Panel Veri Modellerinin Tahmini

Sabit etkiler ve rassal etkiler modellerinin tahmini çeĢitli yöntemler aracılığıyla yapılabilmektedir. Ancak bu yöntemlerden bir kısmı diğerlerine nazaran daha yaygın kullanılmaktadır. Sabit etkiler modelinin tahmininde Gölge DeğiĢkenli En Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Dummy Variable) sıklıkla uygulanmaktadır. Modelde birim sayısı fazla ise serbestlik derecesi kaybı da fazla olacağından diğer bir yöntem olan Grup Ġçi Tahmin Yöntemi (Within Estimator) de sıkça kullanılmaktadır (Demirhan, 2009: 83). Rassal etkiler modellerin tahmininde ise GenelleĢtirilmiĢ En Küçük Kareler Yöntemi (Generalized Least Squares Estimation) ve En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation) tercih edilmektedir (Hsiao, 2003: 35; GüriĢ, 2015: 26; Longhi ve Nandi, 2015: 186; Tatoğlu, 2016: 103).

2.8.4.1. Gölge değiĢkenli en küçük kareler yöntemi (GDEKK)

Sabit etkiler modelinde birim etkisini açıklamada sabit katsayılar kullanılmaktadır. Modelde, sabit katsayının birimden birime değiĢtiği varsayılmaktadır. Dolayısıyla, her birim için ayrı sabit parametre veya sabit katsayı tahmininde bulunmak üzere model kukla değiĢken yardımıyla tahmin edilmektedir. Bu nedenle panel veri analizlerinde yalnızca sabit katsayının birimden birime değiĢtiği varsayımı altında “Kovaryans Modeli” ya da “Kukla DeğiĢkenli Model” kullanılmaktadır (Hsiao, 2003: 31). Farklı birimler için farklı sabit katsayılar içeren bu tarz modellerin tahmini kukla değiĢkenli en küçük kareler yöntemi (LSDV) ile gerçekleĢtirilmektedir.

i=1,…,N; t=1,…,T (2.13) modelinden hareketle sabit etkiler modeli için;

̅ ; varsayımı bulunmaktadır.

Sabit katsayının modele ilave edilmediği durumlarda N sayıda kukla değiĢken kullanılmaktadır. Diğer bir ifadeyle, panel veri birim sayısının N olduğu varsayıldığında birim sayısından bir eksik yani (N-1) sayıda kukla değiĢken

kullanılmaktır. Bunun sebebi ise kukla değiĢken tuzağına düĢmemek Ģeklinde açıklanmaktadır.

GDEEK yönteminde her birim için ayrı sabit parametre hesaplanması, serbestlik derecesini azaltmaktadır. Bu nedenle, birim sayısının çok fazla olmadığı panel veri setlerinde daha etkili olmaktadır (Hsiao, 2003: 32).

(2.13) numaralı genel panel veri modeli

(2.14)

Ģeklindeki vektör formunda da yazılabilmektedir. Burada, birim etkiyi; sabit parametreyi de içeren parametre vektörünü [ ̅ iĢaret etmektedir. Hata terimi sıfır ortalamaya sahip, bağımsız dağılımlı, sabit varyansı olan, normal dağılan bir değiĢken olarak varsayılmaktadır. Modelde, birim etki kukla değiĢken olarak kabul edildiğinde (2.15) halini almaktadır (Hsiao, 2014: 34):

(2.15)

Uygulaması kolay olan yöntemde birim sayısı arttıkça sabit katsayılar da bir o kadar artmaktadır. Bu durum, modelde tek baĢına sabit katsayılara bakarak değerlendirme yapmayı engelleyebilmektedir. Ayrıca modelde gölge değiĢkenlerin yer alması ve sabit varyans varsayımı nedeniyle oluĢabilecek sapmaların kontrolü sağlanabilmektedir (GüriĢ, 2015: 27).

2.8.4.2. Grup içi tahmin yöntemi

Birim sayısının fazla olduğu sabit etkili panel veri setleri en küçük kareler yöntemi (EKK) ile tahmin edildiğinde modele çok sayıda kukla değiĢken ilave edilmektedir. Bu durum hem sonuçların daha zor yorumlanmasına hem de serbestlik derecesindeki kaybın fazla olmasına neden olmaktadır.

Modelde amaç, eğim parametrelerinin tahmini ise bu durumda her bir birim için zaman serisi gözlemlerinden birim ortalamaları çıkarılmaktadır. Bu sayede değiĢkenlerin dönüĢümü sağlanmaktadır. Yöntemin neyi içerdiğini görmek için, (2.16) numaralı model ile (2.17) numaralı modelin farkından türetilen (2.18)

numaralı modeli incelemek gerekmektedir (Wooldridge, 2015: 435). Panel veri modeli;

i=1,…,N; t=1,…,T (2.16) Ģeklinde iken, zaman boyutuna göre ortalamalar alındığında aĢağıdaki hali almaktadır:

̅ ̅ ̅ (2.17)

Böylece (2.18) numaralı eĢitlik elde edilmektedir:

̅ ̅ (2.18) Görüldüğü gibi, parametrelerin tahmini için açıklayıcı değiĢkenlerin grup içi aritmetik ortalamaları hesaplanmakta ve daha sonra bu hesaplanan aritmetik ortalamalara göre farklar alınmaktadır. Yöntemde bağımsız değiĢkenlerdeki grup içi değiĢimler, bağımlı değiĢkenlerdeki grup içi değiĢimleri açıklamaktadır. (2.18) numaralı eĢitlikte ve , zamana göre ortalamaları eĢit olduğundan modelden düĢmektedir. Yani ve oluĢturulan yeni modelde yer almamaktadır. Bu dönüĢüme grup içi dönüĢüm denilmektedir. Bu dönüĢüm, her bir birim için modele kukla değiĢkenler eklemek zorunda kalmadan modeli tahmin etmemize olanak tanımaktadır (Longhi ve Nandi, 2015: 186).

Dolayısıyla, burada dönüĢümün önemi oluĢturulan modelde birim etkinin elimine edilmiĢ olmasının ve sabit katsayıya modelde yer verilmemesinin altında yatmaktadır. Birimlerin zamana göre ortalamadan farklarının dönüĢtürüldüğü bu seriler zaman-azaltılmıĢ seriler (time-demeaned) olarak da ifade edilmektedir. Modelin EKK tahmincileri sabit etki tahmincisi ya da grup içi tahmincisi olarak da adlandırılmaktadır (Wooldridge, 2015: 435).

2.8.4.3. GenelleĢtirilmiĢ en küçük kareler yöntemi (GEKK)

Tesadüfi etkiler modeli parametrelerinin tahmininde koĢullu varyansların sabit ve sıfır olması varsayımının karĢılanmadığı durumlarda kullanılmaktadır. KoĢullu ve koĢulsuz varyans matrisleri her zaman birbirine eĢit olmamaktadır veya eĢit olsalar dahi bazı durumlarda koĢulsuz varyans matrisi sabit olmamaktadır.

Hata terimlerinin varyansı bu nedenle değiĢmektedir ve hata terimleri arasında korelasyon bulunmaktadır (Tatoğlu, 2016: 99).

GEKK‟nin tesadüfi etkiler modeli parametrelerinin tahmininde kullanılması hata terimlerine ait varyans-kovaryans matrisini önemli hale getirmektedir. Çünkü GEKK yönteminin uygulanabilmesi için varyans-kovaryans matrisinin (Ω) değerlerinin tahmin edilmesi gerekmektedir. Hata terimlerinin varyans-kovaryans matrisleri oluĢturulduktan sonra GEKK uygulanması ile tahminciler hesaplanmaktadır. Rassal etkili panel veri modelinin genelleĢtirilmiĢ en küçük kareler tahmincileri matrislerle eĢitlik (2.19)‟daki gibi elde edilmektedir (GüriĢ, 2015: 30).

̂ (2.19)

Söz konusu tahmincilerin varyansları da matrislerle eĢitlik (2.20)‟deki gibi elde edilmektedir.

̂ (2.20)

GEKK, tahminde yaygın olarak kullanılan yöntemlerin baĢında geldiğinden GEKK tahmincisi tesadüfi etkiler tahmincisi olarak da kabul edilmektedir.

2.8.4.4. En çok olabilirlik yöntemi

Tesadüfi etkiler modelinin tahmini için en çok olabilirlik yöntemi de kullanılabilmektedir. En çok olabilirlik yönteminde ve ‟lerin yani birim etkilerin ve hata terimlerinin tesadüfü ve normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında olabilirlik fonksiyonu oluĢturularak tahmincilerin elde edilmesi amaçlanmaktadır. Logaritmik olasılık fonksiyonu (Hsiao, 2003: 39);

| | ∑ ( ) ∑

∑ ̅ ̅ (2.21) Ģeklinde gösterilmektedir. Burada, hata terimlerinin varyansı (Ω);

| | Ģeklinde belirtilmektedir.

̅ parametrelerinin en çok olabilirlik tahmincileri, olabilirlik fonksiyonunda bu parametrelere göre türevlerinin alınıp sıfıra eĢitlenmesi ile bulunmaktadır. Fonksiyonu maksimum yapan ̅ değerleri, en çok olabilirlik tahmincileri olmaktadır.

N‟nin sabit olduğu, T‟nin ise sonsuza gittiği durumda en çok olabilirlik yöntemi ile „nin tutarlı tahmincileri elde edilmektedir. Fakat için en çok olabilirlik tahmincisi tutarsız olmaktadır. Tersine bir durumda, yani T‟nin sabit, N‟nin ise sonsuza gittiği durumda ise tutarlı olmaktadır (GüriĢ, 2015: 34).