Kaiser (1995) ve Blum (1996)’ un Ortaya Koyduğu Matematiksel

Kaiser (1995) ve Blum (1996), gerçeklik ile matematik arasında kurdukları modelleme süreci döngüsünde, gerçek durumun modellenmesi, bu modelin matematiksel modele aktarılması ve matematik içerisinde çözümlenmesi, elde edilen matematiksel sonuçların tekrar gerçek duruma göre yorumlanmasını içeren bir döngü tanımlamışlardır.

Şekil 2.9. Kaiser (1995) ve Blum (1996) ‘un Tanımladığı Modelleme Döngüsü

Borromeo Ferri (2006). Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process. ZDM – The International Journal on Mathematics Education, 38(2), 86-95.kaynağından erişilmiştir.

Şekil 2.9 da görüldüğü gibi 90 larda modelleme sürecini tanımlarken durum modeli ve gerçek durum süreç basamaklarını birbirinden ayırmayan Blum (1996)’nın 2007 yılında ortaya koyduğu tablo birbirinden farklıdır (Blum ve Leiβ (2007). Fakat Borromeo Ferri (2006)’ya göre, Blum’ un üniversitelerde matematiksel modelleme üzerine verdiği seminerlerde kullandığı modelleme şeması, Blum ve Leiβ (2007) halidir.

Borromeo Ferri (2006)’a göre son kategoriye giren çalışmalarda ise, gerçek durumdan direk matematiksel modele geçiş söz konusudur. Bu safhada, durumun zihinsel modeli ya da gerçek model basamaklarına yer verilmemiştir. Borromeo Ferri (2006) bu durumun sınıf içinde uygulanan etkinliklerden kaynaklı olabileceğini ifade etmiştir.

Yapılan çalışmalar genel olarak incelendiğinde, farklı şekillerde matematiksel modelleme süreçlerinin tanımlandığı görülmektedir. Fakat tüm çalışmalarda, gerçek dünya ve matematik arasında bir döngü söz konusu iken, bu döngüde yer alan basamaklar farklılaşmaktadır.

38

Borromeo Ferri, (2006)’nin de belirttiği gibi, genel olarak tanımlanan tüm süreçlerde gerçek durumdan matematiksel model oluşturmaya geçiş aşamasında farklılıklara rastlanmıştır. Borromeo Ferri (2006) ve Blum ve Leiβ (2007) gibi araştırmacılar, gerçek dünya ile gerçek model arasında, ekstra matematiksel bilgilerin eklenmesi ile durum modeli oluşturulabileceğini savunarak bir süreç basamağı daha tanımlamışlardır. Bu tanıma göre gerçek dünyadan alınan herhangi bir durumun her bireyde oluşturduğu anlam, bir diğer deyişle zihninde oluşturduğu durum farklı olabilmektedir. Ayrıca literatürde iki farklı matematiksel modelleme süreci tanımı bulunan Blum (1996) ve Blum ve LeiB (2007) nin tanımladığı süreç şemaları incelenecek olursa, gerçek durumdan sonra problemin yapısı için oluşturulmuş olan durum modeli inşa edilmiş mi ?’ sorusunun cevabı Blum (1996) da bulunmamaktadır (Borromeo Ferri, 2006). Fakat bilişsel basamakların bu şekilde ayrıntılandırmasında kullanılan etkinliklerin ve öğrenci seviyelerinin önemli olduğu, örneğin ortaokul seviyesindeki öğrencilerin kapsamlı bir bilişsel modelleme döngüsünden geçmedikleri belirlenmiştir (Borromeo Ferri, 2006). Bu bağlamda Maaß (2006), Blum (1996)’nın ifade ettiği modelleme döngüsünü, ortaokul seviyesindeki öğrenciler ile yaptığı çalışmasında aşağıdaki şekilde uyarlamıştır.

Şekil 2.10. Modelleme Süreci (Blum 1996’dan uyarlayan Maaß (2006))

Maaß, K. (2006). What are modelling competencies? ZDM - International Journal on Mathematics Education, 38(2), 113–142 kaynağından erişilmiştir.

39

Görüldüğü gibi Maaß (2006)’nın uyarladığı modelleme süreç şemasında, ekstra matematiksel bilgi ile şekillenen durum modeli yoktur. Ortaokul seviyesindeki öğrencilerin zihinlerinde oluşan yapıyı, yani durumun zihinsel temsilini belirlemenin çok zor olduğu ile açıklanmıştır (akt. Borromeo Ferri, 2006). Bununla birlikte, matematiksel modelleme sürecinde, gerçek dünyadan alınan bir durumun matematiksel modelinin çıkarılmadan önce, durumun içerisinde var olan değişkenlerin seçilerek ve durumu basitleştirerek gerçek modelin (gerçek dünya) oluştuğu söylenebilir.

Daha sonra, değişkenleri belli olan gerçek durumun matematiğe aktarımı ve matematik içerisinde çözümü gerçekleştirilir. Çözüm gerçek dünyaya yorumlanır ve yorumlanan çözüm ise gerçek dünyada doğrulanabilir olmalıdır. Aşağıda, Blum ve Borromeo Ferri (2009)’nin bir etkinlik üzerinden bu süreç basamaklarından nasıl geçildiğine dair örneğine yer verilmiştir. Bu örnek, bu araştırma için de esas alınan Maaß (2006)’nın uyarladığı süreç tablosu baz alınarak incelenmiştir.

Mrs. Stone, Lüksemburg sınırından 20 km uzaklıkta Trier’ da yaşıyor. Lüksemburg sınırının hemen arkasındaki benzin istasyonunda VW Golf markalı arabasına benzin almak için gidiyor. Çünkü orada petrolün litresi 1.10 Euro iken, Trier’da 1.35 Euro’dur.

Sizce Mrs. Stone’ un ucuz benzin almak için oraya gitmesi kayda değer mi ?

Bu problem gerçek dünyada karşılaşılan herhangi bir durumun örneğidir. Öncelikle problem çözücü tarafından bu problem algılanır ve çözüm için nelerin gerekli olduğu belirlenir. Bunun için bazı basitleştirmeler, yapılandırmalar yapılabilir. Burada problem çözücü en ‘kayda değer’ olması için neyin gerekli olduğunu tanımlar. Bu süreç basamağı ‘gerçek dünya’ ya da bahsedilen diğer süreç basamakları için ‘gerçek model’ olarak belirlenmiştir. Normalde, bu problem için ‘gerçek dünya’ ya da ‘gerçek model’, ‘sürüş ve dolum için en az maliyeti bulma’ olarak tanımlanabilir. Gerçek modelden matematiğe geçiş ise, gerçek modelin bazı denklemler ve işlemler yoluyla matematik içerisinde ifadesi ile oluşur. Matematik içerisinde çalışılarak (hesaplama, denklem çözme) ‘matematiksel çözüm’ e gidilir. Bu çözüm gerçek dünya içerisine yorumlanarak ‘yorumlanan çözüm’ e gidilir. Son olarak Mrs. Stone’nun ne yapması gerektiği ile ilgili bir öneri ile sonuçlanır. Sonuçlanan bu öneriler ise, gerçek dünyada karşılığı olup olmadığıyla ilgili bir doğrulama yapılır.

40

Doğrulama sonucu tüm bu döngü ikinci kez tekrarlanabilir. Örneğin gerçek dünyadaki ‘zaman’ ve ‘hava kirliliği’ gibi değişkenler de eklenebilir. Hangi faktörlerin göz önüne alındığına bağlı olarak Mrs. Stone’ a farklı öneriler sunulabilir (Blum ve Borromeo Ferri, 2009).

Tüm bu süreç tabloları, aslında matematiğin soyut ve gerçek dışı görünümünün nasıl gerçeğin içerisinde olduğunu veya nasıl gerçeğe dönüştüğünü göstermektedir. Fakat, bu sürecin öğrencilerce gerçekleşebilmesi, onların bu süreç basamaklarından ilerlemeleri ile mümkündür. (Blum ve Borromeo Ferri, 2009), tanımlanan tüm süreç basamaklarını öğrencilerin modelleme sürecinden geçerken karşılaşacakları bilişsel engeller olarak değerlendirmektedirler.

Bu engellerin aşılabilmesi için de öğrencilerin bazı yeterliklere sahip olmaları gerekmektedir. Literatürde matematiksel modelleme yeterlikleri olarak adlandırılan bu yeterlikler, genel anlamda, süreç basamaklarının uygun bir şekilde gerçekleşerek modelleme sürecinin tamamlanması için gereken beceriler olarak kısaca tanımlanabilir. Bu kapsamda, matematiksel modelleme yeterlikleri tanımı ve modelleme süreci ile ilişkisi aşağıda tartışılmıştır.