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Os Parâmetros Curriculares Nacionais, documento que orienta a Educação Fundamental Brasileira desde 1998, recomendam, de modo tímido, no volume destinado à Matemática, o trabalho com demonstrações, se comparado com a ênfase dada a outros recursos e tendências no ensino desta disciplina.

É destacada, neste documento, a importância do exercício da indução e da dedução como elemento propulsor do desenvolvimento de ações matemáticas nos alunos, tais como resolução de problemas, formulação e testagem de hipóteses, indução, generalização e dedução imersas numa determinada lógica. Do mesmo modo, é ressaltado o valor das experiências materiais como fonte de formulação de conjecturas. Estas afirmações estão sintetizadas num dos princípios norteadores dos Parâmetros para o ensino de Matemática:

o ensino de Matemática deve garantir o desenvolvimento de capacidades como: observação, estabelecimento de relações, comunicação (diferentes linguagens), argumentação e validação de processos e o estímulo às formas de raciocínio como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa. ( BRASIL, 1998, p.56)

Segundo os PCN, a Geometria é a área da Matemática que possibilitará o primeiro contato dos alunos com o raciocínio dedutivo, além de beneficiar o desenvolvimento da capacidade de argumentação e construção de demonstrações. Mas também atentam para o fato de que o seu estudo não deve se revestir de formalidade e axiomatização.

Há também um alerta para o tipo de atividade que concretiza determinadas propriedades geométricas, pois algumas podem distanciar o aluno da prova formal. É citado, como exemplo, um quebra-cabeças plano para verificar o teorema de Pitágoras. Este material concreto se relaciona com uma demonstração para o teorema, por meio da aditividade de áreas. Por outro lado, a verificação de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, concretizada pela decomposição e composição de um modelo material de um triângulo, não tem

correspondência com nenhuma demonstração para esta propriedade, cuja prova se baseia em axiomas e teoremas sobre um par de retas paralelas.

Nos Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio (1998) e os PCN+ Matemática (2002), não há orientação explícita para o trabalho com demonstrações. Apenas afirmam que o aluno de Ensino Médio deve aprender a valorizar a demonstração como instrumento de validação do conhecimento matemático. As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) indicam que o ensino de Matemática neste nível deve possibilitar ao aluno ver esta ciência com características próprias, fundada em teoremas e demonstrações. Também colocam a Geometria como a área da Matemática na qual os alunos têm a oportunidade de contemplar mais intensamente o lado axiomático desta. Este aspecto também é sublinhado por Polya (1995).

Retomamos, de modo sintetizado, os principais resultados das pesquisas apresentadas, no capítulo anterior, pois estas integram parte substancial da problemática. A inferência de que as demonstrações, em especial em Geometria, não são trabalhadas nos cursos de licenciatura em Matemática, na medida necessária para que os futuros professores possam abordá-las com seus alunos da Educação Básica, é assinalada nos trabalhos de Serralheiro (2007), Pietropaolo (2005), Domingos e Fonseca (2008), Gravina (2001).

A diferença entre as validações empíricas e teóricas, bem como a conscientização do aluno sobre a necessidade desta última, constituem pontos não enfatizados nas aulas de Matemática (SERRALHEIRO, 2007; PARZYSZ, 2006) e nos livros analisados por Carlovich (2005), além de estes não contemplarem a articulação G1-G2.

As implicações do trabalho com os softwares de geometria dinâmica para as investigações de problemas em Geometria, visando à elaboração de conjecturas e suas possíveis demonstrações são pontuadas por diversos pesquisadores. Gravina (2001) sublinha a necessidade de estudos de uma tipologia dinâmica para os sistemas clássicos da Geometria e a formulação de teoremas geométricos como problemas abertos. Villiers (2002) e Otte(1999) atentam para o fato de que a fase de experimentação antecede a fase da construção da demonstração, e assinalam a contribuição dos softwares de geometria dinâmica para a primeira fase. Este último aspecto é também pontuado pelos pesquisadores citados no item 2.4 desta Tese. Mas um aspecto ambíguo da experimentação em ambientes de geometria dinâmica

é levantado por Olivero, Paola e Robutti (2003) e Parzysz (2006). Segundo eles, ao mesmo tempo que incentivam a formulação de conjecturas, tais ambientes podem provocar um convencimento de tal modo que levem os alunos a imaginar ser desnecessária a demonstração destas conjecturas.

A urgência de estudos sobre aspectos da demonstração na licenciatura em Matemática é pontuado por Pietropaolo (2005). Este autor ainda aponta para a necessidade de pesquisas sobre as formas de envolvimento dos alunos com

argumentações, conjecturas e demonstrações. Diante do exposto nos parágrafos anteriores, surge uma interrogação: Os

cursos de licenciatura em Matemática estão preparando os futuros professores para trabalhar as demonstrações nos termos expressos nos PCN’s? Pesquisas relatadas, em capítulos anteriores, apontam que não. Portanto, há necessidade de investigações que produzam encaminhamentos de como preparar o professor em formação para realizar com seus alunos tarefas de cunho investigativo.

Com base nas leituras feitas e, consequentemente, com base nos resultados das pesquisas relatadas, formulamos os seguintes objetivos:

1- Fazer com que os alunos evoluam na construção do raciocínio hipotético- dedutivo a partir da interação com atividades de construção geométrica e demonstração;

2- Estudar a suficiência dos níveis de raciocínio geométrico elaborados para compreensão das produções dos alunos.

A partir destes objetivos, as questões que conduzirão nossa investigação são enunciadas a seguir:

1- Que articulações podemos inferir entre os níveis de raciocínio geométrico propostos por Parzysz (2001, 2006) e os tipos de prova propostos por Balacheff (1987), quando os alunos mobilizam seus conhecimentos para resolver problemas relativos à demonstração em Geometria?

2- Qual a influência da utilização de softwares de geometria dinâmica na construção de argumentações por alunos do curso de Licenciatura em Matemática?

3.2 Metodologia

Nosso trabalho de pesquisa tem seu foco voltado para a sala de aula. Nosso interesse é investigar o que ocorre quando alunos da licenciatura em Matemática utilizam softwares de geometria dinâmica para apoiar a elaboração de conjecturas e suas posteriores demonstrações, além de identificar articulações entre os níveis de raciocínio geométrico do sujeito segundo Parzysz (2001, 2006) e os tipos de prova delineados por Balacheff (1987). A análise dos dados provenientes desta observação será o alicerce sobre o qual se erguerão as nossas propostas para o ensino de demonstrações em Geometria, na licenciatura em Matemática, objeto de estudo desta investigação.

A elaboração do objetivo e das questões de pesquisa nos conduziram a eleger a pesquisa de natureza qualitativa como metodologia mais adequada ao estudo que pretendemos desenvolver. Por outro lado, nosso trabalho trata de um estudo diagnóstico, pois submete o objeto de estudo à influência de certas variáveis, em condições controladas e conhecidas por nós (o uso dos ambientes papel e lápis e geometria dinâmica). Deste modo, lançamos mão de aspectos de um estudo de caso, cuja unidade de estudo é o conjunto formado por três duplas de alunos.

3.2.1 Caracterização da pesquisa

A conceituação de pesquisa qualitativa é envolvida em contradições e diferentes interpretações, sendo a dicotomia entre esta e a pesquisa quantitativa a polêmica mais comum (REY, 2002). D’Ambrosio (2004) relata que a pesquisa qualitativa ganhou força com as pesquisas em Psicologia, tendo no trabalho de Piaget uma importante influência no que diz respeito à utilização de estudos de casos e método clínico para a validação de uma pesquisa.

O início da pesquisa qualitativa em Educação Matemática confunde-se com o estabelecimento desta última como ciência, e portanto, como área de pesquisa. As ações para o desenvolvimento desta nova área “estimularam a pesquisa de natureza qualitativa” (D’AMBROSIO, 2004, p. 19).

Mas o que é pesquisa qualitativa? Citamos, na sequência, três autores que buscam clarear a compreensão.

A pesquisa qualitativa, também chamada de pesquisa naturalística, tem como foco entender e interpretar dados e discursos, mesmo quando envolve grupos de participantes. (D’AMBROSIO, 2004, p. 12)

Segundo a minha concepção, o adjetivo “qualitativa” estará adequado às pesquisas que reconhecem: (a) a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade de uma hipótese a priori, cujo objetivo da pesquisa será comprovar ou refutar; (c) a não neutralidade do pesquisador que, no processo interpretativo, se vale de suas perspectivas e filtros vivenciais prévios dos quais não consegue se desvencilhar; (d) que a constituição de suas compreensões dá-se não como resultado, mas numa trajetória em que essas mesmas compreensões e também os meios de obtê-las podem ser (re)configurados; (e) a impossibilidade de estabelecer regulamentações, em procedimentos sistemáticos, prévios, estáticos e generalistas. (GARNICA, 2004, p. 86)

Na pesquisa qualitativa, a preocupação do pesquisador não é com a representatividade numérica do grupo pesquisado, mas com o aprofundamento da compreensão de um grupo social, de uma organização, de uma instituição, de uma trajetória etc. (GOLDENBERG, 2000, p. 14)

Ao analisar o que dizem os autores, nesta seção, observamos diferentes aspectos de uma pesquisa qualitativa. D’Ambrosio (2004) enfatiza a natureza do objeto a ser pesquisado – dados e discursos. Garnica (2004) coloca o foco nos meios, procedimentos e compreensão dos resultados obtidos durante e ao final da pesquisa. Goldenberg (2004) refere-se à preocupação com a compreensão de fatos restritos ao grupo pesquisado.

D’Ambrosio (2004) considera mais legítimo “relatar sobre pesquisas” no lugar metodologia de pesquisa. Nós diríamos relato de pesquisa, com todas as idas e vindas, as dúvidas, o caminho, quase sempre tortuoso para o estabelecimento da questão de pesquisa, a escolha do referencial teórico, as análises e as afirmações possíveis ao final destas análises.

Deste modo, ao escrever este capítulo sobre a metodologia de pesquisa utilizada nesta investigação, resolvemos “tomar” a pesquisa em nossas mãos, relatando como construímos nossa metodologia ao longo do trabalho.

Os objetivos da pesquisa, o objeto de estudo e os instrumentos que julgamos adequados para a coleta de dados nos aproximaram de um estudo de caso, que é uma pesquisa de natureza qualitativa (GIL, 2009).

Segundo este autor, há diferentes definições e compreensões do que venha a ser um estudo de caso, mas pode-se afirmar que estudo de caso é um delineamento no qual são usadas variadas técnicas de coleta de dados, tais como a observação, a entrevista e a análise de documentos. Dentre as definições apresentadas, escolhemos a que melhor se alinha aos nossos propósitos: O estudo da

particularidade e da complexidade de um simples caso” (STAKE, 1995, p.xi, apud GIL, 2009, p. 6).

Apesar da diversidade de entendimentos sobre o que é estudo de caso, Gil (2009) apresenta a definição deste por meio da identificação de suas características essenciais. Na sequência, apresentamos tais características, exemplificando com aspectos da nossa pesquisa.

A primeira característica identificada por Gil(2009) é o fato de o estudo de caso ser um delineamento de pesquisa, não podendo ser confundido com método, técnica, estratégia ou tática para coleta de dados. Este aspecto está presente em nossa investigação, uma vez que envolve as fases de formulação e delimitação do problema de pesquisa, escolha da amostra, seleção dos instrumentos de coleta de dados e análise dos mesmos, assim como a teoria que apoiará tal análise. O segundo atributo é a preservação do caráter unitário do fenômeno pesquisado, ou seja, o objeto de estudo é tomado em sua totalidade, em nossa investigação, na qual a unidade é o conjunto das três duplas formadas por alunos do sexto período de licenciatura em Matemática. Tais alunos serão caracterizados mais adiante neste texto.

A contemporaneidade do fenômeno relacionado ao objeto de estudo é a terceira característica, isto é, a sua ocorrência se dá no momento da realização da pesquisa. Na nossa investigação, o fenômeno foi a realização da atividade proposta pelos alunos que compunham o estudo de caso, no ambiente de sala de aula. Este aspecto evidencia a inseparabilidade do fenômeno de seu contexto, que é a quarta característica do estudo de caso.

A profundidade do estudo possibilitada pela variedade de dados obtidos, por exemplo, por meio de entrevistas semiestruturadas, é a quinta característica desta pesquisa. Em nossa investigação, o nível de profundidade foi garantido pelos métodos de coletas de dados (entrevista semiestruturada, observação participante, registros escritos e eletrônicos dos alunos e gravação em áudio dos diálogos entre os alunos), que nos possibilitaram a visualização de diferentes aspectos. E finalmente, destaca-se a sexta e última característica que diz respeito à utilização de múltiplos procedimentos de coleta de dados, aspecto contemplado na presente investigação, na qual lançamos mão da observação, registros escritos e eletrônicos dos alunos e entrevista.

Observamos acontecer, no desenrolar de nosso trabalho, um amadurecimento da questão de pesquisa vinculada à análise dos dados obtidos. No início, este fato nos desconcertou, pois tal indefinição nos levava a creditá-la a um planejamento incompleto. Até que encontramos, em Rey (2002), uma explicação para o que estava ocorrendo com os rumos do nosso trabalho:

O problema no tipo de pesquisa que defendemos não necessita ser definido perfeitamente no momento inicial da pesquisa, pois dele não dependem diretamente os outros momentos daquela; só representa um primeiro momento na concepção de se deseja pesquisar; portanto, mais que uma construção acabada do problema, representa uma construção em processo, que irá desenvolver em direção de novas e diversas formas (REY, 2002, p. 72)

Este aspecto está em concordância com o afirmado por Martins (2008), pois segundo este autor, dificilmente as questões de pesquisa não são alteradas ao longo do processo, devido à dinâmica inerente ao estudo de caso.

Segundo Rey (2002), a definição de hipóteses formais não é exigida na pesquisa qualitativa, uma vez que esta não tem a pretensão de provar nem de verificar, mas sim de construir. A prova ou a verificação surgem como momentos do processo de pesquisa, e não como um fim em si mesma. Um outro momento considerado pelo autor é a revisão bibliográfica, pois dela emergem as ideias que influenciarão a definição do problema. Ainda com relação aos momentos da pesquisa, Rey (2002) destaca que o momento da coleta de dados e o da análise caminham juntos ao longo do trabalho. Pudemos observar este aspecto em nossa trajetória, pois ao observar e descrever os dados obtidos, muitas reflexões foram surgindo, e testemunhamos a inseparabilidade de tais momentos.

Gil (2009) comenta que pesquisas com propósitos exploratórios, descritivos e explicativos podem ser desenvolvidos como estudos de caso:

De fato, são adequados para ampliar o conhecimento do pesquisador acerca de fenômenos ainda pouco conhecidos. Também podem ser desenvolvidos com o propósito de formulação de problemas para uma investigação mais criteriosa, bem como para a formulação de hipóteses. [...] O que caracteriza este estudo é fato de não serem definitivos, já que visam subsidiar a realização de pesquisas futuras. Mas isto não significa que possam ser realizados sem rigor. Basta considerar que os estudos de Piaget sobre o desenvolvimento intelectual das crianças fundamentaram-se no estudo de poucos casos (seus três filhos), mas foram desenvolvidos com notável rigor.(GIL, 2009, p. 14).

Nossa investigação encaixa-se nestes propósitos, pois pretende diagnosticar os elementos do conhecimento do licenciando, quando este resolve um problema de

demonstração em Geometria. Constitui-se, portanto, como um estudo descritivo e exploratório, do qual podem aflorar indicações de pesquisas futuras.

Nós optamos por estabelecer os objetivos após a definição das questões de pesquisa. Esta opção foi devida a necessidade de clarificação das etapas a serem cumpridas e do foco da análise durante a realização da investigação. Observamos que esta é uma orientação de Gil (2009).

Ao estabelecer os instrumentos de coleta de dados, nos preocupamos em formular os instrumentos que nos permitissem recolher os dados que julgávamos necessários ao esclarecimento de nossas indagações iniciais.

E assim, elaboramos a atividade descrita no item 2.2 desta Tese, para ser resolvida no ambiente papel e lápis e no ambiente de geometria dinâmica Geogebra. Os alunos foram observados durante toda a resolução da atividade nos ambientes papel e lápis e Geogebra, pois a observação é uma das mais importantes técnicas de coleta de dados num estudo de caso (GIL, 2009; MARTINS, 2008). A observação possibilita a obtenção de dados que passariam despercebidos em outra forma de coleta, além de conferir riqueza, profundidade e singularidade às descrições obtidas (MARTINS, 2008). Por exemplo, nesta pesquisa, alguns resultados só foram possíveis porque atuamos como observadora, mais precisamente como observadora participante. Esta modalidade de observação supõe uma integração do pesquisador com o sujeito observado, no qual este aceita ser observado e é ciente dos objetivos da pesquisa. Mas há de atentar-se para não ocorrer a contaminação que se dá pelo viés de partilha de valores e perspectivas de sua cultura, assim como o viés profissional – ideológico, além dos emocional e normativo sobre a natureza do comportamento humano (MARTINS, 2008). A fim de afastar a possibilidade de contaminação em nosso trabalho, elaboramos as análises didática e matemática de cada questão da atividade. Este procedimento também orientou a observação, ou seja, evidenciou o que deveria ser observado, imprimindo objetividade e imparcialidade ao trabalho de observação.

Sempre que se fez necessário, retornamos aos alunos para esclarecer fatos observados e não compreendidos, utilizando, então, entrevistas semiestruturadas com as duplas participantes. Estas entrevistas não estavam previstas em nosso cronograma estabelecido a priori. Sentimos necessidade de conversar com os alunos, após a transcrição de dados de áudio. A entrevista é:

[...] uma técnica de pesquisa para coleta de dados cujo objetivo básico é entender e compreender o significado que os entrevistados atribuem a questões e situações, em contextos que não foram estruturados anteriormente, com base nas suposições e conjecturas do pesquisador. (MARTINS, 2008, p. 27).

Em nossa pesquisa, utilizamos a entrevista semiestruturada pois houve uma pergunta predeterminada e as demais foram surgindo em função das respostas do entrevistado.

Portanto, os instrumentos de coleta de dados foram as atividades resolvidas pelos alunos de modo escrito nos dois ambientes; os arquivos construídos pelos alunos no software Geogebra durante a resolução da atividade em tal ambiente; as gravações de áudio dos diálogos dos alunos e as observações da pesquisadora. Estes dois últimos desenvolvidos durante a resolução da atividade, nos dois ambientes, além de uma entrevista semiestruturada.

Um aspecto do estudo de caso é a construção de uma teoria ou o desenvolvimento e/ou o aperfeiçoamento de uma já existente (MARTINS, 2008). Pretendemos, na nossa pesquisa, elaborar uma articulação entre os níveis de raciocínio geométrico identificados por Parzysz (2001, 2006) e os tipos de prova descritos por Balacheff (1987), ancorados nos dados coletados. Deste modo, estaremos partindo de duas teorias preliminares, para estabelecer um possível diálogo entre elas.

Martins (2008) alerta para a adequação das definições, num estudo de caso, uma vez que um termo pode ter muitos significados, dependendo do contexto. E, como num trabalho científico, não deve haver ambiguidade na compreensão dos objetos, sob pena de comprometer a validade dos resultados obtidos, é mister a elaboração de definições claras e inconfundíveis. Em nossa pesquisa, preocupamo- nos em apresentar definições compatíveis com o referencial teórico adotado.

Após o exposto, afirmamos que a nossa escolha recaiu sobre a aplicação de atividades que deveriam ser desenvolvidas tanto em ambiente papel e lápis como em ambiente de geometria dinâmica Geogebra. Os seis alunos que participaram da pesquisa cursavam o 6.º período de um curso diurno de licenciatura em Matemática de uma instituição pública, localizada no interior do Estado do Rio de Janeiro. Tal curso possui sete períodos, portanto já cursaram mais de 80% da graduação. A pesquisadora os conhece desde o 1.º período do referido curso, quando foram seus alunos na disciplina Geometria I.

Tais alunos estudaram dois períodos de Geometria Plana Euclidiana e dois períodos de Geometria Espacial Euclidiana, sabiam utilizar os recursos dos ambientes de geometria dinâmica, pois tiveram um período da disciplina Educação Matemática e Tecnologia, na qual realizaram um estudo instrumental e pedagógico de vários softwares gratuitos, entre os quais se incluem Régua e Compasso e Geogebra.

3.2.2 A atividade

3.2.2.1 As questões da atividade

O objetivo da atividade era diagnosticar os conhecimentos e as estratégias de resolução que o aluno mobiliza para responder esta questão no ambiente papel e lápis e no ambiente de geometria dinâmica Geogebra, além de diagnosticar os níveis de raciocínio geométrico propostos por Parzysz (2001, 2006) e os tipos de provas concebidos por Balacheff (1987), buscando identificar elementos que nos permitissem estabelecer relações entre essas duas teorias.

Foi elaborada uma atividade com duas questões, que envolviam conteúdos geométricos relativos ao Ensino Médio. As atividades não continham fase de familiarização com o software, porque o que se pretendia verificar pressupunha que