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Visando uma motivação extra foi perguntamos: “Quem já brincou de Jankenpon (ou pedra-papel-tesoura)?”. A resposta positiva foi geral e todos entenderam do que se trataria o jogo, pois é comum usarem no lugar do par ou ímpar para decidir quem começa a bater cartinhas (ou figurinhas) e até para outras atividades que envolvem disputas. No Jankenpon, os jogadores devem simultaneamente esticar a mão, após pronuniarem o nome do jogo, cada um forma um símbolo que representa pedra, papel ou tesoura, sendo a pedra simbolizada pelo punho fechado; a tesoura por dois dedos esticados e o papel pela mão aberta. Caso dois jogadores façam o mesmo gesto, ocorre um empate e, geralmente, joga-se de novo até desempatar. Os jogadores comparam os símbolos para decidir quem ganhou, da seguinte forma:

• Pedra ganha da tesoura (amassando-a ou quebrando-a). • Tesoura ganha do papel (cortando-o).

• Papel ganha da pedra (embrulhando-a).

Existem variações mais complexas adotadas em campeonatos que usam até 15 sinais visuais distintos, cada qual com o seu significado conforme a Figura 2.4, onde cada um ganha de 7 outros sinais e perde para outros 7, sendo assim um jogo equi- librado cada sinal possui a mesma chance de ganhar ou perder. A interpretação da figura é simples: se a seta chega ao símbolo, significa que tal símbolo é derrotado pelo outro de onde parte a seta, poderíamos interpretar a seta como VENCE, por exem- plo, Água vence Fogo. Resumindo a interpretação da Figura 2.4, temos que o símbolo vence os 7 símbolos dispostos imediatamente à sua esquerda (sentido anti-horário) e é derrotado pelos 7 sinais imediatamente à sua direita (sentido horário).

Os 15 sinais da Figura 2.4 (retirada de http://goo.gl/pS2hhM ) significam, em português, air = ar, water = água, fire = fogo, rock = pedra, scissors = tesoura, gun = arma (revólver), snake = cobra, human = humano, tree = árvore, wolf = lobo, sponge = esponja, paper = papel, dragon = dragão, devil = demônio (diabo), lightning = raio. Existem outros sinais não inclusos na figura, como, por exemplo, um parecido com o raio, porém com o dedo indicador e que simboliza agulha (ou linha) e tem características similares a tesoura, ou seja, fura o papel e é amassado pela pedra.

Figura 2.4: Jankenpon com 15 sinais.

Sabemos que no Jankenpon não há uma opção que é a melhor de todas, sempre existe outra que pode vencer. No jogo apresentado neste experimento, ao invés de pedra, papel e tesoura, transferimos essa noção para três dados: A, B e C. Ao escolher dois destes, a vitória de um não é certa como no Jankenpon, uma vez que depende das faces obtidas.

As perguntas a serem respondidas são se algum dado tem mais chances de ganhar em uma disputa direta. Em outras palavras, existe o melhor dado entre A, B e C? Jogando os três dados simultaneamente, algum tem maior probabilidade de vitória?

O objetivo inicial era analisar os casos dois a dois, A × B, A × C e B × C, similar ao Jankenpon, porém um aluno indagou: “... e se jogarmos os três dados simultanea- mente, existe algum melhor?”. Outro aluno observou que o dado B resultaria sempre no valor 4. Visando responder também esta pergunta foram mantidas as duplas e explicado que, em outra aula, os alunos deveriam escolher entre os dados A e C e considerar a cada partida que o resultado do dado B é sempre igual a 4.

Com os conceitos da Lei dos Grandes Números, determinamos a probabilidade teórica de vitória para cada par e trio na disputa de dados para fazer uma comparação com os resultados obtidos no experimento. Supondo que os dados são balanceados e que os lançamentos são equilibrados, podemos assumir que cada uma das 6 faces tem a mesma probabilidade de ser obtida em um lançamento, 1/6. Sendo assim, para o dado A, o resultado 1 tem probabilidade 4/6 e o resultado 10 tem probabilidade 2/6, para o dado B, o resultado 4 tem probabilidade 1 e para o dado C, o resultado 0 tem probabilidade 2/6 e o resultado 6 tem probabilidade 4/6.

Podemos assumir que os resultados obtidos em cada dado são independentes, ou seja, saber o resultado no dado A não altera a probabilidade de qualquer resultado no dado B ou C. Para cada par de dados, denotemos por (i, j), sem perda de generalidade e mantendo a ordem alfabética como referência, i é o resultado obtido no primeiro dado e j o resultado obtido no segundo dado. Com estas suposições, a probabilidade de obter o resultado (i, j) é o produto das probabilidades de obter o resultado i e o resultado j, nos respectivos dados.

Portanto, para uma disputa entre os dados A e B, os possíveis resultados são (i, j) ={(1, 4), (10, 4)}, com probabilidades

P_{(1, 4) = PA(1)PB(4) =} 4 6× 1 = 4 6 P_{(10, 4) = PA(10)PB(4) =} 2 6× 1 = 2 6

Poderíamos usar probabilidade complementar, considerando PB = PAC:

P_{(10, 4) = 1− P(1, 4) = 1 −} 4 6 =

2 6

Como o par (1, 4) é mais provável, o dado B é melhor que o dado A em um sistema de disputas com n suficientemente grande.

Para a disputa entre A e C, os pares (i, j) são: {(1, 0), (1, 6), (10, 0), (10, 6)}, temos que os pares (1, 0), (10, 0), (10, 6) resultam na vitória do dado A, portanto a probabilidade de C vencer é P_{(1, 6) = PA(1)PC(6)⇒} 4 6× 4 6 = 16 36 ⇒ P(1, 6) = 4 9 Dessa forma, a probabilidade de A vencer é

P_{(A vencer C) = 1−} 4 9 =

5 9

Logo, o dado A é melhor que o dado C em n, suficientemente grande, disputas. Para uma disputa entre os dados B e C, temos (i, j) = {(4, 0), (4, 6)}, com a probabilidade do dado B vencer dada por

P_{(4, 0) = PB(4)PC(0) = 1×} 2 6 =

2 6 e a probabilidade do dado C sair vencedor é:

P_{(4, 6) = 1−} 2 6 =

4 6

Sendo assim, o dado C é melhor que o B em n disputas (n suficientemente grande).

Analisando os resultados teóricos dos trios (a; b; c), sendo que a, b e c representam o resultado do lançamento dos dados A, B e C, nessa ordem. Temos o conjunto de possíveis trios {(1,4,0)(1,4,6)(10,4,0)(10,4,6)}, e a probabilidade de cada dado vencer é: P_{(A vencer) = P(10, 4, 0) + P(10, 4, 6) =} 2 6× 1 × 2 6+ 2 6× 1 × 4 6 = 1 3 = 3 9 P(B vencer)=P(1, 4, 0) = 4 6× 1 × 2 6 = 8 36 = 2 9 P(C vencer)=P(1, 4, 6) = 4 6× 1 × 4 6 = 16 36 = 4 9

Portanto, em n disputas (n grande) envolvendo os três dados, o dado C é teori- camente melhor.

2.5

Execução

Jogar e coletar informações

Foram previamente preparados três dados com fita crepe colada nas faces com a seguinte numeração:

• Dado A : 1, 1, 1, 1, 10, 10; • Dado B : 4, 4, 4, 4, 4, 4; • Dado C : 0, 0, 6, 6, 6, 6.

Os alunos foram divididos em duplas. Desta forma, cada aluno escolheu um dos dados A, B ou C. Foi registrado quais duplas fariam as disputas A × B, A × C e B × C. Cada aluno deveria colocar na tabela qual dado tinha escolhido, esta informação é importante pois reflete a opinião do aluno sobre qual dado tem mais chance de sair vencedor. Foram ressaltadas as regras do jogo, descritas abaixo:

• O dado escolhido é usado até o final da disputa; • Os jogadores devem lançar os dados simultaneamente;

• Marca ponto o jogador que obtiver o maior valor na face que ficar voltada para cima;

• Não há limite para o número de partidas;

• O vencedor será aquele com o maior número de pontos ao final de todas as partidas.

Foram preenchidas tabelas similares às encontradas na tabela 2.3 de acordo com a respectiva disputa. Os alunos anotaram qual o dado vencedor da disputa e a quantidade de partidas que cada dado ganhou.

Tabela 2.3: Tabela para preenchimento do resultado das partidas.

Dado Vencedor Dado Vencedor Dado Vencedor

Partida A B Partida A C Partida B C

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 ... ... ... n n n

Total Total Total

Como já mencionado, o objetivo inicial era analisar os casos dois a dois, assim como no Jankenpon, porém um aluno sugeriu que jogassemos os três dados simul- taneamente para verificar se existe algum melhor. Visando responder tal pergunta foram mantidas as duplas, os alunos escolheram entre os dados A e C, consideraram, a cada partida, o resultado do dado B sempre igual a 4 e preencheram uma tabela similar à Tabela 2.4.

Tabela 2.4: Tabela para preenchimento do resultado das partidas com três dados. Dado Vencedor Partida A B C 1 4 2 4 3 4 4 4 . . . 4 30 4 Total 4