“Geçmişte uzun bir müddet boyunca böyle bir okulun müdürü olmak
OLASILIK TEORİSİ
1945 yılında N. N. Luzin, Kolmogorov’a yazdığı mektupta şöyle der: “Olasılık teorisinden uzak durun. Bu alanda yapmış olduğunuz temel işler
olduğunu biliyorum; ancak olasılık teorisi size layık değildir, onun kaynakları kuşkuludur... ve bu alanda çalışanlara olumsuz bir etkisi vardır. Size yüksek ruh bahşedilmiş ve bu yüzden istiyorum ki, siz onu çok az insanın yapabileceği işler için koruyasınız.”
Cevap mektubunda Kolmogorov, çalıştığı üç alan – olasılık teorisi, dinamik sitemler ve matematiksel mantık – hakkında yazarak der ki:
“Dinamik sistemlerde her şey önceden belirliyken olasılık teorisinde ise tesadüfi olduğundan bu iki problem birbirlerinden çok farklı görünmektedir; ancak anlaşılacağı üzere bu teoriler arasında şöyle bir bağıntı vardır: deterministik fakat karmaşık olan sistemler tesadüfi davranır, tesadüfler ise ciddi determinist
değerlendirmelere tabidir ve bu iki teoriyi bir birine bağlayan köprü ise matematiksel mantıktır.”
Olasılık teorisinin tarihi oldukça eskiye dayanmaktadır. Olasılığın ilk tanımlarının ortaya çıkışında çeşitli talih oyunları, kumar vs. esas kaynak olmuştur. Luca Pacioli (1445–1514) olasılık problemini (yanlış ta olsa) çözmüştür. G. Cardano ile G. Galileo de olasılık problemleri ile meşgul olmuşlardır.
Olasılık teorisinin bir bilim alanı olarak görülmesi,1654 yılında B. Pascal ile P. Fermat arasındaki mektuplaşma ile başlamıştır: Mektuplaşmaya vesile olan olay ise B. Pascal’ın bir dostunun ona verdiği iki soruydu. Bu mektuplarda, günümüzde olasılığın klasik tanımı olarak bilinen tanımı verilmiştir: Ortaya çıkması beklenen olayların sayısının, tüm elemanter sonuçların sayısına oranına bu olayın olasılığı denir. Bu tanımda elemanter sonuçların sayısı sonlu ve eşit olasılığa sahip olmalıdır.
Bu tanıma dayanan çalışmalar ile olasılık teorisinde önemli gelişmeler kaydedildi. C. Huygens “Talih Oyunlarında Hesaplamalar” (1658), A. De Moivre “Talih Oyunlarında Rastlantının Ölçülmesi ve Sonuçların Olasılığı” (1711), J. Bernoulli “Tahmin Etme Mahareti” (1713) ve P. Laplace “Analitik Olasılık Teorisi” (1812) eserleri olasılık teorisinin esas aşamalarını teşkil eder.
Olasılığın klasik tanımı olasılık kanunları hakkında dar bir tanıma sahiptir; çünkü pek çok durumda ortaya çıkan olanaklar eşit şanslı olmadığı için bu tanım ancak belirli kısıtlamalar altında çalışmaktadır. Örneğin düzgün olmayan bir zar ile 2 sayısının ortaya çıkma olasılığı kaçtır? Bu olayın olasılığını klasik tanıma göre bulmak mümkün değildir; çünkü 1,2,...,6 sonuçlarının meydana gelme
olasılığı eşit değildir. Bir diğer örnek ise: İstanbul’da doğan bir kişinin 70 yaşına kadar yaşama olasılığı nedir? Bu problemde ise elemanter sonuçlar uzayının ne olduğu anlaşılmamaktadır.
Olasılığın klasik tanımında karşılaşılan bu gibi zorlukların üstesinden gelmek olasılık kavramına istatistiksel yaklaşım ile mümkün olmuştur. İstatistiksel yaklaşımın
klasik tanımdan farkı, A rassal olayının meydana geldiği denemelerin aynı koşullar altında keyfi sayıda tekrarlanabileceği varsayılmaktadır. Eğer m sayıdaki denemede k sayıda A olayı meydana gelmişse k/m oranına A olayının nispi sıklığı denir. Bir deneyin sonsuz defa tekrar edilmesi mümkün değildir, ancak çok defa tekrarlanması ile nispi sıklık için durağanlık kavramının geçerli olduğu görülmüştür: Yeteri kadar büyük m’ler için k/m oranı denemelerin sayısından bağımsızdır. Buradan hipotez: Rassal bir A olayı m kez tekrar edildiğinde m sayısı sonsuza yaklaştıkça k/m oranının yani nispi sıklığın yaklaştığı bir P(A) sayısı vardır. Bu sayıya A olayının olasılığı denir.
Elbette, klasik tanımdan farklı olarak, bu sayıyı kesin olarak belirlemek mümkün değildir, ancak P( A )» k
m olduğunu söyleyebiliriz, çünkü denemeleri sonsuz
sayıda gerçekleştirmek mümkün değildir.
Olasılığın hem klasik hem de istatistiksel tanımlarında aşağıdaki iki önemli teorem elde edilmiştir:
1. P( A+B )= P( A )+ P( B ), A ve B bağdaşmaz olaylar
2. P( AB )= P( A ) . P( B ), A ve B bağımsız olaylar
Bu iki teorem ve 0£ P( A )£ 1 eşitsizliği, tam anlamıyla daha olasılığın ne olduğu bilinmeden, olasılıkları hesaplamak için matematiksel temel oluşturmuştur. A. Renyi 17–18. yüzyıl matematikçileri hakkında şöyle demiştir:
“Onlar olasılığın formal tanımına ihtiyaç duymadılar, esas olarak belirli problemlerde olayların olasılığını hesaplamak ile ilgilenirlerdi. Elbette bu durum, o devrin matematik seviyesine göre normaldi; çünkü ne de olsa sayı, fonksiyon limit gibi kavramlar o dönemde muasır anlamda tamamlanmamıştı, dolayısıyla da buna ihtiyaç duymadılar.”
Matematik teorisi ciddi olarak aksiyomlar üzerine kurulmamışsa, paradokslara gebe kalacaktır. Olasılık teorisinde de elemanter olayların sayısı sonsuz
olduğu durumda paradoksların olması kaçınılmazdır. Örneğin; birçok olasılık kitabında J. Bertrant’ın geometrik olasılıkla ilgili paradoksları yer almaktadır.
20. yüzyılın 30’lu yıllarına kadar matematiğin diğer alanlarında olmasına rağmen, olasılık teorisi için aksiyomatik formalizasyon yapılmamıştı.
Geometrik olasılığın paradoksları, olasılığın istatistiksel tanımının sezgiselliği, klasik tanımın mantıksal olarak eksikliği (olasılık kavramının eşit olasılık kavramı ile tanımlanması) sebepleriyle 20. yüzyıl başlarında bazı düşünürler olasılık teorisinin matematik bilimi olmadığı söylemini dile getirdiler.
D. Hilbert matematikçilerin uluslar arası kongresinde (1900, Paris) şöyle seslenmiştir:
“Matematiğin önemli rol oynadığı, fizik biliminin alt dalları olan olasılık teorisi ve mekanik’in geometridekine benzer şekilde aksiyomatik teorisi kurulmalıdır.”
Bu sözlerden anlaşıldığı gibi D. Hilbert olasılık teorisinin fizik bilimine ait olduğunu iddia etmiştir ve bu teorinin aksiyomatik temellerinin kurulmasını 20. yüzyılın önemli
problemlerinden biri olarak saymıştır. Bu problemi çözmek için 1917 yılında S. N. Berstein ve 1919 yılında R. von Mises uğraşmışlardır, ancak olasılık teorisinin
aksiyomatiğinin kurulması problemini 1933 yılında A. N. Kolmogorov çözmüştür.
Kolmogorov, olasılık teorisinin aksiyomatiğinin kurulması için ölçü teorisinden istifade etmiştir. Ölçü teorisi ve olasılık teorisinin aksiyomlarını açıklayalım.
X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinden oluşan F kümesi verilsin. F kümesi
- cebiri olsun; yani1. XF , , F
3. i i i
i i
A F A F ve A F (iI=sayılabilir küme) ve : FR
- toplamsal fonksiyonu verilsin, yani1 2 n, i j i i
i i
A , A ,..., A ... F ve A A , i j ise bu durumda ( A ) ( A )
Olasılık teorisinde X elemanter olaylar kümesi, F’nin elemanları olaylar, X – kesin olay, - mümkün olmayan olay, ( A ), A olayının olasılığıdır. Göründüğü
gibi olasılık teorisinin aksiyomlar sistemi hiç te zor değildir.
Kolmogorov olasılık teorisini, kümeler teorisinin ve ölçü teorisinin temelleri üzerinde kurmakla birlikte hem olasılık teorisinin mantıken tatmin edici gerekçesini ortaya koymuş oldu, hem de olasılık teorisini muasır matematiğe dâhil ederek, olasılık teorisi problemlerini çözmek için matematiğin gelişmiş alanlarından yararlanma imkânını açtı.