Ödül Toplamalı Gezgin Satıcı Problemi

GSP’nin  bir  uzantısı  olan  PCTSP  (Prize  Collecting  Traveling  Salesman  Problem) literatür açısından oldukça önemli bir konudur.  Balas’a (1989) göre bir satıcı  ziyaret ettiği her k şehri için bir w_k   ödülü kazanırken ziyaret edemediği her l şehri için  de  bir  p  cezası  ödemektedir.    Ayrıca  bir_l    i  şehrinden  j  şehrine  seyahat  etmenin  maliyeti c _ij  olmak üzere,  amaç belli bir w  ödül miktarını kazanma kısıtı altında yeteri ₀  kadar  şehir  dolaşıp,  seyahat  maliyeti  ile  ziyaret  edemediği  şehirlerden  dolayı  aldığı  cezaların toplamını enküçüklemektir.

2.7.3.  Zaman Kısıtlı ve Zaman Pencer eli Gezgin Satıcı Problemi 

Golden, et al., (1981)’e göre bir satıcının karşılaştığı gerçekçi  bir problem olan  Zaman  Kısıtlı  Gezgin  Satıcı  Probleminde  (Time­constrained  Traveling  Salesman  Problem­TCTSP), i , j  nokta çiftinden her  birine belli bir kazanç değeri ve bir seyahat  süresi atanmaktadır.  Amaç bir zaman kısıtı altında başlanılan noktada biten ve toplam  puanı enbüyükleyen turun bulunmasıdır. 

Baker’a  (1983)  göre  GSP’nin  özel  bir  durumu  olan  TCTSP’de  n  adet  şehir  olduğu varsayıldığında 1’inci şehirden başlayıp geri kalan n - 1 şehrin her birine alt ve  üst sınırı belirli ( l_i £ t _i £ u _i ) zaman aralıklarında (her şehir için), bir başka ifadeyle açık  zaman  penceresinde  sadece  bir  kez  uğrayacak  şekilde,  başlanılan  şehirde  (1)  biten  toplam tur maliyetinin enküçüklenmesi amaçlanmaktadır. 

Dumas,  et  al.,  (1995)’e  göre  Zaman  Pencereli  Gezgin  Satıcı  Probleminde  (Traveling  Salesman  Problem  with  Time  Windows­TSPTW)  toplam  tur  maliyetini  enküçükleyecek şekilde, her bir nokta servis için müsaade edilen belirli en erken ve en  geç  zaman  aralıklarında  bir  kez  ziyaret  edilmektedir.    Zaman  aralıkları  ihlal  edilememekte,  eğer  bir  noktaya  zaman  aralığından  önce  gelinmesi  halinde  zaman  aralığına girilene kadar beklenmektedir. 

Literatürde ulaşılan kısıtlı kaynaklarda Baker (1983) ve Dumas, et al., (1995)’in  tanımlarında  olduğu  gibi  TCTSP  ile  TSPTW  benzer  şekilde  ve  OP’den  farklı  olarak  tanımlanmıştır.  Bu tanımların TSPTW tanımına daha uygun olduğu görülmekte ve  bu  iki  tanıma  göre  tüm  noktaların  ziyaret  edilmesi  gerekmektedir.    Bir  başka  çalışmada  Teng, et al., (2006) TCTSP ile OP’yi aynı anlamda kullanmışlar, aralarındaki tek farkı  başlangıç  ve  bitiş  noktaları  TCTSP’de  aynı  olmasına  rağmen  OP’de  farklı  olabileceği  şeklinde belirtmişlerdir.  Ancak yapılan araştırmalarda TCTSP ile ilgili yeterli kaynağa  ulaşılamamakla  birlikte,  OP  gibi  çok  net  ifade  edilmese  de  Golden,  et  al.,  (1981)’in  tanımı OP ile çok yakın olarak değerlendirilebilir.

BÖLÜM 3 

LİTERATÜR TARAMASI 

Orienteering  Problemi’ne  ilişkin  yapılan  literatür  araştırmasında  çözüm  yöntemleri, kronolojik sıralama ve çalışmaların literatür açısından önem dereceleri esas  alınmıştır.    Bu  kapsamda,  sezgisel  (heuristic)  çözüm  yöntemleri,  modern  sezgisel  (metaheuristic)  çözüm  yöntemleri,  kesin  (exact)  çözüm  yöntemleri  ve  değinilmesinde  yarar görülen diğer çalışmalar ele alınmıştır.  OP  ile birlikte TOP  ile ilgili referanslara  da yer verilmiştir. 

3.1.  Sezgisel (Heuristic) Çözüm Yöntemleri 

NP­Zor  olan  OP’nin  ortaya  çıktığı  ilk  yıllardan  itibaren  örnek  problemlerin  büyüklüğü  ve  işlem  süreleri  dikkate  alınarak  genellikle  sezgisel  çözüm  yöntemleri  tercih  edilmiştir.    Bu  yöntemler  zamanla  gelişen  bir  seyir  izlemiş  ve  önerilen  algoritmaların  performansları  standart  test  problemleri  üzerinde  karşılaştırılmıştır.    Bu  çalışmalara diğerlerine göre daha kapsamlı olarak yer verilmiştir. 

Tsiligirides (1984) Orienteering sporunu tanıtıp, bu sporun bir çeşidi olan Puan  Orienteering’den  yola  çıkarak  Orienteering  Problemi’ni  ilk  kez  tanımlamıştır. 

Orienteering  Problemi’nin  çözümü  için  Monte  Carlo  Metodu  da  denilen  S  (Stokastik)  ve    D  (Deterministik)  algoritmalarını  kullanmıştır.    Bu  algoritmalara  daha  sonra  üç  aşamadan oluşan rota iyileştirme (R­I) algoritmasını uygulamıştır. 

S  ve R­I algoritmalarına Dördüncü Bölümde detaylı olarak değinilecek olup, S  Algoritması  uzaklık  ölçütü  olarak  noktalar  arası  kuş  uçuşu  (öklit)  mesafe  ile  bu  noktalara ait puanları dikkate alarak çok sayıda rota üretip, bunlardan en iyisini seçmeye  yönelik bir algoritmadır.

D  algoritması  ile  Wren  and  Holliday’in  (1972)  yük,  mesafe  veya  zaman  kısıtları altında bir veya daha fazla depodan çok sayıda dağıtım noktasına (müşterilere)  sezgisel  yöntem  kullanarak  araçların  bilgisayar  programlamasını  yaptıkları  çalışmaya  benzer  şekilde  rota  belirlendiği  ama  kapasite  sınırı  olmadığı  ve  tek  depo  bulunduğu  ifade edilmektedir.  Bu yöntemde harita bölümler halinde incelenmekte ve mesafe artışı  minimumda  tutulmaktadır.    İç  içe  ortak  merkezli  iki  dairenin  yarıçapları  değiştirilerek  birçok  daire  elde  edilmekte  ve  ziyaret  edilecek  nokta  kalmayıncaya  kadar  veya T_max    kısıtı  aşılması  halinde  belirli  bir  dairedeki  rota  oluşturma  işlemi  bitirilmektedir.    Her  adımda  48  durum  incelenmekte  ve  bölgesel  olarak  yapılan  analiz  ile  noktaların  kümelendiği durumlarda daha hassas sonuçlar alındığı belirtilmektedir. 

R­I  algoritması,  S  ve  D  Algoritması  ile  belirlenen  rotaları  üç  farklı  yaklaşımla  iyileştirmek  için  uygulanmaktadır.    Geliştirilen  bu  algoritmalar  S(R­I)  ve  D(R­I)  şeklinde  gösterilmiştir.    Birinci  yaklaşımda  mevcut  rota  içinde  noktaların  sırasında  değişiklik yapılmakta, ikinci yaklaşımda mevcut rotaya ziyaret edilmemiş yeni bir nokta  eklenmektedir.  Üçüncü yaklaşımda ise mevcut rotaya yeni bir nokta eklenirken ziyaret  edilen  bir  nokta  çıkarılmaktadır.    Tüm  bu  işlemlerde  zaman  veya  mesafe  sınırının  aşılmaması ve yeni durumun öncekinden iyi olması gerekmektedir. 

İlerleyen  yıllarda  farklı  yöntemlerin  uygulandığı  Tsiligirides’in  kendine  ait  32,  21  ve  33  kontrol  noktasından  oluşan  test  problemlerine  ilişkin  nokta  koordinatları  (mesafe  kuş  uçuşu  uzaklığa  göre)  ve  puan  değerleri  verilmiştir.    Algoritmaların  bu  problemlere  Fortran  IV  yazılımı  ile  uygulanması  sonucunda  S  algoritması  D  algoritmasına göre açık  şekilde daha  iyi sonuçlar  vermiştir. İyileştirme aşamasında  ise  S(R­I)  algoritması  ile  D(R­I)  algoritmalarında  birbiriyle  eşdeğer  sonuçlar  elde  edilmiş  ve benzer rota, işlem süresi, puan ve mesafe bilgilerine ulaşılmıştır. 

Golden,  et  al.,  (1984)  Tsiligirides’in  OP  tanımıyla  aynı  yılda,  bir    tanker  filosunun günlük olarak büyük bir müşteri kitlesine, müşterilerin stok seviyesini daima  yeterli bir seviyede muhafaza edecek yakıt (sıvı propan) dağıtımını sağlamak için uygun  biçimde  rotalanmasına  yönelik  karmaşık  bir  dağıtım  problemini  ele  almışlardır.

Çalışmalarında  Zaman  Kısıtlı  Gezgin  Satıcı  Problemini  (TCTSP)  esas  aldıklarını  belirtmelerine  rağmen,    TCTSP  ile  ilgili  herhangi  bir  bilgi  vermedikleri  gibi  ilerleyen  yıllarda  bu  çalışmayı  OP  ve  TOP’nin  uygulamalarına  referans  olarak  göstermişlerdir  (Golden, et al., 1987; Chao, et al., 1996 b). 

Uygulamaya  konu  olan  firma  110  bin  müşteriye  60  dağıtım  merkezinden  100  milyon galon yakıt dağıtımı yapmakta ve yıllık yaklaşık 10 milyon dolar dağıtım gideri  bulunmaktadır.  Her müşterinin tank kapasitesi bilinmekte ve yeniden sipariş noktası da  denilebilecek  (tank  kapasitesinin  %30’u)  belirli  bir  kritik  sınırın  altına  düşmemesi  istenmektedir.    Firmanın  dağıtım  sistemi  de  müşterilerin  talebine  (tank  seviyelerinin  tahminine)  göre  programlanmakta,  stok  dışı  kalma  çok  maliyetli  olduğu  gibi,  istenmemektedir.    Müşteri  stoklarının  iyi  şekilde  ikmalinin  sağlanması  kısıtı  altında,  maliyet  etkin  bir  dağıtım  rotası  hedeflenmekte,  %50’nin  üzerinde  stok  seviyesi  olan  müşterilere  dağıtım  yapılması  da  arzu  edilmemekte  ancak  rotadan  kaynaklanan  (yol  üzerinde  olması  gibi)  durumlar  olabileceği  belirtilmektedir.    Dağıtım  sistemi  müşteri  seçimi, müşterilere araç atanması ve atanan her aracın etkin şekilde rotalanması olmak  üzere  3  temel  karar  gerektirmektedir.    Problemin  müşterilerin  coğrafi  konumu  ve  dağıtımın  zamanlaması  nedeniyle  2  boyutu  bulunmaktadır.    Müşteriler  arasındaki  seyahat süreleri ve geçmişteki müşteri talepleri gibi firma için temel veri ihtiyaçlarında  bile istenilen bilgilere tam olarak erişilemediği belirtilmiştir. 

Firmanın  dağıtım  sistemi  ile  çalışmada  önerilen  sistemin  performansları  oluşturulan  benzetim  modelinde  karşılaştırılmıştır.    Dokuz  aşamalı  önerilen  modelin  birinci  aşamasında  müşterilerin  son  dağıtım  yapıldıktan  sonraki  kullanım  oranlarına  göre tahmin edilen stok seviyeleri ile dağıtım yapılabilecek potansiyel bir müşteri grubu  elde  edilmektedir.    Burada  0,5­1  arasında  bir  α  kontrol  parametresi  kullanılmakta  ve  (tank seviyesi/ tank kapasitesi £  1­α) eşitsizliğine  göre α =0,7 için,  stok seviyesi tank  kapasitesinin  %30’undan  az  olan  müşteri  listeye  alınmaktadır.    Stok  kontrol  literatüründeki yeniden sipariş verme noktası [Tank kapasitesi x (1­α)] denklemi ile ele  alınmakta,  potansiyel  müşteri  sayısının  200’den  fazla  olmasına  izin  verilmemektedir. 

İkinci aşamada TCTSP  için zaman  ve kazanç  matrisleri oluşturulmaktadır.  Potansiyel  müşterilere  stok  seviyelerinin  aciliyetine  göre  artan  kazanç  değerleri  verilmektedir.

Kullanım oranı yüksek olan müşterilerin kazanç değeri, stok seviyesi aynı olsa bile daha  az bir kullanım hızına sahip müşteriden daha yüksek verilmektedir.  Zaman matrisi ise  müşteriler  arasındaki  seyahat süreleri olup, toplam TCTSP zaman kısıtı  ise araç sayısı  ve  servis  sürelerine  göre  belirlenmektedir  ( T_max    =  araç  miktarı ´ zaman).  Üçüncü  aşamada iser  bir orantılılık sabiti olmak üzere, ( r ´ i’nci müşteri kazanç değeri / i’nci  müşteri  ile  oluşan  mesafe  artışı)  oranını  enbüyükleyecek  şekilde,  TCTSP  sezgisel  bir  algoritma ile çözülmekte ve her adımda yeni bir müşteri seçilerek, toplam seyahat süresi 

max 

T  değerini  aşmayan  bir  tur  elde  edilmektedir.  Dördüncü  aşamada  üçüncü  aşamada  seçilen  müşterilere  tanker  kapasitesi  kısıtı  altında  toplam  seyahat  mesafesini  enküçükleyecek  rotalar  oluşturulmakta,  beşinci  aşamada  bu  rotalara  günlük  bazda  tanker tahsisi yapılmaktadır.  Altıncı aşamada rotaların günlük 7,5 saat üzerinden tanker  filosunca  gerçekleştirilememesi  halinde  9,5  saat  üzerinden  tekrar  denenmekte,  yine  yetersiz  kalması  halinde  üçüncü  aşamaya  dönülerek  daha  küçük  bir T_max    değeri  ile  işlemlere  yeniden  başlanmaktadır.    Bu  aşamada  başarılı  olunmuşsa  yedinci  aşamada  planlanan sırayla dağıtıma başlanmakta, bir sonraki müşteri için ED müşterinin tahmini  talebi olmak üzere, (kalan yakıt miktarı ³  0,75 ED ) şartı kontrol edilmektedir.  Bu şart  sağlanıyorsa  dağıtım  yapılmakta,  aksi  halde  bir  sonraki  müşteriye  geçilmektedir. 

Herhangi bir noktada tankerin yakıtı biterse depoya dönülmektedir.  Sekizinci aşamada  günün  dağıtım  istatistikleri  (seyahat  süresi  ve  mesafesi,  dağıtılan  yakıt  miktarı,  varsa  aşılan  süre)  oluşturulmakta,  dokuzuncu  aşamada  ise  müşterilerin  stok  seviyeleri  güncellenmektedir. 

Firmanın modelinde ise müşteri seçimi yapılan ikinci ve üçüncü aşama olmayıp,  haftalık  14  tanker  (günlük  yaklaşık  3  tanker)  planlanmakta  ve  planlama  2,5  gün  sürmektedir.  Önerilen  modelde  ise günlük 2 araç planlanmakta ve planlama zamanı 1  gündür.  Firmanın modeli ile önerilen model 3 aylık bir benzetimle karşılaştırıldığında; 

önerilen  model  ile  %8,4  dağıtılan  yakıt  miktarında,  %  50  stok  dışı  kalma  oranında,  toplam  maliyette  ise  %23  iyileştirme  sağlanmıştır.    Ayrıca  müşterilerden  %50’sinden  elde edilen verilere göre önerilen modelde talep tahmini için mevsimsel etki de dikkate  alınmıştır.

Golden,  et  al.,  (1987)  OP’nin  çözümü  için  Ağırlık  Merkezi  (center­of­gravity)  Sezgisel  Yöntemini  kullanarak,  Tsiligirides’in  test  problemleri  üzerinde  daha  iyi  sonuçlar elde etmişlerdir.  Bu çalışmada GTSP’nin karmaşıklığı da ele alınarak NP­Zor  problem sınıfında yer aldığı gösterilmiştir. 

Sezgisel yöntem 3 aşamadan oluşmaktadır.  Birinci aşama başlangıç noktasından  (1)  başlayıp,  temel  olarak  yüksek  puanlı  ve  süresi  fazla  olmayan  noktalar  ideal  aday  noktalar  olmak  üzere,  ekleme  (insertion)  sezgisel  tekniği  ile  bitiş  noktasında  (n)  sona  eren ve T_max    zaman kısıtının altında bir sürede rota oluşturma sürecidir.  Burada i ’nci  noktanın puan derecesi SR(  , ağırlık merkezi mesafe derecesi i )  CR (i ) , başlangıç ve bitiş  noktasına olan uzaklık derecesi (elips derecesi) ER( i )  ve bir sonraki noktayı eklemek  için  ağırlık  derecesi WR (i )  olmak  üzere; WR(i ) = µ ´ SR(  +i )  b ´ CR( i ) +g ´ ER (i ) ,

µ +b +g =1 denklemine göre rota oluşturmak için noktalar derecelendirilmektedir. 

İkinci  aşamada  ise,  birinci  aşamada  elde  edilen  rota  geliştirilmektedir.    Birinci  aşamada elde edilen rotada yer alan noktaların yerlerini değiştirmek suretiyle, daha kısa  mesafeli  bir  rota  elde  edilmek  istenmekte  ve  takiben  T_max    zaman  kısıtını  aşmadan  mümkün  olduğu  kadar  nokta  ekleyerek  toplam  puanı  daha  yüksek  bir  rota  elde  edilmektedir. 

s  : i  noktasının  puanı  olmak  üzere;  üçüncü  aşamada,  ikinci  aşamada  elde edilen rotanın ağırlık merkezi aşağıdaki denkleme göre hesap edilmektedir. 

Ağırlık  merkezi  hesap edildikten  sonra a( i ) = t ( i , g ) ve i = 1 ,..., n olmak üzere,  tüm  i  değerleri  için  s (i ) /  a( i )  oranları  hesap  edilmekte  ve  bu  oranlara  göre T_max    değerini  aşmadan  rotaya  yeni  noktalar  eklenmektedir.    Takiben  bu  rotaya  tekrar  iyileştirme  aşaması  (ikinci  aşama)  uygulanmaktadır.    Elde  edilen  yeni  rotaya  üçüncü  aşama  rota  bir  döngüye  girene  kadar  tekrar  uygulanmakta  ve  elde  edilen  en  yüksek  puana sahip rota seçilmektedir. 

Tsiligirides’in  32,  21  ve  33  kontrol  noktalı  test  problemlerine  Fortran  77  yazılımı  ile  Ağırlık Merkezi Sezgisel Yöntemi uygulanmış, Tsiligirides’in (1984) S  ve  D  algoritmaları  ile  karşılaştırılmıştır  (R­I  algoritması  ile  kıyaslanmıyor).    49  durumun  tamamında D algoritmasından daha  iyi sonuçlar  elde edilirken, S  algoritmasına 25 kez  üstünlük,  11  kez  eşitlik  sağlandığı  ve  13  kez  daha  kötü  ancak  yakın  sonuçlar  elde  edildiği ifade edilmektedir. 

Müşterilerin  stok  seviyelerinin  aciliyeti  puan  olarak  kabul  edilmek  suretiyle  stok/rotalama  problemi  uygulaması  olan    çalışma  Golden,  et  al.,  (1984),  OP’nin  uygulamasına  örnek  olarak  verilmektedir.    Ayrıca T_max    değerinin  aşılması  durumunda  bir ceza faktörü kullanılabileceği ve bu işlemin daha gerçekçi olacağı belirtilmektedir. 

Golden,  et  al.,  (1988)  Ağırlık  Merkezi  Sezgisel  Algoritması  (Golden,  et  al.,  1987)  ile  Tsiligirides’in  S  Algoritmasının  (Tsiligirides,  1984)  bileşimi  bir  yöntem  geliştirilerek daha hızlı ve optimal çözüme daha yakın sonuçlar elde etmişlerdir.  Yeni  yöntem  ağırlık  merkezi  ve  rassallık  kavramlarına  ilave  olarak,  alt­ağırlık  (sub­gravity)  ve öğrenme kavramları ile birlikte 4 temel kavrama dayandırılmıştır. 

Çalışmada  yeralan  alt  ağırlık  kavramı;  ağırlık  merkezine  yakın  yüksek  puanlı  noktaların  ziyaret  edilmesi  yerine,  komşuluk  puanına  göre  noktaların  ziyaret  edilmesi  prensibine  dayanmaktadır.    Puanları  düşük  olsa  bile  bir  birine  yakın  bir  noktalar  kümesinin  kısa  sürede  ve T_max    kısıtı  dahilinde  ziyaret  edilmesi  halinde  daha  yüksek  toplam  puan  değerine  ulaşılabilecektir.    Öğrenme  kavramı  ise,  algoritmanın  farklı  noktaların  kombinasyonundan  oluşan  rotalar  arasında  daha  iyi  olanı  öğrenmesi

prensibine  dayanmaktadır.    OP  açısından  en  iyi  rotasının  en  yüksek  puanlı  noktaların  bulunduğu kombinasyon olmayabileceği ifade edilmiştir. 

Ağırlık Merkezi Sezgisel Yönteminde (Golden, et al., 1987) bir sonraki noktayı  ekleyerek  rota  oluşturmak  için WR(i ) = µ ´ SR(  +i )  b ´ CR( i ) +g ´ ER (i ) , µ +b +g =1 denklemiyle  noktalar  derecelendirilmektedir (Golden, et al., 1987).  Yeni  yöntemde  ise  ( µ ,b , g )  parametreleri  (0.7,  0.2,  0.1),  (0.8,  0.1,  0.1)  ve  (0.5,  0.3,  0.2)  değerleri  verilerek  test  edilmiş  ve  en  iyi  sonucu  veren  (0.7,  0.2,  0.1)  değerleri  önerilmiştir.    Bu  parametreler  SR  , (i )  CR (i )  ve  ER (i )  değerlerinin  birbirlerine  göre  bir  i  noktasına  yakın  olan  bütün  j  noktalarının  puanları  dikkate  alınmaktadır. 

Noktalar  arasındaki ( t _i , j ) seyahat  mesafesinin  veya  süresinin  bir  fonksiyonu olarak  bu  noktaların puanları azaltılmaktadır.  Çalışmada m = 10  olarak kullanılmıştır. 

)  (i 

SR ¬ SR(i ) ´ LR (i ) denklemi ile LR(  öğrenme derecesi gösterilmiştir.  Biri )    i  noktası  ortalama  üstü  puana  sahip  rotalarda  yer  alıyorsa  [ LR(  >1]i )    i  noktası  ödüllendirilmekte,  eğer  ortalama  altı  rotalarda  yer  alıyorsa  [ LR  <1](i )    i  noktası  cezalandırılmaktadır.  SR(  , i )  CR( i ) ve ER( i ) değerleri 0 ile  n  (nokta sayısı) arasında  yer  almakta  ve  n  bu  üç  değer  için  en  iyi  durumu  ifade  etmektedir.    Aşağıdaki  denklemlerde bu ölçeklendirme gösterilmiştir: 

)  (i 

ER ¬ min 

{

}  

Bu  sezgisel  yöntemde  her  adımda  en  yüksek  ağırlık  derecesine  sahip  5  nokta  bulunmakta  ve  beş  noktadan  eşit  olasılıkla  rastgele  bir  nokta  (0.2  olasılıkla)  seçilerek  rotaya eklenmektedir.  Zaman kısıtı T_max    sağlanıyorsa yeni nokta eklemek için işlemler  tekrarlanmakta,  sağlanamıyorsa  en  düşük  değerli  nokta  rotadan  çıkarılarak  ekleme  işlemi yenilenmekte ve başka bir nokta eklenemeyecek duruma ulaşılıncaya kadar süreç  devam  ettirilmektedir.    Elde  edilen  rotanın  toplam  mesafesini  azaltmak  için  rotada  yeralan  noktaların  yerleri  ikili  olarak  değiştirilmektedir.    Bu  iyileştirme  işlemi  sonrası  elde  edilen  rotanın  kendine  ait  bir  ağırlık  merkezi  olduğundan  ve  noktalar  en  son  performanslarına göre ödüllendirildiğinden veya cezalandırıldığından, SR  , (i )  CR (i ) ve 

)  (i 

LR  değerlerinin güncellenmesi gerekmektedir.  Her problem için 5 başlangıç ağırlık  merkezi  kullanılarak  süreç  20  defa  tekrarlanmış  ve  100  farklı  rota  elde  edilerek  en  yüksek puana sahip rota seçilmiştir.  Her başlangıç ağırlık merkezinde tüm i noktaları  için  LR(  =1  kabul  edilmiş,  ilk  19  rota  oluşturulduktan  sonra, i )  R (i )  i  noktasını  bulunduran  rotalar  ve  R (i ) ’nin  büyüklüğü  (cardinality)  N (i ) olmak  üzere,  öğrenme  derecesi LR (i ) = 1 N( i ) 

å

ΠR (i )  l 

{l rotasının puanı  ortalama rota puanı} denklemine  göre  güncellenmektedir.    Denklemde  ortalama  rota  puanı  sadece  i  noktasının  bulunduğu rotaların değil tüm rotaların ortalama puanıdır. 

Bu  yeni  sezgisel  yöntem  Tsiligirides’in  test  problemlerine  Fortran  yazılımı  ile  uygulanıp,  Tsiligirides’in  S  Algoritması  ve  Ağırlık  Merkezi  Sezgisel  Yöntemi  ile  karşılaştırılmıştır.    İlk  iki  problemde  T_max    kısıtları  küçük  olduğundan  fazla  rota  alternatifi  üretilememiştir.    Üç  problemde  toplam  49  durumun  32  tanesinde  S  Algoritmasına  üstünlük  sağlandığı  ve  diğerlerinde  eşit  sonuçlar  elde  edildiği,  Ağırlık  Merkezi  Sezgisel  Yöntemine  ise  26  kez  üstünlük  sağlanırken  1  kez  daha  kötü  sonuç  alındığı ve diğerlerinde eşitlik sağlandığı belirtilmiştir.

Keller  (1989)  Orienteering  Problemi’ni  Çok  Amaçlı  Satış  Problemi  (MVP)  olarak  tanımlamıştır.    MVP’de  amaç  mümkün  olduğu  kadar  çok  noktanın  ziyaret  edilmesiyle  ödül  miktarının  enbüyüklenmesi,  aynı  zamanda  da  noktalar  arasındaki  seyahatin  ceza  miktarını  (maliyet)  enküçüklemek  şeklinde  ifade  edilmektedir.    Yazar  1985  yılında  25  noktadan  oluşan  bir  probleme  uyguladığı  MVP  sezgisel  yöntemini  Tsiligirides’in  32,  21  ve  33  kontrol  noktalı  test  problemlerine  uygulayarak,  MVP  ile  Tsiligirides (1984) ve Golden, et al., (1987) arasında karşılaştırmalar yapmıştır. 

Literatürde  noktalar  arasındaki  seyahat  maliyeti,  zaman  veya  mesafe  ile  ifade  edilirken  bu  çalışmada  ceza  kavramı  kullanılmıştır.    MVP’de  ceza  miktarının  enküçüklenmesi  şeklindeki  amaç,  ceza  miktarının  belli  bir  maksimum  P_max    ceza  seviyesinde  kısıtlanması  suretiyle  problem  tek  amaçlı  hale  dönüştürülmektedir.  P_max    sıfır  olduğunda  sadece  depo  ödülü  kazanılabilmekte  ve  P_max    büyüdükçe  ödül  miktarı  artmaktadır.  P_max    tüm talep noktalarına ulaşılmasına yetecek büyüklükte ise problemin  TSP haline dönüşeceği belirtilmiştir. 

Yazarın  kullandığı  sezgisel  yöntem  P_max    kısıtı  içinde  rota  oluşturma  ve  rota  iyileştirme olmak üzere 2 temel aşamadan meydan gelmektedir.  Bu yöntemde öncelikle  d  depo,  j  ziyaret  edilecek  olası  noktalar  olmak  üzere, P _dj + P _jd £ P _max  şeklinde  ceza  kısıtı belirlenmekte ve bu kısıt ile P_max    içinde ziyaret edilemeyecek noktalar devre dışı  kalmaktadır.    Rota  oluşturma  sürecinde  kullanılan  birinci  aşama  ödül  ve  ceza  oranına  göre  noktaların  ziyaret  edilmesi  şeklindedir.    İkinci  aşamada  ise  stokastik  olarak  noktaların  ödül  miktarları  toplamı  1  sayısına  normalleştirilerek,  0  ile  1  arasında  rassal  seçilen  sayılara  göre  noktalar  ziyaret  edilmektedir.    Rota oluşturma  sürecinin  sonunda  ise  elde  edilen  rota  içinde  noktaların  sırası  değiştirilerek  ceza  miktarı  azaltılmaya  çalışılmaktadır. 

Rota iyileştirme sürecinde ise; ilk aşamada oluşturulan rotaya 1 nokta ekleme, 1  nokta eklerken 1 nokta çıkarma ve 1 nokta eklerken 2 nokta çıkarma şeklinde işlemler

uygulanmaktadır.    Bu  aşamada  ayrıca  çözüm  dışı  bir  noktalar  grubu  ile  çözümde  yer  alan bir noktalar grubunun yerleri değiştirilmektedir. 

Tsiligirides’in  32,  21  ve  33  kontrol  noktalı  problemlerine  Fortran  77  ile  MVP  sezgisel algoritması uygulanmış  ve önceki çalışmalardan  farklı olarak, sonuçlarda elde  edilen rotalar noktaların ziyaret ediliş sırasına göre verilmiştir.  3 problemden özellikle  33  noktalı  problemde  genel  amaçla  tasarlanan  MVP  algoritmasının  daha  iyi  sonuçlar  verdiği,  yine  genel  durumda  da  OP  için  tasarlanmış  diğer  algoritmalara  üstünlük  sağlandığı belirtilmiştir. 

Ramesh and Brown (1991) Orienteering Problemi’ni başlangıç noktalarının aynı  veya  farklı  olması  ve  ziyaret  edilen  noktaların  puan  kazandırmasa  da  tekrar  ziyaret  edilebilmesine  göre  dört  çeşide  ayırmışlar  ve  4  aşamalı  etkili  bir  sezgisel  yöntem  geliştirilerek  literatürdeki  çalışmalarla  karşılaştırmışlardır.    Ayrıca  diğer  çalışmalardan  farklı olarak bu  yöntem sadece kuş uçuşu  maliyet fonksiyonu  için değil, genel  maliyet  fonksiyonlarına yönelik olarak tasarlanmıştır. 

İlk aşama başlangıç rotasını oluşturmak için tek nokta ekleme ve 2 nokta ekleme  olmak  üzere,  2  tip  ekleme  işleminden  meydana  gelmektedir.    Tek  nokta  ekleme  işleminde; 

f  : rotaya eklenmemiş noktalar kümesi olmak üzere,

{

} 

denklemiyle ifade edilmekte olup, denklemden de anlaşılacağı üzere  t  noktası L_{( - m 1  )} ve 

)  (m 

L  arasına  eklenmektedir.    İki  nokta  ekleme  işleminde  ise  seçilen  nokta  çiftinin  arasındaki  seyahat  maliyetinin  bu  2  noktanın  puanları  toplamına  oranı  dikkate  alınmaktadır.  T_max    nedeniyle  2  nokta  ekleme  işleminin  yapılamayacağı  bir  duruma  ulaşılınca  tek  nokta  ekleme  işlemi  denenmekte,  herhangi  bir  ekleme  işlemi  yapılamayacak duruma erişilince ikinci aşamaya geçilmektedir. 

İkinci aşamada  ise,  elde edilen rotanın  maliyetini  düşürebilmek  için rota içinde  yer  değiştirme  işlemleri  uygulanmaktadır  (k­opt  algoritması,  k=2,3).    Ziyaret  edilen  2  noktanın  yerleri  değiştirilmekte,  eğer  2  nokta  değişimi  (2­opt)  ile  maliyet  azaltılabiliyorsa  maliyeti  daha  da  düşürmek  için  3  nokta  değişimi  (3­opt)  uygulanmaktadır.    Maliyeti  daha  düşük  bir  rota  oluşturulabilmişse  birinci  aşamaya  dönülerek tekrar nokta ekleme işlemi uygulanmakta, elde edilen en iyi durum ile üçüncü  aşamaya geçilmektedir. 

Üçüncü  aşamada  ikinci  aşama  sonucunda  elde  edilen  rotadan  toplam  puanda  minimum,  toplam  maliyette  ise  maksimum  azalma  sağlayacak  şekilde  bir  nokta  çıkarılarak,  kalan  noktalar  için  2  noktanın  yerlerinin  değiştirilmesi  suretiyle  (ikinci  aşamanın  bir  bölümü),  maliyeti  daha  da  düşürebilecek  bir  sıra  elde  edilmek  istenmektedir.  İkinci  aşamada  elde  edilen  rota  L (i )  ve i = 1 ,..., n olmak  üzere L( u )  rotadan çıkarıldığında yeni rotanın sıralaması L(1  ),..., L ( u - 1 ), L ( u + 1 ),..., L ( n ) şeklinde  elde  edilmektedir.    Bu  yeni  sıralamaya  2  nokta  arasında  uygulanan  yer  değiştirme  sonucunda,  L( u )  rotadan  çıkarılmadan  önceki  toplam  maliyetten  düşük  olması 

Üçüncü  aşamada  ikinci  aşama  sonucunda  elde  edilen  rotadan  toplam  puanda  minimum,  toplam  maliyette  ise  maksimum  azalma  sağlayacak  şekilde  bir  nokta  çıkarılarak,  kalan  noktalar  için  2  noktanın  yerlerinin  değiştirilmesi  suretiyle  (ikinci  aşamanın  bir  bölümü),  maliyeti  daha  da  düşürebilecek  bir  sıra  elde  edilmek  istenmektedir.  İkinci  aşamada  elde  edilen  rota  L (i )  ve i = 1 ,..., n olmak  üzere L( u )  rotadan çıkarıldığında yeni rotanın sıralaması L(1  ),..., L ( u - 1 ), L ( u + 1 ),..., L ( n ) şeklinde  elde  edilmektedir.    Bu  yeni  sıralamaya  2  nokta  arasında  uygulanan  yer  değiştirme  sonucunda,  L( u )  rotadan  çıkarılmadan  önceki  toplam  maliyetten  düşük  olması