Giri¸s. Modern matematikte, tanımlanan hemen her matematiksel yapıyla
bir-likte bir de bu yapıların “izomorfizmaları” ya da T¨urk¸cesiyle “e¸syapı e¸sleme-leri” kavramı tanımlanır. ˙Izomorfizmalar, kabaca, yapılar arasında gidip gelen ve “yapıyı yapı yapan unsurları” koruyan birebir ve ¨orten fonksiyonlardır. ¨ Or-ne˘gin yapıda toplama (+) diye bir i¸slem varsa, izomorfizmalar, yapının her x ve y elemanları i¸cin
f (x + y) = f (x) + f (y)
e¸sitli˘gini sa˘glayan e¸slemelerdir. (O zaman aynı e¸sitlik otomatik olarak f−1
fonksiyonu i¸cin de sa˘glanır, okura alı¸stırma.) Ya da≤ diye bir sıralama varsa, izomorfizmalar her x ve y i¸cin
x≤ y ⇔ f(x) ≤ f(y) ¨
ozelli˘gini sa˘glayan e¸slemelerdir. (O zaman aynı ¨ozellik elbette otomatik olarak f−1 fonksiyonu i¸cin de sa˘glanır.) ¨Orne˘gin e˘ger yapıda hem toplama hem de
sıralama varsa, o zaman izomorfizmalardan her iki ¨ozelli˘gi birden sa˘glamaları istenir.
Topolojik uzayların da izomorfizmaları vardır, ama bunlara izomorfizma de˘gil, homeomorfizma (ya da homeomorfi ) adı verilir. Biz bunlara
topo-lojik e¸sleme adını verece˘giz. Matematiksel tanım ¸s¨oyle: X ve Y iki topolojik uzay ve f : X → Y bir e¸sleme olsun. E˘ger X’in her a¸cık k¨umesinin imgesi Y ’de a¸cıksa ve Y ’nin her a¸cık k¨umesinin ¨onimgesi X’te a¸cıksa f ’ye topolojik
e¸sleme denir. Bir ba¸ska deyi¸sle homeomorfizmalar, topolojik uzaylar arasında
a¸cık k¨umeleri a¸cık k¨umelere g¨ot¨ur¨up getiren e¸slemelerdir.
E˘ger X’ten Y ’ye giden bir topolojik e¸sleme varsa, bu X≈ Y olarak g¨oste-rilir. Aralarında topolojik e¸sleme olan iki topolojik uzaya homeomorfik ya da topolojik olarak denk uzaylar denir.
Elbette IdX ¨ozde¸slik fonksiyonu X topolojik uzayıyla kendisi arasında bir topolojik e¸slemedir. (Ama dikkat, burada IdX’in tanım k¨umesi olan X ile varı¸s
86 7. Topolojik Es¸lemeler (Homeomorfizmalar) k¨umesi olan X ¨uzerine aynı topoloji alınmalıdır. Yoksa bu sonu¸c yanlı¸stır.) Demek ki X ≈ X.
E˘ger f : X → Y bir topolojik e¸slemeyse, tanımdan da hemen anla¸sılaca˘gı ¨
uzere f−1 : Y → X fonksiyonu da bir topolojik e¸slemedir. Demek ki X ≈ Y ise Y ≈ X olur.
E˘ger f : X → Y ve g : Y → Z birer topolojik e¸slemeyse, g ◦ f : X → Z fonksiyonu da bir topolojik e¸slemedir. Bunun da kanıtı kolaydır. Demek ki X ≈ Y ve Y ≈ Z ise X ≈ Z olur. ¨ Ozetle: X≈ X, X≈ Y ⇔ Y ≈ X, X≈ Y ve Y ≈ Z ⇔ X ≈ Z.
Homeomorfik olan topolojik uzayların topolojik anlamda birbirinden farkları yoktur, olsa olsa elemanlarının adları de˘gi¸smi¸stir; biri di˘gerinin t¨um topolojik ¨
ozelliklerini payla¸sır. ¨Orne˘gin bir kareyle bir daire ya da saplı bir fincanla bir can simidi topolojik olarak denktir.
Topolojik e¸slemenin genel olarak kabul edilen tanımı bu verdi˘gimiz tanımdan farklı ifade edilir: Kendisinin ve tersinin s¨urekli oldu˘gu topolojik uzaylar ara-sındaki e¸slemelere topolojik e¸sleme denir. Ama bu tanımla bir ¨onceki sayfada verdi˘gimiz tanımın e¸sde˘ger oldukları ¸cok bariz.
¨
Ornekler
7.1. X herhangi bir topolojik uzaysa, IdX ¨ozde¸slik fonksiyonunun X’ten X’e giden bir to-polojik e¸sleme oldu˘gunu daha ¨once s¨oylemi¸stik.
7.2. X bir k¨ume olsun. X ¨uzerine en kaba ya da ayrık topolojiyi koyarsak, X’in istisnasız t¨um e¸sle¸smeleri X’in bir topolojik e¸slemesi olur. E˘ger X ¨uzerine sonlu t¨umleyenler topolojisini koyarsak da gene aynı sonucu elde ederiz.
7.3. f :R → R, f(x) = ax + b kuralıyla tanımlanmı¸s olsun. E˘ger a ̸= 0 ise f, R’den R’ye giden bir topolojik e¸slemedir. (Okura alı¸stırma. ˙Ipucu: Fonksiyonun tersini bulun.) 7.4. f (x) =−x kuralıyla verilmi¸s fonksiyon (−∞, 0) ile (0, ∞) arasında topolojik bir e¸sleme
verir. Bu topolojik e¸slemenin tersi aynı kuralla verilmi¸stir: g(x) =−x.
7.5. E˘ger a < b ise, (a, b) aralı˘gıyla (0, 1) aralı˘gı topolojik olarak denktirler: E˘ger x’i b− a ile
¸
carparsak (0, 1) aralı˘gını topolojisini de˘gi¸stirmeden (0, b− a) aralı˘gına ta¸sırız. Ardından
¸
cıkan sonuca a eklersek, (0, b− a) aralı˘gını (a, b) aralı˘gına ta¸sırız. Demek ki f (x) = (b− a)x + a
kuralıyla tanımlanan fonksiyon (0, 1) aralı˘gıyla (a, b) aralı˘gı arasında bir topolojik e¸sle-medir. Resmi a¸sa˘gıda.
7. Topolojik Es¸lemeler (Homeomorfizmalar) 87
Bundan da t¨um bo¸s olmayan, sınırlı ve a¸cık aralıkların topolojik olarak denk olduk-ları ¸cıkar. Aynı nedenden, bo¸s olmayan t¨um kapalı ve sınırlı aralıklar topolojik olarak birbirlerine denktirler.
¨
Ote yandan (0, 1) aralı˘gıyla (0, 1] aralı˘gı topolojik olarak denk de˘gildir. Bunu daha ilerde Alı¸stırma 9.11’de kanıtlayaca˘gız. S¸imdilik kanıt hakkında bir ipucu verelim: (0, 1) aralı˘gından herhangi bir noktayı ¸cıkarırsak uzayı iki a¸cık ve ayrık par¸caya b¨oleriz. Oysa (0, 1] aralı˘gından 1 noktasını ¸cıkarırsa geriye “ba˘glantılı” bir topolojik uzay kalır. 7.6. f (x) = 1/x form¨ul¨u, (0, 1) aralı˘gıyla (1,∞) aralı˘gı arasında topolojik bir e¸sleme
ve-rir. Bundan da topolojinin uzunluk gibi bir kavramı kapsam alanı dı¸sında bıraktı˘gı anla¸sılır. Bu homeomorfizmanın tersi gene aynı form¨ulle verilmi¸stir. Buradan (a,∞)
t¨ur¨unden aralıkların (0, 1)’e topolojik olarak denk oldukları anla¸sılır. ¨Ornek 7.4’ten de (−∞, a) t¨ur¨unden aralıkların (0, 1)’e topolojik olarak denk oldukları ¸cıkar. Aynı ¸sey
[a,∞), (−∞, a], (0, 1] ve [0, 1) aralıkları i¸cin de ge¸cerlidir elbette.
7.7. f (x) = x3 kuralıyla verilmi¸s fonksiyonR’den R’ye giden topolojik bir e¸slemedir. 7.8. [Stereografik ˙Izd¨u¸s¨um] C¸ emberden bir nokta ¸cıkarırsak, kalan topolojik uzay bir
do˘gruya topolojik olarak denktir. B¨oyle bir topolojik e¸sleme bulalım. C¸ ember, (0, 1) merkezli 1 yarım ¸caplı ¸cember olsun (mesela) ve diyelim ¸cemberden (0, 2) noktasını attık. A¸sa˘gıdaki ¸sekilde g¨osterilen f fonksiyonunu bulalım. P (a, b), ¸cember ¨ust¨unde bir nokta olsun. E˘ger a̸= 0 ise, (a, b) ve (0, 2) noktalarından ge¸cen do˘grunun denklemi,
y =b− 2 a x + 2
dir. Burada y = 0 alıp denklemi x i¸cin ¸c¨ozersek,
x = 2a
88 7. Topolojik Es¸lemeler (Homeomorfizmalar)
buluruz, bu da f (P ) noktasıdır. Demek ki f topolojik e¸slemesi,
f (a, b) = 2a
2− b
form¨ul¨uyle verilmi¸stir. (Artık a’yı 0’dan de˘gi¸sik almak zorunda de˘giliz. Form¨ul a = 0 i¸cin de ge¸cerlidir.)
Bu topolojik e¸slemenin tersini de bulabiliriz. c∈ R olsun. (c, 0) noktasıyla (0, 2)
nok-tasından ge¸cen do˘grunun denklemi
y = −2 c x + 2
dir. Bu do˘gruyla ¸cemberin kesi¸sim noktasını bulmak i¸cin, bu denklemle ¸cemberin denk-lemi olan
x2+ (y− 1)2
= 1
denkleminin ortak ¸c¨oz¨umlerini bulmalıyız. ˙Iki ¸c¨oz¨um bulunacaktır. Biri (0, 2) noktasına tekab¨ul eden ¸c¨oz¨umd¨ur. Biz di˘gerini istiyoruz. Ayrıntıları okura bırakıyoruz.
7.9. (−1, 1) ile R topolojik olarak denk uzaylardır. ¨Orne˘gin,
f (x) = x
1− x2
form¨ul¨uyle tanımlanmı¸s f : (−1, 1) → R fonksiyonu topolojik bir e¸slemedir. Tersi,
g(x) = 2x
1 + (1 + 4x2)1/2 form¨ul¨uyle verilmi¸stir. f fonksiyonunun grafi˘gi a¸sa˘gıda.
7.10. ¨Ornek 7.5, 7.6 ve 7.9’dan R ile (0, ∞) topolojik uzaylarının topolojik olarak denk ol-dukları ¸cıkar. Ama f (x) = exp x ya da f (x) = 2xfonksiyonları da aynı g¨orevi g¨or¨urler. Bundan kolaylıkla ¸su teorem ¸cıkar:
Teorem 7.1. R’de bo¸s olmayan t¨um a¸cık aralıklar topolojik olarak birbirlerine denktirler. Aynı ¸sey kapalı (ya da yarı kapalı yarı a¸cık ), sonsuz ve sınırlı ara-lıklar i¸cin de ge¸cerlidir.
7. Topolojik Es¸lemeler (Homeomorfizmalar) 89
¨
Ornek 7.11. Her s¨urekli e¸sleme topolojik bir e¸sleme de˘gildir.
Nitekim [0, 1) aralı˘gını “yuvarlayarak” ¸cembere g¨ot¨uren d¨on¨u¸s¨um bir e¸slemedir ama bir to-polojik bir e¸sleme de˘gildir.
Dileyen okur bu “yuvarlama” yerine daha matematiksel bir ifade olan
f (x) = (sin 2xπ, cos 2xπ)
fonksiyonunu ele alabilir. Yuvarlama e¸slemesi s¨ureklidir elbet ama tersi s¨urekli de˘gildir, ¸c¨ un-k¨u ¨orne˘gin [0, 1/4) a¸cık k¨umesinin ¸cemberdeki ¨onimgesi a¸cık de˘gildir.
C¸ ember ger¸cel sayıların hi¸cbir aralı˘gına topolojik olarak denk olamaz, ¸c¨unk¨u ¸cemberden hangi noktayı atarsak atalım, geriye, biraz ilerde g¨orece˘gimiz ¨uzere “ba˘glantılı” bir uzay kalır, ama aralıkların bu ¨ozellikleri yoktur.
Alı¸stırmalar
7.12. Q ile R’nin homeomorfik olmadıklarını kanıtlayın.
7.13. X sayılabilir sonsuzlukta bir k¨ume olsun. X ¨uzerine, X’in t¨um e¸sle¸smelerinin home-omorfizma oldu˘gu t¨um topolojileri bulun. (Bkz. ¨Ornek 7.2.)
7.14. Stereografik izd¨u¸s¨um¨u ( ¨Ornek 7.8) bir k¨ureyle yapın: Birim k¨ureyi 3 boyutlu uzayın xy d¨uzleminde (0, 0, 0) noktasına de˘gecek bi¸cimde konumlandırın ve (0, 0, 1) noktasından ge¸cen bir do˘grunun k¨urenin y¨uzeyini ve xy d¨uzlemini hangi noktalarda kesti˘gini bulun. 7.15. [Alexander’ın Hilesi] O(0, 0) merkezli 1 yarı¸caplı ¸cember S1 olarak, bu ¸cember ve bu
¸
cemberin i¸cindeki daire de D2olarak g¨osterilir. f , S1’in bir homeomorfizması olsun. f ’yi
D2’nin bir homeomorfizmasına geni¸sletece˘giz. P , D2’nin herhangi bir noktası olsun. Q, resimdeki gibi OP ı¸sınıyla S1’in kesi¸simi olsun. F : D2→ D2
fonksiyonu,
F (P ) =|OP | · f(Q)
kuralıyla tanımlansın. O zaman F ’nin D2’nin bir homeomorfizması oldu˘gunu ve f ho-meomorfizmasının bir geni¸slemesi oldu˘gunu kanıtlayın.