Opsiyon fiyatlarının yani opsiyon priminin hesaplanmasında üç ana metot kullanılmaktadır. Bu yöntemleri; Black-Scholes Modeli, Binom Modeli ve Monte Carlo Benzetimi olarak sıralayabiliriz.
2.7.1 Black & Scholes Modeli (Daigler, R.,1994)
Avrupa tipi opsiyon sözleşmelerinde kar payı ödenmemektedir. Bu durumda ki opsiyon sözleşmelerinin söz konusu olduğu alım opsiyonlarında fiyatlandırma yapmak için; 1973 yılında Fisher Black ve Myron Scholes ikilisi tarafından geliştirilmiştir. Ancak daha sonraki dönemlerde farklı akademisyenler Amerikan tipi; kar payı ödenen opsiyonların söz konusu olduğu sözleşmeleri ve dayanak varlıkları döviz ve Futures olan sözleşmeleri fiyatlandırmada kullanmak için Black&Scholes modelini daha
29
detaylı olarak geliştirmişlerdir (Ceylan ve Korkmaz, 2000:218). C = S0 N(d1) − K e−rTN(d2) P = Ke−rT N(d 2) − S0 N(−d1) d1 = ln (S0 K ) + (r +12 σ2) T σ√T 𝑑2 = 𝑑1− 𝑎 √𝑇
C = Alım Opsiyonunun Primi P = Satım Opsiyonunun Primi
S0 = Dayanak Varlığın Şimdiki Değeri
K = Opsiyon Kullanım Fiyatı r = Risksiz Faiz Oranı
𝛔 = Standart Sapma (Dayanak Varlığın Volatilitesinin Karekök Değeri)
T = Vade Sonuna Kadar Kalan Süre
N (d1), N (d2) normal dağılım Çizelgesinde d1 ve d2 ye karşılık gelen değerlerdir. Başka bir ifade ile standart normal olarak dağılmış bir değişkenin ∅ (0,1) d1’den veya d2’den düşük olma olasılığı olarak adlandırılır.
Ln = Doğal logaritmayı ifade etmektedir.
Black & Scholes modeline göre alım ve satım opsiyonunun fiyatının yukarıdaki denklemler kullanılarak hesaplanabilinmesi için ihtiyaç duyulan beş adet veriden; dayanak varlığın spot piyasa fiyatı, risksiz faiz oranı, opsiyonun kullanım fiyatı ve opsiyonun sözleşmesinin vadesinin sonuna kalan süresi kolayca elde edinilebilecek verilerdir. Yalnız beşinci veri olan dayanak varlık fiyatının oynaklık oranı geçmiş zamandaki verileri kullanarak öngörülebilir. Verilerin tamamına ulaştıktan sonra opsiyon fiyatını Black&Schole modeline göre hesaplayan çok sayıda program, internette ve ilgili borsaların internet sitelerinde2 bulunmaktadır (Winstone, 1995).
Black ve Scholes Modelinde de belli varsayımların yapılması gerekmektedir:
30
Mali piyasaların düzgün işlemekte olması. İşlem maliyetleri ve vergi ödemelerinin olmaması. Yatırımcılar her türlü bilgiye rahatlıkla ulaşabiliyor olması. Piyasaları yönlendiren tek bir alıcı veya satıcının olmaması.
Risksiz getiri oranının sabit olması. Opsiyon kontrat miktarının bilinmesi.
Üzerine opsiyon yazılan finansal varlığa temettü ödenmeyeceği. Opsiyonun vade tarihinde kullanıldığı varsayılmaktadır.
Üzerine opsiyon yazılan finansal varlığın getirilerinin birikimli oranı normal dağılıma uymaktadır.
Finansal varlığın açığa satılmasına, yani yatırımcının sahip olmadığı finansal varlığı (menkul kıymeti) satmasına izin verilmektedir (Alpan, 1999; Dubofsky, 1992).
2.7.2 Binom Model
Opsiyon sözleşmelerinin fiyatlarının belirlenmesinde tercih edilen en basit yöntemlerden biri Binom Model’idir. Genellikle Amerikan tipi opsiyonların fiyatlandırılmasında tercih edilen bu model kısa vadede fiyatlarda iki taraflı (binomial) değişim görüleceği düşüncesine dayalı bir modeldir.
Black&Scholes modelinin açıklamakta yeterli olmadığı Amerikan tipi satım opsiyonlarının ve farklı türev varlıklarının fiyatlandırılmasında tercih edilen Binom Model; opsiyonların fiyatlandırılmasına yönelik bir yöntemdir. Analitik bir model olan Black&Scholes ’un aksine tek dezavantajı analitik olmamasıdır. Ancak analitik yöntemlerle birlikte kullanıldığı takdirde analitik bir yaklaşım olmasına imkân sağlamaktadır (Gökçe, 2002, s.72).
Binomial modele göre; piyasalar için tam rekabet ortamı söz konusudur ve mükemmel bir yapıya sahiptir. İşlemlerin maliyetleri ve vergileri sıfıra eşittir. Binomial modelde diğer bir varsayım ise piyasalarda açığa satış serbest olması ve yatırımcılar bu satışlardan elde ettikleri gelirin tamamını kullanabilir olmalarıdır. Bu varsayımlara göre bilgi edinmenin herhangi bir maliyeti yoktur ve bu piyasadaki bilgilerin herkese açık olmasıdır.
31
İstatiksel olarak incelediğimizde, bir ihtimalin gerçekleşme olasılığını p (opsiyon fiyatının artması), aynı olayın gerçekleşmeme olasılığını ise 1-p (opsiyon fiyatının azalması) olarak tanımlarsak, n sayıda denemede x kadar olasılığın gerçekleşme ihtimalini aşağıdaki formül yardımıyla hesaplarız (Alpan, 1999):
𝑝(𝑥) = (𝑛𝑥) 𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥
2.7.2.1 Tek Dönemlik Binom Dağılım Modeli
Tek dönemlik binom dağılım modeli uygulanırken, opsiyon sözleşmesinin vade bitmesine bir dönemin olduğu varsayımından yola çıkılmaktadır. Tek dönemlik binom modele göre iki olasılık bulunmaktadır. Bu olasılıklar, Δt zaman dilimi içerisinde opsiyona konu olan dayanak varlığın fiyatı;
(p) olasılığı ile U kadar artacak, (1 - p) olasılığı ile D kadar düşecektir. Bu sayede hisse senedinin fiyatı;
Fiyat yükseldiğinde : SU
Fiyat düştüğünde : SD şeklinde olacaktır.
SU
S
SD
Şekil 2.4: Tek Dönemlik Binom Modeli
Opsiyon sözleşmesinde belirlenen vade sonunda, dayanak varlığın piyasada oluşan değerine göre bir alım opsiyonunun değeri aşağıda yer alan formül yardımıyla hesaplanmaktadır:
SU = Max [0, S (1 + u) − K] SD = Max [0, S (1 + d) − K]
p = (r – d) / (u – d) 1 − p = (u – r) / (u – d)
32 yardımı ile bulunur (Erol, 1994):
S0 = Sup +
Sd(1 – p) r
2.7.2.2 İki Dönemlik Binom Modeli
Opsiyon sözleşmesinde dönem sayısının iki olması durumunda alım opsiyonuna ait prim değeri tek dönemlik modelde kullanılan hesaplama yöntemiyle aynı şekilde hesaplanır.
• Birinci dönemin sonunda SU miktarına artan değer, ikinci dönemin sonucunda ya yükselip SUU, ya da düşüp SUD değerini alacaktır.
• Birinci dönemin sonunda SD miktarına düşen değer, ikinci dönemin soncunda ya SDU değerine yükselecek, ya da tekrar düşerek SDD değerini alacaktır.
Şekil 2.5 : İki Dönemlik Binom Modeli
Şekil 2.4’da görüldüğü üzere ikinci dönemin bitiminde üç farklı olasılık meydana gelecektir. Opsiyonun fiyatları da hisse senedinin fiyatına bağlı olarak değişecektir:
SUU = Max [0, S (1 + u)2 − K] SUD= Max [0, S (1 + u)(1 + d) − K]
SDD= Max [0, S (1 + d)2− K] p = (r – d) / (u – d) 1 − p = (u – r) / (u – d)
33
dönem kalan bir alım opsiyonun sözleşme fiyatını aşağıdaki formül ile hesaplayabiliriz (Erol, 1994):
S0 = p2SUU+ 2p(1 − p)SUD+ (1 − p)2SDD/r2
2.7.3 Monte Carlo Benzetimi (Yöntemi, Simülasyonu)
Monte Carlo benzetimi; deterministtik veya olasılık problemlerin çözümlenmesinde ancak zaman faktörünün ciddi bir önemi olmadığı durumlarda, (0.1) aralığında rassal değişkenleri kullanan bir yöntem olarak tanımlanabilir (Alabaş ve Baykoç, 2001: 145- 149). Simülasyonun ana fikri oldukça nettir: bir şans olayının sonuçları bilgisayar yardımıyla yeterince gözlemlenirse oluşabilecek olasılıkların dağılımı ile ilgili doğru sonuçlara oldukça yakın bir fikre ulaşıla bilinir (Law ve Kelton 1991). Bu sayede simülasyon, farklı şartlar altında inceleme yapan analizciye sistemin davranışları hakkında bilgi vererek doğru adımları atma ve karar vermeye önemli oranda katkı sağlar. Monte Carlo benzetimi geçerli olan davranışın modellenerek, bu davranışla ilgili istenilen bilgiye ulaşabilmek için kullanılan veri üretme sürecidir (Mansfield: 1994, 256).
Monte Carlo simülasyonu genel olarak statik bir yapıya sahiptir. Monte Carlo simülasyonunun uygulanabilmesi için ilk olarak istatistiki güvenilir, (0,1) aralığında uniform rastlantısal, bağımsız sayı üretecinin ve ilgili dağılımdan rastlantısal değişken üretecinin mevcut olması gerekmektedir. Kesikli değişkenlerin üretimi için birikimli olasılık fonksiyonları olduğu gibi kullanılırken, sürekli değişkenler için ters dönüşüm, kompozisyon veya reddetme teknikleri ile değişken değeri üretilmektedir (Alabaş ve Baykoç, 2001: 145-149).