Matematik, insan zihninin kapasitesini arttırarak, bilim, teknoloji, mühendislik, iş dünyası ve hatta hükümetlerin gelişimine kolaylık sağlamıştır. Toplum içerisinde yaşayan insanların belirli bir miktarda matematik bilmeleri gerekmektedir. Aritmetik düşünme becerisi olmayan insanlar, yalnızca karşılarına çıkan fırsatlardan değil, aynı zamanda günlük görev yeterliklerinden de mahrum olurlar ve gelişmeye yönelik insan çabalarının tüm alanlarından koparlar (Kilpatrick, Swafford, Findell, ve Committee, 2001). Bu bağlamda, farklı ülkelerin müfredatlarında öğrencilerin yaşam koşullarına hazır olması, kendi ihtiyaçlarını karşılayarak modern dünyaya uyum sağlayabilmesi amacıyla, matematik derslerinde kazandırılması öngörülen temel beceriler ele alınmıştır (Common Core State Standarts Initiative [CCSSI], 2010; MoE Singapore, 2003; NCTM, 2000). Çünkü müfredat içerisinde kullanılan yöntemler ve öngörülen becerilerin seçimi, toplumun eğitimli bireylerden ne istediği ile ilgili olarak değişmektedir (Kilpatrick vd., 2001). Türkiye’deki matematik müfredatlarına bakıldığında, problem çözme, akıl yürütme, ilişkilendirme, matematiğin bir iletişim dili olarak kullanabilme becerileri, duyuşsal beceriler, psikomotor beceriler ve bilgi ve iletişim teknolojilerini kullanabilme becerileri öğrencilere kazandırılması gereken temel beceriler olarak belirlenmiştir (MEB, 2013 a, b).
16
Benzer şekilde, NCTM (2000) anasınıfından 12. Sınıfa kadar olan tüm öğretim programlarında yer alması gereken matematiksel süreç becerilerinin, problem çözme, akıl yürütme, ilişkilendirme, iletişim ve temsil becerileri olarak belirlemiştir.
Matematik eğitiminde kazandırılması istenen süreç becerileri, matematiğin evrensel yapısından dolayı birbirine çok yakındır. Dünyaca kabul görmüş, bilişsel psikoloji ve matematik eğitimi araştırmaları, matematik öğrenimi ve öğretimi üzerine deneyimler, matematiksel bilgi kavrama ve insanların günümüzde ihtiyaç duydukları beceriler göz önünde bulundurulduğunda, başarılı matematik öğretiminin ayrıntılı ve kapsamlı bir görüntüsünün olduğu ortaya çıkmaktadır (Kilpatrick vd., 2001). Bu bağlamda, ‘tüm genç Amerikalılar matematiksel düşünmeyi öğrenmeli ve öğrenmek için matematiksel düşünmeli’ amacıyla National Research Council (Ulusal Araştırma Konseyi) tarafından kurulan Matematik Öğrenimi Çalışma Komisyonu’nun (National Research Council’s Mathematics Learning Study Committee) yayınladığı “Adding It Up _ Helping Children Learn Mathematics (2001)” (Çocuklara Matematik Öğreniminde Yardımcı Olmak) adlı raporunda, herkesin öğrenebileceği matematik öğretiminin amaçladığı hedefleri ‘yeterlik’ adı altında 5 maddeye ayırmıştır.
17 Şekil 2.1. Birbirine kenetlenmiş yeterlik unsurları
Van De Walle, J. A., Karp, K. S., ve Bay-Williams, J. M. (2012). İlkokul ve ortaokul matematiği gelişimsel yaklaşımla öğretim. (S. Durmuş, Çev.), Ankara: Nobel Akademik. Kaynağından alınmıştır.
Şekil 2.1.’ de görüldüğü gibi, matematik öğretiminin amaçladığı hedefler, yeterlikler adı altında 5 ana başlık altında toplanmıştır. Fakat bu unsurlar, iç içe geçmiş birbirinden tamamen bağımsız olmayan karmaşık bir bütünün değişik yönlerini temsil etmektedir. Ayrıca yine şekilde görüldüğü gibi bu yapılardan yalnızca bir ya da ikisine odaklanılamaz, 5 unsur bir bütün halindedir. Bu yeterlikler, öğrencilerin günlük yaşamlarında karşılarına çıkan matematiksel olaylarla başa çıkabilmelerini ve lise ve daha üst düzeydeki çalışmalarını devam ettirmelerine olanak sağlarlar (Kilpatrick vd., 2001).
Söz konusu (Şekil 2.1.) 5 unsuru kısaca açıklayacak olursak, kavramsal anlama, matematiksel fikirlerin bütünsel ve işlevsel bir kavrayışını ifade eder. Öğrenciler bir matematiksel fikrin neden yararlı olduğunu ve nerelerde kullanıldığını anlayabilirler. İşlemsel kıvraklık (akıcılık) ise, matematiksel işlemleri esnek, uygun, doğru bir biçimde yerine getirme becerisi olarak tanımlanmıştır.
18
Stratejik (şartlara uygun) yetkinlik, matematiksel problemleri formüle etme, onları temsil etme ve çözme becerisini ifade eder. Bu yeterlik, NCTM’ de ve farklı ülkelerin öğretim programlarında da karşımıza çıkan ‘problem çözme’ yeterliğinin daha kapsamlı halidir. Her ne kadar okullarda öğrencilere sıklıkla çözülmesi gereken belirgin problemler verilirken, okul dışında karşılaştıkları sorunların bir bölümünde problemin tam olarak ne olduğunu bulmaya çalışırlar. Ardından sorunu çözmek için matematiği kullanarak problemi formüle etmeleri gerekir. Sonuç olarak, özel bir durumda çözüm stratejilerini ve neyin faydalı olacağını bilmeleri gerekir. Dolayısıyla NCTM ve Türk Matematik Müfredatlarında belirlenen temsil becerisi de bu yeterlik kapsamına girmektedir. Mantıksal düşünme, bir durumun doğruluğu, yanlışlığı ya da alternatif yeni bir durum üretme üzerine mantığı kullanabilme becerisidir. Bu yeterlik NCTM’nin belirlediği süreç becerilerinden ‘akıl yürütme’ ile ‘iletişim’ becerilerine dayanmaktadır. Belirlenen yeterliklerden sonuncusu verimli eğilim (tavır) matematiği mantıklı, faydalı görme ve matematiği öğrenmek için çaba sarf ettiği takdirde üstesinden gelebileceğine inanma olarak tanımlanabilir. Türk Matematik Müfredatında belirlenen duyuşsal beceriler bu kapsam altına alınabilir.
Niss (1999) matematiği hem matematiksel içerikler, hem de matematiksel olmayan içeriklerde matematiğin rol oynadığı/oynayabileceği durumlarda kullanma, anlama ve değerlendirme yeteneği olarak, (Kilpatrick vd, 2001)’ in yukarıda bahsedilen matematiksel yeterlikler çerçevesini daha geniş kapsamda aşağıdaki gibi ele almıştır (Akt. Niss, 2004). Niss, Almanya’da yürüttüğü KOM projesi kapsamında, matematiksel yetkinliğe sahip bir kişinin nelere sahip olması gerektiği sorusunu cevaplamaya çalışırken, herhangi bir dili öğrenen insanın dilsel yetkinlik için o dili kullanması (konuşma, yazma, okuma, dinleme, anlama), yani dilsel yeterlikten yola çıkarak aşağıdaki yeterliklerin belirlendiğini dile getirmiştir (Niss, 2015).
1. Matematiksel Düşünme
Matematiksel özellikleri olan soruları ortaya çıkarma ve matematiksel olabilecek cevaplar sunabilme (bunları nasıl edindikleri ya da kendilerinin cevapları gerekli değil)
Verilen kavramın kapsamını ve sınırını anlama
Kavramın bazı özelliklerini soyutlayarak kapsamını genişletme
Matematiksel durumların farklı çeşitleri arasında ayırım yapma (eğer – o zaman gibi nicelik yüklü ifadeler, tanımlar, teoremler, varsayımlar)..gibi
19 2. Problem çözme ve kurma
Pür veya uygulamalı, açık uçlu ya da kapalı gibi farklı türden matematiksel problemleri tanımlama, kurma ve nitelendirme
Kişinin kendisinin ya da başkaları tarafından oluşturulan farklı türdeki problemleri çözme, uygunsa farklı yollarla çözme..gibi
3. Matematiksel modelleme
Mevcut modellerin özelliklerinin ve oluşumlarının analizi, modellerin geçerliğini değerlendirme
Mevcut modelleri çözme, bir diğer deyişle gerçeklik cinsinden verilen elemanları yorumlama ve dönüştürme
Verilen bağlamda aktif modelleme performansı Alanı yapılandırma
Matematikleştirme
Ortaya çıkan problemleri çözmeyi içeren modeller içinde çalışma Modeli doğrulama, geçerlik ve güvenirliği
Modelin eleştirisi ve analizi
Model ve sonuçları hakkında iletişim Modelleme sürecini analiz etme..gibi 4. Matematiksel akıl yürütme
Başkaları tarafından öne sürülen çeşitli argümanları değerlendirme
Matematiksel kanıtın ne olup olmadığını bilme, matematiksel akıl yürütmenin nasıl olduğunu, örneğin ‘sezgi’ den farkının ne olduğunu bilme,
Verilen argümanda (özellikle kanıtta) temel fikirleri ortaya çıkarma Sezgisel argümanları geçerli delillere dönüştürme gibi
5. Matematiksel obje ve durumların temsili
Matematiksel nesne, olay ve durumların farklı temsillerini anlamak ve bunlardan faydalanmak ..
Aynı durumun güçlü ve sınırlı yanları hakkında bilgi içeren farklı temsilleri arasındaki ilişkiyi anlama
Temsiller arasında seçim ve değişim yapma ..gibi 6. Matematiksel sembol ve formülleri kullanma
Sembolik ve biçimsel matematiksel dili yorumlama ve çözme ve bunun doğal dil ile ilişkisini anlama
20
Formel matematiksel sistemlerin kurallarını ve doğasını anlamak (hem sözcüklerin kulanım sırası hem de anlamı bakımından)
Doğal dilden formel/sembolik dile çevirme
Sembol ve formülleri içeren ifadeleri ve açıklamaları manipüle etmek ve kullanma ..gibi 7. Matematiğin içinde ve dışında, matematik ile iletişim kurma
Matematiksel içeriğe sahip konularda farklı diller içerisinde başkalarının yazılı, görsel ve sözlü metinlerini anlama
Sözlü, görsel ve yazılı formlarda teorik ve teknik olarak farklı seviyelerde kendini ifade etme..gibi
8. Teknoloji ile birlikte yardımcı araçların kullanımı
Yardımcı olabilecek araçların özelliklerini, sınırlılıklarını bilerek matematik içinde kullanma
Bu araçları kullanırken yansıtma yapabilme.. gibi
Tanımlanan bu sekiz yeterlik, öğrencilerin matematik yaparken bilişsel ve psikolojik süreçlerinde yaşadıklarından doğal olarak oluşur. Bununla birlikte bu yeterlikler, tüm matematik eğitimi boyunca kapsayıcı olmakla beraber, farklı koşullara, müfredatlara ve konulara göre değişmez. Sadece farklı ülkelerde farklı düzeylerde gelişebilir. Bu da yeterliklerin, yeteneklerin çok daha ötesinde bir anlam taşıdığının en önemli göstergelerinden biridir (Niss, 2004).
Görüldüğü gibi, gerek farklı ülkelerin matematik müfredatlarında, gerekse uluslararası kabul görmüş çalışmalarda matematik eğitiminde öğrencilere kazandırılması gereken beceri ve yeterlikler aynıdır. Niss (2004), bu yeterliklerin okul ortamında ve sınıf kültüründe öğretilen problemlerin çözümü için mutlaka gerekli olduğunu ve bu yüzden farklı ülkelerin matematik müfredatlarında geniş yer bulduğunu bildirmiştir. Ayrıca gerek Kilpatrick vd., (2001), gerekse NCTM (2000)’in farklı zaman ve koşullarda farklı deneyimlerle ve hatta farklı kavramlarla ifade edilen bu yeterliklerin, birbirlerine kavramsal ve terminolojik gelişme ve iyileşme sağladığını belirtmiştir (Niss, 2015).
21
Niss (2004)’ ün tanımladığı matematiksel yeterliklere bakıldığında, diğerlerinden farklı olarak ‘matematiksel modelleme’ yeterliği olması dikkat çekicidir. Benzer şekilde, Amerika Birleşik Devletleri’nde, özellikle son yıllarda matematik eğitiminde lider ülkelerin müfredatları baz alınarak, ülkedeki matematik başarısını iyileştirmek ve daha uyumlu hale getirmek amacıyla hazırlanmış ve hemen hemen tüm eyaletlerde uygulanmaya başlanan matematik eğitimi standartlarına bakıldığında da (CCSSI, 2010), matematiksel modellemenin belirlenen sekiz standarttan biri olduğu görülmektedir. Burada, matematikte yetkin olan bir öğrencinin günlük hayatında, toplumda ya da çalışma hayatında karşısına çıkan problemleri bildiği matematik ile çözebileceği bildirilmiştir (CCSSI, 2010)
Matematiksel Modelleme yeterliği, aslında son yıllarda özellikle PISA tarafından vurgulanan, tüm yeterliklerin merkezinde yer alan bir yapıya sahiptir (OECD, 2013; Stacey ve Turner, 2015). Niss (2015), matematiksel yeterliklerin merkezi özelliğini taşıyan matematiksel modellemeyi neden diğer yeterlikler arasında aldığını, yeterliklerin birbirleriyle örtüşmesi özelliğinden yola çıkarak, yeterliklerden birine vurgu yaptığımızda, diğerleri zaten otomatik olarak ‘yardımcı birlikler’ olarak dahil olacakları düşüncesiyle açıklamıştır. Bir diğer yandan Kilpatrick (2001)’de belirlenen matematiksel yeterliklerin herbirinin matematiksel okuryazarlığı, dolayısıyla matematiksel modellemeye ayrıntılı bir bakış açısı sağladığını dile getirmiştir. OECD, (Organisation for Economic Co-operation and Development), aslında matematiksel yeterliklerinin matematik okuryazarlığının bir göstergesi olarak nitelendirmiştir (2012) Mathematical Literacy). Gerçekten de matematik okuryazarlığının tanımına bakıldığında, temeldeki fikirlerin bu yeterlikler olduğu göz önüne çıkmaktadır.
Matematiksel okuryazarlık, bireylerin, matematiğin çeşitli bağlamlarda yorumlanması, formüle edilmesi kullanılması için bireyin kapasitesidir. Matematiksel olarak akıl yürütmeyi, olguları tanımlamak, açıklamak, tahmin etmek için matematiksel gerçekler, yapılar, araçları kullanmayı içerir. Bireyin mevcut ve gelecekteki yaşamının yapıcı, sorumlu ve yansıtıcı bir vatandaş olarak ihtiyaçlarını karşılayacak şekilde olabilmesi için iyi yapılandırılmış matematiksel yargılarda bulunabilmesi ve dünyada matematiğin oynadığı rolü tanıma ve anlama kapasitesi olarak tanımlanmaktadır (OECD, 2013 s.25).
22
OECD (2013) raporuna göre, PISA (Programme for International Student Assessment)’ nın bakış açısı, gençlerin belirli bir matematik konusuna hakim olmalarını sağlamak değil, zorunlu eğitimlerinin sonucunda çokyönlü toplum içerisinde bir vatandaş ve birey olarak başarılı olmalarını sağlamaktır. Bu bakımdan, PISA ‘nın başlangıcından itibaren, matematik çerçevesinin temel taşlarından biri olan ‘matematiksel modelleme’ kavramının matematik okuryazarlığı tanımına entegre edilmesi ile oluşan ‘matematik okuryazarlığı’ nın uygulanmasına yönelik şekil aşağıda verilmiştir (OECD, 2013).
Şekil 2.2. Matematik okuryazarlığının pratikteki modeli (OECD, 2013)
http://dx.doi.org/10.1787/9789264190511-en adresinden erişilmiştir.
Şekil 2.2.’e bakıldığında, en dıştaki kutu, matematik okuryazarlığının gerçek dünyada ortaya çıkan bir problem bağlamında gerçekleştiğini göstermektedir. Bu problem kişinin bireysel ailecek ya da bir grupla karşı karşıya kaldığı herhangi bir problem olabilir. Aslında zorluğun altında bir matematiksel olgu yatmaktadır. Kutudaki matematiksel içerik kategorileri de matematiğin analiz etmek için oluşturulduğu olguların geniş bir sınıfını tanımlar. İkinci kutu, kişinin problemi çözebilmek için matematiksel düşünme aşamasında kullanabileceği becerileri tanımlamaktadır.
23
Son döngü ise, matematiksel modelleme döngüsüne işaret etmektedir. Bu döngü matematiksel okuryazarlık esnasında bir problem çözücünün hareket ettiği aşamaların ideal ve basitleştirilmiş bir döngüsüdür. (OECD, 2013). Şimdi bu döngüden yola çıkarak, matematiksel modellemenin tanımı yapılacak, döngünün içerisinde yer alan problem çözme ile ilişkisine değinilecek ve literatürde tanımlanan farklı modelleme döngüleri hakkında bilgi verilecektir.
Matematiksel modellemenin ne olduğunun daha iyi anlaşılabilmesi için model ve modelleme kavramlarının tanımlanması gerekmektedir. Bu bakımdan, öncelikle model ve modelleme kavramlarının tanımlanması yapılacak, daha sonra matematiksel model ve matematiksel modelleme kavramları ayrıntılı bir şekilde açıklanacaktır.