Doğrusal Panel Veri Modelleri

Panel veriler zaman serisi ve yatay kesit verilerinin birleĢiminden oluĢmaktadır. Bu yüzden, modelde yer alan değiĢkenler zaman boyutu nedeni ile zamana göre, yatay kesit boyutu ile de birimlere göre değiĢimi göstermektedir. Bu sebeple panel veri modelleri zaman ve birim boyutlarını içerecek Ģekilde oluĢturulmaktadır (Tüzüntürk, 2007: 3). Genel olarak doğrusal panel veri modeli Ģöyle ifade edilmektedir:

i=1,…,N; t=1,…,T (2.1) Veya kısaca; ∑ _{i=1,…,N; t=1,…,T (2.2)} Ģeklinde gösterilmektedir.

Burada i yatay kesit boyutunu, t ise zaman boyutunu göstermektedir. , sabit terimi; , kx1 boyutlu parametreler vektörünü; , k adet bağımsız değiĢkenin t zamanında i. birim değerini; , bağımlı değiĢkenin t zamanında i. birim değerini; , ise hata terimini göstermektedir.

Panel veri analizinde kullanılan bireyler, Ģirketler, ülkeler gibi farklı birimler farklı faktörlerden etkilenebilmektedir. Dolayısıyla bu birimler genelde heterojen bir görünüm sergilemektedir. Bu tür bir heterojenliği göz ardı etmek, parametrelerin tutarsız veya anlamsız tahminlerine yol açabilmektedir. Bu durumda sabit ve/veya eğim parametrelerinin heterojen olduğunu varsayarak modelin tahmin edilmesi gerekmektedir (Hsiao, 2003: 8).

Panel veri modellerinde parametreler, her zaman döneminde ve her birim için farklı değerler almaktadır. Bu durum modelin tahminini güçleĢtirdiğinden, model tahmin edilmeden önce, parametrelerin her birim ve/veya zaman için değerler almasına göre birtakım varsayımlar yapılmaktadır. Farklı varsayımlarla elde edilen bu modeller, “Sabit Etkili” ve “Rassal Etkili” modeller adını almaktadır. Her iki modelde de, hatalarının tüm zaman dönemlerinde ve tüm birimler için özdeĢ ve bağımsız normal dağıldığı varsayılmaktadır (Pazarlıoğlu ve Gürler, 2007: 37).

Panel veri modelleri, parametrelerin birim ve/veya zamana göre değer almasına bağlı olarak sınıflandırılmaktadır (Hsiao, 2003: 11; Tatoğlu, 2016: 38):

1. Eğim ve sabit katsayılarının birimlere ve zamana göre sabit olduğu yani bütün gözlemlerin homojen olduğu modeller:

∑

i=1,…,N; t=1,…,T (2.3)

Bu tür modeller “Klasik Model” olarak bilinmektedir.

2. Eğim katsayısının sabit, sabit katsayının birimlere göre değiĢken olduğu modeller:

∑

_{i=1,…,N; t=1,…,T (2.4)}

Bu tür modeller “Birim Etkiler Modeli” olarak adlandırılmaktadır. EĢitlik (2.4)‟de yer alan model yerine, (2.3)‟deki gibi bir modelin kullanılması durumunda, heterojenlik dikkate alınmayacağından sapmalı parametre tahminlerine sebep olunmaktadır.

3. Eğim katsayısının sabit, sabit katsayının birimlere ve zamana göre değiĢken olduğu modeller:

∑

_{i=1,…,N; t=1,…,T (2.5)}

Birim ve zaman etkisini birlikte içermeleri nedeniyle bu tür modeller “Birim ve Zaman Etkileri Modeli” olarak adlandırılmaktadır.

4. Tüm katsayıların birimlere göre değiĢtiği modeller:

∑

_{i=1,…,N; t=1,…,T (2.6)}

5. Tüm katsayıların birimlere ve zamana göre değiĢtiği modeller:

∑

_{i=1,…,N; t=1,…,T (2.7)}

(2.4) ve (2.5) numaralı modellerde eğim katsayıları sabit iken sabit katsayıları hem birime göre hem de birime ve zamana göre değiĢkenlik göstermektedir. “DeğiĢken Sabit Katsayılı Modeller” adı verilen bu tür modeller panel veri analizinde en çok tercih edilen modeller olarak bilinmektedir. Çünkü bu modeller, parametrelerin her bir zaman döneminde tüm birimler için ortak değerleri kabul ettiği varsayımına basit ve etkin çözümler sunmaktadır (Hsiao, 2003: 12).

Ayrıca, (2.4) modeli yalnızca birimlere göre değiĢkenlik sergilediği için “Tek Yönlü Model”, (2.5) modeli ise hem birimlere hem de zamana göre değiĢkenlik sergilediği için “Ġki Yönlü Model” olarak adlandırılmaktadır (Tatoğlu, 2016: 40).

2.8.3.2. Sabit etkiler modeli (Sabit etkili model)

Panel veri birçok birimden oluĢmaktadır. Bu birimlerin her birinin kendine özgü karakteristikleri bulunmaktadır. Birimlerin karakteristiklerini yansıtan değiĢkenlere birim etki denilmektedir. Yani birim etki, modelde yatay kesitte yer

alan birimlerin etkisine denmektedir. Zaman boyutunda yer alan dönemlerin etkisi ise zaman etkisi olmaktadır (GüriĢ, 2015: 4). Dolayısıyla, birim etki sadece birimlere göre değiĢmekte ve zamana göre sabit kalmaktadır. Yatay kesit boyunda yer alan bireyler için kiĢisel özellikler veya Ģirketler için yönetici kalitesi bu duruma örnek olarak sunulabilmektedir.

Sabit etkiler modelinde katsayılar birimlere, zamana veya birimlere ve zamana göre değiĢmektedir. Modelde, verilerdeki değiĢimden etkilenen sabit katsayı olmaktadır. Yani, sabit etkiler modelinde birimlere göre değiĢiklikler sabit katsayıda farklılıklar yaratmaktadır. Sabit katsayı her bir yatay kesit birim için farklı değerler almaktadır. Dolayısıyla, birimler arası farklılıklar sabit terimdeki farklılıklar ile belirtilmektedir. Diğer bir ifadeyle, eğim parametreleri tüm yatay kesit birimler için aynı ) iken, sabit parametre birim etki içermesi sebebiyle birimden birime değiĢiklik sergilemektedir. Sabit katsayıdaki farklılıklar birimler arası farklılıkları belirttiğinden, sabit katsayı, modelde sabit bir değiĢken gibi düĢünülmektedir. Ayrıca, bu modellerde bağımsız değiĢkenler ile hata terimi arasında korelasyon bulunmadığı varsayımı yapılmaktadır. Ancak bunun yanında, birim etki ile bağımsız değiĢkenler arasında korelasyona izin verilmektedir (Tatoğlu, 2016: 80).

K değiĢkenli bir panel veri modeli genel olarak (2.8) numaralı eĢitlikte belirtildiği gibi aĢağıdaki Ģekilde gösterilmektedir;

i=1,…,N; t=1,…,T (2.8) Sabit etkiler modelinde ise yatay kesit birimleri arasındaki farklar sabit terimdeki farklılıklarla açıklanmakta ve model kukla değiĢken yardımıyla tahmin edilmektedir. Bu nedenle sabit etkiler modeli, kukla değiĢken modeli olarak da ifade edilebilmektedir (ÇalıĢkan, 2009: 125). Sabit etkiler modelinde;

̅ ;

olduğu varsayılmaktadır. Bu durumda eĢitlik aĢağıdaki gibi olmaktadır (Pazarlıoğlu ve Gürler, 2007: 38):

Burada, , birim etkiyi de içeren sabit terimi; , zamana göre sabit olan birim etkileri; , ise hata terimini belirtmektedir. Sabit etkili modelde verilerdeki değiĢimden eğim katsayısı etkilenmemektedir. Birim etkiyi içermesi sebebi ile sadece sabit parametre değiĢmekte; zamana göre sabit iken, birimlere göre farklılıklar göstermektedir.

Sonuç olarak, modelde gözlenemeyen birim etkilere sabit parametre Ģeklinde davranılıyorsa sabit etkiler söz konusu olmaktadır. Sabit etkili modellerde bağımsız değiĢkenler ile birim etki arasında korelasyon olabileceği düĢünülmektedir. Zaman sabiti değiĢkenlerin modelde varlığına izin verilmemekte ve modelden düĢürülmektedir. Sabit etkiler modelinde yatay kesit birimleri arasındaki farklılıklar kukla değiĢkenler yardımıyla tahmin edilmektedir. Bu nedenle, modelde çok sayıda kukla değiĢken kullanılmaktadır. Bunun sonucunda modelde serbestlik derecesi problemi oluĢabilmektedir.

2.8.3.3. Rassal etkiler modeli (Tesadüfi etkiler modeli)

Panel veri ile yapılan çalıĢmalarda, birimler arası farklılıklardan oluĢan değiĢim “Rassal Etkiler Modeli” yardımıyla da incelenebilmektedir. Rassal etkiler modelinde gözlenemeyen birim etkilere hata terimi gibi tesadüfi bir değiĢken Ģeklinde davranılmaktadır. Diğer bir ifadeyle, birim etkisi veya birim ve zaman etkisi modele rassal değiĢken Ģeklinde hata teriminin bir bileĢeni olarak eklenmektedir (Hsiao, 2003: 34).

Baltagi‟ye (2005: 14) göre, sabit etkiler modelinde çok fazla sayıda parametrenin söz konusu olması serbestlik derecesi kaybına yol açmaktadır. Dolayısıyla, birim etkisinin veya birim ve zaman etkisinin modele hata teriminin bir bileĢeni olarak eklenmesinin ana nedeni sabit etkili modellerde karĢılaĢılan bu serbestlik derecesi kaybını önlemektir. Ayrıca, rassal etkiler modelinde, örnek dıĢındaki etkiler de modelde dikkate alınmaktadır (Pazarlıoğlu ve Gürler, 2007: 38).

K değiĢkenli bir panel veri modeli genel olarak aĢağıdaki Ģekilde gösterilmektedir;

Rassal etkili modellerde birim etkinin sabit değil de tesadüfi olduğu varsayıldığı için hata teriminin içinde gösterilmektedir. Yani hata terimi modelde (Wooldridge, 2015: 441);

Ģeklinde ifade edilmektedir. Burada, artık hataları, birim hatayı, diğer bir ifadeyle birim farklılıklarını ve zamana göre birimler arasındaki değiĢmeyi göstermektedir. Dolayısıyla rassal etkiler modeli aĢağıdaki hali almaktadır:

(2.11) Model kısaca Ģu Ģekilde de yazılmaktadır:

∑

_{i=1,…,N; t=1,…,T (2.12)}

Modelde yer alan hata bileĢenlerinden dolayı tesadüfi etkiler modeline “Hata BileĢenleri Modeli” de denilmektedir.

Tesadüfi etkiler modelinde birtakım varsayımlar bulunmaktadır (Hsiao, 2003: 34; Tatoğlu, 2016: 103).

 Modelde rassal değiĢkenler ve arasında her i ve t için korelasyon bulunmamaktadır.

 ve „nin ortalamaları sıfırdır.

 ve normal dağılım göstermektedir.

 „nin varyansı: = ( ⁾

 „nin varyansı: = (

⁾