3. LİTERATÜR TARAMASI
3.3. Kesin (Exact) Çözüm Yöntemleri
Sezgisel yöntemlere göre literatürde fazla tercih edilmese de, kesin çözüm yöntemleri üzerine de önemli çalışmalar yapılmıştır. Genel olarak dinamik programlama, dal ve sınır (branchandbound) yöntemi, dal ve kesme (branchandcut) yöntemi ve 01 tamsayı programlama yöntemleri tercih edilmiştir. Problem boyutu kesin çözüm yöntemleri için önemli bir ölçüt olarak karşımıza çıkmaktadır.
Hayes and Norman (1984) Dinamik Programlama tekniği ile Orienteering yarışması planlayıcılarının yarışmacıların bulması gereken kontrol noktalarını (hedefleri) yerleştirmelerine yardımcı olmak amacıyla, basit bir fonksiyonel denklem kullanarak, kontrol noktaları arasındaki optimal rotaları analiz etmişlerdir. Tamamen Orienteering sporuna yönelik olan bu çalışma literatür açısından ilkler arasında yer aldığından ve bu sporu anlamaya da katkısı olacağından detaylı olarak incelenmiştir.
OP için bir uygulama olmamakla birlikte Puan Orienteering için de benzer şekilde optimal rota analizleri yapılabilir.
Çalışmada özel bir arazide yapılan ve planlayıcıların çok dikkatli olması gereken 48 saat gibi uzun zaman alan, sınırlar dahilinde hem fiziksel hem de zihinsel rekabetin
üst düzeyde olduğu zor yarışmalar dikkate alınmıştır. Kontrol noktalarının yanında, yarışma hakemleri ile kaybolma ve sağlık problemleri halinde kurtarma ekipleri için arazide yer analizi yapılmıştır. Temel olarak izohips bilgilerinden faydalanarak bir çözüme ulaşılmak istenmiştir.
1/25 000 ölçekli bir harita üzerinde 1 santimetrelik (arazide 250m) 19x19’luk gridler oluşturularak, kesişim noktalarındaki yüksekliklerle yine 19x19’luk bir yükseklik tablosu elde edilmektedir. Bu bilgilerden faydalanarak optimal rotalar bulunmaya çalışılmaktadır. Arazisi kötü olan bölüm yükseklikleri ve kontrol noktalarına ait yükseklikler özel olarak işaretlenmiştir.
Seyahat süreleri her grid için ve o gride yakın noktalar arasında hesap edilmiş, kurallar hiking sporunda kullanılan Naismith Kurallarından türetilmiştir. Genel olarak arazinin düzlük olması, tırmanış veya iniş olması ve bu tırmanış ve inişin yüksekliği ile birlikte eğimi, arazinin zorluk derecesi süreyi belirlemek için kullanılan bilgilerdir.
Örneğin 1 mil düzlük arazi için 10 dakika, 1 mil tırmanış için 10 dakikaya her 1000’
(feet) için 10 dakika ilave edilmektedir.
2 nokta arasında optimal rotayı tespit etmek için noktalar yakın olsa bile çok farklı yollar mevcuttur. Tanımlanan yöntemde gridin merkezinden 2 adımlık (adım: 1 noktadan komşu/yakın noktaya gidiş) hareket için 56 farklı yol, 3 adımlık hareket için ise 368 farklı yol olduğu ve optimal rotanın 2030 adımdan oluşabileceği belirtilmiştir.
i : ağda herhangi bir nokta, )
(i
f n : i noktasından bir terminal noktaya en fazla n adımda gitmek için optimal (minimum) süre,
) , ( j i
t : i noktasından komşu/yakın bir j noktasına 1 adımda gitme süresi olmak üzere, en kısa rotayı bulmak için çalışmada dinamik programlama fonksiyonel denklemi f n (i ) = min j
[
t ( i , j ) + f n- 1 ( j )]
şeklinde verilmiştir. Hesaplama prosedürü önce tüm f1(i) olmak üzere, sırasıyla f2(i), f3(i)... değerlerini bulmaktadır.Örnek haritalar üzerinde bir hedefe gitmek için bilgisayar modeliyle elde edilen optimal rotalar verilmiş ve yarışmacıların kullandığı rotalarla karşılaştırma yapılmıştır.
Çalışmada yer alan Harita 1’de yarışmayı kazanan sporcunun rotası ile bilgisayarın belirlediği rota arasında son bölüm haricinde büyük bir uyum olduğu ve bu farkın nedeninin sporcu ile yapılan mülakat neticesinde, sporcunun su ihtiyacını gidermek için rota tercihinden kaynaklandığı tespit edilmiştir. Ayrıca bilgisayarın bulduğu rotaya göre diğer sporcular son bölümde yürürken kazanan yarışmacı rotasını uzatmasına rağmen tüm rotayı koşmuştur. Bilgisayar ile tespit edilen rotalara göre, kurtarma ekibini yerleştirmek ve yarışmayı kontrol etmek için noktalar önerilmiştir. Çalışmadaki Harita 3’te ise Karrimor Dağ Maratonunda yarışmacıların ikili gruplar halinde 1981 yılında koştuğu parkurun analizi yapılmış, yarışma sonunda katılımcıların sekiz farklı rota kullandıkları tespit edilmiştir. En çok tercih edilen rota bilgisayar tarafından bulunan optimal rotaya yakın olmasına rağmen, en iyi dereceyi elde eden grup son bölüm haricinde bilgisayar rotasından farklı bir rota izlemiş ve diğer yarışmacılar bazı yerlerde yürürken onlar kullandıkları rotada koşmuşlardır. Üçüncü en iyi dereceyi yapan grup planlamacının kullanılacağına ihtimal vermediği bir rota izlemiş ve kayalık bir bölgeden dar bir patika kullanmışlardır. Bilgisayar modelinde bu rota olmamasına rağmen (zor arazi olarak tanımlandığından), pratikte uygun bir rota olduğundan veri bankalarına özel girdi yapılması gerektiği belirtilmiştir. Diğer bazı farkların ise parkurun tamamı stratejisi yerine direkt pusula yönü, yüksekliği kaybetmeme ve en yakın patikaya gitme gibi tekniklerin tercih edilmesinden kaynaklandığı ifade edilmiştir.
Model sonuçlarına göre arazi sınıflandırmasının, kullanılan grid aralığının, yolculuk sürelerini hesaplamada alternatif yolların (hızlı koşucular nedeniyle hiking temelinden gelen hesaplamanın gözden geçirilmesi gerekliliği), yarışmacının özel durumu ve farklı optimal olmayan yolları seçme nedenleri olabileceğinden analitik metodun gözden geçirilmesi gerektiği ve en iyi stratejinin kazananın/kazanmanın stratejisi olduğu belirtilmiştir.
Orienteering rotalarını planlama ve kontrol noktalarını yerleştirmek için basit bir dinamik programlama modelinin gösterildiği, verilerin toplanmasının biraz zaman alabileceği ama bir kez yapıldıktan sonra aynı verilerin defalarca kullanılabileceği,
planlamacının kullanacağı araziyi incelemesi gerektiği ve bilgisayar merkezli bir sistemle alternatifli çalışmalar yapılabileceği belirtilmiştir.
Laporte and Martello (1990) OP için literatürde ilk kesin çözüm yöntemi çalışmasını yapmışlardır. Bu çalışmada OP yerine STSP (Selective Traveling Salesman Problem) tanımı kullanılmış olup, önemli özellikleri başlangıç ile bitiş noktalarının aynı olması nedeniyle elde edilecek çözümün bir tur olması ve bu noktanın puan değerinin de pozitif olarak alınabilmesidir. Tüm noktalara pozitif puanlar atanmakta ve noktalar arasındaki kuş uçuşu mesafe maliyet fonksiyonunu oluşturmaktadır. Amaç belli bir maliyet kısıtı altında maksimum puanı sağlayacak turun bulunmasıdır. Başlangıç çözümünü oluşturmak için iki adet sezgisel algoritma kullanılmış, dal ve sınır yöntemi ile farklı sayıda noktalardan oluşan örnek problemler üzerinde çözüm araştırması yapılmıştır.
Başlangıç çözümü için kullanılan sezgisel algoritmalardan ilki en yakın komşulukla ilgili olup, puan/maliyet oranı en büyük olan noktalardan başlayarak rota oluşturulmaktadır. İkinci sezgisel algoritmada ise rotada minimum maliyet artışına neden olan noktalardan başlayarak rota oluşturulmakta, bir noktanın puanı ile rotaya eklenmesi halinde sağladığı maliyetin oranı dikkate alınmaktadır.
w j : j’nci noktanın ağırlığı,
*
z : sırt çantası probleminin optimal çözüm değeri, c : maliyet kısıtı
Başlangıç çözümü olarak 2 sezgisel algoritma ile elde edilen en iyi sonuç alınmaktadır. Hesap edilen üst sınır başlangıç çözümüne eşitse algoritma sonlandırılmakta aksi halde dallanma sürecine geçilmektedir.
Uygulama aşamasında algoritma rassal olarak üretilen, 1090 arası noktadan oluşan problemler üzerinde test edilmiştir. Problemin sıkılığı için b Î( 0 , 1 ] kontrol parametresi kullanılmış olup, parametre değerinin büyüklüğünün problemin çözüm kolaylığı ile doğru orantılı olduğu ve 20 noktadan sonra yöntemin etkinliğini yitirdiği, işlem sürelerinin hızla büyüdüğü belirtilmektedir. Bununla birlikte kullanılan sezgisel yöntemler de çok kısa işlem süresiyle optimale yakın ve bazı durumlarda optimal sonuçlar vermiştir.
Ramesh, et al., (1992) OP’nin optimal çözümü için dal ve sınır yöntemi içinde Lagrange gevşetmesi kullanarak, oluşturulan algoritmanın performansını 10150 arasında noktalardan oluşan test problemleri üzerinde değerlendirmişlerdir. Çalışmada OP için başlangıç ve bitiş noktaları aynı kabul edilmiş ve Orienteering Tur Problemi (OTP) tanımı kullanılmıştır.
Problem modellenirken birbirine bağlı iki noktanın puanlarının ortalaması, bu iki nokta arasındaki yola aktarılmıştır. Ayrıca modele puanı sıfır olan bir kukla nokta ve tüm noktalardan bu noktaya maliyeti sıfır olan kukla yollar eklenmektedir.
Algoritma; başlangıç Lagrange çarpanlarının seçimi ve dal sınır süreci olmak üzere 2 temel aşamadan meydana gelmektedir. Bu aşamalar ise başlangıç çarpanlarının seçimi, çarpanların geliştirilmesi, bütçe kısıtı için ölçek faktörü seçimi, alt ve üst sınırların hesaplanması, problem boyutunun indirgenmesi, ayırma ve dallanma kurallarından meydana gelmektedir. Algoritma Fortran 77 yazılımı ile kodlanarak oluşturulan test problemleri üzerinde başarıyla uygulanmış ve orta ile büyük boyut arasında problemlerin çözümü için elverişli olduğu belirtilmiştir.
Leifer, et al., (1994) OP’nin optimal çözümü için 01 tamsayı programlama modelinde doğrusal programlama (LP) gevşetmesi kullanmışlardır. Çalışmada LP
gevşetmesi kısıtlar ve geçerli eşitsizlikler eklemek suretiyle sıkılaştırılmıştır. Üst sınırları elde etmek için 3 adet doğrusal programın çözümünden oluşan bir prosedür kullanılmış, Tsiligirides’in test problemleri üzerinde yöntem test edilerek literatürdeki bilinen en iyi alt sınırlar ile elde edilen üst sınırlar arasında %5’ten az bir sapma olduğu belirtilmiştir.
Problemin 01 tamsayı programlama modeli verilmiş, takiben 01 şartları gevşetilerek bir noktanın sadece bir kez ziyaret edilmesini sağlayan bağlantı kısıtı modelden çıkarılmıştır. Modele yeni kısıtlar ve geçerli eşitsizlikler eklenerek çözülmüş ve sonuçlar incelendikten sonra modele ilave kesmeler eklenerek yeniden çözülmüştür.
Çalışmada kısıt eklemeden önceki temel LP gevşetmesi modeli ile kesme ve eşitsizlikler eklenerek sıkılaştırılan üç LP gevşetmesi programı ve literatürdeki bilinen en iyi alt sınır, test problemleri üzerinde gösterilmiştir. Ayrıca ortalama kısıt sayısı, değişken sayısı, ortalama işlem süreleri ve alt sınıra göre sapma yüzdeleri verilmiştir.
Fishetti, et al., (1998) OP’nin optimal çözümü için dal ve kesme metodunu kullanmışlar ve 500 noktaya kadar olan problemler üzerinde kabul edilebilir işlem süreleri dahilinde başarılı sonuçlar elde edildiğini belirtmişlerdir. Kesin çözüm yöntemleri içinde iddialı olan bu çalışmanın dikkatli ve detaylı biçimde incelenmesi gerekmektedir.
Erken elde edilebilecek geçerli ve iyi bir OP çözümü dal ve kesme algoritmasının performansını artıracağından, önce doğrusal programlama bilgileriyle yönlendirilen iki aşamalı bir sezgisel yöntem kullanılmaktadır. Daha sonra kesme düzlemi aşaması uygulanmakta ve son olarak dallanma işlemine başvurulmaktadır.
Algoritmanın C programlama diliyle kodlanarak literatürdeki test problemleri, bazı gerçek problemler ve rassal oluşturulan farklı boyutlardaki problemler üzerinde test edildiği ve başarılı sonuçlara ulaşıldığı belirtilmiştir.
Kataoka, et al., (1998) OP yerine Puan Orienteering Problemi (SOP) tanımını kullanmışlar ve SOP için MD1SP (Minimum Directed 1Subtree Problem) yaklaşımını
ortaya koymuşlardır. Çalışmada alt sınırları iyileştirmek için bir kesme ve ikil simpleks metodu ile bir Lagrange gevşetmesi metodu tanımlanmış olup, bu 2 metot bir algoritma ile birleştirilmiştir. Algoritmanın rassal olarak üretilen test problemleri ile Kataoka and Morito’da (1991) olduğu gibi oluşturulan test problemleri üzerinde başarıyla uygulandığı belirtilmiştir.
Boussier, et al., (2006) TOP için 100 noktaya kadar optimal çözüm araştırması imkanı sağlayan bir BP (Branch and Price) algoritması kullanmışlardır. Bu çalışmanın TOP için yapılan ilk kesin çözüm yöntemi çalışması olarak kabul edilebileceği belirtilmiştir. Önerilen yöntemin farklı OP yaklaşımlarında da kullanılabileceği ifade edilmektedir. Dal ve fiyat algoritması, dal ve sınır yöntemi ile CG (Column Generation) yöntemlerinin bileşimi şeklindedir. Algoritmanın performansını artırmak için hızlanma teknikleri uygulanmıştır. Algoritma 2, 3 ve 4 elemanlı takımlardan ve farklı nokta sayılarından oluşan TOP test problemleri ile 50 ve 100 noktadan oluşan SVRPTW (Selective Vehicle Routing Problem with Time Windows) test problemleri üzerinde incelenmiştir.