• Sonuç bulunamadı

1.4. Kavramsal Çerçeve

1.4.2. Problem çözme stratejilerinin yorumlanmasında kullanılan

Soyut işlemler dönemine giren bireylerde kazanılması beklenen aynı zamanda ortaöğretim matematik programının en temel kavramlarından biri olan fonksiyonun yapı taşlarından biri birbirine göre değişen niceliklerin arasındaki değişim ilişkisi yani kovaryasyonel düşünmedir. Matematik alanyazınında sık sık birlikte ve ayrı ayrı kullanımlarına tanıklık ettiğimiz fonksiyonel düşünme ile kovaryasyonel düşünme arasında net olarak yapılan bir ayrım olmaması dikkat çekmektedir. Carlson (1998) ve Thompson’a (1994a) göre değişkenlerin birbirine göre değişimini tanımak ve bunları yorumlamak kovaryasyonel düşünme olarak kabul edilir ve kovaryasyonel muhakeme yapabilmek fonksiyon kavramının öğrenilmesinde bir önkoşuldur. Fonksiyonel düşünme ise değişen nicelikler arasındaki ilişkilerin genellenmesi, bu ilişkilerin sembol, tablo ya da grafikler gibi farklı temsillerle gösterilmesi ve fonksiyon kavramının bu çeşitli temsillerle analiz edilmesi olarak tanımlanır (Blanton ve Kaput, 2011). Chazan da (1996) kovaryasyonel düşünmeyi biri diğerine bağlı olarak değişen iki ya da daha fazla nicelik arasındaki fonksiyonel ilişkiyi görebilme olarak tanımlamaktadır. Becker ve Rivera (2005) ve Usiskin de (1998) kovaryasyonel olarak düşünüp genelleme yapabilen bir

19

bireyin, değişken kavramını sadece bir bilinmeyen olarak kullanmanın ötesinde fonksiyonel bir ilişki olarak görüp yorumlayabildiğini ifade etmişlerdir.

Kovaryasyonel düşünmede de fonksiyonel düşünmede de öğrencilerin ilişkileri görüp değerlendirmelerini analiz etmek için değişim kavramına nasıl odaklandıkları ön plana çıkmaktadır. Genel anlamda değişim, araştırmacılar tarafından değişen büyüklükler arasındaki matematiksel ilişkilerin anlaşılması olarak tanımlanmaktadır (Carlson, Larsen ve Lesh, 2003; Carlson ve Oehrtman, 2005; Kaput, 1994; Saldanha ve Thompson, 1998; Thompson, 1994a).

İki niceliğin eş zamanlı değişimini içeren durumları öğrencilerin yorumlayabilmeleri ve değişkenler arasında ilişki kurabilmeleri kovaryasyonel düşünme yeteneklerinin ortaya çıkması için önemli bir yere sahiptir (Carlson vd., 2002). Yapılan araştırmaların sonucunda, öğrencilerin iki niceliğin eş zamanlı değişimini içinde bulunduran durumları keşfetmeye başlarken, değişenlerden birinde olan değişimin diğerine nasıl bir etki edeceğine odaklanmaya ihtiyaç duymadıkları tespit edilmiştir (Carlson, 1998, Thompson, 1994a, 1994b). Kovaryasyonel düşünmede her bir girdi yani bağımsız değişken için belirli bir düzeni saptayıp ona karşılık gelen bir çıktı yani bağımlı değişkeni bulmaktan öte tüm girdi ve çıktıların eş zamanlı olarak nasıl değiştiğini düşünmek öğrencileri en çok zorlayan kısımlardan biri olarak ön plana çıkmaktadır (Carlson ve Oehrtman, 2005).

Carlson ve arkadaşları (2002) kovaryasyonel muhakeme düzeylerini zihinsel faaliyet ve davranışlarla birlikte belirtilen tablodaki gibi sınıflandırmışlardır.

Tablo 1.1. Kovaryasyon Çerçevesindeki Zihinsel Eylemler (Carlson ve ark., 2002, syf. 357) Zihinsel Eylem Zihinsel Eylemin

Açıklaması

Ortaya Koyulan Davranışlar Zihinsel Eylem 1 Bir değişkenin değerini diğer

değişkendeki değişimle birlikte koordine etme/ayarlama.

- Eksenleri iki değişkenin birbiriyle ilişkisine uygun olarak sözel biçimde ifade etme (y, x’teki değişimlerle birlikte değişiyor şeklinde)

Zihinsel Eylem 2 Bir değişkendeki değişimin yönünü diğer değişkendeki değişimle birlikte koordine etme.

- Artan bir doğrusal fonksiyon grafiği oluşturmak.

- Bağımsız değişkendeki değişime odaklanırken bağımlı değişkendeki değişimin yönünün farkında olduğunu sözel olarak ifade etme.

20

Tablo 1.1. (Devam) Kovaryasyon Çerçevesindeki Zihinsel Eylemler (Carlson ve ark., 2002, syf. 357) Zihinsel Eylem Zihinsel Eylemin

Açıklaması

Ortaya Koyulan Davranışlar Zihinsel Eylem 3 Bir değişkendeki değişim

miktarını diğer değişkendeki değişime göre koordine etme.

- Noktaları işaretlemek, sekant doğrularını yapılandırabilmek. - Bağımsız değişkendeki değişime odaklanırken bağımlı değişkendeki değişimin yönünün farkında olduğunu sözel olarak ifade etme.

Zihinsel Eylem 4 Fonksiyonun ortalama değişim oranını, girdilerdeki yani bağımsız değişkendeki değişimin artışıyla birlikte koordine etme.

- Tanım kümesi için birbirine bitişik sekant doğruları oluşturmak - Bağımsız değişkendeki artış miktarlarına odaklanırken, bağımsız değişkene göre bağımlı değişkendeki değişim oranının farkında olduğunu sözel olarak ifade etme.

Zihinsel Eylem 5 Fonksiyonun anlık değişim oranıyla, fonksiyonun tanım kümesinin tamamı için bağımsız değişkendeki sürekli değişimi koordine etme.

- Konveks veya konkavlık

değişimlerinin açık şekilde gösterimini içeren düzgün bir eğri yapılandırmak. - Fonksiyonun tanım kümesinin tamamında değişim oranındaki anlık değişimlerin farkında olduğunu sözel olarak ifade etme. (konveks veya konkavlığın yönü, büküm noktalarını belirtme gibi)

Carlson ve arkadaşlarına (2002) göre bireyler zihinsel eylemlerin tamamını kullanmaya ihtiyaç duymayacakları gibi, problemin durumuna göre farklı zihinsel eylem gerektiren davranışları da sergileyebilirler. Carlson ve arkadaşlarına (2002) göre aynı zamanda değişkenlerin birbirlerine göre nasıl değiştiğini anlamak ve bir değişkendeki değişim durumunu, diğer değişkenle birlikte koordine edebilmek pek çok farklı düşünme yolu içerebilmektedir. Bu sebeple de bu araştırmada öğrencilerin DNR çerçevesindeki problem çözme zihinsel eyleminin bir alt bileşeni olan düşünme yollarına ait problem çözme stratejileri Carlson ve diğerleri (2002) tarafından oluşturulan kovaryasyonel eylem düzeyleri kapsamında incelenmiştir.

Elde edilen veriler, Carlson vd.’nin (2002) kovaryasyonel ilişki üzerine oluşturduğu “Kovaryasyonel Çerçevenin Zihinsel Eylemleri (Mental Actions of the Covariation

21

Framework)” çerçevesi göz önüne alınarak öğrencilerin kovaryasyonel düşünme düzeyleri kategorize edilmeye çalışılmıştır. Carlson vd. (2002) yüksek başarılı analiz dersi üniversite öğrencileriyle türev konusu üzerine yaptığı çalışmasında 5 kovaryasyonel düzeyi belirlemiş ve katılımcıları bu düzeyler içerisinde incelemiştir. Bu çalışma ise 11.sınıf öğrencileriyle yapıldığından ve kullanılan bağlam farklı olduğundan 3 temel düzeye indirgenmiş ve ortaya çıkan düzey ve davranışlar tabloda gösterildiği gibi belirlenmeye çalışılmıştır.

Tablo 1.2. Kovaryasyonel Düşünme Düzeyleri

Kovaryasyonel Düşünme Düzeyleri Zihinsel Eylem 1 Düzeyi

Bir değişkenin varlığının

problemdeki diğer değişken ya da değişkenlerin varlığına etki edebileceğinin farkında olunması durumu

Davranışlar

 Bir veri setinin/değişkenlerin sonuçlarını diğer veriler/değişkenlerle birlikte düşünüp onlara olan etkisinin sözel ifadesini belirtme.

 İki değişkenin farklı değerlerinde ortaya çıkan sonuçları ilişkilendirme (temel olarak).

Zihinsel Eylem 2 Düzeyi Birden fazla değişkenin

aralarındaki değişimi yönleriyle birlikte koordine etme durumu

Davranışlar

 Bir veri setinin/değişkenlerin sonuçlarını diğer veriler/değişkenlerle birlikte düşünüp onlara olan etkisini yönüyle birlikte kullanabilme.  İki değişkenin farklı değerlerindeki ilişkiyi

anlamlı değerler için kullanma/ilişkilendirme.

Zihinsel Eylem 3 Düzeyi Bir değişkendeki değişim miktarını diğer

değişken/değişkenlere göre koordine etme durumu

Davranışlar

 Bağımsız değişkendeki değişimi yönüyle birlikte, belirli sınırlar belirleyip bağımsız değişkene olan etkisini sayı/sembol kullanarak ifade etme.

 Değişkenler için kullanılan sayı/sembolleri manipüle etme.

22 Problem Çözme Problem Çözme Stratejileri Problem Çözme Öğretimi Modeller veya Çoklu Temsiller Üst Biliş Problem Kurma

Kullanılan problemlerden ilki olan “futbol” sorusunda öğrencilerin bir takımın yaptığı maçların diğer takımlara olan etkisini ve bu etkinin yönünü kovaryasyonel muhakeme yaparak belirlemeleri beklenmiş, yaptıklarını nasıl doğruladıkları gözlenmiştir. Bu problemde bağlamın düşünme yolları ile ilişkisi incelenmiştir.

İkinci problem olan “tişört” sorusuna öğrencilerin bağımlı ve bağımsız değişkeni belirlemeleri, onların birbiriyle olan ilişkilerini ifade edebilmeleri ve bu bilgileri fonksiyonun parçalı yapısından faydalanıp belirli sınırlarla beraber düşünme yollarını birer öneri halinde sunmaları beklenmiştir.

İkinci görüşmenin ilk problemi olan “karo” sorusunda öğrencilerin görsel/sayısal stratejilerle değişken kullanıp bir genelleme yapabilmeleri, değişimdeki artış miktarlarını koordine edebilmeleri ve kullandığı stratejileri doğrulamaları hedeflenmiştir.

İkinci görüşmenin son probleminde ise öğrencilerin birden fazla değişken kullanabilmeleri ve onların birbirleriyle olan ilişkilerini kovaryasyonel muhakeme yaparak yönleriyle beraber ifade edebilmeleri hedeflenmiştir.