Son yirmi yılda, matematik eğitimcileri matematiksel modeller ve modellemeye yoğun bir ilgi göstermişlerdir (Blum ve Borromeo Ferri, 2007). Dünya çapında matematik öğrenimi ve öğretimi hakkında kaliteyi arttırma amacıyla kurulmuş, ICMI ve ICTMA tarafından düzenlenen 'matematiksel modelleme' kongresi bunun en önemli göstergelerinden biri olmuş, kongreden çıkan yayınlar ise, matematiksel modelleme çalışan bilim adamlarına ışık tutmuştur. Tüm dünyanın bu kadar önem verdiği matematiksel modellemeyi gerçekleştirebilmek için, matematiksel modelleme yeterlikleri tanımlanmış ve literatürde bu yeterliklerin gelişimini sağlamak amacıyla çalışmalar yapılmıştır. Matematiksel modelleme yeterliklerinin ne olduğunun daha iyi anlaşılabilmesi için, yeterlik ve matematiksel yeterliklerinin tanımlarına aşağıda yer verilmiştir.
Yeterlik, kişinin verilen herhangi bir durumda var olan zorluğa cevap vermeye hazır olma yetisi ve isteği şeklinde tanımlanabilir (Blomhoj ve Jensen, 2003). Bir diğer deyişle ‘yeterlik’ problem durumunda bazı gerekli ya da arzu edilebilir eylemleri gerçekleştirmek
41
için bireyin yeteneği olarak tanımlanmaktadır (Niss, Blum ve Galbraith, 2007). Yeterlikte bilgi ya da beceri tanımlarından ziyade, beceri ve yeteneklerin eyleme dönüştürme süreci vardır. (Blomhoj ve Jensen, 2003).
Bireyin günlük hayatında da matematiği kullanmasını amaçlayan matematiksel modelleme için de literatürde farklı matematiksel modelleme yeterlikleri tanımlanmıştır (Biccard ve Wessels, 2012; Borromeo Ferri, 2010; Kaiser, 2007; Maab, 2006). Matematiksel modelleme yeterliği, verilen gerçek dünya durumunda gerekli varsayımlar, ilişkiler, değişkenler ve soruları tanımlama, bunları matematiğe transfer etme, ve verilen durumda ortaya çıkan matematiksel problemi yorumlama ve doğrulama yeteneği, kısaca matematiksel modelin ortaya çıkarılması ve incelenmesini içeren işlemleri gerçekleştirme yeteneği olarak tanımlanabilir (Blum, Galbraith, Henn, ve Niss, 2007: s.12)
Tanımdan da anlaşıldığı gibi, matematiksel modelleme yeterlikleri, matematiksel modelleme süreci ile doğrudan ilişkilidir. Matematiksel modelleme yeterliklerinin tam olarak anlaşılabilmesi için, süreç içerisinde yaşananlarla ilişkilendirilerek alt yeterliklerin tanımlanması ile mümkündür (Maaß, 2006). Bu bağlamda, Blum ve Kaiser (1997), matematiksel modelleme yeterliklerini süreç ile ilişkilendirerek, her süreç basamağında yaşanabilecek alt yeterlikleri aşağıdaki gibi tanımlamışlardır. (Blum ve Kaiser 1997‘den aktaran Maaß, 2006).
42 Tablo 2.2.
Matematiksel Modelleme Yeterlikleri
A. Gerçek problemi anlama ve gerçeğe dayalı bir model kurma yeterlikleri
A1. Problem için varsayımlarda bulunma ve durumu sadeleştirme yeterliği
A2. Durumu etkileyen değişkenlerin tanımlanması, isimlendirilmesi ve anahtar değişkenlerin belirlenmesi yeterliği
A3. Değişkenler arasındaki ilişkileri oluşturma yeterliği
A4. Problemi çözmek için mevcut bilgileri arama ve ilgili / ilgisiz bilgileri ayırt etme yeterliği
B. Gerçek modelden bir matematiksel model oluşturma yeterlikleri
B1. İlgili nicelikleri ve bu nicelikler arasındaki ilişkileri matematikselleştirme yeterliği B2. İlgili nicelikleri ve bunlar arasındaki ilişkileri sadeleştirme ayrıca gerektiğinde nicelik ve ilişkilerin karmaşıklığını azaltma yeterliği
B3. Uygun matematiksel gösterimleri seçme ve durumları grafiksel olarak temsil etme yeterliği
C. Oluşturulan matematiksel model ile matematiksel problemleri çözme yeterlikleri
C1. Problemi parçalara bölme, benzer problemlerle ilişki kurma, Probleme farklı formlarda bakma, nicelikleri veya uygun verileri çeşitlendirme gibi buluşsal stratejiler kullanma yeterliği
C2. Problemi çözmek için matematiksel bilgiyi kullanma yeterliği
D. Matematiksel sonuçları gerçek durumlarda yorumlama yeterlikleri
D1. Matematiksel sonuçları matematik dışı (ekstamatematiksel) bağlamlarda yorumlama yeterliği
D2. Özel bir durum için geliştirilen çözümleri genelleme yeterliği
D3. Problemin çözümünü uygun matematiksel dili kullanarak ve çözümler hakkında iletişim kurarak inceleme yeterliği
E. Çözümü doğrulama yeterlikleri
E1. Bulunan çözümler üzerine yansımalar ve eleştirel kontroller yapma yeterliği
E2. Çözümler duruma uygun değilse, modelin bazı kısımlarını gözden geçirme veya matematiksel modelleme sürecinden tekrar geçme yeterliği
E3. Problemi çözmek için diğer yolları düşünme veya sonucun faklı bir şekilde elde edilip edilmeyeceğini düşünme yeterliği
E4. Genel olarak modeli sorgulama yeterliği
Maaß, K. (2006). What are modelling competencies? ZDM - International Journal on Mathematics Education, 38(2), 113–142 kaynağından uyarlanmıştır.
43
Belirlenen modelleme yeterliklerine bakıldığında, daha önceki bölümde bahsedilen modelleme süreçleri içerisinde tanımlanan Maaß, (2006)’ın Blum (1996)’dan uyarladığı bilişsel modelleme döngüsüne dayalı olarak oluşturulduğu görülmektedir. Ayrıca, bir önceki bölümde tartışılan ‘durumun zihinsel temsilinin oluşum süreci ise, ‘gerçek durum’ dan ‘gerçek model’ e geçiş aşamasındaki alt yeterlikler kısmında yer almaktadır. Yani durumun zihinsel temsili belirlenmese de, öğrencinin modelleme sürecinden geçebilmesi için zihninde probleme yönelik bir temsil yer aldığı kabul edilmektedir denebilir.
Blum ve Borromeo Ferri (2009); 8-10. sınıflar ile çalıştıkları DISUM and COM² projelerinin sonuçlarını paylaştıkları çalışmalarında, öğrencilerin matematiksel modelleme süreci basamaklarını takip etmeleri durumunda, modelleme yeterliklerini de kazanabileceklerini belirtmişlerdir. Ayrıca aşağıda verilen çözüm planının küçük yaş gruplarında modelleme etkinliklerinin çözümü için uygun bir yol olacağı görüşünü savunmuşlardır.
Şekil 2.11. Küçük Yaş Grupları İçin Modelleme Süreci (Blum ve Borromeo Ferri, 2009) Blum, W. ve Borromeo Ferri, R. (2009). Mathematical modelling: Can it be taught and learnt? Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(1), 45-58.kaynağından uyarlanmıştır.
44
Şekil 2.11. de, küçük yaş gruplarında ortaya çıkan modelleme yeterliklerinin daha sınırlı olduğu görülmektedir. Fakat Blum ve Borromeo Ferri (2009) de modelleme yeterlikleri modelleme süreci ile ilişkilendirerek tanımlamışlardır. Modelleme yeterlikleri ile çalışan Biccard (2010); da, modelleme yeterliklerini modelleme sürecindeki döngünün düğümleri olarak adlandırmıştır. O halde, matematiksel modelleme sürecinde ilerlerken öğrencilerin ortaya koyduğu istek, yetenek ve becerilerin toplamını modelleme yeterlikleri olarak adlandırmak mümkündür. Bununla birlikte, farklı araştırmacılar da farklı matematiksel modelleme yeterlikleri tanımlamışlardır. Galbraith ve Stillman (2006), modelleme süreç basamaklarının belirlenmesinin, sadece öğrencilerin modelleme problemlerini çözerken (ya da çözemediyse) ne yaptıklarını değil, öğretmenlerin tanı ve teşhisleri için daha iyi bir temel oluşturmalarını sağladığını belirterek modelleme yeterliklerine vurgu yapmıştır. Kaiser (2005), matematiksel modelleme yeterliklerinin aşağıdaki gibi olması gerektiğini bildirmiştir;
Kişinin kendisinin geliştirdiği matematiksel tanım (matematiksel model) ile gerçek dünya probleminin en azından bir kısmını çözme yeterliği
Matematiksel modelleme sürecinde üst bilginin aktive edilmesiyle matematiksel modelleme süreci hakkında yansımalar yapma yeterliği
Matematik ile gerçeklik arasında bağlantıların iç yüzünü anlama
Sadece bir ürüne odaklanmayıp süreç odaklı matematik algısını derinleştirme
Matematiksel modelleme sürecinin kişilerin yeterliklerine, matematiksel araçlara ve amaçlara bağlı olduğunu anlama
Matematik yoluyla iletişim becerisi ve grupla çalışma becerisi gibi sosyal yeterlikler Görüldüğü gibi Kaiser (2005)'in ifade ettiği yeterlikler, matematiksel modelleme süreci ile birebir ilişkili olmayıp, üst biliş ya da sosyal yeterlikler gibi farklı yeterlikleri kapsayan bir yapıya sahiptir. Biccard ve Wessels (2011) yaptıkları çalışmada, modelleme yeterliklerinin yalnızca, etkinlikte verilen problemin çözümüyle sınırlanmaması gerektiğini, genellikle, uygun bir yol içeren matematiksel nesnelerin temsili gibi, matematiği uygulanması aşamasında ne yapıldığını savunma ve değerlendirme, matematiksel algoritmalar ve prosedürlerden gerekli olanı basitleştirme gibi diğer yeterliklerin de mevcut olduğunu dile getirmişlerdir.
45
Buna paralel olarak, yukarıda bahsedilen Blum ve Kaiser (1997)’ den Maaß, (2006)' nın aktardığı yeterlikler tablosu (Tablo 2.2.) süreç içerisinde yer alan bilişsel davranışlara değinerek araştırmacılara geniş bir bakış açısı sağlamıştır. Maab (2006), bu bilişsel yeterliklerle birlikte, modelleme içeren etkinliklerle çalışan öğrencilerde başka yeterliklerin de olduğunu belirtmiş ve aşağıdaki gibi gruplamıştır;
Üstbilişsel modelleme yeterlikleri
Gerçek dünya problemlerini yapılandırmak ve çözüm için bir hedef belirlemek
Modelleme süreci ile ilgili tartışma ve yaşanan süreç hakkında rapor yazma yeterlikleri Gerçek dünya probleminin çözümü için matematiğin sunduğu olanakları görmek ve bu olanaklardan dolayı matematiğe yönelik pozitif tutum geliştirmek
Biccard ve Wessels (2011) de, matematiksel modelleme sürecinde, bilişsel yeterliklerin yanı sıra, problemler gruplar halinde çözüldüğünde (modelleme için tipik öğrenme ortamları sağlandığında), matematik için özel olmayan sosyal yeterliklere etkili işbirlikli takım çalışması için ve modelleme etkinliği boyunca üretilen bilginin testi ve ortak bir yapının ortaya çıkması için ihtiyaç duyulduğunu dile getirmiştir.
Görüldüğü gibi her ne kadar modelleme içeren etkinliklerin uygulanması halinde farklı türden yeterliklerin ortaya çıktığı literatürde yer alsa da, modelleme yeterlikleri olarak tanımlanan ve açıklanan yeterliklere bilişsel yönden yaklaşıldığı görülmektedir. Bahsedilen sosyal yeterliklerin, öğrenme ortamlarından kaynaklandığı ve bilişsel yeterliklerle birbirlerini destekler nitelikte olduğu da düşünülmektedir (Biccard ve Wessels, 2011). Ayrıca belirlenen modelleme yeterlikleri ve alt yeterlikler incelendiğinde, daha önce bahsedilen, ülkelerce kabul görmüş matematiksel yeterliklere de değinildiği görülmektedir. Blum ve Borromeo Ferri, (2009)' a göre, modelleme, iletişim kurma, okuma, problem çözme stratejilerini kullanma ya da akıl yürütme hesaplama gibi matematiksel yeterliklerle ayrılmaz bir şekilde bağlantılı olduğunu vurgulamıştır. Ayrıca matematiksel modelleme etkinliklerinin öğrencilere zor gelmesinin nedenini karmaşık bilişsel sürece ve dolayısıyla öğrencilerin gerçekleştirmesi gereken çoklu görevlere bağlamışlardır. Bu bağlamda, matematiksel modellemenin uygulanması ile, matematik derslerinde kazandırılması ön görülen problem çözme yeterliği, modelleme döngüsü içerisinde görüldüğü gibi, gerçek dünya probleminden matematiksel problemler oluşturma ve bu problemleri çözme aşamasında gerçekleştirilir.
46
Akıl yürütme becerisi ise, modelleme döngüsünde eldeki verilerden yola çıkarak durum modeli oluşturma ya da elde edilen matematiksel çözümün gerçek dünyaya aktarılması konusunda çıkarım yapma gibi farklı döngüler içerisinde kullanılır. İlişkilendirme becerisi de sürecin hem matematikselleştirme kısmında matematiksel kavramların birbirleriyle ilişkilendirilmesi, hem de gerçek dünya ile ilişki kurma aşamalarında gerçekleşmektedir. Matematiksel modelleme etkinliklerinin uygulanması sırasında öğrencilerin modelleme süreci ile ilgili tartışmaları ve elde ettikleri sonuçları ifade etmeleri, iletişim becerisi altında değerlendirilebilir. Temsil becerisi ise, verilen bir olguyu matematiksel temsillerle ifade edilmesi, yani matematiksel model oluşturma aşamasında kullanılır. Dolayısıyla, matematiksel modelleme yeterliklerinin, aslında, tüm matematik derslerinde ön görülen yeterlikleri içine alan bir yapısının olduğu söylenebilir. Bu denli kapsamlı bir bilişsel süreci oluşturan ve çoklu becerilerin bir arada olmasıyla tamamlanan matematiksel modellemenin, literatürde farklı boyutlardan ele alındığı tespit edilmiştir. Örneğin bazı çalışmalar matematiksel modellemenin öğrencide kazandıracağı yeterliklere ya da matematiksel kavramların öğretimine odaklanırken, bazı çalışmalar ise, modelleme ile gerçek dünya problemlerine çözüm bulmayı amaçlamışlardır. Aşağıda, farklı araştırmacıların literatürde yer alan matematiksel modelleme adına yaptıkları çalışmalarda ele aldıkları perspektifler sınıflandırılmaya çalışılmıştır. Bu kapsamda aşağıda modelleme perspektiflerinden bahsedilecektir.