Baskı Dönemlerinde Politik Karikatür

Modelos estoc´asticos cl´assicos de part´ıculas podem ser reescritos em termos de operadores de criac¸˜ao e aniquilac¸˜ao familiares da mecˆanica quˆantica, como mostrado por Doi [61]. Esta representac¸˜ao explora o fato de que esses processos apenas mudam o n´umero de ocupac¸˜ao dos s´ıtios por um inteiro. Os microesta- dos para qualquer processo estoc´astico em uma rede ´e dado pelos n´umeros de ocupac¸˜ao_{{n} ≡ {n}1, n2,···}

de cada s´ıtio. Seja P({n},t) a probabilidade dos microestados no tempo t. Como n˜ao implementamos nenhuma restric¸˜ao para ocupac¸˜ao dos s´ıtios, introduzimos para cada s´ıtio da rede i, j,_{··· operadores de} criac¸˜ao ˆa†_{e aniquilac¸˜ao ˆasujeitos `as relac¸˜oes “bosˆonicas” de comutac¸˜ao}

[ ˆai, ˆa†j] = δi j, [ ˆai, ˆaj] = [ ˆa†i, ˆa †

j] = 0. (A.8)

Estas relac¸˜oes de comutac¸˜ao podem ser realizadas pelas seguintes relac¸˜oes formais

ˆ ai= ∂ ∂a†_i a † i =− ∂ ∂ ˆai . (A.9)

A rede vazia ´e caracterizada por ˆai|0i = 0 para todo i e em cada s´ıtio i definimos o vetor de estado

|nii = ( ˆa†i)ni|0i. Para estes estados, temos:

ˆ

ai|nii = ni|ni− 1i, aˆ†i|nii = |ni+ 1i. (A.10)

Podemos agora encapsular toda a informac¸˜ao sobre o estado_{{n} = (n}1, n2,···) da rede no tempo t na

quantidade

|φ(t)i =

∑

{n}

P(_{n},t)

_∏

i

( ˆa†_i)ni_{|0i. (A.11)}

A.2. A representac¸˜ao de Doi

Como consequˆencia dessa descric¸˜ao de estados em termos de um espac¸o de Fock em completa analogia com a descric¸˜ao da mecˆanica quˆantica de muitos corpos [23], podemos escrever a evoluc¸˜ao temporal da equac¸˜ao mestra em uma equac¸˜ao do tipo Schrodinger em tempo imagin´ario

d

dt|φ(t)i = − ˆH|φ(t)i. (A.12)

O motivo para a realizac¸˜ao deste procedimento ´e que ele permite uma descric¸˜ao mais simples da dinˆamica. Por exemplo, para o processo A+ A→ /0 teremos

ˆ H= Γ

_∑

hi ji

( ˆa†_{i− ˆa}†_j)( ˆai− ˆaj)− λ

∑

i

(1_{− ( ˆa}†_i)2_{)( ˆa}

i)2 (A.13)

com a correspondente soluc¸˜ao formal

|φ(t)i = e− ˆHt

|φ(0)i. (A.14)

Para entendermos a origem da equac¸˜ao (A.13), seja a equac¸˜ao mestra para o processo A+ A_{→ /0 em um} ´unico s´ıtio (A.3) dada por

d

dtP(n,t) = λ [(n + 2)(n + 1)P(n + 2,t)− n(n − 1)P(n,t)]. (A.15) Multiplicando por_{|ni e somando sobre n, vem:}

d

dt|φ(t)i = λ

∑

_n P(n + 2,t)(n + 2)(n + 1)|ni − λ

∑

_n P(n,t)n(n− 1)|ni

= λ

_∑

n P(n + 2,t) ˆa2 |n + 2i − λ

∑

n P(n,t)( ˆa†₎2_aˆ2 |ni = λ(1_{− ( ˆa}†₎2_{) ˆa}2

_∑

n P(n,t)_|ni = λ(1_{− ( ˆa}†₎2_{) ˆa}2

|φ(t)i = − ˆH_|φ(t)i, (A.16)

o que corresponde ao segundo termo do lado direito da equac¸˜ao (A.13).

Por outro lado, se lembrarmos da equac¸˜ao mestra para o processo de salto entre os s´ıtios 1 e 2 (A.4)

d

dtP(n1, n2,t) = Γ [(n1+ 1)P(n1+ 1, n2− 1,t) − n1P(n1, n2,t)] , (A.17) multiplicando por|n1, n2i e somando em n1e n2, teremos:

d dt|φ(t)i = Γ_n

∑

1,n2 P(n1+ 1, n2− 1)(n1+ 1)|n1, n2i − Γ

∑

n1,n2 P(n1, n2,t)n1|n1, n2i = Γ

_∑

n1,n2 P(n1+ 1, n2− 1,t) ˆa†2aˆ1|n1+ 1, n2− 1i − Γ

∑

n1,n2 P(n1, n2,t) ˆa†1aˆ1|n1, n2i

= Γ( ˆa†_{2− ˆa}†₁) ˆa1|φ(t)i. (A.18)

Apˆendice A. Mapeamento de Doi

Assim, o Hamiltoniano para o processo de salto do s´ıtio 1 para o s´ıtio 2 fica dado por

ˆ

H1→2= Γ( ˆa†2− ˆa †

1) ˆa1. (A.19)

Se permitirmos o salto reverso `a mesma taxa do s´ıtio 2 para o s´ıtio 1, ficamos com

ˆ

H1↔2= Γ( ˆa†2− ˆa †

1)( ˆa1− ˆa2). (A.20)

Para saltos entre todos os vizinhos da rede, a equac¸˜ao (A.20) se extende para

ˆ HD=

D (∆x)2

∑

hi ji

( ˆa†_{j− ˆa}†_i)( ˆai− ˆaj) (A.21)

que ´e o Hamiltoniano associado `a difus˜ao das part´ıculas na rede e corresponde ao primeiro termo do lado direito da equac¸˜ao (A.13) comΓ_≡ D

(∆x)2. As equac¸˜oes de movimento para P({n},t) e seus momentos nesta

representac¸˜ao s˜ao idˆenticas obviamente `as que seguem diretamente da equac¸˜ao mestra. Por´em, neste ponto podemos ver a vantagem do uso do formalismo de Doi: a equac¸˜ao mestra original fica complicada pela presenc¸a de fatores com n e n2que est˜ao ausentes na representac¸˜ao de Doi. O formalismo de “segunda quantizac¸˜ao” fornece o palco natural para a descric¸˜ao de part´ıculas independentes que podem variar em n´umero, podendo ser criadas e/ou destru´ıdas.

M ´ultiplas esp´ecies: Em reac¸˜oes de duas esp´ecies de part´ıculas, por exemplo A+ B_{→ /0, a equac¸˜ao mestra} ´e definida em termos dos n´umeros de ocupac¸˜ao das part´ıculas A e B, P(_{{m},{n},t). Para a representac¸˜ao} de Doi, introduzimos operadores de criac¸˜ao e aniquilac¸˜ao distintos para cada uma das esp´ecies: ˆai, ˆa†_i, ˆbie

ˆb† i e definimos o estado |φ(t)i =

∑

{m},{n} P({m},{n},t)

∏

i ( ˆa†_i)mi_(ˆb† i) ni_{|0i. (A.22)}

A generalizac¸˜ao para mais de duas esp´ecies ´e trivial.

Hamiltonianos de Doi: Em qualquer reac¸˜ao descrita por processos do tipo k1X1+ k2X2+··· + knXn→

l1Y1+ l2Y2+··· + lmYm, cada processo contribui com dois termos para ˆHda forma

(Taxa)[(Reagentes)− (Produto)] (A.23)

onde

• Reagentes= operadores de criac¸˜ao e aniquilac¸˜ao para cada reagente, ordenados normalmente; • Produto= operador de aniquilac¸˜ao para cada reagente, operador de criac¸˜ao para cada produto, orde-

nados normalmente. Exemplos:

1. A+ A_{→ /0 : Temos dois reagentes iguais a A que induzem o aparecimento do termo λ( ˆa}†₎2_aˆ2 _no

Hamiltoniano, correspondente ao termo Reagentesna equac¸˜ao (A.23). Como n˜ao temos nenhum produto nesta reac¸˜ao, o termo correspondente `aProdutoem (A.23) ser´aλ ˆa2_{de modo que o Hamil-}

toniano completo fica

ˆ

HA+A→/0= λ[( ˆa†)2aˆ2− ˆa2].

2. A+ A→ A : Usando um racioc´ınio an´alogo ao usado acima, teremos ˆ

HA+A→A= λ[( ˆa†)2aˆ2− ˆa†aˆ2].

3. A→ A + A :

ˆ

HA→A+A= λ[ ˆa†aˆ− ( ˆa†)2a].ˆ

A.2. A representac¸˜ao de Doi

4. A+ B_{→ C :}

ˆ

HA+B→C= λ[ ˆa†ˆb†aˆbˆ − ˆc†aˆb].ˆ

5. Salto do s´ıtio 1 para o s´ıtio 2: ˆ

H1→2= Γ[( ˆa1)†aˆ1− ( ˆa2)†aˆ1].

Obtemos pois, regras gerais para obtermos o Hamiltoniano de Doi para qualquer reac¸˜ao descrita por pro- cessos do tipo k1X1+ k2X2+··· + knXn→ l1Y1+ l2Y2+··· + lmYm.

A.2.1. Comparac¸ ˜ao com o m ´etodo da segunda quantizac¸ ˜ao da mec ˆanica qu ˆantica

Devemos ter em mente v´arios fatos enquanto trabalhamos com o m´etodo da segunda quantizac¸˜ao para os processos estoc´asticos cl´assicos discutidos aqui. Existem algumas diferenc¸as imediatas com relac¸˜ao ao modo como o m´etodo ´e utilizado na mecˆanica quˆantica:

• Diferentemente da equac¸˜ao de Schrodinger, aqui n˜ao existe o fator i na equac¸˜ao (A.14). • O operador “quase” Hamiltoniano ( ˆH) geralmente n˜ao ´e Hermitiano.

• A diferenc¸a mais importante est´a no c´alculo dos valores esperados de operadores. O valor esperado do operador ˆAquando o sistema est´a no estado_{|φ(t)i n˜ao ´e hφ| ˆA|φi como na teoria quˆantica porque} hφ| ˆA|φi ´e bilinear nas probabilidades P({ni}).

• Um observ´avel em um processo estoc´astico cl´assico, digamos A({ni}), pode ser representado por

um operador ˆA, que ´e diagonal na base de Fock, pela prescric¸˜ao de substituir a†_iaˆino lugar de ni.

• Para definir uma express˜ao para o valor esperado em termos dos operadores, precisamos definir o estado projec¸˜aoh

P

_{| com as seguintes propriedades:}

h

P

_{|0i = 1, h}

P

_{| ˆa}†_i =_h

P

_| (A.24)

As equac¸˜oes acima podem ser satisfeitas definindo_h

P

_{| como}

h

P

_{| = h0|e}∑iaˆi _(A.25)

Demonstrac¸˜ao: Ver apˆendice B.3.

• Para um processo estoc´astico cl´assico, o valor esperado de um observ´avel A({ni}) ´e definido como

hAi =

∑

{ni}

P(_{ni};t)A({ni}). (A.26)

Das propriedades do estado projec¸˜ao, temos que_h

P

_|

_∏

{ni}

a†ni

i |0i = 1. Usando este fato na equac¸˜ao

(A.26), vem hAi =

∑

{ni} P(_{ni};t)A({ni})h

P

|

∏

{ni} a†ni i |0i =

_∑

{ni} P(_{ni};t)h

P

|A({ni})

∏

{ni} a†ni i |0i =

_∑

{ni} P({ni};t)h

P

|A({ni})|n1, n2,···i =

_∑

{ni} P(_{ni};t)h

P

| ˆA|n1, n2,···i

onde ˆA ´e o operador obtido substituindo ni por a†iaˆi em A({ni}). ´E importante notar aqui que o

operador ˆA ´e independente dos ´ındices nie assim

hAi = h

P

_{| ˆA|φ(t)i = h}

P

_{| ˆA e}− ˆHt_|φ(0)i. (A.27)

Apˆendice A. Mapeamento de Doi

• Colocando ˆA = 1 na equac¸˜ao (A.27) obtemos

h

P

_{|φ(t)i = h}

P

_|e− ˆHt

|φ(0)i = 1. (A.28)

Esta equac¸˜ao significa que a probabilidade total ´e conservada durante a evoluc¸˜ao temporal. • Colocando t = 0 na equac¸˜ao (A.28) obtemos

h

P

_{|φ(0)i = 1.} (A.29)

Como a equac¸˜ao acima e a equac¸˜ao (A.28) s˜ao verdadeiras para qualquer_{|φ(0)i, devemos ter}

h

P

_{| ˆ}H= 0. (A.30)

• Se ˆHfor escrito na forma ordenada normal, isto ´e, se todos os operadores de criac¸˜ao a†estiverem `a esquerda de todos os operadores de aniquilac¸˜ao ˆa, ent˜ao de (A.25) e de (A.30), temos que ˆH deve ser nulo se todos os operadores a†forem substituidos por 1.

A.2.2. O deslocamento de Doi

Usando a definic¸˜ao do operador projec¸˜ao_h

P

_{| = h0|e}∑iaˆi _{e a definic¸˜ao de experanc¸a de um observ´avel dada}

pela equac¸˜ao (A.27), temos

hAi = h0|e∑iaˆi_Aeˆ − ˆHt_{|φ(0)i. (A.31)}

O fator e∑iaˆi _{pode ser comutado atrav´es dos operadores e retornar}

hAi = h0| ˆAshiftede− ˆHshiftedte∑iaˆi|φ(0)i (A.32)

onde os operadores deslocados s˜ao obtidos dos n˜ao deslocados pela substituic¸˜ao de 1+ a†i no lugar de a † i.

Este passo ´e consequˆencia do que foi feito no apˆendice (B.3), de onde pode-se tirar a identidade eaˆ_f(a†_{) =}

f(a†_{+ 1)e}aˆ_{. O Hamiltoniano com}

{a†j} → a †

j+ 1 ´e conhecido como o Hamiltoniano deslocado de Doi e a

vantagem deste procedimento ´e que o Hamiltoniano fica ordenado normalmente (todos os a†`a direita dos ˆ

a) e como consequˆencia o valor da esperanc¸a ´e zero.

Ap ˆendice

B

Formulac¸˜ao cont´ınua em uma teoria de

campos

B.1. Representac¸ ˜ao em estados coerentes e integrais funcionais

Belgede Feminist kahkahanın ötesinde: Karikatür sanatı için dişil öznellik bağlamında bir yöntem önerisi (sayfa 43-46)