Rassal test problemleri

Pappus, grande matemático grego (300 d.C), organizou uma obra importante, composta originalmente por oito livros, chamada A Coleção

Matemática, onde procurava sistematizar um método para resolver problemas. No

livro VII de sua Coleção, Pappus descreve um ramo de estudo que ele chamou de

Analyomenos, que pode ser traduzido como Tesouro da Análise, ou Arte de Resolver Problemas, ou mesmo, Heurística.

Considerando o intuito deste item, dentre os livros de A Coleção

Matemática, foca-se a análise no livro VII, por seu valor do ponto de vista

histórico, e, em particular, por abordar e conceituar os aspectos referentes à

análise e síntese, que fornecem subsídios à atividade heurística.

Dentre os trabalhos a que se recorre para o estudo da Heurística, George Polya atribui um sentido moderno a ela, chamando-a de “heurística moderna” e se refere a esta obra de Pappus.

Segundo Balieiro Filho (2004, p. 67):

Pappus descreve em detalhes o método analítico dos antigos geômetras gregos na demonstração de teoremas ou na construção de figuras

geométricas. Esse procedimento consistia em um duplo movimento: análise, na qual se buscavam os antecedentes das proposições a serem provadas ou as condições que tornassem possíveis a construção de figuras geométricas, e a síntese, na qual, a partir das condições descobertas na análise, apresentava-se ou a prova do teorema na sequência lógica usual ou a construção efetiva da figura geométrica. A análise se subdividia em transformação (busca das condições para a solução do problema) e resolução (legitimação das condições descobertas). A síntese se subdividia, por sua vez, em construção (dos dados do problema) e prova.

Com relação à solução de um problema para Pappus, é bastante comum poder-se “adivinhá-la”, utilizando intuições, inferências, induções e baseando-se em analogias com outros problemas resolvidos (Polya, 1995), e não se pode negar que, talvez por esses procedimentos, foram alcançados resultados importantes, como se verifica no desenvolvimento das ideias matemáticas; mas, apesar de parecer uma prática comum em problemas de Matemática, tal “adivinhação” não é um método científico propriamente dito.

Entrando no âmbito da demonstração e da análise é interessante observar o que dizem Pappus e Polya, segundo Balieiro Filho (2004, p. 68):

Duplo é o gênero da análise, um a pesquisa do verdadeiro, o qual é chamado teórico, o outro capaz de dizer o que foi proposto, o qual é chamado problemático. Enquanto que, no gênero teórico, tendo estabelecido o que é procurado como existente e verdadeiro, em seguida, por meio das consequências sucessivas como verdadeiras, e como existem segundo a hipótese, tendo avançado até algo admitido, caso, por um lado, fosse verdadeiro aquilo admitido, será verdadeiro também o procurado, e a demonstração é uma inversão da análise; caso, por outro lado, encontramos falso o admitido, falso será também o procurado. No gênero problemático, tendo estabelecido o que foi proposto como conhecido, em seguida, por meio das consequências sucessivas, como verdadeiras, tendo avançado até algo admitido, caso, por um lado, o admitido seja possível é obtenível, o que os matemáticos chamam dados, possível também será o proposto, e, de novo, a demonstração é uma inversão à análise; caso, por outro lado, encontramos impossível o admitido, impossível será também o problema.

seguida, um antecedente do qual seja possível deduzir o resultado que se quer demonstrar e que foi admitido como verdadeiro. Repetindo esse processo de regressão (ou raciocínio regressivo) sucessivamente busca-se chegar a algum resultado que já se conhece ou admite-se como válido.

Polya (1995, p. 98), partindo dos ensinamentos de Pappus, afirmou:

Na análise, começamos por aquilo de que se precisa e que admitimos como certo e extraímos consequências disso e consequência das consequências até chegarmos a um ponto que podemos usar como de partida da síntese. Porque na análise admitimos que o que precisa ser feito já o foi (o que se procura já foi encontrado, o que se tem a demonstrar é verdadeiro). Indagamos de qual antecedente poderá ser deduzido o resultado desejado; em seguida, indagamos de novo qual poderá ser o antecedente desse antecedente e assim por diante, até chegarmos finalmente a algo que já conhecemos ou que admitimos como verdadeiro. A este procedimento chamamos análise, ou regressão ou raciocínio regressivo.

A etapa conclusiva é a síntese e consiste em chegar a um resultado, isto é um raciocínio progressivo; em seguida, é necessário mostrar que as condições primitivamente postas são também satisfeitas.

Pappus utilizava os procedimentos heurísticos para solucionar seus problemas matemáticos, criando modelos matemáticos que utilizava a análise para encontrar a solução de um problema ou a demonstração de um teorema e, em seguida, a síntese para expor o que se encontrou para solucionar o problema ou a demonstração de um teorema.

Em relação à síntese, Polya (1995, p. 113) concluiu que:

...na síntese, invertendo o processo, partimos do último ponto a que chegamos à análise, daquilo que já sabemos ou admitimos como verdadeiro. Disso deduzimos o que o procedeu na análise e continuamos a fazer deduções até que, percorrendo o mesmo caminho no outro sentido, conseguimos finalmente chegar aonde queríamos. A este procedimento chamamos síntese, ou resolução construtiva ou raciocínio progressivo.

A análise e a síntese foram os procedimentos utilizados por Pappus para a solução de problemas geométricos. Esses procedimentos fazem uso da atividade

heurística no raciocínio regressivo, porém, ao partir de soluções prontas e verdadeiras a priori, perde-se o potencial criativo próprio dos programadores quando resolvem problemas da forma que se pretende observar nesta pesquisa.