2. KADINCA BİR DİLE DOĞRU: “BAKIŞ” VE DİŞİL ÖZNELLİK
5.4. Feminist Kahkahanın Ötesinde Yöntemiyle Karikatürlerin Çözümlenmesi:
O início do cálculo de ordem não inteira, ou fracionário, tem sua história contada a partir de uma sucessão de trocas de cartas entre L’Hospital (1661-1704) e Leibniz (1646- 1716) em 1695. Em uma dessas, L’Hospital pergunta a Leibniz qual seria o significado de se tomar n = 1/2 na notação dnf /dtn para a n-ésima derivada de uma função f(t),
proposta pelo segundo. Embora Leibniz não tivesse uma resposta clara, chegando a indicar que essa substituição poderia acarretar algum tipo de paradoxo dessa notação, afirmou que tais questões seriam discutidas no futuro, podendo ocasionar possíveis aplicações. Ainda em 1695, Leibniz mencionou, em uma carta a Johann Bernoulli (1667-1748), sobre derivadas de “ordens mais gerais”, discutidas previamente com L’Hospital. Em 1697, Leibniz, em correspondência enviada a Wallis (1616-1703), levantou questões a respeito do produto infinito para π, proposto por esse, mencionando que poderia ser utilizado o cálculo diferencial para determinar os resultados. O que se nota de interessante nesse caso, é o fato de Leibniz utilizar a notação d1/2f na referida correspondência (ROSS, 1975).
A partir dessas ideias, vários matemáticos tais como Eüler (1707-1783), Lagrange (1736-1813) e Laplace (1749-1827), entre outros, trabalharam com conceitos para a ma- nipulação algébrica do cálculo de ordem não inteira (SAMKO; KILBAS; MARICHEV,
1993). Contudo, apenas em 1819 ocorreu a primeira menção sobre o assunto em um texto matemático (MILLER; ROSS,1993). Em “Traité du calcul différentiel et du calcul intégral”, S. F. Lacroix (1765-1843) substituiu o fatorial na fórmula para a n-ésima derivada da função y = xm, m ≥ n, pela função Γ(·), que generaliza a função fatorial para o conjunto
dos números complexos diferentes dos inteiros menores ou iguais a zero (C − Z∗
−), e obteve dny dxn = m! (m − n)!xm−n= Γ(m + 1) Γ(m − n + 1)xm−n.
Como exemplo das possibilidades em se utilizar a função Γ(·), Lacroix substituiu m = 1 e
n = 1/2, obtendo d1/2y dx1/2 = 2√x √ π ,
que é equivalente ao resultado obtido utilizando as derivadas de Riemann-Liouville e de Caputo.
Pode-se dizer que as primeiras aplicações do cálculo de ordem não inteira para solução de problemas foram iniciadas por Abel (1802-1829) ao tentar obter uma solução
para o problema da tautócrona. Na verdade, Abel não solucionou o problema no sentido de derivadas de ordem não inteira, mas as soluções obtidas são equivalentes às obtidas usando derivada de ordem 1/2. Nesse sentido, Abel obteve uma série de resultados para a “meia” derivada (MILLER; ROSS, 1993).
Liouville (1809-1882) foi o primeiro matemático a tentar formalizar o conceito de derivadas de ordem não inteira. Entre 1832 e 1837, Liouville publicou uma série de documentos sobre o tema em que é exposta, de forma rigorosa, uma estrutura para o cálculo de ordem não inteira, além da aplicação para solução de algumas equações diferenciais lineares (SAMKO; KILBAS; MARICHEV, 1993). Em 1847, Riemann (1826-1866) obteve resultados semelhantes aos de Liouville. Esses resultados foram publicados postumamente em 1876, na forma de uma compilação de trabalhos realizados por Riemann. Em ambas definições foi utilizado o conceito de funções complementares, que tornava complicado o estudo das derivadas de ordem não inteira segundo Cayley (1821-1895) (CAYLEY, 1880).
As definições de Liouville e Riemann motivaram uma intensa busca por esclare- cimentos por parte de outros matemáticos tais como Holmgren (1822–1885), Grünwald (1838–1920), Letnikov (1837–1888) e Laurent (1841-1908), entre outros. Holmgren se destaca pelo fato de ter publicado entre os anos de 1865 e 1866 os primeiros trabalhos utilizando uma variação da definição formalizada por Liouville, mas abandonando as funções complementares. Grünwald, em 1867, e Letnikov, em 1868, propuseram, de forma independente, uma definição baseada em diferenças divididas para derivadas de ordem não inteira. Embora o primeiro se ateve a uma elaboração formal para o conceito partindo da definição proposta, o segundo mostrou a equivalência com a definição dada por Liouville sem o uso das funções complementares. Esse trabalho foi o primeiro a obter operadores equivalentes partindo de definições distintas (SAMKO; KILBAS; MARICHEV, 1993). Apenas a partir do trabalho sobre operadores generalizados, publicado por Laurent em 1884, que foi possível reformular as definições de Riemann e Liouville. Laurent aplicou a forma integral de Cauchy (1789-1857) para obter a reformulação atualmente utilizada para os operadores derivação e integração de Riemman-Liouville (MILLER; ROSS,1993).
O cálculo operacional de Heaviside (1850-1925), desenvolvido para resolver alguns tipos de problemas na teoria sobre eletromagnetismo, é de considerável importância para as derivadas de ordem não inteira no contexto de aplicações. A ideia dessas derivadas foram utilizadas por ele para o estudo do potencial e em linhas de transmissão na última década do século XIX (OLIVEIRA, 2010). Contudo, devido à falta de rigor matemático atribuída a Heaviside, seus trabalhos não tiveram a devida projeção na área, à época de suas publicações (OLDHAM; SPAINER, 1974).
Segundo Miller e Ross(1993), o período entre 1900 e 1970 foi modesto em termos do volume de publicações de trabalhos para o cálculo de ordem não inteira se comparado ao período entre 1970 e 1993. Nesse período, destacam-se, diretamente, os trabalhos de
1.2. Métodos numéricos 37
Weyl (1885-1955), que propôs uma definição apropriada para funções períodicas (SAMKO; KILBAS; MARICHEV, 1993), e de Riez (1886-1969) que desenvolveu uma teoria voltada para funções de várias variáveis com a finalidade de obter solução de problemas em equa- ções diferenciais parciais (OLDHAM; SPAINER, 1974). Indiretamente, destacam-se os trabalhos de Mittag-Leffler (1846-1927), publicados no início do século XX, sobre funções generalizadas, que eram utilizadas à época como contra exemplos para comportamento assintótico de séries de funções complexas (ERDELYI, 1955). A classe de funções pro- postas nesses trabalhos são nomeadas, atualmente, como funções de Mittag-Leffler, e são amplamente utilizadas para obter soluções de equações diferenciais lineares de ordem não inteira.
O trabalho de Caputo (1927 - atual) publicado em 1969 e intitulado “Elasticità e
Dissipazione” deve ser destacado. Nesse trabalho, Caputo propôs uma derivada de ordem
não inteira utilizando o operador integral de Riemann-Liouville de uma forma diferente à da definição da derivada de Riemann-Liouville, e aplicou sua definição para soluções de problemas na área de viscoelasticidade (OLIVEIRA, 2010). Embora tenha sido mais tardiamente proposta, tal definição se tornou amplamente utilizada para modelagem de sistemas físicos devido à forma para as condições iniciais em problemas de valores iniciais de equações diferenciais que, diferentemente da abordagem utilizando a derivada de Riemann-Liouville, são dadas em termos de derivadas de ordem inteira.
Em 1974, ocorreu o primeiro congresso internacional sobre o cálculo de ordem não inteira, no estado de Connecticut, USA. Segundo Miller e Ross (1993), esse congresso proporcionou o início do forte desenvolvimento bibliográfico nessa área a partir dessa data. Desde então, várias áreas das ciências aplicadas, tais como a área de Fluidos, Reologia, Transporte Difusivo, Eletricidade, Redes Neurais, Probabilidade e Estatística, Teoria do Controle, Viscoelasticidade, Eletroquímica e corrosão, Físico Química, Processamento de Sinais, entre outras, possuem aplicações do cálculo de ordem não inteira (KILBAS; SRIVASTAVA; TRUJILLO, 2006).
1.2 Métodos numéricos
Os primeiros métodos numéricos utilizados no cálculo de derivadas de ordem não inteira foram obtidos a partir da definição do operador de Grünwald-Letnikov. Esses métodos também têm sido utilizados para obter aproximações de derivadas e soluções de equações diferenciais de ordem não inteira para a derivada de Riemann-Liouville, nos casos em que existe a equivalência dessa definição com a de Grünwald-Letnikov. Para a integral de Riemann-Liouville, as aproximações são obtidas a partir da discretização da integral de convolução utilizada na definição desse operador (OLDHAM; SPAINER, 1974). Em (LUBICH, 1986), é apresentado o primeiro trabalho sistemático voltado para análise de
erro desses métodos. Embora aplicáveis, esses métodos demandam recursos computacionais que não eram facilmente disponíveis até meados da década de 1990. Por isso, as aplicações numéricas eram restritas a conjuntos contendo poucos pontos discretos. Essa demanda decorre, principalmente, do fato dos operadores de ordem não inteira dependerem da memória hereditária do sistema (WESTERLUND, 1991).
Uma forma de obter métodos numéricos menos intensivos computacionalmente para os operadores derivação e integração de Riemann-Liouville, proporcionando obter resultados mais rapidamente, é por meio de aproximações de sistemas de ordem não inteira por sistemas inteiros de alta ordem (CHAREF et al., 1992; DORCAK, 1994). Baseada na transformada de Laplace da integral de Riemann-Liouville, essa aproximação é realizada pela estimação de parâmetros de sistemas de alta ordem que possuem resposta em frequência semelhantes à do sistema original. Em áreas tais como modelagem e identificação de sistemas lineares essa abordagem é frequentemente utilizada (JACYNTHO et al., 2015;
BADRI; TAVAZOEI, 2015; RAJASEKHAR; JATOTH; ABRAHAM, 2014;GALVÃO et al., 2013). Contudo, a utilização desse método não é aconselhável em certas aplicações, como no caso de análise de sistemas dinâmicos que apresentam comportamentos caóticos (TAVAZOEI; HAERI, 2007).
Para soluções de equações diferenciais segundo a derivada de Caputo, Diethelm
(1997) propôs um método que utiliza aproximações por quadraturas da forma integral dessas soluções, que é escrita em termos da integral de Riemann-Liouville. O método foi melhorado pela aplicação de um algoritmo preditor-corretor (DIETHELM; FORD; FREED,
2002) e, em sequência, um detalhamento sobre a análise de erro desse método foi realizada (DIETHELM; FORD; FREED,2004). Utilizando a mesma ideia dessa discretização, novas aproximações foram obtidas de forma a melhorar o erro de truncamento local (LI; CHEN; YE, 2011;CAO; XU, 2013). Os algoritmos obtidos a partir da forma integral demandam maior tempo computacional ao se comparar com o obtido a partir da derivada de Grünwald- Letnikov. Além disso, o tempo computacional desses algoritmos aumenta à medida que o erro de truncamento local diminui, devido ao aumento do número de operações por iteração.
Dentre outras discretizações encontradas, destacam-se as que utilizam aproxi- mações por polinômios de Legendre (SAADATMANDI; DEHGHAN, 2010; KAZEM; ABBASBANDY; KUMAR,2013) e por splines (LAKESTANI; DEHGHAN; IRANDOUST- PAKCHIN,2012;AL-RABTAH; MOMANI; RAMADAN,2012), que se baseiam no conceito de bases para espaços de funções em conjunto com a forma integral para soluções de equações diferenciais de ordem não inteira.
1.3. Aplicações em sistemas dinâmicos 39
1.3 Aplicações em sistemas dinâmicos
Simulações numéricas na área de sistemas dinâmicos caóticos foram evitadas até meados da década de 1990 devido às dificuldades computacionais. O primeiro trabalho em que são apresentados resultados a respeito de dinâmica caótica deve-se a Hartley, Lorenzo e Qammer (1995). Nesse trabalho, as simulações numéricas são realizadas a partir de aproximações por sistemas de alta ordem com comportamento semelhantes no domínio da frequência, como no caso citado na seção anterior.
Na área de controle de sistemas dinâmicos foram desenvolvidos os métodos de controle de ordem não inteira P IλDµ (PODLUBNY; DORCAK; KOSTIAL, 1997) e o
controle CRONE (Contróle Robuste d’Ordre Non Entier) (OUSTALOUP; SABATIER; MOREAU, 1998). O primeiro permite uma liberdade maior na escolha dos parâmetros relativos à ordem de derivação e integração com a finalidade de atingir o objetivo de controle. O segundo modela fenômenos que possuem comportamentos intermediários entre duas derivadas de ordem inteira.
Na análise da estabilidade de pontos fixos de sistemas lineares destaca-se o tra- balho de Matignon (1998), em que são apresentados critérios de estabilidade utilizando a estabilidade das funções de Mittag-Leffler (ERDELYI, 1955), além de conceitos como BIBO (“bounded-input, bounded-output”) estabilidade.
Com o avanço dos processadores digitais nas últimas duas décadas, a aplicação dos algoritmos numéricos listados na seção 1.2vem sendo realizada com mais frequência para o estudo de comportamento dinâmico caótico. Observa-se que, na grande maioria dos trabalhos, são utilizadas as definições de Riemann-Liouville e de Caputo. Além disso, o estudo é geralmente realizado por meio de análises de diagramas de bifurcação, sendo que, em alguns casos, é considerada a ordem de derivação do sistema como parâmetro de bifurcação. Com respeito ao tipo de discretização utilizada, nota-se a preferência pelos métodos:
- via discretização de Grünwald-Letnikov (NIMMO; EVANS, 1999), (AHMAD, 2005), (PETRÁŠ, 2008), (PETRÁŠ, 2009), (ZHANG et al., 2009), (DATSKO; GAFIY-
CHUK, 2011), (LETELLIER; AGUIRRE, 2013), (TENG et al., 2014);
- via aproximação no domínio da frequência por sistemas de alta ordem (AHMAD; SPROTT,2003), (BARBOSA et al., 2004), (GAO; YU, 2005), (LI; CHEN, 2004), (GE; JHUANG,2007), (GE; ZHANG,2007), (LU, 2005), (XIN; JUE-BANG, 2005), (LU, 2006), (BARBOSA et al., 2007), (LI; LIAO; LUO, 2012), (JIA; CHEN; QI,
2014);
DENG, 2007), (YU; LI, 2008), (DENG; LI, 2008), (TAVAZOEI et al.,2009), (ABD- ELOUAHAB; HAMRI; WANG, 2010), (SUN; WANG; SPROTT, 2010), (YUAN; YANG, 2012), (ABD-ELOUAHAB; HAMRI; WANG, 2012), (BHALEKAR, 2013), (FAIEGHI; DELAVARI, 2012), (LIU; HONG; YANG,2014), (TIAN; YU; WANG,
2014).
Uma versão do método direto Lyapunov para o cálculo de ordem não inteira, ferramenta bastante utilizada para análise de estabilidade de sistemas dinâmicos de ordem inteira, foi proposta por Li, Chen e Podlubny (2009). A versão para o caso de ordem não inteira, embora teoricamente factível, é relativamente mais complicada de ser aplicada devido às propriedades da derivada de ordem não inteira para o produto e composição de funções. Nesse sentido, trabalhos que apresentam casos possíveis de se aplicar essa generalização são frequentemente relatados (TRIGEASSOU et al., 2011;AGUILA- CAMACHO; DUARTE-MERMOUD; GALLEGOS, 2014; DUARTE-MERMOUD et al.,
2015). Apesar da generalização do método direto de Lyapunov para o caso de ordem não inteira ter sido demonstrada, resultados relativamente mais simples de serem aplicados, tal como a estabilidade de pontos fixos de sistemas não lineares utilizando linearização (LI; ZHANG, 2011), ainda estão em aberto.