Teorem 2.1. Hausdorff bir uzayda yakınsak bir dizinin limiti biriciktir
6. C ¸ arpım Topolojisi
Bu b¨ol¨umde topolojik uzayların kartezyen ¸carpımını “do˘gal” bir topolojik uzay yapısıyla donataca˘gız. E˘ger X ve Y topolojik uzaylarsa, X × Y ¨uzerine en do˘gal topolojik yapı, herhalde, U ⊆ X ve V ⊆ Y a¸cık altk¨umeleri i¸cin U × V t¨ur¨unden yazılan altk¨umelerinin ve bunların bile¸simlerinin a¸cık olduklarına h¨ukmederek elde edilir. Nitekim, bu tanımla, X × Y kartezyen ¸carpımı ¨uze-rine do˘gal ve i¸slevsel bir topolojik yapı tanımlanmı¸s olur. Aynı d¨u¸s¨unce sonsuz sayıda topolojik uzayın ¸carpımı i¸cin de d¨u¸s¨un¨ulebilir: Ui ⊆ Xi a¸cık k¨umeleri i¸cin, ∏
i∈IXi kartezyen ¸carpımının ∏
i∈IUi bi¸ciminde yazılan altk¨umelerine ve bunların bile¸simlerine a¸cık dersek, kartezyen ¸carpım ¨ust¨une do˘gal bir to-poloji tanımlamı¸s oluruz; hatta daha do˘galı olamaz diye bile d¨u¸s¨un¨ulebilir. Ama ne yazık ki e˘ger I sonsuzsa, bu topoloji pek kullanı¸slı de˘gildir, ¸cok in-cedir, biraz fazla a¸cık k¨umesi vardır. Bu b¨ol¨umde, sonsuz kartezyen ¸carpım ¨
uzerine gene do˘gal ama yukardakinden daha kullanı¸slı (ve daha kaba) bir to-poloji tanımlayaca˘gız. ¨Once, ¸cok daha basit olan iki topolojik uzayın kartez-yen ¸carpımını irdeleyece˘giz, sonra sonsuz sayıda topolojik uzayın kartezyen ¸
carpımına ge¸cece˘giz.
6.1 ˙Iki Fonksiyonu Aynı Anda S¨urekli Kılmak
Z bir k¨ume ve X ve Y iki topolojik uzay olsun.
f : Z→ X ve g : Z → Y
iki fonksiyon olsun. Bu sefer, Z ¨uzerinde hem f ’yi hem de g’yi s¨urekli kılan en kaba topolojiyi bulmak istiyoruz.
Z’nin f ’yi s¨urekli kılan en kaba topolojisini biliyoruz; g’yi s¨urekli yapan en kaba topolojisini de biliyoruz. ˙Istedi˘gimiz topoloji elbette bu iki topolojiyi i¸ceren en k¨u¸c¨uk topoloji olmalı, yani bu iki topolojiyle ¨uretilen topoloji olmalı. f ’yi s¨urekli yapan Z’nin en kaba topolojisinin a¸cık k¨umeleri, X’in a¸cık V k¨umeleri i¸cin,
72 6. C¸ arpım Topolojisi bi¸ciminde yazılan k¨umelerdir. g’yi s¨urekli yapan Z’nin en kaba topolojisinin a¸cık k¨umeleri de Y ’nin W a¸cık k¨umeleri i¸cin,
g−1(W )
bi¸ciminde yazılan k¨umelerdir. Demek ki Z ¨uzerinde koymak istedi˘gimiz topo-lojide, X’in V a¸cık k¨umeleri ve Y ’nin W a¸cık k¨umeleri i¸cin,
f−1(V )∩ g−1(W )
bi¸ciminde yazılan k¨umeler a¸cık olmalı.
¨
Onsav 6.1. Her ¸sey yukardaki gibi olsun.
{f−1(V )∩ g−1(W ) : V ⊆ X, W ⊆ Y, V ve W a¸cık}
k¨umesinin Z k¨umesi ¨uzerinde ¨uretti˘gi topoloji, f ve g fonksiyonlarını s¨urekli kılan en kaba topolojidir. Ayrıca yukarda merkezlenen k¨ume bu topolojinin bir tabanıdır.
Kanıt: K¨umeye α, gerdi˘gi topolojiye de τ adını verelim. α’nın τ ’nun bir tabanı olaca˘gı belli ¸c¨unk¨u α kesi¸sim altında kapalı (Sonu¸c 4.5):
(f−1(V )∩ g−1(W ))∩ (f−1(V1)∩ g−1(W1))
= f−1(V )∩ f−1(V1)∩ g−1(W )∩ g−1(W1) = f−1(V ∩ V1)∩ g−1(W ∩ W1).
f−1(V )∩ g−1(W ) ifadesinde W = Y alırsak, sadece f−1(V ) kalır. Gene aynı
ifadede bu sefer V = X alırsak, sadece g−1(W ) kalır. Demek ki f ve g’yi
s¨urekli kılan en kaba topolojilerin a¸cık k¨umeleri α’da. Bundan da τ ’nun, hem f hem de g fonksiyonlarını s¨urekli kıldı˘gı ortaya ¸cıkar. ¨Ote yandan f ve g’yi s¨urekli kılan her topolojinin α’yı i¸cerdi˘gini daha ¨once g¨ord¨uk: Bu topoloji hem f−1(V ) k¨umesini hem de g−1(W ) k¨umesini de i¸cerdi˘ginden, bu iki k¨umenin
6.2. C¸ arpım Topolojisi 73
Alı¸stırmalar
6.1. Her ¸sey ¨Onsav 6.1’deki gibi olsun. α ve β bu topolojilerin (sırasıyla) birer tabanı/¨ onta-banı olsun.
{f−1(V )∩ g−1(W ) : V ∈ α, W ∈ β}
k¨umesinin ¨Onsav 6.1’de Z ¨uzerine in¸sa edilen topolojinin tabanı/¨ontabanı oldu˘gunu kanıtlayın.
6.2. Her n > 0 do˘gal sayısı i¸cinZ/nZ = {0, 1, . . . , n − 1} ¨uzerine ayrık topolojiyi alalım.
ϕn : Z −→ Z/nZ fonksiyonu, x − ϕn(x) ∈ nZ ko¸suluyla tanımlanan tahmin edilen
“mod¨ulo n” fonksiyonu olsun.
i.Z ¨uzerine ϕ2’yi s¨urekli kılan en kaba topolojiyi bulun.
ii. n > 0 olsun.Z ¨uzerine ϕn’yi s¨urekli kılan en kaba topolojiyi bulun. iii.Z ¨uzerine ϕ2 ve ϕ3’¨u s¨urekli kılan en kaba topolojiyi bulun. iv.Z ¨uzerine her n i¸cin ϕn’yi s¨urekli kılan en kaba topolojiyi bulun. v.Z ¨uzerine her p asalı i¸cin ϕp’yi s¨urekli kılan en kaba topolojiyi bulun.
6.2 C¸ arpım Topolojisi
Yukardaki sonucu ¨ozel bir duruma uygulayalım. X ve Y iki topolojik uzay olsun. Daha ¨onceki yazılıma uyup Z = X×Y tanımını yapalım. pr1, X×Y ’den X’e giden ve
pr1(x, y) = x
kuralıyla tanımlanmı¸s fonksiyon olsun. (Buna birinci izd¨u¸s¨um fonksiyonu
denir.) pr2, X× Y ’den Y ’ye giden ve
pr2(x, y) = y
kuralıyla tanımlanmı¸s fonksiyon olsun. (Buna da ikinci izd¨u¸s¨um fonksi-yonu denir.)
X×Y kartezyen ¸carpımını, pr1 ve pr2 fonksiyonlarını s¨urekli kılan en kaba topolojiyle donatalım. Bu topoloji, yukarda g¨ord¨u˘g¨um¨uz gibi, X’in bir V a¸cık altk¨umesi ve Y ’nin bir W a¸cık altk¨umesi i¸cin,
pr−1
1 (V )∩ pr−12 (W )
k¨umeleri tarafından gerilmi¸stir ve bu k¨umeler gerdikleri topolojinin bir ta-banını olu¸stururlar. Gerilen topolojiyi daha iyi anlamak i¸cin, tabanı olu¸sturan k¨umelerin neye benzediklerini g¨orelim:
pr−1
1 (V )∩ pr−1
2 (W ) ={(x, y) ∈ X × Y : pr1(x, y)∈ V, pr2(x, y)∈ W } ={(x, y) ∈ X × Y : x ∈ V, y ∈ W } = V × W.
74 6. C¸ arpım Topolojisi
Bunu bir teorem olarak yazalım.
Teorem 6.2. X ve Y iki topolojik uzay olsun. X×Y ¨uzerinde birinci ve ikinci izd¨u¸s¨um fonksiyonlarının ikisini birden s¨urekli kılan en kaba topoloji
{V × W : V ⊆ X, W ⊆ Y, V ve W a¸cık} k¨umesiyle ¨uretilen topolojidir. Bu k¨ume topolojinin bir tabanıdır.
Bu topolojiye ¸carpım topolojisi ya da Tychnoff topolojisi adı verilir.
E˘ger X ve Y iki topolojik uzaysa, ve X×Y kartezyen ¸carpımından herhangi bir a¸cıklama yapılmaksızın topolojik uzay olarak bahsediliyorsa, bilin ki ¸carpım topolojisi alınmı¸stır.
Pek sık yapılan bir yanlı¸sa kar¸sı okuru uyaralım, ¸carpım topolojisinin bir a¸cık k¨umesi illa V × W bi¸ciminde yazılmayabilir, ama kesinlikle bu t¨ur k¨ume-lerin sonlu ya da sonsuz bile¸simidir.
R×R’nin topolojisi de (a, b)×(c, d) t¨ur¨unden altk¨umelerle ¨uretilmi¸stir, yani R × R’nin (¸carpım topolojisinin) a¸cık altk¨umeleri bu t¨ur k¨umelerin, “dikd¨ort-genlerin i¸ci” diyelim, bile¸simidir.
Alı¸stırmalar
6.3. X’in topolojisi inceldik¸ce X× X’in topolojisinin inceldi˘gini kanıtlayın. X × X’in
topo-lojisi inceldik¸ce X’in topolojisinin inceldi˘gini kanıtlayın.
6.4. X bir k¨ume Y bir topolojik uzay ve f : X× X −→ Y bir fonksiyon olsun. S¸unu
kanıt-layın: X ¨uzerinde, (X× X’in ¸carpım topolojisiyle) f’yi s¨urekli kılan en kaba topoloji
6.3. S ¨urekli Fonksiyonlar 75
6.5. Toplama ve ¸carpma i¸slemlerinin, yani f (x, y) = x + y ve g(x, y) = xy fonksiyonlarının R × R’den R’ye giden s¨urekli fonksiyonlar oldu˘gunu kanıtlayın.
6.6. E˘ger X ve Y ikinci sayılabilir uzaylarsa, X× Y topolojik uzayının da ikinci sayılabilir
uzay oldu˘gunu kanıtlayın.
6.3 S¨urekli Fonksiyonlar
Bir A topolojik uzayından X× Y ’ye giden bir fonksiyonun ne zaman s¨urekli oldu˘gunu anlamak kolaydır. Bu paragrafta bu konuyu ele alaca˘gız.
A, X ve Y ¸simdilik ¨u¸c k¨ume olsun.
f : A→ X × Y
bir fonksiyon olsun. O zaman her a ∈ A i¸cin, f(a) de˘geri, biri X’ten biri Y ’den olmak ¨uzere, iki koordinat tarafından verilmi¸stir. Birinci koordinata f1(a), ikinci koordinata f2(a) diyelim. Demek ki,
f (a) = (f1(a), f2(a)).
Buradaki f1 ve f2, A’dan, sırasıyla, X’e ve Y ’ye giden fonksiyonlardır. Elbette f1 = pr1◦f ve f2= pr2◦f
e¸sitlikleri ge¸cerlidir. Bunun tersi de do˘grudur: E˘ger f1 ve f2, A’dan X’e ve Y ’ye giden fonksiyonlarsa o zaman
f (a) = (f1(a), f2(a))
kuralı bize A’dan X × Y kartezyen ¸carpımına giden bir fonksiyon verir. Bu fonksiyonu f1× f2 olarak g¨osterelim:
(f1× f2)(a) = (f1(a), f2(a)).
Sonu¸c olarak, Fonk(A, X × Y ) k¨umesiyle1 Fonk(A, X)× Fonk(A, Y ) k¨umesi arasında
f 7→ (pr1◦f, pr2◦f)
form¨ul¨uyle verilmi¸s (do˘gal) bir e¸sleme vardır. Bu e¸slemenin tersi, (f1, f2)7→ f1× f2
kuralıyla verilmi¸stir. f1× f2 fonksiyonu daha ziyade (f1, f2) olarak yazılır. E˘ger S ve T birer topolojik uzaysa,
C(S, T ) 1
76 6. C¸ arpım Topolojisi yazılımı S’den T ’ye giden s¨urekli fonksiyonlar k¨umesini simgelesin. O zaman, Fonk(A, X × Y ) k¨umesiyle Fonk(A, X) × Fonk(A, Y ) k¨umesi arasında yu-karda verdi˘gimiz e¸slemeler, C(A, X×Y ) k¨umesiyle C(A, X)×C(A, Y ) k¨umesi arasında e¸slemelere yol a¸carlar:
Teorem 6.3. A, X ve Y topolojik uzaylar olsun. f : A→ X ×Y bir fonksiyon olsun. O zaman f ’nin s¨urekli olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul,
f1 = pr1◦f ve f2 = pr2◦f fonksiyonlarının s¨urekli olmasıdır.
Kanıt: E˘ger f s¨urekliyse, izd¨u¸s¨um fonksiyonları (¸carpım topolojisinin tanı-mından dolayı!) s¨urekli olduklarından f1 = pr1◦f ve f2 = pr2◦f fonksiyonları s¨ureklidir. S¸imdi
f1 : A→ X ve f2: A→ Y fonksiyonlarının s¨urekli olduklarını varsayıp,
f (a) = (f1(a), f2(a)) form¨ul¨uyle tanımlanmı¸s
f : A→ X × Y
fonksiyonunun s¨urekli oldu˘gunu kanıtlamak yeterli. Bunun i¸cin de U ⊆ X, V ⊆ Y a¸cık k¨umeleri i¸cin,
f−1(U× V ) k¨umesinin A’da a¸cık oldu˘gunu kanıtlamak yeterli.
f−1(U× V ) = {a ∈ A : f(a) ∈ U × V } ={a ∈ A : (f1(a), f2(a))∈ U × V } ={a ∈ A : f1(a)∈ U ve f2(a)∈ V } ={a ∈ A : a ∈ f1−1(U ) ve a∈ f2−1(V )} = f−1 1 (U )∩ f−1 2 (V ),
ve bu da, iki a¸cık k¨umenin kesi¸simi oldu˘gundan A’da a¸cıktır. A¸sa˘gıdaki alı¸stırmalarda X ve Y iki topolojik uzaydır ve X× Y ¨uzerinde hep ¸carpım topolojisi alınmı¸stır.
Alı¸stırmalar
6.7. X× Y ’nin topolojisinin ayrık olması i¸cin X ve Y ’nin topolojilerinin ayrık olmasının
gerek ve yeter oldu˘gunu kanıtlayın.
6.8. X× Y ’nin topolojisinin en kaba topoloji olması i¸cin X ve Y ’nin topolojilerinin en kaba
topoloji olmasının gerek ve yeter oldu˘gunu kanıtlayın.
6.9. pr1ve pr2izd¨u¸s¨um fonksiyonlarının X×Y kartezyen ¸carpımının a¸cık k¨umelerini sırasıyla X’in ve Y ’nin a¸cık k¨umelerine g¨ot¨urd¨u˘g¨un¨u kanıtlayın. (A¸cık k¨umeleri a¸cık k¨umelere g¨ot¨uren fonksiyonlar enderdir. Bunlara a¸cık fonksiyon denir.)
6.3. S ¨urekli Fonksiyonlar 77
6.10. X ve Y topolojik uzaylar ve y∈ Y olsun. g(x) = (x, y) kuralıyla tanımlanmı¸s g : X→ X × {y}
e¸slemesinin X ile X×{y} topolojik uzayları arasında bir homeomorfizma (yani hem g’nin
hem de g−1’in s¨urekli) oldu˘gunu kanıtlayın. (Burada, X× {y}’nin topolojisi, X × Y ’nin
¸
carpım topolojisinden indirgenmi¸s topolojidir elbette.)
6.11. X× Y ’nin Hausdorff olması i¸cin hem X’in hem de Y ’nin Hausdorff olmasının gerek ve
yeter oldu˘gunu g¨osterin.
6.12. X ve Y iki topolojik uzay olsun. A ve B sırasıyla X ve Y ’nin altuzayları olsun. A× B
k¨umesini iki de˘gi¸sik topolojiyle g¨orebiliriz: A ve B’nin ¸carpım topolojisiyle ve X×Y ’den
indirgenmi¸s topolojiyle. Bu iki topolojinin aynı topoloji oldu˘gunu kanıtlayın.
6.13. X, Y, Z ¨u¸c topolojik uzay olsun. f : X× Y −→ Z bir fonksiyon ve a ∈ X olsun. fa: Y −→ Z fonksiyonunu fa(y) = f (a, y) kuralıyla tanımlayalım.
i. f s¨urekliyse fa’nın s¨urekli oldu˘gunu kanıtlayın.
ii. Her a∈ X i¸cin fa s¨urekliyse, f ’nin illa s¨urekli olmayabilece˘gini kanıtlayın.
6.14. X ve Y iki topolojik uzay olsun. n bir do˘gal sayı olsun. ϕ : Yn= Y×. . .×Y → Y s¨urekli
bir fonksiyon olsun. Her i = 1, . . . , n i¸cin, fi : X → Y s¨urekli bir fonksiyon olsun. Bu
durumda, x7→ ϕ(f1(x), . . . , fn(x)) kuralıyla tanımlanmı¸s X’ten Y ’ye giden fonksiyonun s¨urekli oldu˘gunu kanıtlayın.
E˘ger X ve Y ’nin ¨ontabanları ya da tabanları verilmi¸sse, X×Y ’nin de tabanını ya da ¨ontabanını bulmak m¨umk¨und¨ur:
¨
Onsav 6.4. X ve Y iki topolojik uzay olsun. α ve β’nın sırasıyla X ve Y ’nin
¨
ontabanları (ya da tabanları) olduklarını varsayalım. O zaman {A × B : A ∈ α, B ∈ β}
k¨umesi X× Y ’nin bir ¨ontabanıdır (ya da tabanıdır).
Kanıt: ¨Ontaban i¸cin kanıtlayalım. V ⊆ X, W ⊆ Y iki a¸cık k¨ume olsun. O zaman, V ,
A1, A2, . . . , An∈ α olmak ¨uzere,
A1∩ A2∩ . . . ∩ An
bi¸ciminde yazılan k¨umelerin bile¸simidir. Yazılımda tasarruf sa˘glamak amacıy-la,
V =∪
(A1∩ A2∩ . . . ∩ An) yazalım. Aynı ¸sekilde,
W =∪
78 6. C¸ arpım Topolojisi yazalım. E˘ger m ve n e¸sit de˘gilse, An ya da Bm’yi yeterince tekrar ederek n = m varsayımını yapabiliriz. O zaman
V × W =(∪ (A1∩ . . . ∩ An) ) ×(∪ (B1∩ . . . ∩ Bn) ) =∪ ((A1∩ . . . ∩ An)× (B1∩ . . . ∩ Bn)) =∪ ((A1× B1)∩ . . . ∩ (An× Bn))
6.4. C¸ arpım Topolojisi (sonsuz) 79
¨
Ornek 6.15.R2 Uzerinde ¨¨ Oklid Topolojisi. ¨Onsavda X = Y =R alalım (elbette ¨Oklid topolojileriyle donatılmı¸s olarak). ¨Onsav 6.4’e g¨oreR × R’nin ¸carpım topolojisi (a, b) × (c, d) dikd¨ortgenleri tarafından gerilmi¸stir, ki bu da ¨Oklid topolojisini verir ( ¨Ornek 4.20).
˙Iki topolojik uzayın ¸carpımı alınabildi˘gine g¨ore sonlu sayıda topolojik uza-yın da ¸carpımı alınabilir. Ama bir ¸seye dikkat etmek lazım: B¨oyle bir tanıma giri¸smeden ¨once, ¨orne˘gin, (X×Y )×Z topolojik uzayıyla X ×(Y ×Z) topolojik uzaylarının homeomorfik olduklarını g¨ostermek gerekir, yoksa tanım mu˘glak olur. Tela¸sa mahal yok, ger¸cekten de ¨oyledir. Ama bir sonraki altb¨ol¨umde ¸cok daha genel bir ¸sey yapaca˘gımızdan bunun ayrıntılarına girmiyoruz ve kanıtı okura alı¸stırma olarak bırakıyoruz.
Alı¸stırmalar
6.16. X, Y ve Z ¨u¸c topolojik uzay olsun. (X × Y ) × Z topolojik uzayıyla X × (Y × Z)
topolojik uzayları arasında hem kendi hem de tersi s¨urekli olan bir e¸sleme oldu˘gunu, yani uzayların homeomorfik olduklarını g¨osterin.
6.17. s(x, y) = x + y kuralıyla tanımlanmı¸s s : R × R → R fonksiyonuyla, m(x, y) = xy kuralıyla tanımlanmı¸s m :R × R → R fonksiyonunun s¨urekli olduklarını kanıtlayın. Bu fonksiyonlar a¸cık mıdırlar?
6.18. X ve Y iki topolojik uzay olsun. A ve B sırasıyla X ve Y ’nin altk¨umeleri olsun.
A◦× B◦= (A× B)◦
e¸sitli˘gini kanıtlayın.
6.19. X ve Y birer topolojik uzay olsunlar. (xn)n bir X-dizisi ve (yn)n bir Y -dizisi olsun. Ayrıca x∈ X ve y ∈ Y olsun. (xn, yn) dizisinin (x, y) noktasına (¸carpım topolojisinde elbet) yakınsaması i¸cin (xn)ndizisinin x’e ve (yn)ndizisinin y’ye yakınsamasının gerek ve yeter ko¸sul oldu˘gunu kanıtlayın. Bkz. Teorem 6.6.
6.20. Lindel¨of Teoremi’nin (Teorem 0.21) bir benzeriniR2
i¸cin kanıtlayın.
6.4 C¸ arpım Topolojisi (sonsuz)
X bir k¨ume, (Xi)i∈I bir topolojik uzay ailesi ve (fi: X → Xi)i∈I
bir fonksiyon ailesi olsun. X ¨uzerinde fifonksiyonlarının her birini s¨urekli kılan en kaba topoloji - elbette,
{fi−1(U ) : i∈ I, U ⊆ Xi, U a¸cık}
k¨umesiyle ¨uretilen topolojidir. Bu k¨ume bu topolojinin bir ¨ontabanıdır ama illa bir tabanı olmayabilir. Topolojinin bir tabanını bulmak i¸cin, bu ¨ontabanın k¨umelerinin sonlu kesi¸simlerini almak gerekir: Her n ∈ N, her i1, . . . , in ∈ I, her j = 1, . . . , n ve Xij’nin her Uij a¸cık altk¨umesi i¸cin, X’in
f−1
i1 (Ui1)∩ f−1
i2 (Ui2)∩ . . . ∩ f−1 in (Uin)
80 6. C¸ arpım Topolojisi Bu dediklerimizi, X =∏ i∈I Xi kartezyen ¸carpımına2 ve pri: X → Xi
izd¨u¸s¨um fonksiyonlarına uygulayalım. pri izd¨u¸s¨um fonksiyonlarının, pri((xi)i∈I) = xi
olarak tanımlandı˘gını anımsatalım. Yukarda a¸cıklanan y¨ontemle elde edilen topolojiye ¸carpım topolojisi ya da Tychonoff topolojisi denir. Bu
topo-lojinin tabanını daha a¸cık bir bi¸cimde g¨osterelim.
pr−1 ij (Uij) = { (xi)i∈I ∈∏ i∈I Xi: xij ∈ Uij }
oldu˘gundan, ¸carpım topolojisinin tabanı, her n ∈ N, her i1, . . . , in ∈ I ve Xij’nin her Uij a¸cık altk¨umesi i¸cin, ∏
i∈IXi kartezyen ¸carpımının {
(xi)i∈I ∈∏
i∈I
Xi: her 1≤ j ≤ n i¸cin xij ∈ Uij }
t¨ur¨unden yazılan altk¨umelerinden olu¸sur. Bunlar da aynen∏
i∈IXi k¨umesinin her j = 1, 2, . . . , n i¸cin ij’inci koordinatı Uij’de olan altk¨umeleridir. Daha sade ve ¸sık bir g¨osterimle,∏
i∈IXi uzayının tabanı, sadece sonlu sayıda i∈ I i¸cin Ui ̸= Xi oldu˘gu, Xi’nin Ui a¸cık altk¨umeleri i¸cin,
∏
i∈I
Ui
bi¸ciminde yazılan altk¨umelerden olu¸sur. Bu t¨ur a¸cık k¨umelere temel a¸cık k¨umeler diyebiliriz.
¨
Ornekler
6.21. I =N ve her i ∈ I i¸cin, Xi=R ise, ∏ i∈N R = R × R × R × . . . topolojik uzayının (0, 1)× R × R × . . . R × (0, 1) × R × R × . . . (0, 1)× (0, 1) × R × R × . . . 2
Kartezyen ¸carpımla a¸sina olmayan okur i¸cin b¨ol¨um sonunda konuyla ilgili bir paragraf vardır.
6.4. C¸ arpım Topolojisi (sonsuz) 81
altk¨umeleri tabanın birer elemanıdır ve dolayısıyla herbiri a¸cıktır ama ∏
i∈N
(0, 1) = (0, 1)× (0, 1) × (0, 1) × . . .
altk¨umesi ¸carpım topolojisinde a¸cık de˘gildir. (Kanıtlayın.)
6.22. X bir k¨ume olsun. 2 ={0, 1} tanımını anımsatırız [N2]. X’ten 2 k¨umesine giden her
fonksiyon, ¸su y¨ontemle X’in bir ve bir tek α(f ) altk¨umesini verir: E˘ger f : X−→ 2 ise, α(f ) ={x ∈ X : f(x) = 1} ⊆ X
olsun. Di˘ger yandan e˘ger Y ⊆ X ise, χY(x) = {
1 e˘ger x∈ Y ise
0 e˘ger x̸∈ Y ise
form¨ul¨u bize X’ten 2 k¨umesine giden bir χY fonksiyonu verir. χY fonksiyonuna Y ’nin (X’e g¨ore) karakteristik fonksiyonu adı verilir. χ ve α fonksiyonları birbirinin tersi-dir: α(χY) = Y ve χα(f )= f . Dolayısıyla her iki fonksiyon da birer e¸slemedir. B¨oylece
℘(X), Fonk(X, 2) ve∏
X{0, 1} k¨umeleri birbirleriyle e¸sleniktir. {0, 1} ¨uzerine ayrık
to-polojiyi alırsak,∏
X{0, 1} k¨umesini ¸carpım topolojisiyle donatabiliriz. B¨oylece ℘(X) ve
Fonk(X, 2) k¨umeleri de bir topolojiyle donatılmı¸s olur (bkz. Alı¸stırma 1.11). Bu topo-lojide temel bir a¸cık k¨ume, sonlu A, B⊆ X altk¨umeleri i¸cin,
U (A, B) ={Y ⊆ X : A ⊆ Y ve B ∩ Y = ∅}
bi¸cimindedir. E˘ger A∩ B ̸= ∅ ise U(A, B) bo¸sk¨umedir elbet, aksi halde A’yı eleman
olarak i¸ceren bir k¨umedir. Bir Y ⊆ X altk¨umesini i¸ceren temel bir a¸cık k¨ume, sonlu A⊆ Y ve B ⊆ Yc
altk¨umeleri i¸cin U (A, B) bi¸ciminde yazılır.
Alı¸stırmalar
6.23. ℘(X) ¨uzerine ¨Ornek 6.22’de tanımlanan topolojiyi alalım.
(A, B)7→ A ∩ B, (A, B) 7→ A ∪ B (A, B) 7→ A \ B
form¨ulleriyle tanımlanmı¸s
∪, ∩, \ : ℘(X) × ℘(X) −→ ℘(X)
fonksiyonlarının ve A 7→ Ac
kuralıyla tanımlanmı¸s ℘(X) −→ ℘(X) fonksiyonunun
s¨urekli oldu˘gunu kanıtlayın.
6.24. ¨Ornek 6.22’den devam edelim. fn:R −→ 2 fonksiyonu, n noktasında 1, di˘ger noktalarda 0 alan fonksiyon olsun. fn ∈ Fonk(R, 2) ≃ ∏R2 oldu˘gundan, (fn)n dizisinin ¸carpım topolojisinde limitinden s¨oz edebiliriz. Bu dizinin sabit 0 fonksiyonuna yakınsadı˘gını kanıtlayın. Her f :R −→ 2 fonksiyonunun hi¸cbir terimi f’ye e¸sit olmayan bir dizinin limiti oldu˘gunu kanıtlayın.
6.25. (Xi)i∈I bir topolojik uzay ailesi olsun. J ⊆ I ve her i ∈ I \ J i¸cin ai ∈ Xi elemanı sabitlenmi¸s olsun. Y = { x = (xi)i∈∏ I Xi: i∈ I \ J ⇒ xi= ai } olsun.∏ JXj≃ Y ¨onermesini kanıtlayın.
82 6. C¸ arpım Topolojisi
6.26. X topolojik bir uzay olsun. X’in T1oldu˘gunu varsayalım. I bir g¨osterge¸c k¨umesi, J⊆ I
ve a∈ X olsun.∏IX k¨umesinin∏
J,aX altk¨umesi ¸s¨oyle tanımlansın: ∏ J,a X = { x∈∏ I
X : E˘ger i /∈ J ise xi= a }
.
Bu altk¨umenin ¸carpım topolojisinde kapalı oldu˘gunu kanıtlayın. Bu k¨umenin a¸cık olması i¸cin ya X’in tek bir noktadan ibaret olmasının ya da I\ J’nin sonlu olmasının yeter ve
gerek oldu˘gunu kanıtlayın.