Hakan ve Mert’e ait İkinci Etkinliğin Bilgi Oluşturma Süreci

Hakan soruyu yüksek sesle okur. Mert ve Hakan soruyu okuduktan sonra soruya ait şekli dikkatle incelerler. Öğrenciler şekil üzerinde paylaşımlar yapmakta verilen soruya yanıt aramaktadırlar. Bu soru için toplam 2 dakika 18 saniye süre harcamışlardır.

2.a Öyle şekil çizmelisiniz ki toplam da ne kadar çikolata yediğimizi gösterebilesiniz.

1H: (İlk kesir modelini eliyle göstererek) Bu kadar yiyor bu kadar daha yiyor. Bu yarım artı bir çeyrek (ikinci kesir modeli için) diğeri de üç çeyrek (birinci model için)

2M: Kare birleşiyor, şey oluyor burada…(Mert ikinci kesir modelini göstererek iki üçgenden bir kare oluştuğunu Hakan’a anlatıyor.)

3H: Çeyreği buraya eklersek… (Birinci kesir modelindeki sekizde birlikleri ikinci modele ekleyerek sayıyı tamamlamaya çalışıyor)

4H: Bu iki çeyreği buraya eklersek (İkinci modelin sol üst kısmındaki boşluğu göstererek)

5M: Eklersek.

6H: Bir tam birde çeyrek oluyor, işte.

7M:Evet. (Mert daha sonra düşünmeye başlamış bir süre sessizlik olmuştur.) 8M: Çeyrek bir tane dikdörtgen değil mi? (Modellenen kesrin dörtte birlik kısmını gösteriyor).

9H:Evet.

Mert, Hakan’ı dinlemekte ve kesir modelleri üzerinde Hakan’ın söylediğini düşünmekte olduğu görülmektedir. Hakan durumu Mert’e açıklamaktadır. Bu aşamada öğrencilerin tanıma ve kullanma eylemlerinde olduklarının kanıtıdır(2M,3H,4H,5M,6H)

10M: Bu çeyrek olmuyor bence…

11H: O zaman çeyreğin çeyreği diyorum, ben. 12M: Nasıl yani? (Mert gülüyor)

H soruyu tekrar yüksek sesle okuyor. 13M: Bir bütün çiz.

14H: Evet demin de dediğim gibi bir bütün çizcez. (Hakan, dikdörtgen bir şekil çiziyor ve içini tamamen boyuyor).

15M: Ne çizceksin başka? 16H: Birde çeyreğin çeyreği.

Hakan çeyreğin çeyreği diyerek lik kesri göstermektedir. Matematiksel

olarak gösterdiği kısım doğrudur. Ancak sözel olarak kullandığı ifade yanlıştır. Bu esnada öğrenci bir tam yanına çizdiği şeklin yanına ikinci bütünü daha büyük şekilde çizmiştir. Araştırmacı öğrencileri bütün kavramına yöneltmek için sorular sormuştur.

17A: Neden çizdiğiniz iki şekil birbirine eşit değil?

18H: Eşit (Bunu söylerken bir şeklin daha büyük olduğunu fark ederek silip yeni bir şekil çiziyor).

19A: İki farklı çikolata mı var? 20M: Hayır aynı çikolatalar.

21H: (Soruyu tekrar okuyarak) İki paket kare çikolata, ikisi de kare olacak. H yeni çiziminde iki eşit kesir modeli çiziyor. Mert, Hakan’ın çizdiği modeli dikkatlice inceliyor.

22H: (Hakan çizdiği ilk modeli karalayarak) Bunun hepsini yiyorlar… (Mert, ikinci modeli çizmek istiyor fakat kalemi yazmadığından çizemiyor. 23M: Sen yap.

İkinci etkinliğe ait bu ilk soruda öğrenciler ön bilgilerini kullanarak yenilen toplam çikolata miktarını doğru kesir modeli ile göstermişlerdir. Ancak “sekizde bir” veya “çeyreğin yarısı” ifadelerini kullanmaları gerekirken “çeyreğin çeyreği” ifadesini kullanmışlardır. Bu anlamda öğrencilerin epistemik eylemlerden oluşturmayı gerçekleştirmedikleri tespit edilmiştir.

Hakan soruyu yüksek sesle okur. Mert ve Hakan bir süre konuşmamışlardır, soruda verilen şekil kullanmadan ifadesi onları düşündürmüştür.

2.b Toplam yediğimiz çikolata miktarını şekil kullanmadan matematiksel olarak açıklayınız.

24H: Nasıl yapcaz? (Mert’e doğru bakarak sorar)

25M:Buçuk olmaz mı? (Mert verdiği yanıtın doğruluğundan emin olarak soruyu yanıtlamaz. Her ikisinin de verdikleri cevapların doğruluğundan endişeli oldukları gözlenmiştir).

26H:………..

Mert’in “buçuk” olarak belirttiği ifade yarımın yarısıdır. 27H: Dörtte bir bölü iki.

Hakan 27H ifadesi ile epistemik eylemlerden oluşmanın gerçekleştiği söylenebilir. Öğrenci yarım, bütün, çeyrek gibi kesir kavramları ve modelleri üzerine ön bilgiye sahiptir. Ancak kesir sayısını bir tam sayıya bölme işlemi sahip olmadı bir bilgidir. Öğrencinin bu ifadesiyle açıklamak istediği matematiksel olarak 1/2 : 4 olarak ifade etmektedir.

İkinci etkinliğin a sorusunda öğrencilerin sekizde birlik çikolata dilimleri için çeyreğin çeyreği ifadeleri kullanmışlardır. 2.b sorusunda aynı modeli matematiksel olarak ifade ederken farklı bir kavrama ihtiyaç duymaları öğrencileri yeni bir yapıyı oluşturma ile karşı karşıya bırakmıştır. Öğrencinin ifadesi matematiksel işlem sonucunda kesrine eşit olmaktadır. Bu anlamda, ifade yeni yapının oluştuğunun kanıtıdır (25M,27H).

28M: Nasıl yazcaz?

29H: Önce tamı yazcaz, sonra diğerini.

Mert ikinci etkinliğin üçüncü sorusunu yüksek sesle okur.

2.c Öyle bir kural bulunuz ki bu toplama işlemi kolaylıkla bulunabilsin. 30M: Nasıl kural bulcaz?

31H:………

Öğrencilerden beklenen paydası farklı kesirlerle toplama işlemi için bir kural geliştirmedir. Ancak öğrenciler uzun bir süre düşünmüşlerdir. Araştırmacı düşünmelerine yön vermek için bir açıklamada bulunmuştur.

32A: İki ayrı modeli öyle yazmalısınız ki toplama işlemi yapılabilsin. 33H: Hmm…

Araştırmacının yönlendirmesiyle öğrenciler dilimleri saymaya başlar. 34H: Yedide üç bu (ilk kesir modelini göstererek).

35M: İki tane de burada var (İkinci kesir modelini göstererek dikdörtgenin içerisinde iki adet üçgen olduğunu göstermektedir yani bir çeyreğin iki tane sekizde biri olduğunu kalemle Hakan’a gösterir).

36A: Ne bulduğunuzu bana açıklar mısınız? (Mert etkinlik kağıdını araştırmacıya doğru yönelterek açıklamaya başlamıştır.)

37M: Biz bu ikisini yerleştirdik, bu tam oldu. Burada bir tane kaldı (Birinci modelden iki tane sekizde birlik dilimi ikinci kesir modeline

yerleştirdiklerini ve bir tane kaldığını açıklıyor) 38H: Küçük dilimleri sayalım.

39M: 1,1,1,1 diye. ( lik olarak düşündüklerini 1 olarak ifade ediyorlar) Hakan ve Mert dilimli modeli sayarak 8 tane olduğunu fark ediyor.

40H: Bir tam için … Çeyreğin yarısını sayalım değil mi? 41M:Evet, sekiz tane…

42H: 1+1+1+…… Sekiz tane oldu, eşittir. 43M: Bir tane daha fazla kalmıyor muydu? 44H: Bir tane daha koyalım.

45M: 9

46A: Ne yaptığınızı görebilir miyim?

Öğrenciler “çeyreğin yarımı” ifadesini kullanmalarına rağmen toplama işleminde yalnızca 9 adet 1 sayısını toplamışlardır.

47A: Matematik bilen biri bu cevabı gördüğünde 9 bütünden bahsettiğinizi düşünebilir mi?

Bu soruyla birlikte öğrenciler kendi aralarında düşünmeye başlamışlardır. 48H: Evet…

49A: Bulacağınız kural matematiği bilen herkesin kullanabileceği türden olmalıdır.

50M: diye yazabiliriz.

51H: Olur.

52M: Ama dörtte birin yarısı yaa. 53A: Kaç parçaya ayrılmış? 54H: Sekiz.

55M: Evet, Sekizde bir. 56H: Evet.

57A: Kaç parçamız var? 58H:Kaç tane oluyor?

59M: Sekiz tane var toplam işte.

60H: Evet bir tane bütünde sekiz tane oluyor.

61M: Bir tane kalıyor, sekizde bir? (Mert verdiği yanıt konusunda Hakan’dan destek beklemektedir).

62H:……… 63M: Bir bütün var

Mert ve Hakan “sekizde sekiz” ve “sekizde bir” ifadelerini öncelikle toplam yerine ayrı ayrı yazmayı tercih etmişledir. Yukarıdaki diyaloglardan da anlaşılacağı üzere öğrenciler kullanma eylemi sürecindedirler (50M,51H,54H,55M). Araştırmacı toplam yazmak yerine neden ayrı ayrı yazdıklarını anlamak amacıyla bir soru yöneltmiştir.

65A: Kaç parça yani?

66M: Bir tane var birde parça var. Bir tam birde bir parça.

Öğrenciler paydası farklı kesirlerle toplama işlemi yapmak yerine tüm kesirleri birim kesir olarak ifade etmişlerdir. Bu sayede toplama işlemini kolaylıkla gerçekleştirmişlerdir. Bu anlamda öğrencilerin oluşturma eylemini gerçekleştirdikleri açıktır (60H,61M,63M). Mert ikinci etkinliğin son sorusunu yüksek sesle okur.

2.d Kalan çikolataları anne ve babamız için ayırdık. Anne ve babamıza ne kadar çikolata kaldığını nasıl bulursunuz? Öncelikle şekilden yararlanarak bulunuz. Ardından cevabı bulduğunuz kurala göre bulunuz ve sonuçları karşılaştırınız.

67H:Bir tanesi gidince 6,7 kalıyor.

68M: Bak burada bir tamdan bir çeyrek kalıyor burada da bir çeyrek. Çeyreğin yarımı yani.

69H: O zaman 7 tane oluyor. 70M:1,2,3…

41H:Üç buçuk çeyrek kalıyor.

72A: Üç buçuk çeyrek nedir? Bana açıklar mısınız? 73M: Üççeyrek bir de bir çeyreğin yarımı…

74A: Şekil üstünden bana açıklar mısınız?

75M: İkisini buraya koyduk. Üç çeyrek birde yarımı kalıyor. (Mert birinci modelde verilen sekizde birlik iki parçayı diğer kesir modeline ekleyerek şekli tamamlıyor).

Mert ve Hakan kesir modellerini bir bütüne tamamlayarak toplama işlemini iki bütün modelden kalan kesir kısımlarını sayarak da çıkarma işlemini gerçekleştirmişlerdir. Bu anlamda öğrenciler paydası farklı kesirleri birbiri cinsinden yazarak toplama ve çıkarma işlemini gerçekleştirmişlerdir. Öğrenciler ön bilgilerine dayanarak yaptıkları bu işlem sonucunu matematiksel kurala bağlamamışlardır. Ancak sözel olarak ifade ettikleri sonuç işlemleri kapsamaktadır.

76A: Bulduğunuz sonucu matematiksel olarak başka nasıl ifade edersiniz? 77H: Varsa da ben bilmiyorum.

78M: Hangisini yazalım? 79H: Bilmiyorum.

80M:Çeyreğin yarımı.

81H: Biz öyle bir şey öğrenmedik ki yazalım. 82M: İşte onu biz bulcaz. Sekiz parça sekiz de biri. 83H: Evet

84M:Sekizde yedi olur.

Araştırmanın son etkinliği pekiştirme eylemi amacıyla sorulmasına rağmen öğrencilerin oluşturma sürecinde oldukları düşünülmektedir. Bu nedenle Hakan ve Mert için pekiştirme eyleminin tam olarak gerçekleştiği söylenemez (77H, 78M, 79H, 80M, 81H, 82M).