Doğukan TAŞER ve Melis ULU DOĞRU
Çanakkale Onsekiz Mart Universitesi, Çan Meslek Yüksekokulu, Çanakkale, Türkiye Çanakkale Onsekiz Mart Universitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Çanakkale, Turkiye
dogukantaser@comu.edu.tr melisulu@comu.edu.tr
Öz
Bu çalışmada, Saez-Ballester skaler tensör teoride domain wall varlığında statik olmayan Einstein- Rosen evrenini inceledik. İlk olarak, domain wall bulunan statik olmayan Einstein-Rosen evreni için alan denklemleri Saez-Ballester skaler tensör teorisinde elde edildi. Daha sonra, teoride herhangi bir yaklaşım veya kısıtlama dikkate alınmadan alan denklemlerinin tam çözümleri elde edildi. Domain wall varlığındaki statik olmayan Einstein-Rosen evreninin davranışları, alternatif yerçekimi teorilerindeki diğer çözümlerle karşılaştırılarak analiz edilmiştir. Ayrıca elde edilen çözümler ışığında kinematik nicelikler analiz edildi. Kozmik madde dağılımının evrimi, grafiksel gösterimler yardımıyla analiz edildi. Aynı zamanda skaler alanın zamanla değişimi elde edildi. Son olarak, oluşturulan model geometrik ve fiziksel bir bakış açısıyla tartışılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Saez-Ballester Teori, Domain Wall, Skaler Tensor Teori, Alternatif Teori, Topolojik
Kusur
Abstract
In this study, we have investigated non-static Einstein-Rosen universe in the presence of domain wall in Saez-Ballester scalar tensor theory. Firstly, field equations of non-static Einstein-Rosen universe with domain wall have been obtained in Saez-Ballester scalar tensor theory. Then, exact solutions of field equations have been attained without considering any approximation or restriction in theory. Behaviors of non-static Einstein-Rosen universe in the presence of domain wall have been analyzed. Also, kinematical quantities are analyzed in the light of obtained solutions. Evolution of cosmic matter distribution has been analyzed by the help of graphical representations. At the same time, changing of scalar field with time has been investigated. Finally, constructed model is concluded with a geometric and physical perspective. Keywords: Seaz-Ballester Theory, Domain Wall, Scalar Tensor Theory, Alternative Theory, Topological
Defect
Giriş
Son yıllarda alternatif gravitasyon teorileri oldukça büyük bir ilgi görmektedir. Bunun nedeni, Einstein gravitasyon teorisinin kozmolojideki bazı önemli sorunları çözme noktasında zorlanmasıdır. Örneğin, genel görelilik Mach Prensibini tam olarak kapsamaz (Kiran vd., 2014). Skaler tensör teorilerin, Plank ölçeğine yakın gravitasyonel etkileşimleri tanımlamak için kullanışlı olduğu düşünülmektedir. Sicim teorisi, genişletilmiş enflasyon (şişme) dönemi ve birçok yüksek mertebeden teori skaler alana işaret eder (Rao, 2011). Brans ve Dicke (1961) tarafından Einstein gravitasyon teorisinin Mach prensibini tam olarak kapsamaması dikkate alınarak Brans-Dicke skaler tensör teori önerilmiştir. Bunu yapmak için Brans ve Dicke (1961), temel parçacıkların eylemsizlik kütlelerinin hareket halindeki maddenin büyük ölçekli dağılımıyla birleşmiş bazı kozmik skaler alanlarla etkileşimini varsayarak Mach'ın ilkesini geliştiren skaler tensör teori formüle etmiştir. Brans-Dicke teori metrik tensör 𝑔𝑖𝑗 ve boyutsuz bir çiftlenim sabiti ω ve bir
skaler alan 𝜙 sunar. Brans-Dicke teori çiftlenim sabitinin ω > 500 durumunda genel göreliğe indirgenmektedir (Rao, 2011). Saez ve Ballester (1986), karanlık madde problemini çözmek için metriğin boyutsuz bir skaler alan 𝜙 ile basit bir şekilde birleştirildiği bir skaler tensör gravitasyon teorisi geliştirdiler. Saez-Ballester gravitasyon teorisinde, metrik bir skaler alan ile kompaktife olmuş ve bu skaler alan tatmin edici bir şekilde zayıf alanları tanımlarken düz olmayan Friedmann-Robertson-Walker kozmolojilerindeki eksik madde problemlerini ortadan kaldırır (Tripathy vd., 2009). Bunun nedeni, teoride yer alan skaler alanın boyutsuz karakterine rağmen bir anti yerçekimi etkisine sahip olmasıdır (Raju vd., 2016). Saez-Ballester teorideki modellerin çeşitli yönleri kozmolojik açıdan detaylı olarak incelenmiştir (Reddy vd., 2006; Adhav
vd., 2007; Tripathy vd., 2008; Rao vd., 2008; Rao vd., 2011; Naidu vd., 2012; Jamil vd., 2012; Rao vd., 2012; Pradhan vd., 2013; Kiran vd., 2014).
Saez-Ballester skaler tensör teorini alan denklemi aşağıdaki gibi tanımlanır: 𝑅𝑖𝑗− 1 2𝑅𝑔𝑖𝑗− 𝜔𝜙 𝜈(ϕ ,𝑖ϕ,𝑗− 1 2𝑔𝑖𝑗ϕ,𝑙𝜙 ,𝑙) = 𝑇 𝑖𝑗. (1)
Aynı zamanda skaler alan aşağıda verilen denklemi sağlamalıdır: 2𝜙𝜈𝜙
;𝑖𝑖 + 𝜈𝜙𝜈−1ϕ,𝑙𝜙,𝑙 = 0. (2)
Aynı zamanda (1) ve (2) denklemlerinin sonucu olarak
𝑇;𝑖𝑖𝑗= 0 (3)
koşulu da sağlanmaktadır. Burada, (i, j, k … ) alt indisi ifade ederken, 𝜈 altındaki terimin üssünü ifade etmektedir. (1) ve (2) ile verilen denklemlerde ω sabittir. 𝑇𝑖𝑗 enerji-momentum tensörü, 𝑅𝑖𝑗 Ricci eğrilik
tensörü, 𝑅 ise eğrilik skaleri olarak adlandırılır. Denklemlerde virgül ve noktalı virgül sırasıyla kısmi ve kovaryant türevi ifade eder.
Evrenin evrimi sırasında çok erken aşamada çeşitli faz geçişlerine sahip olduğu yaygın olarak kabul görmektedir. Faz geçişleri sırasında evrenin simetrisi kendiliğinden bozulur ve bununda topolojik kusurların ortaya çıkmasına neden olduğu düşünülmektedir. Monopol, kozmik sicim, domain wall ve texture gibi topolojik kusurlar kozmolojik açıdan oldukça fazla dikkat çekmektedir. Hill vd. (1989) yaptıkları çalışmada geç zaman faz geçişi sırasında kalınlık domain wall’arın üretilebileceğini ve yeni bir galaksi oluşumu senaryosu üzerine etkisini araştırmıştır. Vilenkin (1981) ilk olarak, düzlemsel simetriye sahip sonsuz thin domain wall’un gravitasyon alanı statik bir metrik ile tanımlanamayacağını düşündü. Daha sonra Widrow (1989), thick domain wall’un normal bir statik metrik ile tanımlanabileceğini gösterdi. Bu bakış açısı ile statik olmayan metrikler thick domain wall tanımlaması için daha uygun olabileceği düşünülmektedir. Domain wall iki şekilde incelenebilir. İlki potansiyeli olan bir skaler alan içeren bir enerji momentum tensörü ile tanımlamaktır (Vilenkin, 1981). İkinci yol ise domain wall’u ideal akışkana iliştirilmiş bir enerji- momentum tensörü ile tanımlamaktır (Yilmaz, 2005).
Silindirik simetrik metrikler, evrenin şu anki aşaması yerine erken aşamalarını ifade etme amaçlıdır. İyi bilinen silindirik simetrik evrenlerden bir tanesi de Einstein-Rosen evrenidir. Einstein-Rosen evreninde uzaysal homojenlik bir yönde bozulur ve Einstein-Rosen evrenleri, iki boyutlu uzay benzeri yörüngelerde hareket eden bir Abelian izometri grubu olan G2'yi kabul eder (Clancy vd., 1999). Uzaysal olarak homojen
olan Bianchi kozmolojilerinin doğal bir genellemesini temsil ederler (Tomita, 1978). Evrenin ilk aşamaları bu arka planlarla analiz edilebilir (Adams vd., 1982; Adams vd., 1985). Bu özellikler göz önüne alınarak Einstein-Rosen evreni araştırmacılar tarafından skaler tensör teoriler dikkate alınarak derinlemesine incelenmiştir. Reddy vd. (2006) Seaz-Ballester teori kapsamında ideal akışkan bulunan Einstein-Rosen evrenini incelemiştir. Statik vakum modeli ve statik olmayan stiff akışkan modeli için alan denklemlerinin çözümlerini elde etmişlerdir. Reddy (2006) sicim varlığında Einstein-Rosen evrenini Seaz-Ballester teori kapsamında araştırmıştır. Statik durumda geometrik sicim bulunmazken, statik olmayan modelin teori kapsamında var olamadığını göstermişlerdir. Katore ve Shaikh (2011) sicim bulunan Einstein-Rosen evrenini Barber’ın ikinci Self-Creation teorisi kapsamında incelemiştir. Statik vakum modeli ile standart şekilde yavaşlayan statik olmayan model elde etmişlerdir. Singh ve Singh (2017) Brans-Dicke teoride silindirik simetrik Einstein-Rosen metriğini vakum çözümü problemi için incelemiştir. Oluşturulan model için tam çözümler elde edilmiştir.
Bu çalışmada amacımız Saez-Ballester skaler tensör teoride domain wall varlığında statik olmayan Einstein-Rosen evrenini incelemektir. Evren, evriminin erken safhalarında düzgünleştirilmiş bir resme sahip değildir. İnşa edilmiş model aracılığıyla evrenin erken evrelerini analiz etmek Saez-Ballester teori aracılığıyla mümkün olabilir.
Bu makale şu şekilde düzenlenmiştir: Bölüm 2'de ilk olarak Saez-Ballester teoride domain wall bulunan statik olmayan Einstein-Rosen evreni için alan denklemlerini oluşturduk. Oluşturulan model için herhangi bir yaklaşım veya kısıtlama dikkate alınmadan alan denklemlerinin tam çözümleri elde edildi. Son olarak, elde edilen tüm çözümler fiziksel ve geometrik açıdan tartışıldı.
Statik olmayan Einstein-Rosen evreni için yay elemanı aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır: 𝑑𝑠2= 𝑒(2𝛼−2𝛽)(−𝑑𝑡2+ 𝑑𝑟2) + 𝑟2𝑒−2𝛽𝑑φ2+ 𝑒2𝛽𝑑𝑧2. (4)
Burada 𝛼 ve 𝛽 kozmik zamana bağlı metrik potansiyelleridir. (4) denklemi kullanılarak statik olmayan Einstein-Rosen evreni için Ricci eğrilik skaleri
𝑅 = 2𝑒(2𝛽−2𝛼)(𝛼′′− 𝛽′′+ 𝛽′2) (5)
şeklinde elde edilir. Burada kesme işareti zamana göre türevi ifade etmektedir. İdeal akışkan formundaki domain wall için enerji-momentum tensörü
𝑇𝑖𝑗 = (𝜌 + 𝑝)𝑢𝑖𝑢𝑗+ 𝑝𝑔𝑖𝑗 (6)
ile tanımlanır (Okuyama ve Maeda, 2004; Yilmaz, 2005). Burada ideal akışkan formundaki enerji- momentum tensörü normal madde (𝑝𝑚 ve 𝜌𝑚) ile domain wall için gerilim fonksiyonunu (𝜎) içerir. Normal
madde ve gerilim fonksiyonuna bağlı olarak ideal akışkanın basıncı ve yoğunluğu arasında 𝑝 = 𝑝𝑚− 𝜎 ve
𝜌 = 𝜌𝑚+ 𝜎 şeklinde bağıntılar bulunmaktadır (Yilmaz, 2005). Aynı zamanda normal madde için durum
denklemi 𝑝𝑚 = (𝛾 − 1)𝜌𝑚 şeklinde tanımlanır ve burada 1 ≤ 𝛾 ≤ 2 şeklindedir (Yilmaz, 2005; Çağlar ve
Aygün, 2016a; Çağlar ve Aygün, 2016b). Ayrıca 𝑢𝑖 konformal 4’lü hızı ifade etmektedir.
(1)-(4) ve (6) denklemleri göz önüne alınarak Saez-Ballester teori kapsamında domain wall bulunan Einstein-Rosen evreni için alan denklemleri ve korunum denklemleri
𝑒(2𝛽−2𝛼)(𝛽′2+1 2𝜔𝜙 𝜈𝜙′2) = 𝑝, (7) 𝑒(2𝛽−2𝛼)(𝛼′′+ 𝛽′2+12𝜔𝜙𝜈𝜙′2) = 𝑝, (8) 𝑒(2𝛽−2𝛼)(𝛼′′− 2𝛽′′+ 𝛽′2+1 2𝜔𝜙 𝜈𝜙′2) = 𝑝, (9) 𝑒(2𝛽−2𝛼)(−𝛽′2−1 2𝜔𝜙 𝜈𝜙′2) = −𝜌, (10) −𝑒(2𝛽−2𝛼) 𝛼′ 𝑟 = 0, (11) 𝜈 2 𝜙′2 𝜙 + 𝜙′′ = 0 (12) ve 𝜌′+ (𝛼′− 𝛽′)(𝜌 + 𝑝) = 0. (13)
şeklinde edilir. Elde edilen diferansiyel denklem sisteminde beş adet bilinmeyen fonksiyon bulunmaktadır. Oluşturulan model için herhangi bir yaklaşım veya kısıtlama dikkate alınmadan alan denklemlerinin tam çözümleri elde edildi. Einstein-Rosen metrik potansiyelleri
𝛽(𝑡) = 𝑐1𝑡 + 𝑐2 (14)
ve
𝛼(𝑡) = 𝑐3 (15)
şeklinde elde edilir. Saez-Ballester skaler tensör teorinin dinamik yapısını belirleyen skaler alan aşağıdaki gibi elde edilmiştir:
𝜙(𝑡) = 4−𝜈+21 ((𝜈 + 2)(𝑐4𝑡 + 𝑐5)) 2
𝜈+2. (16)
Aynı zamanda ideal akışkanın basıncı ve yoğunluğu sırasıyla 𝑝(𝑡) =1 2𝑒 2(𝑐1𝑡+𝑐2−𝑐3)(2𝑐 12− 𝜔𝑐42+ 8𝜔𝑐424− 𝜈 𝜈+216− 1 𝜈+2) (17) ve 𝜌(𝑡) =1 2𝑒 2(𝑐1𝑡+𝑐2−𝑐3)(2𝑐 12+ 𝜔𝑐42) (18)
olarak elde edilir. Normal madde dağılımı için basınç ve yoğunluk durum denklemi, 𝑝𝑚 = (𝛾 − 1)𝜌𝑚, dikkate alınarak 𝑝𝑚(𝑡) = 2𝛾−1𝑒2(𝑐1𝑡+𝑐2−𝑐3)(𝛾 − 1) (𝑐12+ 2𝜔𝑐424− 𝜈 𝜈+216− 1 𝜈+2) (19) ve 𝜌𝑚(𝑡) = 2𝛾−1𝑒2(𝑐1𝑡+𝑐2−𝑐3)(𝑐12+ 2𝜔𝑐424− 𝜈 𝜈+216− 1 𝜈+2) (20)
olarak elde edilir. Domain wall için gerilim fonksiyonu ise 𝜎(𝑡) = 𝛾−1𝑒2(𝑐1𝑡+𝑐2−𝑐3)(𝛾 − 2) (𝑐 12+ 2𝜔𝑐424− 𝜈 𝜈+216− 1 𝜈+2) (21)
şeklinde elde edilir. Yukarıda belirtildiği üzere oluşturulan model için tam çözümler elde edilmiş olup Seaz- Ballester skaler tensör teoride domain wall bulunan Einstein-Rosen evrenin yay elemanını
𝑑𝑠2= 𝑒−2(𝑐1𝑡+𝑐2−𝑐3)(−𝑑𝑡2+ 𝑑𝑟2) + 𝑟2𝑒−2(𝑐1𝑡+𝑐2)𝑑φ2+ 𝑒2(𝑐1𝑡+𝑐2)𝑑𝑧2. (22)
şeklinde yeniden yazılabilir. Aynı zamanda oluşturulan modellerin geometrik ve fiziksel özellikleri kinematik nicelikler aracılığıyla analiz edilir. Kinematik büyüklükler, oluşturulan modelin geometrik özelliklerini anlamamız için bize kanıt sağlar. Hacim, ortalama ölçek faktörü, Hubble parametresi, kayma skaleri ve yavaşlama parametresi gibi bazı kinematik büyüklükleri tanıtmak faydalıdır. Oluşturulan model için kinematik nicelikler aşağıda verilmiştir:
𝑉 = √−𝑔 = 𝑟𝑒−2(𝑐1𝑡+𝑐2−𝑐3), (23) ℛ = 𝑟13𝑒− 2 3(𝑐1𝑡+𝑐2−𝑐3) (24) 𝐻 =1 3(𝑙𝑛𝑉) ′= −2 3𝑐1, (25) Θ = 3H = −2c1, (26) 𝜎2 =1 2𝜎𝑖𝑗𝜎 𝑖𝑗 =4 3𝑐1 2𝑒2(𝑐1𝑡+𝑐2−𝑐3) (27) ve 𝑞 = −3Θ−2− (Θ,𝑖𝑢,𝑖+ 1 3Θ 2) = −1. (28)
Oluşturulan model için uzaysal hacmin zamanla azaldığını ve nihayetinde sonsuz zamanda kaybolmaktadır. Hubble parametresi ise t ve r koordinatlarından bağımsız olarak sabit bulunmuştur. Bilindiği üzere yavaşlama parametresi, q, evrenin kozmik ivmeli genişlemesinin bir ölçütüdür. Oluşturulan modelin davranışı q parametresinin işaretine göre belirlenir. Pozitif bir değer yavaşlayan modeli ifade ederken negatif değer ise hızlanan modeli ifade eder (Bolotin vd., 2015). Elde edilen model için yavaşlama parametresi ve Hubble parametresi 𝑐1> 0 olduğu durumda negatiftir. Biz biliyoruz ki 𝑞 < 0 ve 𝐻 < 0 durumunda elde
edilen model hızlanarak çöken modele işaret eder. 𝑐1< 0 olduğu durumda ise elde edilen model hızlanarak
genişleyen modele işaret eder. Yani 𝑐1 sabiti elde edilen modelin genişleyen ya da çöken bir model olduğunu belirleyici bir sabittir. Ayrıca izotropik bir evren için bozunum zamanla sıfıra eşit olmalıdır, 𝜎2
Θ2|
𝑡→∞= 0
(Barrow, 1982). Elde edilen model için bozunum zaman sonsuza giderken sıfırdan farklı olduğundan dolayı model izotropiye yaklaşmaz.
Elde edilen normal madde dağılımı için basınç ve yoğunluk değişimi Şekil 1’de verilmiştir. Görüldüğü üzere normal madde dağılımı için basınç ve yoğunluk zamanla artmaktadır. Şekil 1’de 𝑐1 sabiti pozitif değere sahiptir. Yukarıda bahsedildiği üzere 𝑐1 sabiti pozitif olduğu durumda oluşturulan model çöken bir modele
karşılık gelmektedir. Bu durumda normal madde dağılımı için basınç ve yoğunluk artarken, 𝑐1 negatif seçildiği zaman basınç ve yoğunluk zamanla azalmaktadır ki bu durum da oluşturulan model genişlemektedir. Aynı zamanda her iki durum için 𝜌 ≥ 0 koşulu sağlanmaktadır. Domain wall için gerilim fonksiyonunun zamana göre değişimi Şekil 2’de sunulmuştur. Şekil 2’de görüldüğü üzere gerilim fonksiyonu negatif değer almaktadır. Bu durumda domain wall görünür değildir. Bu sonuç, Zeldovich vd. (1975) yaptıkları çalışmayla uyumludur. Ayrıca grafikte görüldüğü üzere domain wall için gerilim fonksiyonu zamanla sıfıra yaklaşır ve yok olur.
Elde edilen model için skaler alanın zaman göre değişim grafiği Şekil 3’te verilmiştir. Şekilde görüldüğü üzere skaler alan zamanla artmaktadır. 𝑡 = 0 anında Seaz-Ballester skaler alan sabitken, 𝑡 → ∞ durumunda ise skaler alan da sonsuza gitmektedir. Böylece skaler alanın başlangıç tekilliğinden de muaf olduğu söylenebilir.
Şekil 1: Normal Madde Dağılımı için basınç ve yoğunluğun zamana göre değişimi. (𝑐1= 1.1, 𝑐2= 0.8,
𝑐3= 1, 𝑐4= 1.2, 𝜈 = 2, 𝛾 = 1.2 ve 𝜔 = 2)
Şekil 2: Domain wall için gerilim fonksiyonunun zamana göre değişimi. (𝑐1= −1.1, 𝑐2 = 0.8, 𝑐3= 1, 𝑐4 =
1.2, 𝜈 = 2 ve 𝛾 = 1.2)
Sonuç
Bu çalışmada, Seaz-Ballester teori kapsamında domain wall bulunan statik olmayan Einstein-Rosen evrenini inceledik. Öncelikle model için alan denklemleri oluşturuldu. Daha sonrasında alan denklemlerinin tam çözümleri elde edildi. Oluşturulan model için yavaşlama parametresi negatif işaretli elde edildi. Oluşturulan modelin ivmeli olarak hızlandığı fakat genişleme ya da çökme davranışının çözümlerden gelen keyfi sabitlerin değerine göre değiştiği gösterilmiştir. Aynı zamanda Seaz-Ballester teoriye göre domain wall bulunan Einstein-Rosen evreninde izoropiye izin vermemektedir. Ayrıca normal madde dağılımı için basınç ve yoğunluğun evrenin davranışa paralel olarak keyfi sabitin seçimine göre zamanla azalan ya da artan özellik göstereceği elde edildi. Domain wall için gerilim fonksiyonu negatif olduğu ve Zeldovich vd. (1975) yaptıkları çalışmayla Saez-Ballester teoride elde edilen bu sonuçların uyumlu olduğu ve domain wall dağılımının görünür olmadığı gösterildi. Seaz-Ballester teorinin skaler alanın başlangıç tekilliğinden muaf olduğu elde edildi.
KAYNAKÇA
Kiran, M., Reddy, D.R.K., Rao, V.U.M. ve Rao M.P.V.V.B. (2015). Stationary spherically symmetric one- kink model in Saez-Ballester theory of gravitation. Astrophys. Space Sci. 355,2186.
Rao V.U.M., Kumari, G.S.D. ve Sireesha K.V.S. (2011). Anisotropic universe with cosmic strings and bulk viscosity in a scalar–tensor theory of gravitation. Astrophys. Space Sci. 335,635–638.
Brans, C.H. ve Dicke, R.H. (1961). Mach's principle and a relativistic theory of gravitation. Phys. Rev. 124,
925.
Saez, D. ve Ballester, V.J. (1986). A simple coupling with cosmological implications. Phys. Lett. A 113, 467. Tripathy, S.K., Nayak, S.K., Sahu, S.K. ve Routray, T.R. (2009). Massive String Cloud Cosmologies in
Saez-Ballester Theory of Gravitation. Int. J. Theor. Phys. 48, 213–225.
Raju, P., Sobhanbabu, K. Ve Reddy, D.R.K. (2016). Minimally interacting holographic dark energy model in a five dimensional spherically symmetric space-time in Saez–Ballester theory of gravitation. Astrophys.
Space Sci. 361, 77.
Barrow, J.D. (1982). The isotropy of the universe. Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society 23,
344.
Reddy, D. R. K., Naidu, R. L. ve Rao, V. U. M. (2006). Axially Symmetric Cosmic Strings in a Scalar- Tensor Theory. Astrophys. Space Sci. 306, 185-188.
Adhav, K. S., Nimkar, A. S. ve Naidu, R. L. (2007). Axially symmetric non-static domain walls in scalar– tensor theories of gravitation. Astrophys. Space Sci. 312, 165-169.
Tripathy, S. K., Sahu, S. K. ve Routray, T. R. (2008). String cloud cosmologies for Bianchi type-III models with electromagnetic field. Astrophys. Space Sci. 315, 105-110.
Rao, V. U. M., Santhi, M. ve Vinuth, T. (2008). Exact Bianchi type-II, VIII and IX perfect fluid cosmological models in Saez-Ballester theory of gravitation. Astrophys. Space Sci. 317, 27.
Rao, V. U. M., Kumari, G. S. D. ve Sireesha, K. V. S. (2011). Anisotropic universe with cosmic strings and bulk viscosity in a scalar–tensor theory of gravitation. Astrophys. Space Sci. 335, 635-638.
Naidu, R. L., Satyanarayana, B. ve Reddy, D. R. K. (2012). Bianchi Type-III Dark Energy Model in a Saez- Ballester Scalar-Tensor Theory. Int. J. Theor. Phys. 51, 2857-2862.
Jamil, M., Ali, S., Momeni, D. ve Myrzakulov, R. (2012). Bianchi type I cosmology in generalized Saez– Ballester theory via Noether gauge symmetry. Eur. Phys. J. C 72, 1998.
Rao, V. U. M., Kumari, G. S. ve Neelima, D. (2012). A dark energy model in a scalar tensor theory of gravitation. Astrophys. Space Sci. 337, 499.
Pradhan, A., Singh, A. K. ve Chouhan, D. S. (2013). Accelerating Bianchi Type-V Cosmology with Perfect Fluid and Heat Flow in Sáez-Ballester. Theory. Int. J. Theor. Phys. 52, 266.
Kiran, M., Reddy, D. R. K. ve Rao, V. U. M. (2014). Minimally interacting holographic dark energy model in a scalar- tensor theory of gravitation. Astrophys. Space Sci. 354, 577-581.
Hill, C.T., Schramm, D.N. ve Fry, J.N. (1989). Cosmological structure formation from soft topological defects. Comments Nucl. Part. Phys. 19, 25.
Vilenkin, A. (1981). Gravitational field of vacuum domain walls and strings. Phys. Rev. D 23, 852. Widrow, L.M. (1989). General-relativistic domain walls. Phys. Rev. D 39, 3571.
Clancy, D., Feinstein, A., Lidsey, J. E. ve Tavakol, R. (1999). Inhomogeneous Einstein-Rosen string cosmology. Phys.Rev. D, 60 043503.
Reddy, D. R. K., Murthy, C.S.V.V.R. ve Venkateswarlu, R. (2006). Einstein–Rosen Universe in a Scalar- Tensor Theory of Gravitation. Astrophysics and Space Science 301, 79–82.
Reddy, D. R. K. (2006). On Einstein–Rosen Cosmic Strings in a Scalar Tensor Theory of Gravitation.
Astrophys. Space Sci. 305, 139–141.
Katore, S. D. ve Shaikh, A. Y. (2011). Einsteın Rosen String Cosmological Model in Barber’s Second Self- Creation Theory, International Journal of Modern Physics A 26, 1651–1657.
Singh, K. P. ve Singh, C. G. (2017). Some Cylindrically Symmetric Vacuum Solutions of Brans-Dicke Scalar Fields in Robertson-Walker Universe. https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1701/1701.03350.pdf
(Erişim tarihi: 03.07.2017).
Çağlar, H. ve Aygün, S. (2016a). Non-existence of Brans-Dicke theory in higher dimensional FRW universe.
Astrophys. Space Sci. 361, 200.
Çağlar, H. ve Aygün, S. (2016a). Non-existence of Brans-Dicke theory in higher dimensional FRW universe.
Chinese Physics C 40, 045103.
Yilmaz, I. (2005). Domain wall solutions in the nonstatic and stationary Gödel universes with a cosmological constant. Phys. Rev. D 71, 103503.
Okuyama, N. Ve Maeda, K. (2004). Domain Wall Dynamics in Brane World and Non-singular Cosmological Models. Phys. Rev. D 70, 064030.
Bolotin, Y. L., Cherkaskiy, V. A., Lemets, O. A., Yerokhin D. A. ve Zazunov, L. G. (2015). Cosmology In Terms Of The Deceleration Parameter. Part I. https://arxiv.org/pdf/1502.00811.pdf (Erişim tarihi:
03.02.2015).
Zeldovich, Y. B., Kobzarev, I. Y. ve Okun, L. B. (1975). Cosmological consequences of spontaneous violation of discrete symmetry. Sov. Phys. JETP. 40, 1.