8.1 Kapalı K¨umeler
Bir topolojik uzayda a¸cık bir k¨umenin t¨umleyenine kapalı k¨ume denir.
¨
Ornekler
8.1. (−∞, 1) aralı˘gı R’nin ¨Oklid topolojisinde a¸cık oldu˘gundan, bunun t¨umleyeni olan [1,∞)
aralı˘gı kapalıdır. ¨Oklid topolojisinde (−∞, a], [b, ∞), [a, b], ∅ ve (−∞, ∞) t¨ur¨unden
yazılan aralıklar kapalıdır, di˘ger aralıklar kapalı de˘gildirler.
8.2. E˘ger X = (0, 1)∪[2, 3] ise, R’den indirgenmi¸s topolojiyle, X’in (0, 1) ve [2, 3] altk¨umeleri X’te hem a¸cık hem de kapalıdırlar. Ama (0, 1) k¨umesiR’de kapalı de˘gildir.
8.3. Ayrık topolojide her altk¨ume a¸cık oldu˘gundan, her altk¨ume aynı zamanda kapalıdır da. En kaba topolojide sadece∅ ve k¨umenin kendisi kapalıdır.
8.4. Sonlu t¨umleyenler topolojisinde sadece sonlu k¨umeler ve uzayın (yani k¨umenin) kendisi kapalıdır.
8.5. Sorgenfrey do˘grusunda [a, b) bi¸ciminde yazılan her a¸cık k¨ume kapalıdır. Ama sınırlı a¸cık aralıklar kapalı de˘gildirler. ¨Oklid topolojisinde her kapalı k¨ume Sorgenfrey do˘grusunda da kapalıdır. Genellikle topoloji zenginle¸stik¸ce a¸cık k¨ume sayısı ve a¸cık k¨ume sayısıyla birlikte kapalı k¨ume sayısı da artar.
A¸cık k¨umeleri “sınırını” i¸cermeyen, kapalı k¨umeleri de “t¨um sınırını” i¸ceren b¨olgeler olarak g¨oz¨um¨uzde canlandırabiliriz. Kapalı k¨umeleri kabuklu porta-kal, a¸cık k¨umeleri ise kabuksuz portakal olarak d¨u¸s¨unebilirsiniz.
Dikkat: Kapıların aksine, a¸cık olmayan bir k¨ume kapalı ya da kapalı olmayan bir k¨ume a¸cık olmak zorunda de˘gildir. ¨Orne˘gin (0, 1] aralı˘gı, ¨Oklid topoloji-sinde ne a¸cıktır ne de kapalı. ¨Ote yandan her X topolojik uzayında ∅ ve X hem a¸cıktır hem de kapalıdır. Daha sonra R’de ∅ ve R’den ba¸ska hem a¸cık hem de kapalı k¨ume olmadı˘gını kanıtlayaca˘gız.
Tanımlarından dolayı, kapalı k¨umeler, a¸cık k¨umelerin ¨ozelliklerini d¨ual dil-de yansıtır:
92 8. Kapalı K ¨umeler
Teorem 8.1. X bir topolojik uzay olsun. i. ∅ ve X kapalı k¨umelerdir.
ii. Kapalı k¨umelerin kesi¸simi kapalıdır.
iii. Sonlu sayıda kapalı k¨umenin bile¸simi kapalıdır.
Kanıt: Do˘grudan tanımdan ve a¸cık k¨umelerin sayfa 29’daki T1, T2, T3 ¨
ozel-liklerinden ¸cıkar.
Ama sonsuz sayıda kapalı k¨umenin bile¸simi kapalı olmayabilir. ¨Orne˘gin, ∪
ϵ>0
[ϵ, 1− ϵ] = (0, 1) ve bu bile¸simR’de kapalı de˘gildir.
Kapalı altk¨umenin tanımından dolayı, X’in kapalı bir altk¨umesinin X’te t¨umleyeni X’in a¸cık bir altk¨umesidir. Bu y¨uzden a¸cık k¨umelerle ifade edilen her sonucu ve her tanımı kapalı k¨umelerle de ifade edebiliriz.
¨
Orne˘gin, bir X k¨umesini bir topolojiyle donatmak i¸cin, yukardaki teorem-deki ¨ozellikleri sa˘glayan altk¨umeler bulmak ve bu altk¨umelerin t¨ umleyenleri-ne “a¸cık” demek yeterlidir. Yani topolojinin tanımını sayfa 29’daki gibi a¸cık k¨umelerle yapaca˘gımıza kapalı k¨umelerle de yapabilirdik.
Bir ba¸ska ¨ornek: S¨ureklili˘gin tanımını a¸cık altk¨umeler yerine kapalı altk¨ u-melerle ifade edebiliriz:
Teorem 8.2. X ve Y birer topolojik uzay ve f : X → Y bir fonksiyon olsun. f ’nin s¨urekli olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, Y ’nin her kapalı altk¨umesinin ¨
onimgesinin kapalı olmasıdır.
Kanıt: ¨Once f ’nin s¨urekli oldu˘gunu varsayalım. F , Y ’nin kapalı bir altk¨umesi olsun. O zaman Fc k¨umesi Y ’nin a¸cık bir altk¨umesidir. f s¨urekli oldu˘gundan, f−1(Fc), X’in a¸cık bir altk¨umesidir. Dolayısıyla f−1(Fc)c, X’in kapalı bir altk¨umesidir. Ama f−1(Fc)c = f−1(F ) oldu˘gundan, bundan da f−1(F )’nin
kapalı oldu˘gu sonucu ¸cıkar.
Di˘ger y¨onde kanıt da benzerdir, aynen yukardaki gibi, f−1(Vc)c= f−1(V )
e¸sitli˘gini kullanır.
Alı¸stırmalar
8.6. Bir topolojik uzayda U a¸cık ve F kapalı bir altk¨ume olsun. U\ F ’nin a¸cık, F \ U’nun
kapalı oldu˘gunu kanıtlayın.
8.7. f : X −→ Y , topolojik uzaylar arasında s¨urekli bir fonksiyon olsun. Y ’nin kapalı
altk¨umelerinin ¨onimgelerinin kapalı oldu˘gunu kanıtlayın.
8.8. f : X −→ Y , topolojik uzaylar arasında bir fonksiyon olsun. E˘ger Y ’nin her kapalı
8.1. Kapalı K ¨umeler 93
8.9. Y bir topolojik uzay ve A⊆ X ⊆ Y olsun. A’nın X’te (X’in Y ’den indirgenmi¸s
topo-lojisiyle) kapalı olmasıyla A’nın Y ’de kapalı olması ayrı anlamlara gelebilir. A’nın X’te kapalı olması i¸cin, Y ’nin kapalı bir F altk¨umesi i¸cin, A = F ∩ X e¸sitli˘ginin yeter ve
gerek ko¸sul oldu˘gunu kanıtlayın. Ama X, Y ’de kapalıysa, A’nın X’te ya da Y ’de kapalı olmasının aynı anlama geldi˘gini kanıtlayın.
8.10. X ve Y iki topolojik uzay olsun. A ve B sırasıyla X ve Y ’nin kapalı altk¨umeleri olsun.
A× B’nin kapalı oldu˘gunu kanıtlayın.
8.11. i.{(x, y) ∈ R2: xy = 1} k¨umesinin R2’de kapalı oldu˘gunu kanıtlayın. ii.R \ {0} k¨umesinin R’de kapalı olmadı˘gını kanıtlayın.
iii. X ve Y iki topolojik uzay olsun. X × Y ’den X’e giden izd¨u¸s¨um fonksiyonunun
kapalı k¨umeleri illa kapalı k¨umelere g¨ot¨urmedi˘gini kanıtlayın. (Ama a¸cık k¨umeleri a¸cık k¨umelere g¨ot¨ur¨ur, yani a¸cık bir fonksiyondur.)
8.12. X bir k¨ume olsun. X’in her tek elemanlı altk¨umesinin kapalı oldu˘gu en kaba topolojiyi bulun.
8.13. Hausdorff bir uzayda, tek elemanlı her k¨umenin kapalı oldu˘gunu kanıtlayın. Bunun tersinin do˘gru olmadı˘gını g¨osterin.
8.14. Bir X topolojik uzayının Hausdorff olması i¸cin ∆ ={(x, x) : x ∈ X} k¨umesinin X × X
topolojik uzayında kapalı olmasının yeter ve gerek ko¸sul oldu˘gunu kanıtlayın. 8.15. E˘ger f : X→ Y s¨urekli bir fonksiyonsa ve Y Hausdorff ise, f’nin grafi˘ginin, yani
{(x, f(x)) ∈ X × Y : x ∈ X}
k¨umesinin kapalı oldu˘gunu kanıtlayın.
8.16. f : X→ Y s¨urekli bir fonksiyon olsun. Ker f = {(x, x′)∈ X × X : f(x) = f(x′)} olsun.
i. E˘ger Y Hausdorff ise Ker f ’nin kapalı oldu˘gunu kanıtlayın.
ii. E˘ger f ¨ortense ve a¸cık bir fonksiyonsa (yani a¸cık k¨umeleri a¸cık k¨umelere g¨ot¨ur¨uyorsa) ve Ker f kapalıysa Y ’nin Hausdorff oldu˘gunu kanıtlayın.
8.17. f ve g : X→ Y iki s¨urekli fonksiyon olsun. E˘ger Y Hausdorff ise {x ∈ X : f(x) = g(x)}
k¨umesinin kapalı oldu˘gunu g¨osterin.
Y bir topolojik uzay olsun ve X ⊆ Y olsun. ˙Indirgenmi¸s topolojinin tanımına g¨ore, X’in a¸cık altk¨umeleri Y ’nin a¸cık altk¨umeleriyle X’in kesi¸sim-leridir. Aynı ¸sey kapalı k¨umeler i¸cin de ge¸cerlidir:
¨
Onsav 8.3. Y bir topolojik uzay olsun ve X ⊆ Y olsun. X’in Y ’den in-dirgenmi¸s topolojiye g¨ore kapalı altk¨umeleri Y ’nin kapalı altk¨umeleriyle X’in kesi¸simleridir.
Kanıt: A ⊆ X altk¨umesi X’in kapalı bir altk¨umesi olsun. O zaman X \ A, X’in a¸cık bir altk¨umesidir. Dolayısıyla Y ’nin a¸cık bir U altk¨umesi i¸cin,
X\ A = U ∩ X
e¸sitli˘gi ge¸cerlidir. Bu durumda, A = X ∩ (Y \ U) olur;
94 8. Kapalı K ¨umeler S¸imdi F ⊆ Y , Y ’nin kapalı bir altk¨umesi olsun. O zaman
X\ (X ∩ F ) = X ∩ (Y \ F )
olur, yani X\ (X ∩ F ) k¨umesi Y ’nin a¸cık bir altk¨umesiyle X’in kesi¸simidir,
yani X’te a¸cıktır. Dolayısıyla bunun X’te t¨umleyeni olan X∩F , X’te kapalıdır. ¨
Onsav kanıtlanmı¸stır.
¨
Ornek 8.18.Q k¨umesi ¨Oklid topolojisiyle donatılmı¸s olsun. a, b∈ R i¸cin (a, b)Q= (a, b)∩Q
olsun. [a, b]Qi¸cin de benzer bir anla¸sma yapalım. (a, b)QelbetteQ’n¨un a¸cık bir altk¨umesidir. ¨
Onsav 8.3’e g¨ore [a, b]Q, Q’n¨un kapalı bir altk¨umesidir. E˘ger a, b ̸∈ Q ise, [a, b]Q = (a, b)Q oldu˘gundan, bu durumda (a, b)Q,Q’n¨un hem a¸cık hem de kapalı bir altk¨umesidir. (Bu t¨ur k¨umelere kapa¸cık1 diyebiliriz.)
8.2 Kapanı¸s
X bir topolojik uzay ve A, X’in bir altk¨umesi olsun. X’in A’yı i¸ceren en az bir kapalı altk¨umesi vardır: X’in kendisi mesela. E˘ger A’yı i¸ceren b¨ut¨un kapalı k¨umeleri kesi¸stirirsek, Teorem 8.1.ii’ye g¨ore gene kapalı bir k¨ume buluruz. Ayrıca bu kesi¸sim A’yı da i¸cerir. Demek ki A’yı i¸ceren t¨um kapalı k¨umelerin kesi¸simi gene A’yı i¸ceren kapalı bir k¨umedir; dolayısıyla A’yı i¸ceren kapalı k¨umelerin en k¨u¸c¨u˘g¨ud¨ur. Bu k¨ume A olarak yazılır ve adına A’nın kapanı¸sı
denir.
¨
Ornekler
8.19. En kaba topolojide e˘ger∅ ̸= A ⊆ X ise, A = X olur.
8.20. Ayrık topolojide hep A = A olur.
8.21. Her X topolojik uzayında X = X ve∅ = ∅ olur.
8.22. X = R ise ( ¨Oklid topolojisiyle elbette) ve A ⊆ R sonlu bir altk¨umeyse, A = A olur.
Ayrıca,Z = Z, Q = R, R \ Q = R, (0, 1] = [0, 1) = (0, 1) = [0, 1] ve (0, 1) ∪ (1, 2) = [0, 2] olur.
8.23. R2’de a¸cık yuvarın kapanı¸sı kapalı yuvardır. (Bkz. Alı¸stırma 4.10.)
A’nın kapanı¸sını, a¸sa˘gıdaki resimdeki gibi, A’nın ¨ust¨un¨u kabu˘guyla ya da zarıyla ¨ortmek gibi bir ¸sey olarak d¨u¸s¨un¨un.
8.2. Kapanıs¸ 95