Metrik Uzaylar
11. Metrik Uzaylarda Dizi
Yakınsaklı˘gı
Bu kısmın ilk b¨ol¨um¨un¨un giri¸sinde, metrik uzay kavramının amacının, R ve mutlak de˘ger fonksiyonu i¸cin tanımladı˘gımız yakınsaklık, limit, s¨ureklilik, Ca-uchy dizisi gibi kavramları ve bu kavramlar ¨uzerine elde etti˘gimiz teoremleri genelle¸stirmek oldu˘gunu s¨oylemi¸stik. Bu b¨ol¨umde s¨oz¨un¨u etti˘gimiz bu genel-lemelerin bazılarını yapaca˘gız.
R i¸cin tanımlanan bir kavramı bir (X, d) metrik uzayına genelle¸stirmek i¸cin, mutlak de˘ger g¨or¨unen her yere d koymak hemen hemen her zaman yeterlidir, yani|x − y| gibi bir ifade yerine d(x, y) koymak yeterlidir.
11.1 Yakınsaklık
¨
Orne˘gin, bildi˘gimiz ¨uzere, R’de bir (xn)n dizisinin bir x∈ R sayısına yakınsa-ması demek, her ϵ > 0 sayısı i¸cin,
n > N ⇒ |xn− x| < ϵ ¨
onermesinin do˘gru oldu˘gu bir N sayısının var olması demektir. Bu kavram bir (X, d) metrik uzayına ¸s¨oyle genelle¸stirilir: (xn)n, terimleri X’te olan bir dizi olsun. x∈ X olsun. (xn)n dizisinin x’e yakınsaması demek, her ϵ > 0 sayısı i¸cin,
n > N ⇒ d(xn, x) < ϵ ¨
onermesinin do˘gru oldu˘gu bir N sayısının var olması demektir. Bu durumda x’e (xn)n dizisinin limiti denir. (xn)n dizisi x’e yakınsar da denir.
144 11. Metrik Uzaylarda Dizi Yakınsaklı ˘gı E˘ger ko¸sula daha dikkatli bakacak olursak, (xn)n dizisinin x’e
yakınsaması-nın , her ϵ > 0 sayısı i¸cin,
n > N ⇒ xn∈ B(x, ϵ) ¨
onermesinin do˘gru oldu˘gu bir N sayısının olması demek oldu˘gu anla¸sılır. Yani her ϵ > 0 i¸cin, (xn)ndizisinin hemen hemen her teriminin (yani sonlu sayıdaki birka¸cı dı¸sındaki hepsinin) B(x, ϵ) yuvarında olması gerekir. Dolayısıyla ya-kınsaklık, dizinin ba¸sını de˘gil, “kuyru˘gunu” ilgilendiren bir ¨ozelliktir.
G¨or¨uld¨u˘g¨u gibi, yakınsaklık, metrikten ¨ote, aslında metri˘gin yuvarlarına g¨ore de˘gi¸sen bir kavram. ¨Orne˘gin p ≥ 1 olsun ve R2 ¨uzerine,
x = (x1, x2), y = (y1, y2)∈ R2 i¸cin,
dp(x, y) = (|x1− y1|p+|x2− y2|p)1/p metri˘gini ele alalım. (Bkz. ¨Ornek 10.6.)R2 ¨uzerine bir de d∞(x, y) = max{|x1− y1|, |x2− y2|}
metri˘gini alalım. E˘ger bir dizi bu metriklerden biri i¸cin bir noktaya yakınsıyor-sa, di˘gerleri i¸cin de aynı noktaya yakınsar. ¨Ornek 11.20’deki yuvar analizinden okur bunu g¨ormeye ¸calı¸sabilir. Ama bunu zaten birazdan kanıtlayaca˘gız.
Ge¸cmi¸s sayfalarda ger¸cel sayılarda mutlak de˘ger (yani ¨Oklid metri˘gi) i¸cin kanıtladı˘gımız bir¸cok sonucu herhangi bir metrik uzayına genelle¸stirebiliriz. Mesela bir dizi en fazla bir limite yakınsayabilir:
¨
Onsav 11.1. Bir metrik uzayda bir dizi en fazla bir limite yakınsayabilir. Kanıt: (xn)n dizisinin hem x’e hem de y’ye yakınsadı˘gını varsayalım. x̸= y varsayımını yapıp bir ¸celi¸ski elde etmeye ¸calı¸salım.
x ve y merkezli iki yuvar alalım. (xn)n dizisi bir zaman sonra her iki yuvarın da i¸cine, dolayısıyla kesi¸simlerinin i¸cine girmek zorunda. Demek ki yuvarları ayrık se¸cersek, arzulanan ¸celi¸skiyi elde ederiz. Yuvarları ayrık se¸cebilece˘gimiz ba¸slı ba¸sına ¨onemli bir sonu¸ctur. Ayrıca yazmak gerekir.
11.1. Yakınsaklık 145
¨
Onsav 11.2. x ve y bir metrik uzayın iki de˘gi¸sik noktası olsun. O zaman x∈ B, y ∈ C ve B ∩ C = ∅
¨
ozelliklerini sa˘glayan ayrık B ve C yuvarları vardır.
Kanıt: x̸= y > 0 oldu˘gundan,
ϵ = d(x, y) 2 > 0
olur. S¸imdi B = B(x, ϵ), C = B(y, ϵ) olsun. B ve C’nin kesi¸siminden bir z alalım. O zaman,
d(x, y)≤ d(x, z) + d(z, y) < ϵ + ϵ = 2ϵ = d(x, y)
olur, yani d(x, y) < d(x, y) olur, bir ¸celi¸ski. Demek ki B∩ C = ∅ olur. ¨
Onsav 11.1’den dolayı, e˘ger (xn)n dizisi x’e yakınsıyorsa, lim
n→∞xn= x
yazmaya hak kazanırız.
Alı¸stırmalar
11.1. α, β≥ 0 sayıları α+β ≤ d(x, y) e¸sitli˘gini sa˘glasın. Her metrik uzayda B(x, α)∩B(y, β) = ∅ oldu˘gunu kanıtlayın.
11.2. x1, . . . , xnbir metrik uzayın birbirinden de˘gi¸sik noktaları olsun. ¨Oyle bir ϵ > 0 bulun ki her i̸= j i¸cin B(xi, ϵ)∩ B(xj, ϵ) =∅ olsun.
11.3. Bir zaman sonra sabitle¸sen her dizinin sabitle¸sti˘gi sayıya yakınsadı˘gını kanıtlayın. Ayrık metrikle donatılmı¸s bir k¨umede, sadece bu dizilerin yakınsak oldu˘gunu kanıtlayın.
A¸sa˘gıdaki teorem sayesinde metrik uzaylardaki yakınsaklık, ger¸cel sayılardaki yakınsaklı˘ga indirgenebilir.
¨
Onsav 11.3. Bir metrik uzayda
lim
n→∞xn= x⇔ lim
n→∞d(xn, x) = 0
olur. Ayrıca limn→∞xn= x ise her a i¸cin limn→∞d(xn, a) = d(x, a) olur.
Kanıt: ¨Once limn→∞xn= x varsayımını yapalım. ϵ > 0 olsun. Yakınsamanın tanımına g¨ore,
n > N ⇒ d(xn, x) < ϵ ¨
onermesinin do˘gru oldu˘gu bir N sayısı vardır. Bu da aynen lim
146 11. Metrik Uzaylarda Dizi Yakınsaklı ˘gı demektir. lim n→∞d(xn, x) = 0⇒ lim n→∞xn= x ¨
onermesinin do˘grulu˘gu da bariz. ˙Ikinci kısım, |d(xn, a)− d(x, a)| ≤ d(xn, x)
e¸sitsizli˘ginden (Alı¸stırma 10.3) ¸cıkar.
Ger¸cel sayılarda yakınsaklık kavramıyla daha a¸sina oldu˘gumuzdan, yukar-daki ¨onsav yakınsaklı˘gı bilindik bir zemine ta¸sır.
¨
Ornekler
11.4. Bir X k¨umesi ¨uzerine ayrık metri˘gi alalım, yani iki de˘gi¸sik nokta arasındaki mesafe 1 olsun ( ¨Ornek 10.9.) Bu metrik uzayda, sadece bir zaman sonra sabitle¸sen diziler yakınsaktır ve bu diziler sabitle¸stikleri elemana yakınsarlar.
11.5. Bir metrik uzayın t¨um mesafelerini belli bir pozitif sabit sayıyla ¸carparsak gene bir metrik elde ederiz. Mesele (X, d) bir metrik uzayıysa,
d1(x, y) = 5d(x, y)
tanımını yaparsak, yeni bir metrik uzayı elde ederiz. ¨Onsav 11.3’e g¨ore iki metrik uza-yının yakınsak dizileri aynıdır ve yakınsak diziler her iki metrikte de aynı elemana yakınsarlar. Ayrıca bu iki metrik uzayın yuvarları da aynıdır.
11.6. (X, d) herhangi bir metrik uzay olsun. d′(x, y) = min{d(x, y), 1} tanımını yapalım. d′, X
¨
uzerine bir mesafedir ( ¨Ornek 10.13). (X, d) ve (X, d′) metrik uzaylarının aynı yakınsak dizileri vardır ve yakınsak diziler her iki metrikte de aynı elemana yakınsarlar.
11.7. (X, d) herhangi bir metrik uzayı olsun.
d′(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y)
tanımı bize bir ba¸ska metrik verir. ( ¨Ornek 10.17.) (X, d) ve (X, d′) metrik uzaylarının aynı yakınsak dizileri vardır ve yakınsak diziler her iki metrikte de aynı elemana yakın-sarlar.
A¸sa˘gıdaki sonu¸c sık sık uygulama alanı bulur:
¨
Onsav 11.4. Yakınsak bir dizinin her altdizisi yakınsaktır ve limit de˘gi¸smez.
Kanıt: (xn)n dizisi x elemanına yakınsasın ve (yn)n dizisi (xn)n dizisinin bir altdizisi olsun. Altdizinin tanımı gere˘gi, ¨oyle azalmayan bir f fonksiyonu vardır ki, her n g¨ostergeci i¸cin
yn= xf (n)
olur. f fonksiyonu azalmayan oldu˘gundan, yani her n ve m g¨ostergeci i¸cin m < n⇒ f(m) < f(n)
¨
onermesini sa˘glandı˘gından, t¨umevarımla kolayca kanıtlanaca˘gı ¨uzere, her n i¸cin,
11.2. Kartezyen C¸ arpımda Yakınsaklık 147 olur. S¸imdi, ϵ > 0 herhangi bir sayı olsun. (xn)n dizisi x’e yakınsadı˘gından, ¨
oyle bir N vardır ki her n > N i¸cin,
d(xn, x) < ϵ olur. E˘ger n > N ise, N < n≤ f(n) oldu˘gundan,
d(yn, x) = d(xf (n), x) < ϵ
olur. Kanıtımız bitmi¸stir.
S¸u da do˘grudur: Aynı noktaya yakınsayan iki diziyi rastgele kararsak gene aynı noktaya yakınsayan bir dizi elde ederiz. ¨Orne˘gin, e˘ger (xn)n ve (yn)n dizileri a’ya yakınsıyorsa, o zaman
x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3, y3, . . .
dizisi de a’ya yakınsar. Bunun kolay kanıtını okura bırakıyoruz.
11.2 Kartezyen C¸ arpımda Yakınsaklık
Yukardakiler olduk¸ca kolay ve pek heyecanlı olmayan ¨orneklerdi. (Ama konuyu anlamak a¸cısından ¸cok ¨onemlidirler ve her ¨o˘grenci ¨orneklerde ifade edilen sav-ları kendi ba¸sına kanıtlamalıdır.) S¸imdi daha ¨onemli ¨orneklere ge¸celim.
(X1, e1), . . . , (Xk, ek) metrik uzayları olsun. X =∏
iXi, kartezyen ¸carpım olsun. Ve p∈ [1, ∞] olsun. E˘ger
x = (x1, . . . , xk), y = (y1, . . . , yk)∈ X ise, dp(x, y) = { (∑k i=1ei(xi, yi)p )1/p
e˘ger 1≤ p < ∞ ise max{ei(xi, yi) : i = 1, . . . , k} e˘ger p = ∞ ise
olsun. O zaman (X, dp) ¸cifti bir metrik uzayıdır. (Bkz. Alı¸stırma 10.6 ve 10.10) Kartezyen ¸carpımda bir (xn)ndizisi alalım, yani her n i¸cin
xn∈ X1× . . . × Xk
olsun. Ayrıca
xn= (xn1, xn2, . . . , xnk)
olsun. Elbette her i = 1, . . . , k i¸cin xni∈ Xi. Dolayısıyla (xni)ndizisi terimleri Xi metrik uzayında olan bir dizidir.
148 11. Metrik Uzaylarda Dizi Yakınsaklı ˘gı S¸imdi p ∈ [1, ∞] i¸cin, (xn)n dizisinin (∏
iXi, dp) metrik uzayında yakın-samasıyla, her i = 1, . . . , k i¸cin (xni)n dizilerinin yakınsamaları arasında ¸cok yakın bir ili¸ski kuraca˘gız.
a = (a1, a2, . . . , ak)∈∏
i
Xi olsun.