3. BULGULAR VE YORUM
3.1. Problem Çözme Stratejilerine Yönelik Bulgular
3.1.1. Celile’nin problem çözme stratejilerine yönelik bulgular
Katılımcılarla yapılan görüşmelerde Celile, problemleri ilk seferde anlamakta zorlanmış, çok kez okuduklarını tekrar etmiş ve işlemlere fazla zaman ayırdığı için odaklanma sorunu yaşamıştır. İki görüşmede de kendisine yöneltilen problemlerde Celile, işlem yapmadan sonucu tahmin etme yoluna gitmiş ancak yönlendirmelerle işlem boyutuna geçebilmiştir.
Celile: Okuyayım çünkü hiçbir şey anlamadım. (Gülüyor) (Soruyu içinden tekrar okur) Hııı. B ve… B, C ile berabere kalıyor. Hııı. E, D. Hıhı… O zaman D birinci şampiyon olmaz mı D?
…
Araştırmacı: İçinden tekrar okuyabilirsin ya da eğer anladım diyorsan ne anladığını söyleyebilirsin.
Celile: Bakayım. (Soruyu içinden okur) Hım… Sanki ajans matbaa daha iyi. …
52
Celile: Anlamadım, bir daha okuyorum o yüzden. (Soruyu tekrar içinden okumaya başlar.) Her bir terasın ortasına dikdörtgen bir bahçe… (Sessizlik) Dördüncü ve beşinci teras… Bunların her biri teras mı şimdi?
…
Araştırmacı: İçinden tekrar okuyabilirsin ya da eğer anladım diyorsan ne anladığını söyleyebilirsin.
Celile: Bakayım. (Soruyu içinden okur) Hımmm… Sanki ajans matbaa daha iyi.
Yapılan yönlendirmelerle Celile’nin farklı problemlerde farklı stratejilere yönelebildiği ortaya çıkmıştır. Katılımcı, futbol sorusunda bir diyagram oluşturma yoluna gitmiştir. Takımların aldığı puanları alt alta yazmış ve soruya dair yorumlarını bu diyagram üzerinden yapmıştır.
Görsel 3.1. Celile’nin futbol problemine ilk yaklaşımı
Tişört probleminde ise, Celile’nin cebirsel ifadeleri kullanmakta zorluk yaşadığı görülmüştür. Değişken ve değişkenler arasındaki ilişkileri cebirsel olarak göstermekte zorlandığı için kendisini ana dilde ifade etmeye çalıştığı da görülmüştür.
53
Araştırmanın bir başka problemi olan karo probleminde ise, katılımcının bir örüntü olduğunu sezdiği ve bu örüntünün nasıl devam edeceğini bulabilmek için görsel ve sayısal stratejilerden yararlanmaya çalıştığı görülmüştür.
Görsel 3.3. Celile’nin karo problemine görsel ve sayısal yaklaşımı
Görüşmelerin son problemi olan konser probleminde Celile, yine değişken kullanımında zorlandığı için kendisini ana dilde ifade etmiştir.
54
Celile’nin Problemlerde katılımcıların nicelikler arasındaki ilişkileri nasıl ifade ettiklerine yönelik verilen bilgileri ilk okuyuşta anlayamadığı ve bunu işlemlerine yansıtamadığı görülmüştür. Örneğin futbol sorusunda her bir takımın birbirleriyle birer maç yapması gerektiği cümlesini defalarca okumuş ancak bu bilgiyi yaptığı işlemlere yansıtmakta zorlanmıştır. Takımların birbirleriyle birer maç yaptığı bilgisi verilmesine rağmen sadece soruda geçen A, B ve D takımlarına odaklanmış diğer takımların da aynı sayıda maç yapacağını ilk aşamada düşünmemiştir.
Araştırmacı: Peki sen hangi takımların puanlarını buldun? Celile: Ben mi? A, B, D’nin.
Araştırmacı: Peki kaç takım var? Celile: Beş.
Araştırmacı: Diğerleri?
Celile: Diğerlerini vermemiş çünkü. (Gülüyor) B, yani tek tek şey yapmış ya. Araştırmacı: Vermemiş mi diğerlerini?
Benzer şekilde tişört probleminde de Celile’nin ilişkilere odaklanmadığı ve rastgele bir örnek seçerek problemin çözümüne dair örneğin sonucuna odaklandığı görülmüştür. Problemde ne düşündüğünü anlatırken de rastgele özel bir örnek seçerek giriş yapmış ve hangi matbaanın hesaplı olduğunu sembol ya da değişken kullanmadan yazarak ifade etmiştir.
Celile: Yani 75 den sonrakilere 2 TL’lik indirim yapınca da 8 oluyor ya. (Tekrar bir kısmını okur.) Mesela ajansta 100 tişörte kadar 12 mesela. Atıyorum 89 tişört basılacaksa çiçekte ne kadar 8 lira, ajansta 12 liraya denk geliyor. Yani çiçek daha uygun oluyor fiyatı.
Tişört probleminde nicelikler arasındaki ilişkilere odaklanmakta sorun yaşayan Celile, Problemdeki parçalı yapıyı pek de dikkate almadan tüm tişört sayılarında çiçek matbaanın daha uygun olacağını söylemiştir. Farklı tişört sayılarını düşünmesi için yönlendirildiğinde bunu her seferinde özel örnekler üzerinden deneyerek yapmış ve dört işlem yaparken zorlandığı görülmüştür. Yönlendirmelere rağmen sorunun parçalı yapısına, parçalı yapıda ortaya çıkması muhtemel nicelikler arasındaki ilişkilere yönelmemiş ve matematiksel olarak problemi ifade etmekte zorlanmış, mutlaka kesin bir tişört sayısı verilmesi gerektiğini belirtmiştir.
Araştırmacı: Şöyle söyleyeyim Celile. Biz hep deneyecek miyiz ne olduğunu bulmak için? Celile: Yani evet deneyebiliriz.
Araştırmacı: Denemeden yapamaz mıyız bu soruyu? Denemeden değerleri bir bütün halinde göreceğimiz bir şey oluşturamaz mıyız?
55
Celile: Yani denememiz lazım o şekilde şey yapamayız sağlamasını yapmalıyız sürekli. Araştırmacı: E bütün değerleri tek tek denememiz mümkün mü?
Celile: Değil de mesela kafadan bir oran belirleyeceksin mesela 75’e kadar diyor ya… Araştırmacı: 75’e kadar cümlesini biz matematikte ifade edebilir miyiz? Matematiksel bir sembolle ifade edebilir miyiz?
Celile: Hayır.
Araştırmacı: Edemez miyiz? Edebilsek bu soruyu gösterebilir miydik?
Celile: Yani yine aynısı olurdu ki kesin bir şey vermedikçe, sayı vermediği için. Belirsiz öğrenciler.
Araştırmacı: 75’e kadarı biz matematiksel olarak gösteremeyiz diyorsun. Celile: Evet.
Celile, problemin devamında net bir biçimde değişken kullanıp cebirsel ifade yazmaya yönlendirilse dahi kendini matematiksel sembollerle ifade etmekte zorlanmış, Seçtiği “x” değişkenini tişört sayısına bilinmeyen olarak atamış ancak bilinmeyeninin sınır değerlerinde ve neyi ifade ettiği konusunda emin olamadığından ilerlemekte zorlanmıştır.
Araştırmacı: 100 öğrenciye kadar. Peki Celile bu soruda biz, yine sen kendini ifade etmek için başka bir yöntem kullansan nasıl bir yöntem kullanırsın daha rahat edebileceğin? Celile: Yani… Yine rakamlar verirdim yani.
Araştırmacı: Hep denerdin yani? Celile: Evet, denerdim.
Araştırmacı: Denemeden yapamaz mıyız soruyu? Celile: Nasıl yapacağız ki? Yapamayız bence yani. Araştırmacı: Denklem kurabilir miyiz?
Celile: Denklem mi? Hıh. (Sessizlik) Araştırmacı: Kuramaz mıyız?
Celile: Yani şu an bilmem kurabilir miyiz? …
Araştırmacı: Mesela 75’ten az için çiçek matbaayı göstereceğiz? Celile: (Kağıda “x<75’ten azsa” yazar)
Araştırmacı: Hı, “x” kullandık öyle mi? “x” ne burada? Celile: Tişört sayısı.
Araştırmacı: Yaz, “x” tişört sayısı yaz. Celile: (“x= tişört sayısı” yazar.)
Araştırmacı: Peki. 75’ten azsa ne oluyormuş? Celile: 75 tişörte kadarmış. 10 liraymış. Araştırmacı: Yani?
56 Araştırmacı: “10x” ne?
Celile: “10x” tişört, ha. “x” yine 750 oluyor değil mi? Evet? 10 TL imiş. Araştırmacı: “x”, 750 mi oluyor?
Celile: Hayır, olmuyor. Çünkü öğrenci sayısını bilmiyoruz. Araştırmacı: Hı. Öğrenci sayısına biz ne dedik?
Celile: “x” dedik.
Araştırmacı: “x” dedik. Yani ne oluyormuş o? Celile: Yani 10 liraymış fiyatı.
Araştırmacı: Yani ne olur?
Celile: Yani “10x”se 100 lira. “12x” ise 120 lira.
Yönlendirmeler üzerine değişken kullandığında dahi niceliklerin neyi temsil ettiğini ifade etmekte Celile’nin zorlandığı ve sembolik manipülasyonu yapamadığı düşünülmüştür.
Görsel 3.5. Celile’nin tişört probleminde değişken kullanımı
İçerisinde bir örüntü barındıran ve katılımcıların görselleri ya da cebirsel ifadeleri kovaryasyonel olarak nasıl yorumladıklarına odaklanılan karo sorusunda Celile, problemi birkaç kez okumasına rağmen anlamakta zorlanmış, karoları tek tek saymış, görsellerin
57
yardımıyla şekli kafasında devam ettirmiş sonunda da dördüncü ve beşinci teraslardaki karo sayılarını yorumlamıştır.
Celile: Tamam, önce böyle yapmış. 3 burada, 4 ve 5. Her birinde birer tane daha artmış. Bir sonrakinde 6 tane olacak. 4, hım… Yani şuraya şey dersek 6. Beşinci 7 olacak. Kaç tane beyaz karo olduğunu bulunuz… Hı… Beşteyken 3 tane, altıdayken iki eksiği oluyor yani. Aynen. 6’dan 2 çıktı 4; buradan 2 eksiği de 5. 4 ve 5 gelecek yani siyah kısımlar. Zaten siyah karo; dördüncüde 5 tane siyah karo, beşincide de 5 tane siyah karo olacak.
Kendisinden daha büyük teraslardaki karo sayılarının nasıl bulunacağı istendiğinde aklına ilk olarak değişken kullanmak gelmiş ancak değişken olarak neyi belirlemesi gerektiğine karar verememiş ve ifadeler arasında ilişki kurmakta sorun yaşamıştır. Celile, bir cebirsel ifade yazmak için bu problemde neyi bilinmeyen olarak kullanması gerektiğini yönlendirmeler ve görseller yardımıyla görebilmiş ancak yine de genelleme adımına geçmekte zorlanmıştır.
Araştırmacı: Şeyi bir çizsene Celile, dördüncüyü. Celile: Dördüncüyü mü çizeyim? Tamam Araştırmacı: Evet, dördüncü terası.
Celile: Üç tane olacak. 1, 2, 3 tamam. (3 satır ve 6 sütundan oluşan bir teras çizer ve içerideki 4 karoyu siyaha boyar.) O zaman şurası olacak, 1, 2, 3, 4 tane tamam. Evet.
Araştırmacı: Şimdi ne bulduk?
Celile: Yani 4 tane siyah oldu, evet. Yanlış yazmamışım. Araştırmacı: Tamam. Yine 4 de sadece.
Celile: Tamam. Bir sonraki de o zaman 5 olur. Araştırmacı: Peki. 60. terasta kaç tane siyah karo olur? Celile: 60 tane olur o zaman.
Araştırmacı: Siyahta 60 tane? Celile: Aynen. Aynı gidiyor.
Karo probleminde Celile’nin yönlendirmeler üzerine değişken kullanarak bir genellemeye ulaşabildiği ve bunu satır-sütun sayıları yardımıyla yaptığı görülmüştür.
Araştırmacı: Peki acaba bunu genellemeye kalksak yani sadece 60 için değil de biz öyle bir şey diyeceğiz ki artık…
Celile: Bir kural, bir yöntem…
Araştırmacı: Ha sen diyeceksin ki bu terası soruyorsa böyle yaparım. Hep uygulayabileceğin bir yöntem.
Celile: Zaten siyah için hangisini soruyorsa aynısını vereceğim. Araştırmacı: Hıh. Yaz onu.
58
Celile: Hı. Siyah karo sayısı… (Siyah karo sayısı, kaçıncı teras sorduğu zamankine eşittir yazar.)
Araştırmacı: Peki beyaz için?
Celile: Beyaz için… Sonuçta sütun sayıları iki fazlası olacak. Mesela 170’i mi soruyor, ben 172 sütun olduğunu bileceğim orada. Yani “n+2” diyebilirim yani.
Araştırmacı: “n”nin ne olduğunu da yazarsan… Celile: “n” sütun benim için, “n+2”…
Araştırmacı: “n” sütun olursa “n+2” sütun olmaz ama öyle bir durum var. “n”, ne? “n+2” ne? Bir daha bak oraya.
Celile: “n” benim için teras. Araştırmacı: Teras.
Celile: Teras. “n+2” de sütun benim için. Altında da… Iıı… “n+2”… “n+2” çarpı çünkü ikisin de alacağım. Bir de şuradan çıkartmam gereken siyahlar var.
Araştırmacı: Ama beyazı arıyoruz şuan biz siyahı aramıyoruz. Siyahı sen söyledin zaten. Toplam karo sayısında değiliz de şuan beyazdayız. Siyahlar yok çıkartman gereken. Neden çıkartıyorsun siyahları?
Celile: Ama zaten burayı 62, burayı da 62 aldım ya burayı da artı 2 daha eklemem lazım. Araştırmacı: Yaz ne bulduğunu. (“d) beyazlar için – (n+2).2 +2” yazar.)
Celile: “n+2 çarpı 2 artı 2” daha ortak kısım için. Araştırmacı: Ne olur yani?
Celile: Yani kuralım oldu bir nevi.
Celile’nin, problemde önce bütün karoların sayısı, ardından beyaz karoların sayısı istendiğinde daha hızlı bir şekilde yanıt verip kendisini ifade edebilirken doğrudan beyaz karoların sayısını gösteren bir ifade istendiğinde zorlandığı görülmüştür.
Görsel 3.5. Celile’nin karo problemindeki genellemesi
Konser probleminde ise Celile, çözümüne bu kez değişken kullanarak başlamış ancak kullandığı değişkenin neyi temsil ettiğini ifade etmekte zorlandığı görülmüştür. Konsere gelmesi beklenen kişi sayısına “n” değişkenini atamıştır. Hedeflediği ücreti
59
“n+50 bin” olarak belirlemiş ve bunu bilgiyi kullanırken sorunlar yaşamıştır. Cebirsel ifadelerini ve onların yönlerini göstermekte zorlandığı görülmüştür.
Celile: Yani hedeflediği ücret… Ücrete ben dedim ki “n” dedim. Yani 150 bin hedefliyor. İlk soruda da mesela 100 bin hedefliyordu. Şimdi ona “n” deyince artı 50 bin daha var. Yani 50 diyorum şu anda.
Araştırmacı: Harcaması…
Celile: Evet, harcaması. Bu sabit çünkü…
Araştırmacı: Artı 50 bin mi olur eksi 50 bin mi olur? Celile: …
Araştırmacı: Yani 50 bin daha az mı kazanmalı çok mu kazanmalı? Celile: Çok kazanmalı. Artı o yüzden.
Araştırmacı: 50 bin daha çok kazanmalıysa mesela 100 bin hedefliyorsan… Celile: 150 kazanması lazım.
Araştırmacı: 50’yi ne yapıyorsun sen orada? Celile: Yani… Ekstra yapıyorum.
…
Celile: Yani… (sessizlik) Hedeflediği ücrete “n” dersem oradan bir şey çıkartamıyorum ya da ben göremiyorum…
Celile’nin problem çözme stratejilerini gösterir tablo aşağıda sunulmuştur. Tablo 3.1. Celile’nin Problem Çözme Stratejileri
Not Ortalaması: 75,252 Katılımcılar Arasındaki Not Ortalaması Sırası: 2
Tahminde Bulunma Diyagram Oluşturma Tablo Yapma
Ana Dili Kullanarak Kendini İfade Etme
Görsellerden Faydalanıp Genelleme Yapma
Tek Değişken Kullanıp Cebirsel
İfade Yazma
Tablo 3,1’den de anlaşıldığı gibi Celile’nin klinik görüşmeler boyunca tahminde bulunma, diyagram oluşturma, kendini ana dilini kullanarak ifade etme, görsellerdeki artışlardan yararlanıp genelleme yapma ve tek değişkeni kullanıp cebirsel ifade yazma
60
problem çözme stratejilerini kullandığı görülmüştür. Celile’nin görüşmelerde verdiği cevaplardan; matematiksel işlemlerde, nicelikler arasındaki ilişkileri görme ve bunları ifade etme durumlarında, matematiksel sembol veya değişken kullanımlarında, birden fazla değişken kullanması gerektiğinde ve kullandığı değişkenlerin ne anlam taşıdığının farkında olma noktalarında sorunlar yaşadığı gözlenmiştir. Fonksiyon kavramına dayanan niceliklerin birbirlerini nasıl etkilediğini odaklanmadan problemlere sonuç odaklı yaklaştığı düşünülmüştür.