Newton-Raphson yöntemi - Orantılı Hazard Modeli İçin Olabilirlik Fonksiyonunun Elde Edilmesi

3. COX ORANTILI HAZARD REGRESYON MODELİ

3.2. Orantılı Hazard Modeli İçin Olabilirlik Fonksiyonunun Elde Edilmesi

3.2.1. Newton-Raphson yöntemi

Durdurulmuş yaşam sürdürme verisinde β katsayılarının en çok olabilirlik tahminleri için kısmi olabilirlik fonksiyonunun maksimize edilmesinde Newton – Raphson yöntemi kullanılmaktadır.

( )

u β ; Eş. 3.9’daki log-olabilirlik fonksiyonunun β’ya göre birinci türevlerinden oluşan px1’lik vektör olsun. Bu değer “etkin skorların vektörü” olarak bilinmektedir.

( )

I β ; log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevlerinden oluşan p p boyutlu matris x olsun.

şeklindedir ve ( )I β matrisi “gözlenen bilgi matrisi” olarak bilinmektedir.

Newton – Raphson yöntemi adımsal bir yöntemdir. Bu yöntem (s+1). döngüsünde iken β parametreleri vektörünün tahmini β^ˆ_s₊₁ ‘dir .

Log–olabilirlik fonksiyonundaki değişim yeterince küçük olduğunda ya da katsayı tahminlerinin değerlerindeki göreli değişim yeterince küçük olduğunda hesaplama süreci sona erdirilir [Collet, 2003].

3.5. β Parametrelerine İlişkin Hipotez Testleri ve Güven Aralıkları

β parametreleri için,

hipotezi aşağıdaki istatistikler kullanılarak test edilir.

1-Wald Test İstatistiği: Wald testi, en çok olabilirlik tahmin edicilerinin normal dağıldığı varsayımına dayanır.

2 ˆ^T[ ( )]ˆ ˆ 1

w V ˆ

χ =β β ⁻ β biçiminde ifade edilir.

2-Olabilirlik Oran Test İstatistiği: Wald testinden daha genel bir yapısı olup kategorik değişkenlerin iki veya daha fazla düzeyinin olduğu ve Cox modeline aynı anda birden çok eşdeğişkenin alındığı durumlarda kullanılır.

2 2[ ( )ˆ (0)]

LR InL InL

χ = β −

biçiminde ifade edilir.

3-Skor Test İstatistiği: Modeldeki eşdeğişkenler sürekli olduğunda ya da birden fazla değişken bulunduğunda kullanılır.

2 [ ( ) ][ ( )] [ ( )]' 1

S V I V

χ = β β ⁻ β

olarak ifade edilebilir.

Yukarıdaki test istatistiklerinin tümüde, ’ın doğruluğu altında n serbestlik dereceli ki-kare (

H0 2

χn ) dağılımına sahiptir

Bir β parametresi için 1−α anlamlılık düzeyinde güven aralığıda yine aynı varsayım altında,

ˆ z sh_α/ 2 ( )ˆ

β± β (3.12)

olarak gösterilebilir [Hosmer ve Lemeslow, 1999; Collet, 2003].

4. ORANTILI HAZARD VARSAYIMININ DEĞERLENDİRİLMESİ

Cox regresyon modelinin en önemli varsayımı orantılı hazard varsayımı eşdeğişkenlere ilişkin hazardların orantılı olması varsayımıdır. Bu nedenle orantılılığın test edilmesi önemlidir. Genel olarak orantılı hazard varsayımının üç yaklaşımla incelenmesi mümkündür. Bu yaklaşımlar,

• Grafiksel yaklaşım,

• Uyum iyiliği yaklaşımı,

• Zamana bağlı değişkenlerdir.

4.1. Grafiksel Yaklaşım

Orantılı hazard varsayımlarının test edilmesinde kullanılan iki grafiksel yaklaşım, log-log yaşam sürdürme eğrilerinin karşılaştırılması, beklenen yaşam sürdürme eğrilerinin gözlenen yaşam sürdürme eğrileriyle karşılaştırılmasıdır.

4.1.1. Log-log grafikleri yaklaşımı

Grafiksel yaklaşımda en fazla uygulamakta olan yöntem incelenen değişkenlere ilişkin log-log yaşam sürdürme eğrilerinin karşılaştırılmasıdır. Karşılaştırılan eğrilerin birbirine paralel olması, varsayımın doğru olduğunu gösterir.

Bir log-log yaşam sürdürme eğrisi tahmin edilen yaşam sürdürme fonksiyonunun iki kere logaritmasının alınması ile elde edilen eğridir. Bir log-log eğrisi

şekilde ifade edilmektedir.

ln(-lnS(t) ) ˆ

Yaşam sürdürme fonksiyonu gibi (0,1) arasında değer alan bir olasılığın logaritması daima negatif bir sayı olacağından, birinci kez ’nın logaritması alınır ancak negatif işareti olan birinci logaritmanın yeniden logaritmasının alınması için ifade (-) ile çarpılarak pozitif işaret alması sağlanır. Yaşam sürdürme eğrileri bir adım

ˆS(t)

fonksiyonu olarak çizildiğinden log-log eğrisi de bir adım fonksiyonu olarak (-∞,+∞) arasında değer alır. Orantılı hazard modeli için hazard ve yaşam sürdürme fonksiyonları ;

şeklinde ifade edilir. Yaşam olasılığı tahmini olan yaşam sürdürme fonksiyonunun iki kez logaritması alındığında;

ifadesi elde edilir [Kleinbaum, 1996].

Örneğin;

iki bireye ait eşdeğişken vektörü olsun.

[ ] [

Yukarıdaki iki ifade oranlanırsa,

[

] [

]

ve eşitlik t zamanını içermediğinden yeniden düzenlenirse,

[

] [

]

ifadesi elde edilir. Bu iki birey için log(-log) yaşam eğrilerinin tahmini çizilirse, iki bireye ilişkin eğrilerinin paralellik olup olmadığı görülebilir.

∑

^β^j⁽^X²^j⁻^X¹^j⁾

Şekil 4.2. Bireylere ilişkin log-log grafiği

Grafiksel yöntemle orantılı hazard varsayımının test edilmesinin bazı olumsuz yönleri vardır. Bunlardan ilki; paralel olup olmadığına karar verirken yaşanan öznel kararlar sonucunda yöntemin güvenilirliği sarsılmaktadır. İkinci bir sorun da sürekli değişkenlerin nasıl sınıflandırılacağına karar vermektir. Farklı sınıflandırmalar farklı sonuçlar ortaya çıkarabilir. Sürekli değişkenler gruplanırken sınıf sayısının mümkün olduğunca az olmasına dikkat edilmelidir. Sınıfların seçiminde anlamlılık ön planda tutulmalıdır.

Bir diğer konu da, birçok değişken için orantılı hazard varsayımının eş zamanlı olarak nasıl değerlendirileceğidir. Bir çözüm yolu olarak bütün değişkenler ayrı ayrı sınıflandırılmalı, bu sınıflardan ayrı kombinasyonlar oluşturulmalı daha sonra ise aynı grafik üzerinden bütün log-log yaşam eğrileri kıyaslanmalıdır. Ancak bütün

bunlara rağmen paralellik olup olmadığına karar vermek ya da başka bir deyişle paralellik olmadığını söylemek zordur [Kleinbaum, 1996].

4.1.2. Gözlenen ve beklenen yaşam eğrileri yaklaşımı

Orantılı hazard varsayımının test edilmesinde kullanılan bir diğer grafiksel yöntem ise tahmin edilen eğrilerin, gözlenen eğrilerle karşılaştırılmasıdır. Beklenen ve gözlenen eğrilerin birbirine yakın olması durumunda orantılılık varsayımı doğrulanmış olmaktadır.

Gözlenen ve beklenen yaşam eğrileri testinde gözlenen ve beklenen yaşam olasılıkları kullanılır. Bu yaklaşım aşağıda belirtilen metotlardan biri ya da ikisi de kullanarak uygulanır.

1. Her bir zaman noktasındaki değişkenler için orantılı hazard varsayımının değerlendirilmesi

2. Diğer değişkenler için gerekli düzeltmeler yapıldıktan sonra orantılı hazard varsayımının değerlendirilmesi.

Birinci metotta gözlenen çizimleri elde etmek için Kaplan-Meier (KM) eğrileri kullanılır.

Örneğin 42 lösemi hastasının tedavi edildiği bir çalışmada, hastaların 21 tanesi tedavi edilen ve 21 tanesi de placebo olarak adlandırılsın. Gözlenen değerler Kaplan-Meier KM grafiği ile gösterilsin. Aşağıda gösterilen grafik bize “gözlenen yaşam eğrisini” vermektedir. Beklenen yaşam eğrilerini elde etmek için yaşam sürdürme fonksiyonunun tahmini elde edilir.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 8 16 24 32 Haftalar

Tedavi Placebo

Şekil 4.3. Tedavi edilen ve placebo hastalar için gözlenen yaşam eğrisi.

Sürekli değişkenler için gözlenen ve beklenen yaşam eğrilerini kullanırken; sürekli değişkenler önce kategorik hale dönüştürülür ve her düzey için Kaplan-Meier eğrisi çizilir

Gözlenen ve beklenen değerleri kıyaslamak için her iki grafiğin de birlikte yorumlanması gerekir. Tahmin edilen değişkenin her bir düzeyi için gözlenen ve beklenen yaşam eğrileri birbirine yakın ise orantılı hazard varsayımının sağlandığına, eğer eğriler birbirinden ciddi farklılık gösteriyorsa orantılı hazard varsayımının sağlanmadığına karar verilir [Kleinbaum, 1996].

4.2. Uyum iyiliği Yaklaşımı

Orantılı hazard varsayımının değerlendirilmesinde kullanılan ikinci bir yaklaşım ise uyum iyiliği testleridir. Bu yaklaşım modeldeki her değişken için hesaplanabilen ki-kare istatistiklerine dayanan testler yardımıyla orantılı hazard varsayımını test eder.

Uyum iyiliği testi, orantılı hazard varsayımının değerlendirilmesinde istatistiksel güvenilirliği yüksek bir test sağlar. Bu nedenle uyum iyiliği testi kullanarak grafiksel yaklaşımlardan daha kesin ve objektif karar verilebilir.

Uyum iyiliği testlerinin avantajlarının yanı sıra dezavantajları da bulunmaktadır. İlk olarak, Uyum iyiliği testi genel anlamda orantılı hazard varsayımından sapmaları tespit etmek için yapılmış genel bir kontrol mekanizmasıdır. Ancak bu test orantılı hazard varsayımında özel bir sapmayı tespit edemeyebilir. Daha önce anlatılan grafiksel testler bu tarz özel sapmaların tespitinde daha kullanışlıdır. Sonuç olarak orantılı hazard varsayımının değerlendirilmesinde son karar verilirken hem grafiksel yöntemlerin hem de uyum iyiliği testinin kullanılması tavsiye edilmektedir [Kleinbaum, 1996].

4.3. Oransal Hazard Varsayımının Testi İçin Zamana Bağlı Değişkenlerin Kullanılması

Cox modeli, zamana bağlı değişkenleri kapsayacak şekilde genişletilir. Örneğin orantılı hazard varsayımı cinsiyet için değerlendiriliyorsa Cox modeli cinsiyet’e ek olarak “ ” yi de kapsayacak şekilde genişletilebilir. Bu değişkenin katsayısı anlamsız çıkarsa orantılı hazard varsayımının cinsiyet için sağlandığı anlaşılır.

x ( ) cinsiyet t

Orantılı hazard varsayımının denetlenmesinde zamana bağlı değişkenler bir gösterge fonksiyonu yardımıyla modele katılırken, zamandan bağımsız değişken yine gösterge fonksiyonu ve zamandan bağımsız değişkenin çarpımından oluşan yapay değişken ile modele katılır.

Xi değişkeninin orantılı olup olmamasının test edilmesi için Eş. 4.7’de verilen δ_i katsayısının anlamlı olup olmadığına bakılır.

Hipotez;

0 1

: 0

i i

H H

δ δ

≠

dir. Burada H₀ hipotezi red edilemez ise X_i değişkeninin orantılı olduğuna karar verilir [Kleinbaum, 1996].

Orantılı hazard varsayımının denetlenmesinde şimdiye kadar belirttiğimiz yöntemlerin yanı sıra, arjas grafikleri, schoenfeld artıkları, Cox-Snell artıkları ve korelasyon testi gibi başka yöntemlerle de kullanılabilir.

5. ZAMANA BAĞLI DEĞİŞKENLER

Genel olarak yapılan yaşam sürdürme araştırmalarında eşdeğişkenlerin değerlerinin araştırma süresince değişmediği zaman boyunca sabit olduğu varsayılır. Oysa ki eşdeğişkenlerin değerlerinin zamanla değiştiği ve hazard fonksiyonunun değerlerinin başlangıç zamanındaki değerdense, eşdeğişkenin zamanla değişen değerine bağımlı olduğu durumlar da olabilmektedir [Hosmer &Lemeshow, 1999].

5. 1 . Zamana Bağlı Değişkenin Tanımı

Birçok çalışmada bireyler çalışma süresi boyunca izlenir. Bu süre zarfında, belirli eşdeğişkenler düzenli şekilde kaydedilebilir. Örneğin, prostat kanserinde tümörün boyutu ve buna benzer bazı değişkenler düzenli aralıklarla kayıt altına alınır. Eğer eşdeğişkenlerin değerlerindeki değişim uygun bir biçimde hesaplanabilirse, belirlenen bir zamandaki ölüm riskinin tahmin edilmesi bakımından daha tatmin edici bir model elde edilebilir. Yani bir araştırmada belirli bir eşdeğişkene ait elde edilen en son bulgular, çalışmanın başındaki değerlere göre, daha iyi tahminler verebilir [Collett, 2003].

İşte bu durumlarda zamana bağlı değişken kullanılır. Değeri zaman boyunca değişim gösteren herhangi bir eşdeğişkene zamana bağlı değişken denir. Zamana bağlı değişkenler ardışık durumlara çok iyi uyum sağlayan değişkenlerdir. Güvenilirliği yüksek tahminler elde etmek için zamana bağlı değişkenlerin dikkatlice modellenerek kullanılması gerekmektedir [Hougaard, 1999].

5.2.Zamana Bağlı Değişken Tipleri

Zamana bağlı değişkenler içsel ve dışsal değişkenler olmak üzere iki bölümde incelenebilir [ Kalbfleisch ve Prentice, 1980].

5.2.1.İçsel (Internal) değişkenler

İçsel değişkenler bir araştırmada belirli bir bireyle ilgili olup, yalnızca birey yaşıyorken ölçülebilir. Bu tür veriler bir hasta üzerinde belli özelliklerin zaman içerisinde birçok kez ölçülmesiyle ortaya çıkmaktadır. İçsel değişkenler için değerin değişme nedeni bireyin iç karakter ve davranış özelliğine bağlı olmaktadır. Örneğin, bir hastanın durumundaki genel değişimlere işaret eden akciğer fonksiyonları, akyuvar hücresi sayımı, sistolik kan basıncı ve kandaki kolesterol düzeyi gibi ölçümler içsel değişken olarak adlandırılabilir. Her durumda zamana bağlı içsel değişkenler hastanın durumunu yansıtır ve hastanın yaşam süresiyle doğrudan ilişkilidir [Collet , 2003].

5.2.2.Dışsal (External) değişkenler

Dışsal değişkenler varlıkları bakımından bireyin yaşamını sürdürmesini gerektirmeyen zamana bağlı değişkenlerdir. Dışsal değişkenlerin bir türü, gelecekte herhangi bir zamanda değeri önceden bilinecek bir şekilde değişim gösteren değişkenlerdir. Buna en açık örnek yaştır. Çünkü çalışmanın başında hastanın yaşı bilindiğinden ileride herhangi bir zamanda yaşın kaç olacağı da açık bir şekilde bilinmektedir. Bununla beraber, ikinci kez verilecek düzeyi önceden belirlenmiş ilacın herhangi bir zamandaki dozu da buna verilebilecek bir başka örnektir.

Bundan başka bir hastadan tamamen bağımsız olarak var olan dışsal değişkenler de bulunmaktadır. Havadaki sülfür dioksit oranı, hava sıcaklığı gibi değişkenler hastadan tamamen bağımsız bir şekilde değişim göstermekte bununla beraber hastanın yaşam süresini önemli bir şekilde etkileyebilmektedir [Collet , 2003].

Bir modelde, başlangıçta yapılan bir ölçüm sonucunda istenilen dışsal değişkenin istenilen andaki değeri hesaplanabilir. Yaş değişkeni buna örnek verilebilir. Ancak bazı değişkenler için bu durum geçerli olmaz. Örneğin, kandaki kolesterol oranı hesaplanamaz. Bu hesap edilemeyen değişkenler için ölçüm değerleri dışındaki değerleri tahmin edilir.

Kimi zaman belli zaman aralıklarında ölçülen dışsal değişkenin herhangi bir andaki değeri hesaplanabilir. İstenilen zamana ait değerin hesaplanmasında farklı uygulamalar kullanılabilir. Örneğin, değişkenin değerinin istenilen andan önceki değeri, en yakın değeri ya da önceki ve sonraki değerleri arasındaki ara kesit değeri tahmin değeri olarak alınabilir [Collett, 2003].

Y-Axis

Zaman

Zamana Bağlı Değişken

Q P

Şekil.5.2. İki ölçüm arasındaki zamana bağlı değişkenin değerinin hesaplanması Örneğin, Şekil 5.2’deki eğri, zamana bağlı değişkenin herhangi bir zamandaki gerçek değerini, noktalı dikey doğrular da değişkenin ölçüldüğü zamanları göstermektedir.

Değişkenin t zamanındaki değeri gerekli olduğunda, değişkenin en son ölçüldüğü andaki değeri olan P noktasındaki değeri, t zamanına en yakın olan R noktasındaki değeri ya da P ve R değerlerinin doğrusal ara değer kestiriminin yapıldığı Q değeri kullanılabilir.

Doğrusal ara değer kestirimi, zamana bağlı bir değişkenin kategorik bir değişken olduğu durumlarda kullanılan bir seçenek değildir. Ancak bazı kategorik değişkenler

için, bireylerin ilgilenilen değişken değerlerinin belirli bir yönde ilerlediği belirlenebilir ve buna bağlı olarak tahminlerde bulunulabilir.

5.3. Cox Orantılı Hazard Modelinin Zamana Bağlı Değişkenler İçin Genişletilmesi

Zamana bağlı değişkenlerin Cox orantılı hazard regresyon modelinde kullanılabilmesi için model, zamana bağlı değişkenleri içerecek şekilde genişletilir.

i. birey için t zamanındaki eşdeğişken değeri Xi olmak üzere, Eş. 3.3’de verilen Cox orantılı hazard regresyon modeli zamana bağlı değişkenleri içerecek şekilde genişletilebilir ve,

biçiminde ifade edilir. Modelde yer alan fonksiyonu, zamanın bir fonksiyonudur ve

gibi farklı fonksiyonlar kullanılabilir. Yaşam sürdürme analizinde modelde, durumu daha iyi açıklamak amacıyla hem zamana bağlı, hem de zamandan bağımsız değişkenler bulunabilir.

Zamana bağlı değişkenler için Cox orantılı hazard regresyon modelinin kullanılabilmesi için bireylerin her birinin ölüm anlarındaki değişken değerlerinin bilinmesi gerekmektedir. Bu durum değerleri önceden belirlenmiş dışsal değişkenler için herhangi bir sorun yaratmazken, bir çalışmada bireylerden bağımsız olarak

ortaya çıkan dışsal değişkenler ve içsel değişkenler için sorun olabilmektedir [Collet,2003].

t zamanında i. birey için j. açıklayıcı değişkenin değeri ( )x t olarak gösterildiğinde, _ji daha önceki bölümde belirtilen Cox regresyon modeli için kısmi olabilirlik fonksiyonu, zamana bağlı değişkenleri de içerecek şekilde yeniden düzenlenebilir.

i=1,2,….n olmak üzere kısmi olabilirlik fonksiyonunun logaritması,

1 1 ( ) 1 zamanındaki risk kümesi ve

λi ise bireyin durdurulmuş olup olmadığını gösteren ve durdurulmuş ise 0, değil ise 1 değerini alan gösterge fonksiyonudur.Kısmı olabilirlik fonksiyonu maksimum yapılarak β parametrelerinin tahminleri elde edilebilir [Collet, 2003].

Örneğin, Miyokard enfarktüsü geçirmiş hastalardan oluşturulmuş bir tedavi grubu araştırılsın. Bu hastaların kanlarındaki kolesterol oranları gruba kabul edildiklerinde ve ilerleyen zaman içerisinde düzenli aralıklarla ölçülebilir. Kandaki kolesterol değeri zamana bağlı bir değişken olur ve de X(t) olarak ifade edilir. O zaman i.

hastanın t zamanındaki ölüm riski olur ve bu risk, açıklayıcı değişkenin zamanın t=0 olduğu andaki değerinden çok, t zamanındaki X(t) açıklayıcı değişkeninin değerinden etkilenerek şekillenecektir [Collet,2003].

i( ) h t

i. bireyin zamanında öldüğünü ve yine zamanında i. bireyden başka a ve b bireylerinin risk kümesinde olduğu varsayılsın. Dahası > iken r bireyinin de zamanında öldüğünü ve ’dan bir süre sonra b bireyinin yaşam sürdürme zamanının

zamanında durdurulduğu düşünülsün.

ti t_i

ta t_i t_a

Y-Axis

Grafikte dikey noktalardan oluşan çizgiler X(t) değerinin ölçüldüğü zamanları temsil etmektedir. Eğer a ve b bireyleri zamanında risk kümesinde bulunan bireylerse ve X modele katılan tek açıklayıcı değişken ise olabilirlik fonksiyonunun ifadesine i.

bireyin katkısı şu şekilde olacaktır:

x t , X(t) değişkeninin i. birey zamanında öldüğünde ölçülen değerini, toplama işlemindeki l ise i, a ve b bireylerinin değerlerini almaktadır. Kısmi olabilirlik fonksiyonu;

şeklinde gösterilir. Buradan i, a ve b bireylerinin zamanındaki X(t) zamana bağlı değişken değerlerini ve yine a ve b bireylerinin zamanındaki X(t) değerlerinin bilinmesi gerektiği ortaya çıkmaktadır [Collet, 2003].

Zamana bağlı değişkenlerin modele eklenmesi yaşam sürdürme süresi ile eşdeğişkenler arasındaki etkileşimin daha iyi açıklanmasına olanak sağlar. Bununla birlikte zamana bağlı değişkenler bazı özel amaçlar için de kullanılırlar. Bunlardan birisi orantılı hazard regresyon modeli için gerekli olan orantılılık varsayımının sağlanıp sağlanmadığının kontrolü, diğeri ise orantılılık varsayımı sağlanmadığında, genişletilmiş model kullanarak değişen hazard oranının belirlenmesidir.

5.4. Orantılı Hazard Varsayımının Denetlenmesi İçin Zamana Bağlı Değişkenlerin Kullanılması

Orantılı hazard varsayımı denetlenirken kullanılan yöntemlerden bir tanesi de zamanın bir fonksiyonu ile değişkenin çarpımından oluşan değişkenin modele katılmasıdır. Zamana bağlı olmayan değişken ve zamana bağlı değişken içeren genişletilmiş model oluşturulur. Zamana bağlı değişken, gösterge fonksiyonu yardımıyla modele katılır.

Örneğin, zamana bağlı bir değişken olan kandaki hemoglobin sayısı, çalışma zamanı boyunca izlendiğinde analize, bu zaman içinde hemoglobin durumunun belirli bir değerden yüksek veya az olduğunu gösterecek bir gösterge fonksiyonu ilave edilir.

Örneğin, gösterge fonksiyonu için eğer belirlenen seviyeye ulaşmış ise 1, ulaşmamış ise 0 değerini alır.

Eğer değişken zamana bağlı olmayan, yani araştırmanın başında ölçülüp sonra değişmeyen bir değişken ise, bu değişken ile gösterge fonksiyonu çarpılarak yeni bir yapay değişken elde edilir.

Örneğin; ağırlıklandırma fonksiyonu olarak alınan bir araştırmada orantılılık

olmak üzere, fonksiyondaki noktasına, değişken için çizilen yaşam sürdürme eğrisi dikkate alınarak karar verilebilir. Değişkenin düzeyleri için çizilen eğrilerin birbirinden uzaklaştığı noktalardan birisi ya da eğrinin durumuna göre bir kaçı ayırma noktası ( ) olarak belirlenebilir.

Eğer t t≥ ₀ ise; g t( ) 1= ⇒ X_i×g t( )=X_iolur.

Hazard fonksiyonu, h t X( , )=h t₀( ) exp[(β δ+ ) ]X_i ve hazard oranı, ˆHR=exp(β δˆ+ ˆ) olarak ifade edilebilir.

Ancak eğer; t t< ise; ( ) 0₀ g t = ⇒ X_i×g t( ) 0= olur.

şeklinde ifade edilir [Hosmer &Lemeshow, 1999].

Eş.5.3’de verilen ağırlıklandırma fonksiyonlu modele alternatif bir model daha vardır. Bu modelde iki ağırlıklandırma fonksiyonu bulunur.

şeklinde ifade edilebilir. Eş. 5.3 ‘de verilen modelde zamana bağlı olmayan değişken ve zamana bağlı değişkenin ikisi de modele katılır. Eş. 5.5‘de verilen model de ise zamana bağlı olmayan değişken modele alınmaz. Bu iki modelde aynı sonuca ulaşılır ve birbirinin alternatifi olan modellerdir.

Xi değişkeninin orantılı olup olmadığının denetlenmesi için zamana bağlı değişkenin katsayısı olanδ_i’nin anlamlılığı test edilir.

0 1

: 0

H H

δ δ

≠

H0 hipotezi red edilemez ise X_i değişkeninin orantılı olduğuna karar verilir. Eğer hipotezi red edilir ve

H0 δ_i<0 ise hazard oranı zamana bağlı olarak azalır, δ_i>0 ise hazard oranı zamana bağlı olarak artar.

Zaman bağlı değişkenler için genişletilmiş Cox orantılı hazard regresyon modelinin testi için kullanılan istatistik;

1 serbestlik dereceli ki-kare dağılımına sahip olan

( 2 _orantılı) ( 2 genişletilmiş)

LR= − InL − − InL (5.5)

olabilirlik oranı istatistiğidir.

Zamana bağlı değişkenler orantılı hazard varsayımının denetlenmesinde kullanıldığı gibi, orantılı hazard varsayımının sağlanmadığı durumlarda da her bir zaman aralığında değişen hazard oranının belirlenmesinde kullanılır [Abrahamowich ve ark., 1996].

6. UYGULAMA

Suç, tarihin ilk çağlarından itibaren yüzyıllar boyunca toplumların korku ile karışık ilgilerini yönelttikleri, nedenleri üzerinde durdukları ve karşı önlemler aldıkları toplumsal bir sorun olmuştur. Suç evrensel bir olaydır. Tarihin en eski devirlerinden beri vardır ve var olmaya devam edecektir [Hancı, 1999].

Suç kavramı ile ilgili araştırmalara bir bütün olarak bakıldığında, önemle üzerinde durulan iki kavram olduğu görülür. Birincisi suçu önlemeye yönelik tedbir ve erken tanı çabaları, ikincisi suçun ortaya çıkışındaki ilk belirtilerin çocuklukta görüldüğü düşüncesiyle, çocuk suçluluğu araştırmalarıdır. Batı literatüründe “Juvenile Delinquency” terimiyle açıklanan, tam karşılığı “reşit olmayanın suçluluğu” olarak çevrilebilecek terim ülkemizde “Çocuk Suçluluğu” olarak kullanılmakta, bu tanımın içerisinde hem çocukluk hem de ergenlik döneminin büyük bir bölümü kapsanmaktadır. Çocuk Suçluluğu kavramı, kanuna karşı gelmiş 11-18 yaşları arasındaki çocukları kapsamaktadır. Çocuk suçluluğu ile ilgili hemen tüm araştırmacıların tanımlamalar içerisindeki ortak değerlendirmeleri, çocuk suçluluğu davranışının içinde olan çocuğun, suça itilmiş çocuk olarak kabul edilmesidir. Çocuk

Belgede ORANTILI HAZARD MODELİNİN ZAMANA BAĞLI DEĞİŞKENLERLE GENİŞLETİLMESİ VE ÇOCUK SUÇLULUĞU ÜZERİNE BİR UYGULAMA. Özlem GÖZ ÇEKÇEKİ (sayfa 37-0)