3. MATEMATİKSEL MODELLER VE GEÇERLİ EŞİTSİZLİKLER
3.3. Geçerli Eşitsizlikler
Bir matematiksel modeldeki tamsayılı işaret kısıtlarının gevşetilmesiyle gevşetilmiş doğrusal model elde edilir. Bu modele geçerli eşitsizlikler eklenerek matematiksel modelin alt sınırı eniyi çözüme yaklaştırılmaya çalışılır. Mevcut matematiksel modelin çözümünde kısıtlayıcı olmayan bu geçerli eşitsizlikler doğrusal gevşetilmiş modele eklendiklerinde anlamlı hale gelir. Geçerli eşitsizliklerin kullanılmasıyla bazı kesirli çözümlerin kısa süre
içerisinde elenmesi sağlanabilir. Dolayısıyla, geçerli eşitsizlikler kesin algoritmalar içerisinde kullanıldığında eniyi çözüme ulaşma süresi kısaltılabilir.
Bu bölümde 2A/YS-ETDARP için önerilen matematiksel modelde kullanılan geçerli eşitsizlikler incelenecektir. Eş. 3.41-Eş. 3.44 ve Eş. 3.47-Eş. 3.50 Karaoğlan (2009) tarafından YS-ETDARP için kullanılmıştır.
İlk geçerli eşitsizlik depolardan çıkan araç sayıları için alt sınır oluşturmaktadır. Polinom büyüklükte olan bu geçerli eşitsizlik her iki aşama için de kullanılmaktadır. Eş. 3.41 birinci aşamada ana depodan ara depolara hizmet veren araç sayıları için, Eş. 3.42 ise ikinci aşamada ara depolardan müşterilere hizmet veren araç sayıları için yazılmıştır.
( )
etmektedir. Bu değerler sırasıyla aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır. Burada • , • sayısından büyük enküçük tamsayıyı ifade etmektedir.İkinci polinom zamanlı geçerli eşitsizlik açılacak tesis sayısı için bir alt sınır belirler. Bu geçerli eşitsizlik her iki aşama için de kullanılmıştır. Problemde birinci aşamada yer alan ana depolar sınırsız kapasiteli kabul edilmiştir. Eş. 3.43 birinci aşamada en az bir ana depo açılmasını sağlarken Eş. 3.44 açılan ara depo sayısı için alt sınır belirler.
0
min
amin, ara depolar kapasitelerine göre artmayan sırada sıralandıktan sonra d ;
kapasiteli ara depodan başlayarak ara depolar açıldığında bulunan gerekli minimum ara depo sayısını ifade eder.
Üçüncü polinom zamanlı geçerli eşitsizlikler Eş. 3.45 ve 3.46’da verilmiştir. Bu geçerli eşitsizlikler bu problem için oluşturulmuştur. Bir müşteri düğümünden açılmayan bir ara depoya gidilemeyeceğini, açılmayan bir ara depodan müşteriye gelinemeyeceğini ifade eder.
,
Dördüncü geçerli eşitsizlik üstel büyüklüktedir. Bu eşitsizlik Eş. 3.47’de verilmiştir.
( ) 2 /
( )
müşteri grubuna hizmet edecek araçların rota içinde uygunluğuna bakılmaksızın müşteri grubunun toplam toplama ve toplam dağıtım taleplerini ayrı ayrı karşılayabilmesi gerekmektedir. Bu eşitsizlik sadece ikinci aşama için kullanılmıştır. İlk aşamada kullanılamamasının sebebi ara depo taleplerinin hizmet verdikleri müşteri taleplerine bağlı olması nedeniyle kısıt oluşturulduğunda doğrusal yapıyı bozmasıdır.Beşinci geçerli eşitsizlik yine üstel büyüklükte olan ARP için önerilmiş olan genelleştirilmiş büyük çoklu yıldız kısıtlarının (generalized large multistar inequalities) YS-ETDARP için uyarlanmış halidir. Bu eşitsizlikler şu şekildedir:
( )
toplama taleplerini ayrı ayrı karşılayabilecek yeterlilikte olmalıdır. S kümesine bir başka müşteriden geliniyorsa veya S kümesinden bir başka müşteriye gidiliyorsa bu müşterilerin toplama ve dağıtım talepleri de karşılanmak zorundadır. Birinci aşamadaki ara depoların toplama ve dağıtım talepleri hizmet verdikleri müşterilerin toplama ve dağıtım taleplerine bağlı olduğu için bu eşitsizlik birinci aşama için yazıldığında doğrusal yapı bozulmaktadır.Bu nedenle bu kısıt kümesi yalnızca ikinci aşama için kullanılmıştır.
Eş. 3.47, Eş. 3.48 ve Eş. 3.49’un üstel büyüklükte olması nedeniyle polinom büyüklükteki eşitsizlikler gibi modele doğrudan eklenememektedir. Bu nedenle bir açgözlü ayrıştırma algoritması kullanılmıştır. Bu algoritma kısıtları bozan düğüm kümelerini bulmaktadır.
Algoritma ile bulunan kısıtlar doğrusal gevşetme yapılmış modele eklenerek tekrar çözüm yapılmakta ve alt sınır iyileşmesi sağlanmaktadır. Kısıt ekleme işlemi amaç fonksiyonu 5 kere %0,1’den daha az iyileştiyse ve önceden belirlenen süre kadar tekrar yapıldıysa sonlanır (Karaoğlan, 2009).
Şekil 3.1’de adımları verilen ayrıştırma algoritmasının çalışma şekli aşağıda kısaca açıklanmıştır.
ilgili kısıt kümelerini bozmaya aday düğüm kümesini göstermek üzere bu kümenin ilgili kısıtı bozup bozmadığı kontrol edilir. Algoritma, Adım 3’te rastgele bir müşteri düğümü seçerek
kümesine ekler. Adım 4’te ise ilgili kısıtın bozulmasına sebep olması en olası bir diğer müşteriyi başka bir anlatımla ilgili kısıtın artık değerini enazlayan müşteri düğümünü
kümesine ekler. Adım 5’te ise ilgili kısıtın bozulup bozulmadığını kontrol eder. Bütün müşteriler teker teker
kümesine eklenerek bu işlem tekrarlanır.Prosedür AGS1 (Eş. 3.47, Eş. 3.48, Eş. 3.49 için açgözlü ayrıştırma sezgiseli) Girdi Doğrusal gevşetme modelinin eniyi çözümü (h*)
Çıktı Bozulmuş kısıt kümeleri
Adım 1 Müşterilerin yarısını rastgele seç ve geçici Ω kümesine ekle Adım 2 Ω kümesindeki her müşteri ( )s için Adım 3–Adım 5’i tekrarla Adım 3 s
Adım 4 Eğer ise Adım 1’e git
Değilse ilgili kısıt için artık değerini enazlayan q müşterisini seç
( )
( )
Beşinci geçerli eşitsizlik üstel büyüklüktedir. Eş. 3.50’de verilmiş olan bu geçerli eşitsizlik 2A/YS-ETDARP’nin ikinci aşaması için uyarlanarak kullanılmıştır.
(l,m) ( )
r t S , S müşteri kümesine t ara deposundan hizmet veren enaz araç sayısıdır. Bu geçerli eşitsizlik bir S müşteri kümesine hizmet veren rota sayısının eniyi sayıya eşit veya daha az olmasını sağlar. Dolayısıyla, bu geçerli eşitsizlik kullanılırken bir ara depo dikkate alındığı için r* ( , )t S yerine ETDARP’nin eniyi çözümü kullanılmıştır. ETDARP, NP-zor problem sınıfında yer alan bir problemdir. Ancak, küçük boyutlu problemler için eniyi çözümlere kısa sürelerde ulaşılabilmektedir. 2A/YS-ETDARP’de ana depo ve ara depo sayıları 1, bu iki depo arasındaki uzaklık 0 olduğunda problem ETDARP’ye dönüşür. Bu kapsamda,
2A/YS-ETDARP için önerilen matematiksel modelde yapılan değişiklikler ile ETDARP için matematiksel model elde edilmiştir. 2A/YS-ETDARP matematiksel modelinden Eş. 3.19, Eş. 3.25-3.27, Eş. 3.29, Eş. 3.31, Eş. 3.37 ve Eş. 3.39 alınmış ve amaç fonksiyonu rotalama maliyetinin enküçüklenmesi olarak değiştirilmiştir. Ayrıca, Eş. 3.28 ve Eş. 3.30 düzenlenerek eklenmiştir. Bu kısıtların haricinde Eş. 3.51 - Eş. 3.53 eklenerek ETDARP için model elde edilmiştir. hlm,Um, Vm 2A/YS-ETDARP için tanımlandığı gibidir. M rota sayısıdır. h karar değişkeninde kullanılan ‘0’ indisi ele alınan depoyu ifade etmektedir.
Model ETDARP
Eş. 3.51 diğer düğümlerden her müşteriye bir kere gelinebileceğini ifade eder. Eş. 3.52 ve Eş. 3.53 ara depolarla müşteriler arasındaki rota sayısını belirler. Eş. 3.54 ve Eş. 3.55 yardımcı karar değişkenlerinin üst sınırlarını oluşturur. Eş. 3.56 rota sayısı karar değişkeni için işaret kısıtıdır.
Eş. 3.50 üstel büyüklükte bir geçerli eşitsizlik olduğu için eklenecek kısıtların ayrıştırılması gerekmektedir. Bu amaçla kullanılan açgözlü sezgisel algoritma Şekil 3.2’de verilmiştir.
Prosedür AGS2 (Eş. 3.50 için açgözlü ayrıştırma sezgiseli)
Değilse ilgili kısıt için tahmini artık değerini enazlayan
s
müşterisini seç( )
( )
Adım 4 Gerçek artık değerini hesapla
* * *
Şekil 3.2. Eş. 3.50 için Aç Gözlü Ayrıştırma Sezgiseli (AGS2)
Algoritmanın temel çalışma mantığı AGS1 ile benzerdir. Adım 2’de h ts* 0 şartını sağlayan
t
ara deposu ve s müşterisi kümesine eklenir. Adım 3’de Eş. 3.50’yi sağlamaması en muhtemel düğüm kümesine eklenir. Eş. 3.50’nin hesaplanabilmesi için r t*( ,s) değerine ihtiyaç vardır ancak çok sayıda tekrar yapılmasının gerekliliği işlem yükünü artıracaktır. Bu nedenle bu değerin alt sınırı olan r2 /A YS ETDARP−(
değeri kullanılarak s)
tahmini artık değeri hesaplanmıştır. Adım 4’de tahmini artık değerini enazlayan düğüm s’nin gerçek artık değeri hesaplanır. Son adımda ise