzerinden bütün log-log yaşam eğrileri kıyaslanmalıdır. Ancak bütün

bunlara rağmen paralellik olup olmadığına karar vermek ya da başka bir deyişle paralellik olmadığını söylemek zordur [Kleinbaum, 1996].

4.1.2. Gözlenen ve beklenen yaşam eğrileri yaklaşımı

Orantılı hazard varsayımının test edilmesinde kullanılan bir diğer grafiksel yöntem ise tahmin edilen eğrilerin, gözlenen eğrilerle karşılaştırılmasıdır. Beklenen ve gözlenen eğrilerin birbirine yakın olması durumunda orantılılık varsayımı doğrulanmış olmaktadır.

Gözlenen ve beklenen yaşam eğrileri testinde gözlenen ve beklenen yaşam olasılıkları kullanılır. Bu yaklaşım aşağıda belirtilen metotlardan biri ya da ikisi de kullanarak uygulanır.

1. Her bir zaman noktasındaki değişkenler için orantılı hazard varsayımının değerlendirilmesi

2. Diğer değişkenler için gerekli düzeltmeler yapıldıktan sonra orantılı hazard varsayımının değerlendirilmesi.

Birinci metotta gözlenen çizimleri elde etmek için Kaplan-Meier (KM) eğrileri kullanılır.

Örneğin 42 lösemi hastasının tedavi edildiği bir çalışmada, hastaların 21 tanesi tedavi edilen ve 21 tanesi de placebo olarak adlandırılsın. Gözlenen değerler Kaplan-Meier KM grafiği ile gösterilsin. Aşağıda gösterilen grafik bize “gözlenen yaşam eğrisini” vermektedir. Beklenen yaşam eğrilerini elde etmek için yaşam sürdürme fonksiyonunun tahmini elde edilir.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 8 16 24 32 Haftalar

Tedavi Placebo

Şekil 4.3. Tedavi edilen ve placebo hastalar için gözlenen yaşam eğrisi.

Sürekli değişkenler için gözlenen ve beklenen yaşam eğrilerini kullanırken; sürekli değişkenler önce kategorik hale dönüştürülür ve her düzey için Kaplan-Meier eğrisi çizilir

Gözlenen ve beklenen değerleri kıyaslamak için her iki grafiğin de birlikte yorumlanması gerekir. Tahmin edilen değişkenin her bir düzeyi için gözlenen ve beklenen yaşam eğrileri birbirine yakın ise orantılı hazard varsayımının sağlandığına, eğer eğriler birbirinden ciddi farklılık gösteriyorsa orantılı hazard varsayımının sağlanmadığına karar verilir [Kleinbaum, 1996].

4.2. Uyum iyiliği Yaklaşımı

Orantılı hazard varsayımının değerlendirilmesinde kullanılan ikinci bir yaklaşım ise uyum iyiliği testleridir. Bu yaklaşım modeldeki her değişken için hesaplanabilen ki-kare istatistiklerine dayanan testler yardımıyla orantılı hazard varsayımını test eder.

Uyum iyiliği testi, orantılı hazard varsayımının değerlendirilmesinde istatistiksel güvenilirliği yüksek bir test sağlar. Bu nedenle uyum iyiliği testi kullanarak grafiksel yaklaşımlardan daha kesin ve objektif karar verilebilir.

Uyum iyiliği testlerinin avantajlarının yanı sıra dezavantajları da bulunmaktadır. İlk olarak, Uyum iyiliği testi genel anlamda orantılı hazard varsayımından sapmaları tespit etmek için yapılmış genel bir kontrol mekanizmasıdır. Ancak bu test orantılı hazard varsayımında özel bir sapmayı tespit edemeyebilir. Daha önce anlatılan grafiksel testler bu tarz özel sapmaların tespitinde daha kullanışlıdır. Sonuç olarak orantılı hazard varsayımının değerlendirilmesinde son karar verilirken hem grafiksel yöntemlerin hem de uyum iyiliği testinin kullanılması tavsiye edilmektedir [Kleinbaum, 1996].

4.3. Oransal Hazard Varsayımının Testi İçin Zamana Bağlı Değişkenlerin Kullanılması

Cox modeli, zamana bağlı değişkenleri kapsayacak şekilde genişletilir. Örneğin orantılı hazard varsayımı cinsiyet için değerlendiriliyorsa Cox modeli cinsiyet’e ek olarak “ ” yi de kapsayacak şekilde genişletilebilir. Bu değişkenin katsayısı anlamsız çıkarsa orantılı hazard varsayımının cinsiyet için sağlandığı anlaşılır.

x ( ) cinsiyet t

Orantılı hazard varsayımının denetlenmesinde zamana bağlı değişkenler bir gösterge fonksiyonu yardımıyla modele katılırken, zamandan bağımsız değişken yine gösterge fonksiyonu ve zamandan bağımsız değişkenin çarpımından oluşan yapay değişken ile modele katılır.

Xi değişkeninin orantılı olup olmamasının test edilmesi için Eş. 4.7’de verilen δ_i katsayısının anlamlı olup olmadığına bakılır.

Hipotez;

0 1

: 0

i i

H H

δ δ

≠

dir. Burada H₀ hipotezi red edilemez ise X_i değişkeninin orantılı olduğuna karar verilir [Kleinbaum, 1996].

Orantılı hazard varsayımının denetlenmesinde şimdiye kadar belirttiğimiz yöntemlerin yanı sıra, arjas grafikleri, schoenfeld artıkları, Cox-Snell artıkları ve korelasyon testi gibi başka yöntemlerle de kullanılabilir.

5. ZAMANA BAĞLI DEĞİŞKENLER

Genel olarak yapılan yaşam sürdürme araştırmalarında eşdeğişkenlerin değerlerinin araştırma süresince değişmediği zaman boyunca sabit olduğu varsayılır. Oysa ki eşdeğişkenlerin değerlerinin zamanla değiştiği ve hazard fonksiyonunun değerlerinin başlangıç zamanındaki değerdense, eşdeğişkenin zamanla değişen değerine bağımlı olduğu durumlar da olabilmektedir [Hosmer &Lemeshow, 1999].

5. 1 . Zamana Bağlı Değişkenin Tanımı

Birçok çalışmada bireyler çalışma süresi boyunca izlenir. Bu süre zarfında, belirli eşdeğişkenler düzenli şekilde kaydedilebilir. Örneğin, prostat kanserinde tümörün boyutu ve buna benzer bazı değişkenler düzenli aralıklarla kayıt altına alınır. Eğer eşdeğişkenlerin değerlerindeki değişim uygun bir biçimde hesaplanabilirse, belirlenen bir zamandaki ölüm riskinin tahmin edilmesi bakımından daha tatmin

Belgede ORANTILI HAZARD MODELİNİN ZAMANA BAĞLI DEĞİŞKENLERLE GENİŞLETİLMESİ VE ÇOCUK SUÇLULUĞU ÜZERİNE BİR UYGULAMA. Özlem GÖZ ÇEKÇEKİ (sayfa 24-0)