DNR teorik çerçevesi

incelemek; katılımcıların hangi stratejiyi neden seçtiğini, seçtiği stratejiyi nasıl doğruladığını ve matematiksel problemlerin ilişkili olduğu kavramlara bakış açısını anlayabilmek için önemli görülmektedir. Onların problem çözme sürecinde nerede bulunduğunu belirleyebilmek, bu konumun geliştirebilmesi için anlamlı veriler sunabilir. Bu verileri düşünme yollarıyla ilişkilendirmede de problem çözme sürecinde DNR teorik çerçevesi araştırmada kullanılmıştır.

1.4.1. DNR teorik çerçevesi

DNR temelli matematik öğretimi ilk kez Harel tarafından 2001 yılında ortaya atılmıştır. DNR sistem matematikte; öğrenme, öğretme ve program boyutlarına odaklanan kavramsal bir çerçevedir.

DNR bir çerçeve olarak üç kategoride düşünülebilir.

1. Öncüller (DNR kavramının altında yatan açık varsayımlardır.) 2. Kavramlar (DNR belirleyicileri olarak adlandırılır.)

3.Öğretim İlkeleri (Öğretim yöntemlerinin öğrenme üzerindeki potansiyel etkisidir.)

İlk kategori olan öncüller kategorisi modelin altında yatan varsayımlar olup; matematiksel bilgi, öğrenme, öğretme ve ontoloji olmak üzere kendi içinde de dört kategoriye ayrılmaktadır. İkinci kategori bu öncüllere bağlı olarak tanımlanmış düşünme yolları ve anlama yolları olmak üzere ikiye ayrılan kavramlardır. Üçüncü kategori olan öğretimsel prensipler ise DNR öncüllerinin zorunlu kıldığı, deneysel çalışmalarla desteklenmiş ve DNR kavramları arasındaki ilişkileri ifade eden iddialardır (Harel, 2008a).

DNR, ismini Harel’in önerdiği kavramsal çerçevedeki, ikililik (duality), gereklilik (necessity) ve tekrarlı muhakeme (repeated reasoning) öğretim prensiplerinin ilk harflerinin birleştirilmesinden alır.

İkililik prensibi öğrencinin ne ürettiğini ve bu süreçte kullandığı zihinsel eylemlerle arasındaki bağı (anlama ve düşünme becerilerini) sorgular. Öğrencinin formülü görmeden önce ne düşündüğü, ondan ne anladığı ve formülü gördükten sonra ne hissettiği gibi zihinsel eylemlerinin bir deneysel kanıt şeması olarak incelenmesi bu süreçte önemli bir yer tutar (Harel, 2008a). İkililik prensibinde öğrenciler düşünme yollarını anlam üretmeye çalıştırarak geliştirirler ve ürettikleri anlamanın yolları sahip oldukları düşünme biçimleri tarafından belirlenir. Anlama yolu düşünme yolunun gelişmesine, düşünme

15

yolu da anlama yolunun zenginleşmesine yol açar. Bu süreç birbirine bağlı olarak devam eder. Sonuç olarak düşünme ve anlama yolları ikililik prensibinin ortaya çıkmasına sebep olur (Harel, 2008a).

İhtiyaç prensibinde amaç öğrencinin ihtiyacı olan, ona yakın olan durumu ona gösterebilmektedir. Bilgi, gerçek bir hayat durumundan uzaklaştıkça öğrenci için yabancı kalmakta ve ihtiyaca yönelik olmamaktadır. Gerçek hayata yakın olmayan problemlerin öğrencilerin ilgisini çekmediğini öğretmenler çoğu zaman fark etmemektedir. Okullarda genellikle öğretmen ve öğrenci için en ortak bulunan (rutin) problemler çözülmektedir. Yani öğretmen için de öğrenci için de yaygın denilebilecek sorunlar üzerinde durulmaktadır. Ancak öğretmen için yabancı olan bir problemi öğrenci getirdiğinde ya da öğrenci için yabancı olan bir problemi öğretmen sorduğunda, son olarak da her ikisi için de yabancı bir problemle karşılaşıldığında zorlanılmaktadır. Çünkü o ana kadar bu denenmemiş bir yöntemdir. Oysaki farklı problemler üzerine daha önceden düşünüp bunun üzerine çalışılmış olsa düşünme ve anlama yolları da zenginleşecek ve iki taraf da yeni bakış açıları kazanmış olacaktır (Harel, 2008a). Sonuç olarak öğrenci öğrenmelerinde öğrencinin ihtiyacına göre öğretim yapmak gerekir. Ancak bu ihtiyaç ekonomik ve sosyal ihtiyaç değil zihinsel ihtiyaç olmalıdır.

Tekrarlı muhakeme prensibinde öğrencinin arzu edilen düşünme ve anlama yollarına nasıl ulaşabileceği tartışılır. Burada ön plana çıkan iki temel cevap deneyimler ve pratikler olmaktadır. Bireye bu süreçte pratiklerden yola çıkarak deneyim kazandırmak amaçlanmakta ve pratiklerin yeniden muhakeme edilmesiyle düşünme ve anlama yollarının geliştirilmesi düşünülmektedir (Harel, 2008a). Eğer anlama ve düşünme yolları gerçekten öğrencinin zihinsel ihtiyacına göre düzenlenebilirse öğrenci de bilgiyi kategorize edebilecek ve çok daha kalıcı bilgilere ulaşılabilecektir (Harel, 2007). Öğrenci tekrarlı muhakeme sürecinde yaptığı şeyi ifade edebilmeli ve sorgulama sürecine problem çözme esnasında mutlaka girmelidir. Öğrenciye sorgulamayı öğretmek onu sadece matematik alanında geliştirmeyip hayata dair farklı bir bakış açısı kazanmasına da yardımcı olmaktadır (Harel, 2008a).

DNR kavramsal çerçevesinin belirleyicileri zihinsel eylem (mental act), anlama yolları (ways of understanding) ve düşünme yolları (ways of thinking) olarak adlandırılan üçlemedir. Harel’e göre zihinsel eylem zihnimizde gerçekleşen eylemleri temsil eden terimdir (Harel, 2007). DNR temelli öğretime göre öğrencilerin zihinsel eylemlere eşit şekilde ihtiyaçları vardır. Zihinsel eylem yaşamın farklı yönlerinde yorumlama, problem

16

çözme, açıklama, genelleme, araştırma, kanıtlama, ilişkilendirme ve sınıflama gibi ortak kullanılan becerilerin topluluğudur. Anlama yolları, zihinsel eylemin sonucu olan üründür, buna karşılık düşünme yolları ise zihinsel eylemin tekrarlı gözlenmesi ile elde edilen eylemin karakteristiğini gösteren birtakım kalıcı özelliklerdir (Harel, 2008a). Bireylerin düşünme yollarını anlamlandırmak için öncelikle ilişkili olduğu zihinsel eylemi belirlemek gerekir. Bu çalışmada problem çözme, zihinsel eylem olarak kabul edilecek olup düşünme yolları bu eylem üzerinden tartışılmıştır.

Şekil 1.7. Zihinsel eylem, anlama yolları ve düşünme yolları üçlemesi ile düşünme yollarının alt kategorileri (Harel, 2008a)

Bir matematik programının ve öğretiminin matematiksel bütünlüğünün sağlanması için anlama yollarını ve düşünme yollarını içinde barındırması gerekir. Düşünme yolları üç alt kümeye ayrılır ve bunlar; bireylerin problem çözme yaklaşımları, kanıt şemaları ve matematikle ilgili inançlarıdır. Bu araştırmada düşünme yollarını oluşturan bu üç temel unsur üzerinde durulmuştur.

Zihinsel Eylem Ürün Anlama Yolları Bireye Özgü Düşünme Yolları Problem Çözme Yaklaşımları Kanıt Şemaları Matematik Hakkında İnanışlar

17

Problem çözme yaklaşımları; yorumlama ve genellemenin yanı sıra çıkarım yapma, düşünceyi yapılandırma, sembolleştirme ve ispat etmeyi de içinde bulundurur. Problem çözme düşüncesi çözüme tek başına ulaşma düşünüldüğünde bir anlama becerisidir ancak diğer taraftan daha basit bir problem arama kısmı ele alındığında da bir düşünme becerisidir (Harel, 2007).

Kanıt şemaları; kanıt merkezli düşünmeyi problem çözme sürecinde içinde bulunduran matematiksel bir aktivitedir (Harel, 2007). Kanıt merkezli düşünmede bir iddia ile ilgili birey kendi şüphelerini ortadan kaldırmaya çalışabileceği gibi başkalarının şüphelerini de ortadan kaldırmaya çalışabilir (Harel ve Sowder, 1998). Bunlardan yola çıkılırsa bu iki davranış biçimi de bir karakteristik özelliktir ve bu da kanıt şemalarının bir düşünme yolu olduğunu ortaya koyar (Harel, 2007).

Harel ve Sowder (1998) kanıtlama zihinsel eylemi üzerine yaptıkları çalışmanın sonucunda kanıtlama, kanıt ve kanıt şemaları kavramlarını içeren bir üçleme ortaya çıkarmışlardır. Bu üçlemede kanıtlama eylemi sonucunda ortaya çıkan bilişsel ürün kanıt, kanıtlama eyleminin taşıdığı bilişsel özelikler ise kanıt şeması olarak isimlendirilmiştir. Bu çalışmada, kanıtlama eyleminden daha çok kanıtlama şemaları (öğrencinin sonucu doğrulama yolları) üzerinde durulacaktır. Bireyin sonucu elde ederken ya da elde ettikten sonra çözümünü savunması, kullandığı problem çözme yaklaşımının altında yatanlar, verilenlerden hedefe gitme sürecindeki davranışlarının nedenleri üzerinde durulacaktır.

Harel ve Sowder 1998 yılında kanıt şemaları üzerine yaptıkları çalışmada katılımcıları üç kategoriye ayırmış ve bunları aşağıdaki gibi isimlendirmişlerdir.

- Dışsal Kanıt Şeması, - Deneysel Kanıt Şeması, - Analitik Kanıt Şeması

Dışsal kanıt şeması; öğrencilerin kendilerini ya da başkalarını ikna etmek için dış kaynakları kullanması şeklinde açıklanmaktadır.

Deneysel kanıt şemasında sınıflandırılan öğrenciler doğrudan ölçüm miktarlarını, sayısal hesaplamaları, örnek ya da figürleri veya belirli sayıları cebirsel ifadelerde yerine koyarak matematiksel ifadeleri deneme-yanılma yöntemiyle doğrularlar (Harel ve Sowder, 1998).

Analitik kanıt şemasına sahip öğrencilerin varsayımları mantıksal çıkarımlara dayanmaktadır (Harel ve Sowder, 1998). Bu şemadaki doğrulamalar ve argümanlar formal matematiksel kanıt olarak sınıflandırılabilir. Problem çözme ve kanıt temelli

18

düşünme matematiksel bir düşünme yoludur ve matematik yapmaya yararlar ancak bunları yapmak için matematikle ilgili bir bakış açısına sahip olmak gereklidir. İşte bu bakış açıları da bireylerin matematik hakkındaki inançlarını gözler önüne serer (Harel, 2007).

Matematikle ilgili inançlar, bireyin matematiğe olan bakış açısını içerir. Yani matematiği nasıl gördüğü, ona ne ifade ettiği, oradaki bilginin ne olduğunu ya da ne olmadığını, nasıl ortaya çıktığını düşünmesi ve bunu ifade etmesi, göstermesi bireyin inançlarıyla ilgili fikir verir (Harel, 2008a). Matematiğin entelektüel ya da pratik yararları hakkındaki bireyin düşünceleri, yani bireyin matematiğe bakış açısı onun matematik hakkındaki inançlarını oluşturur.

Bu araştırmada, DNR çerçevesinde öğrencilerin düşünme yollarının bilişsel bir bileşeni olan problem çözme stratejileri, çalışma için seçilen problemler fonksiyon kavramına dayandığından öğrencilerin kovaryasyonel muhakeme yapma becerileri olarak düşünülmüştür.

1.4.2. Problem çözme stratejilerinin yorumlanmasında kullanılan teorik