İki düzeyli hiyerarşik doğrusal model

İki düzeyli hiyerarşik doğrusal modelleme yapıldığında, veriler mikro ve makro olmak üzere iki boyuttan elde edilir. Örneğin, makro düzeyde farklı okullar, mikro düzeyde ise bu okulların her birindeki öğrenciler bulunur (Snijders & Bosker, 1993). Bu iki düzeyden elde edilen verilerin analizinde, tek yönlü varyans analizi rastgele etkiler modeli, sonuçların ortalamalar olarak dikkate alındığı regresyon modeli, rastgele katsayılar regresyon modeli ve kesişim ve eğim katsayılarının çıktı olduğu model olmak üzere dört model kullanılır.

Model 1: Tek yönlü varyans analizi rastgele etkiler modeli: Hiyerarşik doğrusal modellerin en temel modeli ve ilk aşaması olan bu yöntem boş model olarak da adlandırılır çünkü bu aşamada modele bağımlı değişkeni açıklayacak herhangi bir bağımsız değişken eklenmez (Bryk & Raudenbush, 1992). Sadece bağımlı değişkende meydana gelen değişimin ne kadarının birinci düzey ne kadarının ikinci düzeyden kaynaklandığını araştırmak amacıyla yürütülür (Abazaoğlu & Taşar, 2016; Maas & Hox, 2005). Birinci ve ikinci düzeyde hataların birbirinden bağımsız olduğu, normal dağılım gösterdikleri ve ortalamalarının sıfıra eşit olduğu varsayımı dikkate alınır (Snijders & Bosker, 2012). Tahminlemede kullanılan birinci seviye, ikinci seviye ve birleştirilmiş modele dair eşitlikler aşağıda gösterilmektedir (Luke, 2004; Tat, 2015):

1. Seviye: 𝛶_"# = 𝛽_&# + 𝑟_"# 2. Seviye: 𝛽&# = 𝛶&&+ 𝑢&#

Birleştirilmiş model: 𝛶_"# = 𝛶_&&+ 𝑢_&# + 𝑟_"#

Birinci düzey öğrenci, ikinci düzey okul olarak düşünüldüğünde bu modele göre:

𝛽_&#: j okulunun ortalaması

𝑟_"#: j okulundaki i öğrencinin kendi okul ortalamasından sapması (birinci düzey hata) 𝛶_&&: bütün okulların genel ortalaması

𝑢_&#: j okulun genel ortalamadan sapması (ikinci düzey hata) olarak ifade edilir.

Birinci düzey varyansı

𝜎

1

,

ikinci düzey varyansı ise

𝜏

_&& olarak gösterilir ve bunların anlamlılık testleri c2 yoluyla yapılır. Bu bilgiler kullanılarak, sınıf içi korelasyon katsayıları aşağıdaki formüle göre hesaplanır, çıkan sonuç farklılığın ne kadarının birinci ne kadarının ikinci düzeyden kaynaklandığını gösterir (De Leeuw & Kreft, 1986).

Sınıf içi korelasyon katsayısı:

𝜌 =

455 455678

Model 2: Sonuçların ortalamalar olarak dikkate alındığı regresyon modeli: Analizin ikinci aşamasında, modele sadece ikinci düzey bağımsız değişkenler katılır. Bu bağlamda, ikinci düzeydeki bağımsız değişkenlerin bağımlı değişkeni açıklama düzeyi tespit edilir. Tahminlemede kullanılan birinci seviye, ikinci seviye ve birleştirilmiş modele dair eşitlikler aşağıda gösterilmektedir (Luke, 2004; Tat, 2015):

1. Seviye: 𝛶_"# = 𝛽_&# + 𝑟_"#

2. Seviye: 𝛽_&# = 𝛶_&&+ 𝛶_&)𝑊 + 𝑢_&#

Birleştirilmiş model: 𝛶_"# = 𝛶_&&+ 𝛶_&)𝑊 + 𝑢_&# + 𝑟_"#

Birinci düzey öğrenci, ikinci düzey okul olarak düşünüldüğünde bu modele göre: 𝛶"#: j okulda i öğrenciye ait bağımlı değişken değeri

𝛽&#: j okulun bağımlı değişken değeri

𝑟_"#: j okuldaki i öğrencinin kendi okul ortalamasından sapması (birinci düzey hata)

𝛶_&&: bütün okulların genel ortalaması

𝛶_&)𝑊: okul düzeyinde modele eklenen bağımsız değişken değeri

Tek yönlü varyans analizi rastgele etkiler modelinde olduğu şekilde, hata terimlerinin bağımsız olduğu, normal dağılım gösterdikleri ve ortalamalarının sıfır olduğu düşünülür. Bütün okulların genel ortalaması ve ikinci düzey bağımsız değişkene ait katsayıların anlamlılığı t-test ile hesaplanır. Birinci düzey varyansı

𝜎

1

,

ikinci düzey varyansı ise

𝜏

_&& olarak gösterilir ve anlamlılıkları c2 testi yoluyla yapılır (Luke, 2004). İkinci düzeydeki farklılığın ikinci düzeydeki bağımsız değişkenler ile açıklanma oranını hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılır (Raudenbush & Bryk, 2002; Tat, 2015).

𝛽_{&# 9ç;<=9>9> ?9@A9>B C@9>;}= 455 DEFGD H455(JC>F@KF=LMCLN=)

455(DEFGD)

Görüldüğü üzere bu formülde, ilk aşamada yapılan tek yönlü varyans analizi rastgele etkiler modelindeki ikinci düzey varyansı 𝜏_&& 𝐴𝑁𝑂𝑉𝐴 ve ikinci aşamada sonuçların ortalamalar olarak dikkate alındığı regresyon modelinde bulunan ikinci düzey varyansı 𝜏_&&(𝑆𝑜𝑛𝑂𝑟𝑡𝑂𝑙𝑑𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙) kullanılmıştır.

Model 3: Rastgele katsayılar regresyon modeli: Analizin üçüncü aşamasında, modele sadece birinci düzeyde bulunan bağımsız değişkenler eklenerek bu değişkenlerin bağımlı değişken üzerindeki etkisi tahminlenir. İkinci düzeye ait herhangi bir değişken modele eklenmez. Tahminlemede kullanılan birinci seviye, ikinci seviye ve birleştirilmiş modele dair eşitlikler aşağıda gösterilmektedir (Anderson, 2012; Tat, 2015):

1. Seviye : 𝛶_"# = 𝛽_&#+ 𝛽_)# Χ_"#− Χ_.# + 𝑟_"# 2. Seviye : 𝛽_&# = 𝛶_&&+ 𝑢_&#

𝛽_)# = 𝛶_)&+ 𝑢_)#

Birleştirilmiş model: Υ_"# = 𝛶_&&+ 𝛶_)& 𝑋_"# − 𝑋_.# + 𝑢_)# 𝑋_"#− 𝑋_.# + 𝑢_&# + 𝑟_"#

Birinci düzey öğrenci, ikinci düzey okul olarak düşünüldüğünde bu modele göre:

𝛶"#: j okulda i öğrenciye ait bağımlı değişken değeri

𝛽_)#: bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki tahmini etkisi Χ_"#: birinci düzeyde j okulunda i öğrenciye ait bağımsız değişken değeri

𝑟_"#: j okuldaki i öğrencinin kendi okul ortalamasından sapması (birinci düzey hata)

𝛶_&&: bütün okulların genel ortalaması

𝛶_)&: bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki ortalama etkisi 𝑢_&#: j okulun genel ortalamadan sapması (ikinci düzey hata)

𝑢_)#: bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki ortalama etkisinden farkı olarak ifade edilir.

Önceki aşamalarda olduğu gibi, rastgele katsayılar regresyon modelinde de hata terimlerinin bağımsız olduğu, normal dağılım gösterdikleri ve ortalamalarının sıfır olduğu düşünülür. Bütün okulların genel ortalaması ve birinci düzey bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki ortalama etkisine ait katsayıların anlamlılığı t- test ile hesaplanır. Birinci düzey varyansı

𝜎

1

,

ikinci düzey varyansı ise

𝜏

_&& ve bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki ortalama etkisinden farkına dair varyans

𝜏

₎₎ olarak gösterilir ve anlamlılıkları c2 _{testi yoluyla hesaplanır (Luke, 2004).} Birinci düzeydeki farklılığın birinci düzeydeki bağımsız değişkenler ile açıklanma oranını hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılır (De Leeuw & Kreft, 1986; Tat, 2015).

Eşitlik hesap: 𝑅1

₌

78abcdaH78efeg

7_(abcda)8

Görüldüğü üzere bu formülde, ilk aşamada yapılan tek yönlü varyans analizi rastgele etkiler modelindeki birinci düzey varyansı

𝜎

1_DEFGD ve üçüncü aşamada rastgele katsayılar regresyon modelinde bulunan birinci düzey varyansı

𝜎

1_hihM kullanılmıştır. Bu eşitlik ile hesaplanan

𝑅

1 değeri, birinci düzeyde eklenen bağımsız değişkenden kaynaklanan sınıf-içi varyansın oranını gösterir. İkinci düzeyde herhangi bir bağımsız değişken modele eklenmediği için onlara dair oran dikkate alınmaz.

Model 4: Kesişim ve eğim katsayılarının çıktı olduğu model: Analizin dördüncü aşamasında, rastgele katsayılar regresyon modelinde birinci düzey bağımsız değişkenlerden okullar arasında tesadüfi değişkenler ve bunlarla ilişkili olabilecek ikinci

düzey bağımsız değişkenler modele eklenir. Yani, bu modelde hem birinci hem de ikinci düzey bağımsız değişkenler mevcuttur. Tahminlemede kullanılan birinci seviye, ikinci seviye ve birleştirilmiş modele dair eşitlikler aşağıda gösterilmektedir (Luke, 2004; Tat, 2015):

1. Seviye: 𝛶_"# = 𝛽_&# + 𝛽_)# Χ_"# − Χ_.# + 𝑟_"# 2. Seviye: 𝛽&# = 𝛶&&+ 𝛶&) 𝑊#− 𝑊. + 𝑢&#

𝛽_"# = Υ_)&+ Υ₎₎ 𝑊_#− 𝑊_. + 𝑢_)#

Birleştirilmiş model: 𝛶_"# = 𝛶_&&+ 𝛶_&) 𝑊_#− 𝑊_. + 𝛶_)&(𝑋_"#− 𝑋_.#)+

𝛶₎₎ 𝑊_#− 𝑊_. 𝑋_"# − 𝑋_.# + 𝑢_)# 𝑋_"#− 𝑋_.# + 𝑢_&# + 𝑟_"#

Birinci düzey öğrenci, ikinci düzey okul olarak düşünüldüğünde bu modele göre:

𝛶_"#: j okulda i öğrenciye ait bağımlı değişken değeri 𝛽_&#: j okulun bağımlı değişken değeri

𝛽_)#: bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki tahmini etkisi

𝑟"#: j okuldaki i öğrencinin kendi okul ortalamasından sapması (birinci düzey

hata)

𝛶_&&: bütün okulların genel ortalaması 𝛶_&): ikinci düzey kesişim katsayısı 𝛶_)&: ikinci düzey eğim katsayısı Υ₎₎: ikinci düzey eğim katsayısı 𝑢_&#: kesişim katsayısının hata varyansı

𝑢_)#: eğim katsayısının hata varyansı olarak ifade edilir.

𝑊# − 𝑊. ve (𝑋"# − 𝑋.#) çapraz etkileşim terimleri olarak modele eklenir.

𝛶_&&, 𝛶_&), 𝛶_)& ve Υ₎₎’in anlamlılık düzeyi t-testi ile, varyansların anlamlılığı ise c2 testi ile hesaplanır. Çapraz etkileşimlerin açıkladığı varyans miktarını hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılır (Anderson, 2012, Hox, 2010, Tat, 2015):

Eşitlik hesap:

𝑅

1

=

455 efeg H455 fjkÇg

4_55(efeg)

Görüldüğü üzere bu formülde, üçüncü aşamada yapılan rastgele katsayılar regresyon modelindeki ikinci düzey varyansı 𝜏_&& 𝑅𝐾𝑅𝑀 ve son aşamada kesişim ve eğim parametrelerinin çıktı olduğu modelde bulunan ikinci düzey varyansı 𝜏_&&(𝐾𝐸𝑃Ç𝑀) kullanılmıştır. Yani, 𝑅1 _{değeri ikinci düzey varyans bileşenleri üzerinden}

hesaplanır (Snijders & Bosker, 2012).

Belgede Ortaokul öğrencilerinin TEOG başarısına etki eden faktörlerin çok düzeyli analizi (sayfa 128-133)