S#nama Durumlar# le lgili Bulgular ve Yorumlar.

Nesta seção será apresentada uma descrição de como o sistema ligeiramente fora do equilíbrio evolui no tempo até atingir novo estado de equilíbrio, o que é chamado termalização. No caso estático descrito logo acima, foi útil argumentar em termos do parâmetro de ordem η(~r), obtido pelo procedimento de coarse-grainig, e da energia livre

de Landau FL; manteremos esses conceitos e, então, descreveremos a evolução temporal

do parâmetro de ordem η = η(t, ~r) durante a termalização seguindo as Refs. [13,14]. Se o sistema descrito pela configuração η ≡ λ(~r) do parâmetro de ordem está ligeiramente fora do equilíbrio, então λ(~r) não minimiza FL, mas corresponde a um ponto

próximo do mínimo. A evolução do parâmetro de ordem durante a termalização, o que é chamado de relaxação do parâmetro de ordem, deve ser tal que η(t, ~r) tenda a uma configuração de equilíbrio estável no limite em que t → ∞.

Por razões fenomenológicas, usualmente é feita a hipótese de que a variação tem- poral do parâmetro de ordem é proporcional ao desvio em relação ao equilíbrio – hipótese da resposta linear. Com isso, a evolução temporal do parâmetro de ordem é dada pela equação de Ginzburg-Landau dependente do tempo (equação GLTD):

∂η(t, ~r)

∂t =−Γ

δFL[η]

δη(t, ~r) (3.77) em que o parâmetro Γ, introduzido fenomenologicamente, é assumido pouco sensível à temperatura e independente de η. Na equação, Γ lembra uma constante de decaimento, sendo inversamente proporcional à rapidez com que a transição ocorre.

A equação (3.77) pode ter como solução uma configuração η(~r) que corresponde a um estado metaestável (mínimo local de FL), a depender da condição inicial do problema.

Para garantir que a solução seja um estado estável (mínimo global), os efeitos aleatórios dos graus de liberdade sobre os quais tomou-se uma média para definir η(~r) devem ser levados em conta. Esses efeitos são entendidos como flutuações térmicas que, ocasional- mente, podem afastar o sistema de um mínimo local de forma a solução corresponder a um estado estável; eles são modelados através de um termo de ruído ξ(t, ~r) que assume valores aleatórios e independentes uns dos outros para cada posição e instante de tempo. Escolhe-se o termo de ruído de modo que uma média sobre realizações de ruído, h· · · ir, corresponda a uma média sobre um ensemble de equilíbrio:

hξ(t, ~r)ir = 0 e hξ(t1, ~r1)ξ(t2, ~r2)ir = 2ΓkBT δ (t1− t2) δ (~r1− ~r2) (3.78)

em que p(2ΓkBT )é intensidade do ruído; de fato, é intuitivo que a intensidade do ruído

cresca com a temperatura. O termo de ruído (3.78) é chamado gaussiano e branco porque essas relações podem ser obtidas definindo-se uma distribuição de probabilidades sobre o espaço das funções de ruído que é gaussiana com variância (2ΓkBT ), o que garante a

equivalência entre as médias sobre os ruídos e sobre o ensemble de equilíbrio.

Levando-se em conta as flutuações térmicas implementadas pelo termo de ruído, chega-se à equação que de fato descreve a dinâmica da evolução temporal do parâmetro de ordem durante a termalização:

∂η(t, ~r) ∂t =−Γ

δFL[η]

que também é referida como equação de Ginzburg-Landau dependente do tempo ou como equação de Ginzburg-Landau-Langevin – equação GLL. Mostra-se [14] que a equação GLL (3.79) em que o termo de ruído satisfaz (3.78) está associada com uma distribuição de probabilidade que varia no tempo segundo a equação de Fokker-Planck e que fornece a distribuição de Boltzmann definida pelo hamiltoniano de Landau no limite t → ∞.

Tendo motivado a descrição da dinâmica de termalização, passaremos à descrição dos processos físicos de nucleação e decomposição espinodal. Quando se submete o sis- tema a uma variação brusca de algum parâmetro externo – o que é chamado quench do parâmetro externo, esses dois são os principais processos pelo qual um sistema homogêneo torna-se não homogêneo através da formação de paredes de domínio quando o equilíbrio é reestabelecido após um quench.

3.3.1 Nucleação e decomposição espinodal

Para facilitar o entendimento do processo de nucleação, é útil considerar o bem conhecido modelo de Ising para sistemas magnéticos. A Figura 6 mostra o diagrama de fases no plano H −T para o modelo de Ising. Abaixo da temperatura crítica Tc, o sistema

sofre uma transição de fase de primeira ordem quando se inverte o sentido do campo H; na linha definida por H = 0 e T < Tc, tanto a fase com magnetização positiva quanto

a com magnetização negativa são estáveis. Os gráficos esboçados representam a energia livre de Landau em função do parâmetro de ordem representado por φ (que, no caso do modelo de Ising, é a magnetização M) para cada região do diagrama de fases.

Figura 6 – Diagrama de fases para o modelo de Ising no plano H−T . As curvas esboçadas representam o padrão da energia livre de landau em cada região do diagrama. Figura adaptada da Ref. [13]

Na região acima (abaixo) da linha pontilhada em que H é positivo (negativo), o estado de equilíbrio – mínimo global – é caracterizado por valores positivos (negativos) do parâmetro φ. Na região I, há um estado estável e um metaestável caracterizados, respectivamente, por valores positivos e negativos de φ; enquanto que, na região II, o estável é caracterizado por φ < 0 e o metaestável por φ > 0. Como há estados metaestáveis apenas na região do diagrama de fases delimitada pelas linhas pontilhadas, estas são chamadas limites de metaestabilidade.

Suponha-se que o sistema inicialmente se encontra num ponto da região II em que o estado de equilíbrio é caracterizado por uma magnetização homogênea com valor φ0 < 0 e, então, o sentido do campo H é bruscamente alterado de forma que os estados

caracterizados pelas configurações homogêneas de magnetização com valores φA < 0 e

φB > 0sejam, respectivamente, metaestável e estável. Logo após o quench, a energia livre

é completamente alterada, enquanto que o parâmetro de ordem possui o mesmo valor φ que antes do quench e, então, relaxa para o valor φA próximo de φ0. Caso não houvessem

flutuações termodinâmicas, o sistema ficaria na configuração φ0 indefinidamente.

Entretanto, as flutuações termodinâmicas geram regiões de diversos tamanhos com valores do parâmetro de ordem muito próximos ao valor φB do estado estável; em outros

termos, as flutuações formam bolhas da fase estável num “mar” da fase metaestável. Neste caso, o sistema pode se tornar não homogêneo (com regiões com a fase caracterizada por φA distintas das caracterizadas por φB) apenas quando ocorrem flutuações termodinâmi-

cas suficientemente intesas, o que é conhecido como nucleação homogênea.

A relação entre as flutuações e a quebra (ou não) da homogeneidade é entendida do seguinte modo: o sistema se mantém homogêneo com parâmetro dado por φA desde

que todas as bolhas da fase de equilíbrio sejam tão pequenas que a redução da energia livre devido ao interior de cada uma – bulk free energy – não compense o custo energético, dado pela energia livre superficial, para a formação das bolhas. Neste caso, as bolhas colapsariam e o sistema permaneceria homogêneo. Por outro lado, caso haja bolhas grandes o suficiente, o sistema terá energia livre reduzida favorecendo o crescimento dessas bolhas. Com o tempo, verificam-se domínios contendo apenas uma das fases.

Consideremos a diferença de energia livre ∆FL do sistema quando se compara um

estado com uma bolha de raio R a um estado sem bolha alguma. Sendo σ a energia livre por unidade de área e Ω a energia livre por unidade de volume, tem-se:

∆FL= 4πσR2−

4 3πΩR

3 _(3.80)

vê-se que essa expressão apresenta um máximo para Rc =

2σ

Ω, que é chamado raio crítico. Assim, bolhas com raio inferior (superior) ao raio crítico colapsam (crescem), dando origem à nucleação. Contudo, é possível que σ =0, a depender do ponto no espaço de fase; nesse caso, bolhas de todos os tamanhos crescerão, o que dá origem à decomposição

espinodal. Note-se que em ambos os processos o sistema torna-se mais estável admitindo não uniformidade no parâmetro de ordem.

Por fim, convém salientar que, de um modo geral, a dinâmica associada ao parâ- metro de ordem é mais lenta quando a termalização ocorre através da nucleação do que quando ocorre por decomposição espinodal; isso ocorre porque na decomposição espinodal bolhas de todos os tamanhos contribuem para a formação da nova fase, enquanto que na nucleção não. Outro aspecto importante para a velocidade da termalização é o fato de se o parâmetro de ordem é conservado (como uma densidade de cargas) ou não (como é o caso da magnetização) [35]; quando o parâmetro é conservado, apenas flutuações con- sistentes com a lei de conservação contribuem para a dinâmica (as não consistentes não existem) e, portanto, a dinâmica associada a parâmetros conservados é mais lenta do que a de parâmetros não-conservados, pois não há restrições sobre as flutuações neste último caso.

Ocasionalmente, o sistema pode ser descrito por mais de um parâmetro de ordem de forma que não haja como dissociar suas dinâmicas (a equação (3.79) torna-se um sistema de equações acopladas – uma para cada parâmetro). Neste caso, diz-se que os parâmetros de ordem estão acoplados e isso pode alterar a velocidade da termalização; em particular, a dinâmica de um parâmetro de ordem não conservado é tornada mais lenta quando ele é acoplado a um parâmetro conservado [35].