Kanıt: f : X → Y s¨urekli bir fonksiyon olsun. X’in ba˘glantılı altk¨umelerinin imgesinin de ba˘glantılı oldu˘gunu kanıtlamamız lazım. Teorem 5.5’e g¨ore, X’in ba˘glantılı oldu˘gunu varsayıp f (X)’in ba˘glantılı oldu˘gunu kanıtlamak yeterli-dir. (Teoremi bir de bu varsayımı yapmadan kanıtlamaya ¸calı¸sırsanız, e˘gitici olur; ayrıca kanıtın da baya˘gı zorla¸stı˘gını g¨or¨urs¨un¨uz.) V1 ve V2, Y ’de a¸cık olsunlar ve
f (X)⊆ V1∪ V2 ve V1∩ V2∩ f(X) = ∅ ko¸sullarını sa˘glasınlar. O zaman,
X = f−1(f (X))⊆ f−1(V 1∪ V2) = f−1(V 1)∪ f−1(V 2) ve ∅ = f−1(∅) = f−1(V1∩ V2∩ f(X)) = f−1(V1)∩ f−1(V2)∩ f−1(f (X)) = f−1(V 1)∩ f−1(V 2)∩ X = f−1(V 1)∩ f−1(V 2)
olur. f s¨urekli oldu˘gundan, f−1(V1) ve f−1(V2) k¨umeleri X’te a¸cıktırlar. Bu
olgu, yukarda kanıtlanan X = f−1(V
1)∪ f−1(V2) ve ∅ = f−1(V1)∩ f−1(V2) e¸sitlikleri, f−1(V
1)’in ya da f−1(V
2)’nin bo¸sk¨ume oldu˘gunu g¨osterir. ¨Orne˘gin f−1(V1) bo¸sk¨umeyse, o zaman
X = f−1(V
1)∪ f−1(V
2) = f−1(V
2) ve f (X) = f (f−1(V
2))⊆ V2
olur. Demek ki f (X) ba˘glantılıdır.
Topolojik uzayları, birbirinden ayrık maksimum ba˘glantılı altk¨umelerinin bile¸simi olarak yazabiliriz. Ayrıca bu yazılım tek bir bi¸cimde yapılır:
108 9. Ba ˘glantılılık
Teorem 9.2. X topolojik bir uzay olsun. X’in (ba˘glantı bile¸senleri
deni-len) en b¨uy¨uk ba˘glantılı altk¨umeleri vardır ve iki ba˘glantı bile¸seni ya e¸sittir ya da ayrıktır. X, ba˘glantı bile¸senlerinin bile¸simidir ve X’in her ba˘glantılı altk¨umesi bu ba˘glantı bile¸senlerinden birinin altk¨umesidir. Ayrıca her ba˘glantı bile¸seni kapalıdır. E˘ger sonlu sayıda ba˘glantı bile¸seni varsa, bunların her biri ayrıca a¸cıktır. Her s¨urekli fonksiyon bir ba˘glantı bile¸senini bir ba¸ska ba˘glantı bile¸seninin i¸cine g¨ot¨ur¨ur.
˙Ilk Kanıt: E˘ger X’in iki elemanı X’in ba˘glantılı bir altk¨umesinin elemanıysa,
bu iki elemana denk diyelim. Bunun bir denklik ili¸skisi oldu˘gunu kanıtlayalım. (Ardından, ba˘glantı bile¸senlerini denklik sınıfları olarak alaca˘gız.) {x} ba˘g-lantılı bir k¨ume oldu˘gundan, her x kendisine denktir. E˘ger x, y’ye denkse, y de x’e denktir elbette. Ge¸ci¸skenlik daha zor. Kendi ba¸sına ayrıca ¨onemi olan a¸sa˘gıdaki ¨onsavı kanıtlayalım, teoremin kanıtına sonra devam ederiz:
¨
Onsav 9.3. Bir topolojik uzayın, kesi¸simleri bo¸s olmayan iki ba˘glantılı altk¨ u-mesinin bile¸simi de ba˘glantılıdır.
Kanıt: Topolojik uzaya X diyelim. A ve B, X’in iki ba˘glantılı altk¨umesi olsun; kesi¸simlerinin de bo¸sk¨ume olmadı˘gını varsayalım. U ve V , ¸su ¨ozellikleri olan iki a¸cık k¨ume olsun:
A∪ B ⊆ U ∪ V, (A ∪ B) ∩ U ∩ V = ∅. Birincisinden A⊆ U ∪ V ve B ⊆ U ∪ V, ikincisinden, A∩ U ∩ V = ∅ ve B ∩ U ∩ V = ∅ ¸
cıkar. Demek ki, A ve B ba˘glantılı olduklarından, A⊆ U ya da A ⊆ V ve
9.1. Ba ˘glantılılık 109 ¨
onermeleri do˘grudur. Genelli˘ge halel getirmeden A⊆ U varsayımını yapabili-riz. S¸imdi ¨on¨um¨uzde iki ¸sık var:
ya B ⊆ U ya da B ⊆ V.
E˘ger B ⊆ V ise, o zaman A ∩ B ⊆ V ∩ U ∩ A = ∅ ve bu da varsayımımızla ¸
celi¸sir. Demek ki B⊆ U. Dolayısıyla A ∪ B ⊆ U. ¨Onsav kanıtlanmı¸stır. Aslında yukardakinden daha genel bir sonu¸c do˘grudur. Bkz. ¨Onsav 9.4.
Teorem 9.2’nin Kanıtının Devamı: Artık ge¸ci¸skenli˘gi kanıtlayabiliriz: x, y’ye denkse, y de z’ye denkse, o zaman hem x’i hem y’yi i¸ceren ba˘glantılı bir k¨ume ve hem y’yi hem z’yi i¸ceren bir ba¸ska ba˘glantılı k¨ume vardır. Ama y bu iki ba˘glantılı k¨umenin ortak elemanı. Dolayısıyla yukardaki ¨onsava g¨ore, bu iki ba˘glantılı k¨umenin bile¸simi de ba˘glantılıdır, ve bu bile¸sim hem x’i hem de z’yi i¸cerir. Dolayısıyla x ve z de denktirler.
S¸imdi bu denklik ili¸skisinin sınıflarının ba˘glantılı altk¨umeler olduklarını kanıtlayalım.
A bir denklik sınıfı olsun. U ve V , ¸su ¨ozellikleri olan iki a¸cık k¨ume olsun: A⊆ U ∪ V, A ∩ U ∩ V = ∅.
Bir ¸celi¸ski elde etmek amacıyla
A∩ U ̸= ∅ ve A ∩ V ̸= ∅
e¸sitsizliklerini varsayalım. Her bir k¨umeden birer eleman alalım: x∈ A ∩ U ve y ∈ A ∩ V
olsun. x ve y aynı denklik sınıfında olduklarından, birbirlerine denktirler, yani her ikisini de i¸ceren ba˘glantılı bir C altk¨umesi vardır. C’nin elemanları (C’den dolayı!) elbette birbirlerine ve ¨ozellikle x’e denktirler. Dolayısıyla C⊆ A olmak zorundadır.
Demek ki
110 9. Ba ˘glantılılık ve
C∩ U ∩ V ⊆ A ∩ U ∩ V = ∅ ili¸skileri sa˘glanır. C ba˘glantılı oldu˘gundan, bunlardan,
ya C⊆ U ya da C ⊆ V ¸
cıkar. Ama hangisi do˘gru olursa olsun, x ve y’nin varlı˘gıyla bir ¸celi¸ski elde ederiz.
Demek ki A ba˘glantılı bir altk¨ume. A bir denklik sınıfı oldu˘gundan A’yı i¸ceren daha b¨uy¨uk bir ba˘glantılı k¨ume olamaz. Demek ki A, X’in en b¨uy¨uk ba˘glantılı altk¨umelerinden biridir.
X’in denklik sınıflarının bile¸simi oldu˘guna dair herhangi bir ku¸sku olamaz. ¨
Onsav 9.3’e g¨ore, sınıflardan birini kesen ba˘glantılı bir altk¨ume, o sınıfın i¸cinde olmak zorundadır. Demek ki her ba˘glantılı altk¨ume bir (ve bir tek) sınıfın i¸cindedir.
A bir sınıf olsun. A’nın kapalı oldu˘gunu, yani Ac’nin a¸cık oldu˘gunu g¨ oster-mek istiyoruz. Ac’den bir x elemanı alalım. x∈ U ⊆ Ac ili¸skilerini sa˘glayan a¸cık bir U altk¨umesi bulmak yeterli.
Bulalım. x /∈ A oldu˘gundan A ∪ {x} ba˘glantılı olamaz. Demek ki (yukardaki resme bakın),
A∪ {x} ⊆ U ∪ V, (A∪ {x}) ∩ U ∩ V = ∅ ve
A∪ {x} * U ve A ∪ {x} * V
ili¸skilerini sa˘glayan U ve V a¸cık k¨umeler vardır. ˙Ilk iki satırdan, A⊆ U ∪ V ve A ∩ U ∩ V = ∅
¸cıkar. Ama A ba˘glantılı. Demek ki, ya A⊆ U ya da A ⊆ V . Diyelim ikincisi do˘gru. O zaman yukardaki ¨u¸c¨unc¨u satıra g¨ore x /∈ V , yani x ∈ U olmalı. De-mek ki ger¸cek ¸sekil a¸sa˘gıdaki gibi. Dolayısıyla U , x’i i¸ceren ve A ile kesi¸smeyen a¸cık bir k¨umedir. A’nın kapalı oldu˘gu kanıtlanmı¸stır.
9.1. Ba ˘glantılılık 111 Ba˘glantı bile¸senlerinin sonlu sayıda olduklarını varsayalım. O zaman A bile-¸seninin t¨umleyeni, geri kalan sonlu sayıdaki bile¸senin bile¸simidir, dolayısıyla kapalı bir k¨umedir; demek ki A a¸cıktır.
Teorem 9.1’den ve yukarda yaptıklarımızdan dolayı s¨urekli bir f : X → Y fonksiyonu, X’in ba˘glantı bile¸senlerini Y ’nin ba˘glantı bile¸senlerine g¨ot¨urmek
zorundadır.
¨
Onsav 9.3’ten ¸cok daha genel bir sonu¸c do˘grudur. Herkese her an gereke-bilecek bu sonucu kanıtlayalım:
¨
Onsav 9.4. X topolojik bir uzay olsun. (Ci)i∈I, X’in ba˘glantılı altk¨umeleri olsun ve her i ve j i¸cin Ci∩ Cj ̸= ∅ olsun. O zaman ∪i∈ICi ba˘glantılıdır.
Kanıt: U ve V , ∪ i∈I Ci ⊆ U ∪ V ve ( ∪ i∈I Ci ) ∩ U ∩ V = ∅ ¨
onermelerini do˘grulayan iki a¸cık k¨ume olsun. O zaman her i∈ I i¸cin, Ci ⊆ U ∪ V ve Ci∩ U ∩ V = ∅
olur. Demek ki her i ∈ I i¸cin, Ci ya U ’nun ya da V ’nin bir altk¨umesidir. Diyelim, i, j∈ I i¸cin, Ci⊆ U ve Cj ⊆ V olsun. O zaman, Ci∩ Cj ⊆ U ∩ V ∩ ( ∪ i∈I Ci ) =∅
olur, ki bu bir ¸celi¸skidir. Demek ki t¨um Ci’lerin ya hepsi U ’dadır ya da hepsi
V ’dedir. Bu da aynen istedi˘gimizdir.
Teorem 9.2’nin ˙Ikinci Kanıtı: x∈ X ise, x’i i¸ceren t¨um ba˘glantılı k¨umelerin bile¸simini alalım. ¨Onsav 9.4’e g¨ore bu bile¸sim ba˘glantılıdır. Ve bile¸simler X’in ba˘glantı bile¸senleridir. Ayrıntıları okura bırakıyoruz. Ba˘glantılılık s¨ozkonusu oldu˘gunda, sonlu ya da sayılabilir sonsuzluktaki bile¸simlerin bir ayrıcalı˘gı vardır.
¨
Onsav 9.5. E˘ger ba˘glantılı Xn altk¨umeleri i¸cin,
X = ∪
n∈N
Xn
112 9. Ba ˘glantılılık
Kanıt: Yukardaki ya da bir ¨onceki ¨onsavı kullanarak, her n i¸cin, Yn= X0∪ X1∪ . . . ∪ Xn+1
k¨umesinin ba˘glantılı oldu˘gu kanıtlanabilir.
U ve V , X’i ayrı¸stıran iki a¸cık k¨ume olsun. (Ne demek istedi˘gimiz anla-¸sılıyordur herhalde...) Her Yn ya tamamıyla U ’nun ya da tamamıyla V ’nin i¸cine d¨u¸smek zorunda. Ama Yn ⊆ Yn+1 oldu˘gundan, Yn, U ’nun i¸cine d¨u¸serse Yn+1, V ’nin i¸cine d¨u¸semez. Demek ki Y0 = X0hangisinin i¸cindeyse, X de onun
i¸cinde olmak zorunda.
S¸u sonu¸c da hem ¸sıktır hem de zor zamanların dostudur, aklınızın bir k¨o¸sesinde bulunsun:
¨
Onsav 9.6. X topolojik bir uzay olsun. E˘ger C, X’in ba˘glantılı bir altk¨ ume-siyse, o zaman C kapanı¸sı da ba˘glantılıdır.
Kanıt: U ve V a¸cık k¨umeleri i¸cin,
C ⊆ U ∪ V ve C ∩ U ∩ V = ∅ olsun. O zaman, elbette,
C ⊆ U ∪ V ve C ∩ U ∩ V = ∅ olur. Demek ki
ya C ⊆ U ya C ⊆ V. Diyelim C ⊆ U. O zaman
C∩ V = C ∩ U ∩ V = ∅
olur, yani C ⊆ Vcolur. Ama Vckapalı bir k¨ume oldu˘gundan, bundan C ⊆ Vc
¸
cıkar. ¨Ote yandan, C ⊆ U ∪ V oldu˘gundan, C ⊆ U olmak zorundadır. Ama bu sonucun tersi do˘gru de˘gildir elbet (okura alı¸stırma). Bundan daha genel bir sonu¸c da ge¸cerlidir.
¨
Onsav 9.7. X topolojik bir uzay olsun. E˘ger C, X’in ba˘glantılı bir altk¨ ume-siyse ve C ⊆ A ⊆ C ise, A da ba˘glantılıdır.
Kanıt: ¨Onsav 8.6’ya g¨ore
clA(C) = A∩ clX(C) = A∩ C = A
olur. C ba˘glantılı oldu˘gundan, ¨Onsav 9.6’ya g¨ore, C’nin (A’da) kapanı¸sı olan
9.2. Gerc¸el Sayılar K ¨umesinde Ba ˘glantılılık 113