Metrik Uzaylar
Teorem 11.5. Yukardaki tanım ve yazılımlarla, ( ∏
14. Metrik Uzaylarda
S¨ureklilik
14.1 S¨ureklilik
Ge¸cen b¨ol¨umde her metri˘gin, tanımlandı˘gı metrik uzay ¨uzerine do˘gal olarak bir topoloji ¨uretti˘gini g¨ord¨uk. Anımsarsanız, topoloji, metri˘gin yuvarları ta-rafından ¨uretilmi¸sti. Aynı b¨ol¨umde metrik uzaylardaki dizi yakınsaklı˘gı kav-ramıyla topolojik uzaylardaki dizi yakınsaklı˘gı kavramının ¨ort¨u¸st¨u˘g¨un¨u g¨ or-d¨uk, aralarında bir fark yoktu. Bu b¨ol¨umde, metrik uzayda “fonksiyonların s¨ureklili˘gi” kavramlarını tanımlayıp, bu kavramın topolojik uzaylar i¸cin ¨onceki kısımda tanımladı˘gımız kavramlarla ¨ort¨u¸st¨u˘g¨un¨u g¨orece˘giz.
(X, d) ve (Y , d′) iki metrik uzay ve f : X → Y bir fonksiyon olsun. Ayrıca a∈ X olsun. E˘ger her ϵ > 0 ve her x ∈ X i¸cin,
d(a, x) < δ⇒ d′(f (a), f (x)) < ϵ
¨
onermesini sa˘glayan bir δ > 0 varsa, o zaman f fonksiyonuna a’da s¨urekli
denir. Bu, x’i a’ya yeterince yakın se¸cersek, f (x)’i f (a)’ya istedi˘gimiz kadar yakla¸stırabiliriz anlamına gelir. IdX ¨ozde¸slik fonksiyonu elbette her a nok-tasında s¨ureklidir, bunun i¸cin δ’yi ϵ’a e¸sit almak yeterli. En do˘gal ve en ¸cok kul-lanılan fonksiyonların hemen her noktada s¨urekli olmaları okuru ¸sa¸sırtmamalı.
Yukardaki ko¸sulun,
x∈ B(a, δ) ⇒ f(x) ∈ B(f(a), ϵ) ko¸suluna e¸sde˘ger oldu˘guna dikkatinizi ¸cekeriz. Bu da, elbette
f (B(a, δ))⊆ B(f(a), ϵ) demektir, ve bu son ko¸sul da
B(a, δ)⊆ f−1(B(f (a), ϵ))
ko¸suluna denktir. B¨oylece bir ¸cırpıda bir noktada s¨ureklili˘gin d¨ort de˘gi¸sik tanımını bulduk.
180 14. Metrik Uzaylarda S ¨ureklilik
Bu, tek bir noktada s¨ureklili˘gin tanımı. Her noktada s¨urekli olan bir fonk-siyona kısaca s¨urekli fonksiyon denir.
Alı¸stırmalar
14.1. Her izometri s¨ureklidir elbette, ne de olsa izometriler i¸cin δ’yı ϵ’a e¸sit almak yeterlidir. 14.2. E˘ger (X, d) bir metrik uzaysa, d : X× X −→ R mesafe fonksiyonu s¨ureklidir.
Bu konuda Alı¸stırma 13.1’e de bakabilirsiniz.
Kanıt: ¨Ornek 13.9’a g¨ore X× X ¨uzerine
d1((x, y), (a, b)) = d(x, a) + d(y, b) metri˘gini alabiliriz.
(a, b)∈ X × X ve ϵ > 0 olsun. ¨Oyle bir δ > 0 bulmalıyız ki, her (x, y)∈ X × X i¸cin,
e˘ger d1((x, y), (a, b)) < δ ise|d(x, y) − d(a, b)| < ϵ olsun.
|d1(x, y)− d1(a, b)| ≤ |d1(x, y)− d1(x, b)| + |d1(x, b)− d1(a, b)|
= d(y, b) + d(x, a) = d1((x, y), (a, b))
oldu˘gundan δ = ϵ almak yeterli.
Topolojik uzaylarda da fonksiyonların s¨ureklili˘ginin tanımını g¨orm¨u¸st¨uk. Her metrik uzay bir topolojik uzay ¨uretti˘ginden, her iki s¨ureklili˘gin de aynı anlama gelip gelmedi˘gi sorusunu sorabiliriz. Yanıt olumludur, olması gerekti˘gi ¨
14.1. S ¨ureklilik 181
Teorem 14.1. (X, d) ve (Y, d′) iki metrik uzay ve f : X → Y bir fonksiyon olsun. f ’nin metrik uzaylar anlamında s¨urekli olmasıyla, metriklerin ¨uretti˘gi topolojik uzaylar anlamında s¨urekli olması arasında bir fark yoktur, iki kavram ¨
ort¨u¸s¨ur.
Kanıt: ¨Once f ’nin metrik uzaylar anlamında s¨urekli oldu˘gunu varsayalım. V ⊆ Y , Y ’nin bir a¸cık k¨umesi olsun. f−1(V )’nin a¸cık oldu˘gunu kanıtlayaca˘gız.
Bu ama¸cla f−1(V )’den herhangi bir a elemanı alalım. a merkezli ve 0’dan
b¨uy¨uk yarı¸caplı bir yuvarın f−1(V )’nin altk¨umesi oldu˘gunu kanıtlayaca˘gız.
B¨oylece f−1(V ) k¨umesinin Y ’de a¸cık oldu˘gu kanıtlanmı¸s olacak.
f (a) ∈ V oldu˘gundan ve V a¸cık oldu˘gundan, topolojinin tanımına g¨ore, ¨
oyle bir ϵ > 0 vardır ki, B(f (a), ϵ)⊆ V olur. Fonksiyon her yerde oldu˘gu gibi a’da da s¨urekli. Demek ki ¨oyle bir δ > 0 vardır ki,
B(a, δ)⊆ f−1(B(f (a), ϵ))⊆ f−1(V )
olur.
S¸imdi de f ’nin topolojik anlamda s¨urekli oldu˘gunu varsayalım. X’ten her-hangi bir a elemanı alalım. ϵ > 0 herher-hangi bir eleman olsun. B(f (a), ϵ) a¸cık bir k¨ume oldu˘gundan ve f s¨urekli oldu˘gundan,
f−1(B(f (a), ϵ))
k¨umesi X’in a¸cık bir altk¨umesidir. Bu a¸cık k¨ume a’yı i¸cerdi˘ginden, a merkezli ve 0’dan b¨uy¨uk yarı¸caplı bir yuvar i¸cerir. Demek ki bir δ > 0 i¸cin,
B(a, δ)⊆ f−1(B(f (a), ϵ))
olur, ki bu da f ’nin a’da s¨ureklili˘gi demektir.
Benzer bir teoremi tek bir noktada s¨ureklilik i¸cin de kanıtlayabiliriz.
Teorem 14.2. (X, d) ve (Y, d′) iki metrik uzay ve f : X → Y bir fonksiyon olsun. a ∈ X olsun. f’nin metrik uzaylar anlamında a’da s¨urekli olmasıyla, metriklerin ¨uretti˘gi topolojik uzaylar anlamında a’da s¨urekli olması arasında bir fark yoktur, her iki kavram ¨ort¨u¸s¨ur.
Kanıt: ¨Once f ’nin metrik uzaylar anlamında a’da s¨urekli oldu˘gunu varsa-yalım. f (a) ∈ V ⊆ Y , f(a)’nın Y ’de bir kom¸sulu˘gu olsun. f−1(V )’nin a’nın
bir kom¸sulu˘gu oldu˘gunu kanıtlamalıyız. Kom¸sulu˘gun tanımı gere˘gi, f (a)∈ V′ ⊆ V
ili¸skilerini sa˘glayan bir V′ a¸cık k¨umesi vardır. Topolojinin tanımı gere˘gi, ¨oyle
bir ϵ > 0 vardır ki,
182 14. Metrik Uzaylarda S ¨ureklilik ili¸skileri sa˘glanır. f metrik uzaylar anlamında s¨urekli oldu˘gundan,
B(a, δ)⊆ f−1(B(f (a), ϵ)) i¸cindeli˘gini sa˘glayan bir δ > 0 vardır. O zaman,
a∈ B(a, δ) ⊆ f−1(B(f (a), ϵ))⊆ f−1(V )
olur ki bu da f−1(V )’nin a’nın bir kom¸sulu˘gu oldu˘gunu kanıtlar.
S¸imdi f ’nin topolojik anlamda a’da s¨urekli oldu˘gunu varsayalım. ϵ > 0 olsun. B(f (a), ϵ) yuvarı, a¸cık bir k¨ume oldu˘gundan f (a)’nın bir kom¸sulu˘gudur. Demek ki f−1(B(f (a), ϵ)) k¨umesi de a’nın bir kom¸sulu˘gudur. Kom¸sulu˘gun
tanımı gere˘gi,
a∈ U ⊆ f−1(B(f (a), ϵ))
ili¸skilerini sa˘glayan X’in bir U a¸cık altk¨umesi vardır. Topolojinin tanımı gere˘gi, B(a, δ)⊆ U
i¸cindeli˘gini sa˘glayan bir δ > 0 vardır. O zaman, B(a, δ)⊆ U ⊆ f−1(B(f (a), ϵ))
olur, ki bu da kanıtlamak istedi˘gimizdi.
Demek ki Teorem 3.1 ve 3.2’de kanıtladı˘gımız teoremler metrik uzaylar i¸cin de ge¸cerlidir. ¨Orne˘gin, s¨urekli fonksiyonların bile¸skesi s¨ureklidir.
Topolojik bir uzayda s¨ureklili˘gin ¸ce¸sitli tanımları verilebilir. Birka¸cını daha ¨
once g¨orm¨u¸st¨uk. C¸ ok i¸se yarayanlardan biri de ¸sudur:
¨
Onsav 14.3. X ve Y iki topolojik uzay ve f : X → Y bir fonksiyon olsun. f ’nin s¨urekli olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, her A ⊆ X i¸cin f(A) ⊆ f(A) ko¸suludur.
Kanıt: f ’nin s¨urekli oldu˘gunu varsayalım. O zaman kapalı bir k¨umenin ¨ onim-gesi kapalı oldu˘gundan (Teorem 8.2),
f−1( f (A)
) kapalı bir k¨umedir; ayrıca A’yı da i¸cerir. Bu da
A⊆ f−1(f (A) ) , yani f( A) ⊆ f(A) i¸cindeli˘gini verir.
14.1. S ¨ureklilik 183 S¸imdi de ko¸sulu varsayalım. B, Y ’nin kapalı bir altk¨umesi olsun. Teorem 8.2’ye g¨ore f−1(B)’nin X’te kapalı oldu˘gunu g¨ostermek yeterlidir.
A = f−1(B)
olsun. Elbette f (A)⊆ B. O zaman ko¸suldan dolayı f( A) ⊆ f(A) ⊆ B = B olur. Yani f−1(B) = A⊆ f−1(B) ve dolayısıyla f−1(B) kapalıdır.
[N4]’teR i¸cin kanıtladı˘gımız teoremi ¸simdi genel olarak metrik uzaylar i¸cin kanıtlayabiliriz:
Teorem 14.4. X ve Y iki topolojik uzay ve f : X → Y s¨urekli bir fonksiyon olsun. Her x∈ X ve x’e yakınsayan her (xn)ndizisi i¸cin (f (xn))ndizisi f (x)’e yakınsar. E˘ger X metrik bir uzaysa, bunun tersi de do˘grudur, yani bu ¨ozelli˘gi sa˘glayan her fonksiyon s¨ureklidir.
Kanıt: ˙Ilk ¨onerme Teorem 3.2’de kanıtlanmı¸stı. ˙Ikinci ¨onermeye ge¸celim. X bir metrik uzay olsun. Bir ¨onceki ¨onsavı kullanıp e˘ger A⊆ X ise
f (A)⊆ f(A)
i¸cindeli˘gini kanıtlayaca˘gız. x ∈ A olsun. O zaman ¨Onsav 13.7’ye g¨ore, A’da limiti x olan bir (xn)n dizisi vardır. Varsayıma g¨ore (f (xn))n dizisi f (x)’e yakınsar. f (xn) ∈ f(A) oldu˘gundan, gene ¨Onsav 13.7’ye g¨ore (ama bu kez
metri˘ge gerek yok), f (x)∈ f(A) olur.
C(X, Y ), X’ten Y ’ye giden s¨urekli fonksiyonların k¨umesini simgeler. El-bette C(X, Y ),∏
XY k¨umesinin bir altk¨umesidir, ama∏
XY ’yi ¸carpım topo-lojisiyle topolojik bir uzay olarak g¨ord¨u˘g¨um¨uzde, C(X, Y )’nin hi¸cbir ¨ozelli˘gi yoktur.
E˘ger Y =R olarak alırsak, C(X, R) ¨uzerine toplama ve ¸carpma i¸slemlerini (nokta bazında, yani noktasal olarak) tanımlayabiliriz ya da C(X,R) k¨umesi-nin bir elemanını bir r ger¸cel sayısıyla ¸carpabiliriz: E˘ger f , g ∈ C(X, R) ise, f + g, f g ve rf fonksiyonları, her x∈ X i¸cin,
(f + g)(x) = f (x) + g(x), (f g)(x) = f (x)g(x), (rf )(x) = r· f(x)
olarak tanımlayabiliriz. Tanımlanan bu ¨u¸c fonksiyon da C(X,R)’dedir. Bunlar ¸
184 14. Metrik Uzaylarda S ¨ureklilik
Teorem 14.5. X ve Y iki topolojik uzay olsun. n bir do˘gal sayı olsun. ϕ : Yn= Y × . . . × Y → Y
s¨urekli bir fonksiyon olsun. Her i = 1, . . . , n i¸cin, fi: X → Y s¨urekli bir fonksiyon olsun. O zaman,
x7→ ϕ(f1(x), . . . , fn(x))
kuralıyla tanımlanmı¸s X’ten Y ’ye giden fonksiyon s¨ureklidir.
Kanıt: Teorem 6.3’e g¨ore, x7→ (f1(x), . . . , fn(x)) kuralıyla tanımlanmı¸s X to-polojik uzayından Yntopolojik uzayına giden fonksiyon s¨ureklidir. Dolayısıyla bu fonksiyonun ϕ ile bile¸skesini alırsak s¨urekli bir fonksiyon elde ederiz.
Sonu¸c 14.6. C(X,R), toplama, ¸carpma ve bir ger¸cel sayıyla ¸carpma i¸slemleri altında kapalıdır.
Kanıt: Yukardaki teoremde Y =R ve n = 2 olsun ve ϕ : R × R −→ R fonk-siyonu ϕ(x, y) = x + y ya da ϕ(x, y) = xy olarak tanımlansın. ϕ’nin s¨urekli
oldu˘gunu biliyoruz [N5].
(X, d) ve (Y, d′) iki metrik uzay olsun. C
b(X, Y ), X’ten Y ’ye giden s¨urekli ve sınırlı fonksiyonlar k¨umesi olsun. Cb(X, Y ) ¨uzerine ¸su metri˘gi koyabiliriz:
d∞(f, g) = sup{d′(f (x), g(x)) : x∈ X}. Bunun ¨ozel bir durumu: Cb(X,R) bir metrik uzaydır.
Alı¸stırmalar
14.3. ¨Ornek 10.6 ve 10.10’da ¨Oklid metri˘giyle donatılmı¸s X1 = . . . = Xn=R metrik uzay-larını alalım. 1≤ p ≤ ∞ olsun. Her x, y ∈ Rn
i¸cin,
dp(x, y)
n1/p ≤ d∞(x, y)≤ dp(x, y) e¸sitsizliklerini kanıtlayın.
14.4. Yukardaki alı¸stırmadan, 1≤ p, q ≤ ∞ i¸cin, IdRn : (Rn, dp)−→ (Rn, dq) fonksiyonunun s¨urekli oldu˘gunu ¸cıkarın.
14.5. Yukardaki alı¸stırmadan, 1 ≤ p, q ≤ ∞ i¸cin, (Rn, dp) ve (Rn, dq) metrik uzaylarının gerdi˘gi topolojilerin aynı olduklarını kanıtlayın.
14.6. Q ¨uzerine p-sel metri˘gi alalım ( ¨Ornek 10.35). Q × Q’den Q’ye giden f(x, y) = x + y ve g(x, y) = xy fonksiyonlarının p-sel metrik i¸cin s¨urekli oldu˘gunu kanıtlayın. (Q × Q ¨
uzerinde ¸carpım topolojisi alınıyor tabii.) ˙Ipucu: Alı¸stırma 10.41. Buradan limn→∞xn=
x ve limn→∞yn = y ise limn→∞(xn+ yn) = x + y ve limn→∞(xnyn) = xy oldu˘gunu kanıtlayın.
14.2. Dizisel S ¨ureklilik ve S ¨ureklilik 185
Dikkat: Bir fonksiyonun a’da s¨urekli olup olmadı˘gı sorusunun sorulabilmesi, dolayısıyla sorunun olumlu ya da olumsuz yanıtlanabilmesi i¸cin a’nın X’te ol-ması gerekir. Lise ¨o˘gretmenlerinin ve ¨o˘grencilerinin vazge¸cilmez sorularından biri de f (x) = 1/x fonksiyonunun 0’da s¨urekli olup olmadı˘gıdır. Matema-tik¸ciler b¨oyle bir soruyu anlamsız bulurlar, ¸c¨unk¨u 0 tanım k¨umesinde de˘gildir. Biraz daha ilgin¸c ama aynı derecede gereksiz bir soru g(x) = x2/x form¨ul¨uyle tanımlanmı¸s fonksiyonun 0 noktasında s¨urekli olup olmadı˘gıdır. Gene mate-matik¸ciler sorunun anlamsız olması gerekti˘gine karar vermi¸slerdir ¸c¨unk¨u sa-dece tanım k¨umesinde olan a’lar i¸cin bir fonksiyonun s¨urekli olup olmadı˘gı sorusu sorulabilir. ¨Ote yandan bu son fonksiyonR \ {0} k¨umesinde x’e e¸sittir ve h(x) = x fonksiyonu R’de tanımlanabilir, R \ {0} k¨umesinde g’ye e¸sittir ve 0’da s¨ureklidir. Yani g(0) = 0 tanımını yaparak g’yi her yerde s¨urekli hale getirebiliriz. Ama a˘gzımızla ku¸s, burnumuzla balık tutsak, f fonksiyonunu her yerde s¨urekli hale getiremeyiz.
14.2 Dizisel S¨ureklilik ve S¨ureklilik
Teorem 3.2’de s¨urekli bir fonksiyonun dizi limitiyle uyumlu oldu˘gunu g¨ oster-dik1, yani her (xn)n dizisi i¸cin, e˘ger x, (xn)n dizisinin bir limitiyse, f (x), (f (xn))n dizisinin bir limitidir2. Bu ¨ozelli˘gi sa˘glayan fonksiyonlara dizisel
s¨urekli fonksiyon adı verilir. Demek ki her s¨urekli fonksiyon dizisel s¨ urekli-dir.R’den R’ye giden ve ¨Oklid topolojisinde dizisel s¨urekli olan her fonksiyonun s¨urekli oldu˘gunu da [N5]’ten biliyoruz. Ama her topolojik uzay ve her fonksi-yon i¸cin dizisel s¨ureklilik s¨ureklili˘gi gerektirmez. ¨Ornek 3.9’da buna bir ¨ornek verdik. ¨Ote yandan Teorem 14.4’te tanım k¨umesi bir metrik uzayı oldu˘gunda dizisel s¨ureklili˘gin s¨ureklili˘gi gerektirdi˘gini kanıtladık. Bu b¨ol¨umde bu sonucu genelle¸stirece˘giz. ¨Once bir iki tanım.
Tanım. X bir topolojik uzay olsun. Her x∈ X i¸cin, x’i i¸ceren ¨oyle sayılabilir sayıda (Un)na¸cık k¨umesi olsun ki, x’i i¸ceren her a¸cık k¨ume bu Un’lerden birini i¸cersin. Bu durumda X’e birinci sayılabilir denir. Tanımda verilen (Un)n a¸cık k¨ume ailesine de x’in yerel tabanı denir.
¨
Onsav 14.7. Bir metrik uzay birinci sayılabilir bir topolojik uzaydır.
Kanıt: x∈ X ise, (B(x, q))q∈Q ailesi, x’in sayılabilir bir yerel tabanıdır.