Analiz Sonuçları ve Tartışma

dt = F (~y) em que F é uma função continuamente diferenciável em torno de uma vizinhança do ponto fixo. Se

A= ∂F ∂~y     _{~y=~y ∗} (6.1)

e ℜ(λ) < 0 para todos os autovalores λ de A, então o ponto fixo ~y∗ _{é localmente assintoti-}

camente estável. 

Esse resultado, também conhecido como método indireto de Lyapunov3 _(KHALIL,

2002), fornece uma maneira prática de compreender o comportamento em torno dos pontos

1 _{Esse resultado foi proposto por A. Lyapunov (1857-1918) e publicado em 1892 pela sociedade}

matemática de Kharkov (LYAPUNOV,1907, p. 291)

2 _{Nesse caso, o ponto fixo também é dito um ponto fixo hiperbólico.}

3 _{O método indireto de Lyapunov também garante que se ℜ(λ) > 0 para algum dos autovalores, λ, de}

fixos, pois obter os autovalores de matrizes, ou apenas determinar o sinal da parte real desses, é uma tarefa relativamente simples se comparado a obter soluções analíticas de equações diferenciais não lineares, em geral.

O Teorema 6.1.1 é comumente aplicado expandindo F (~y) em termos da série de Taylor até primeira ordem, da seguinte forma

d~y dt = F (~y) = F (~y ∗_{) +} ∂F ∂~y     _~y=~y∗ (~y − ~y∗_{) + O} 2(~y − ~y∗) ≈ A(~y − ~y∗), (6.2)

em que O2(·) representa termos de ordem maior ou igual a dois na expansão, e conclui-se

que o sistema é localmente assintoticamente estável em torno de ~y∗ _{se o sistema linear} d~x

dt = A~x, (6.3)

dado por uma translação no sistema coordenadas que leva o ponto fixo ~y∗_{para a origem, for}

assintoticamente estável. O sistema linear dado pela Equação6.3 é dito uma linearização, em torno do ponto fixo ~y∗_{, para o sistema} d~y

dt = F (~y).

Um aspecto interessante em sistemas de ordem não inteira é o fato de que o comportamento em torno da origem de PVINIs lineares e comensuráveis é dado pela relação entre a ordem do sistema e o argumento máximo dos autovalores de sua matriz (Teorema 3.5.7, p. 97). Devido ao fato de o cálculo de ordem não inteira ser, em um certo sentido, uma generalização do caso de ordem inteira é natural tentar verificar se o resultado do Teorema 6.1.1 possui um análogo para o caso de ordem não inteira. No caso de uma generalização, a derivada de ordem um deveria ser substituída por uma derivada de Caputo de ordem α, C_Dα

0 ~y= F (~y), e os autovalores da parte linear de F (~y)

satisfazerem a condição | arg(λ)| > απ/2 para a estabilidade local em torno do ponto fixo. Para a derivada de Caputo, uma mudança de coordenadas no sistema linearizado que leva um ponto fixo ~y∗ _{para a origem do sistemas de coordenadas é possível, pois a derivada de}

Caputo de uma constante é zero4_.

Nos trabalhos apresentados porTavazoei et al. (2009) e Abd-elouahab, Hamri e Wang (2010), encontram-se proposições para uma extensão do Teorema 6.1.1 no caso de ordem não inteira. Contudo, ao analisar as demonstrações, nota-se que o resultado proposto não é demonstrado. Ambos trabalhos utilizam a expressão em (6.2) para justificar que o comportamento das soluções do sistema não linear em torno do ponto fixo podem ser analisadas pelas soluções da Equação6.3. Portanto, os referidos autores utilizam uma consequência do teorema para demonstrá-lo, o que é, na verdade, um equívoco.

Demonstrações do Teorema6.1.1podem ser encontradas em Doering e Lopes(2012, p. 188) eBaumeister e Leitão (2014, p. 81). No primeiro, é utilizado que a norma do fluxo

4 _{Observa-se que tal procedimento aplicado para a derivada de Riemann-Liouville conduz a um sistema}

que depende explicitamente do tempo, pois essa derivada aplicada a uma constante não resulta em zero. Por esse motivo, evita-se uma extensão da referida generalização para a derivada de Riemann-Liouville.

6.2. Exemplos 151

da equação d~y

dt = F (~y), a partir de uma condição inicial pertencente a uma determinada

vizinhança em torno do ponto fixo ~y∗_{, é uma função de Lyapunov se todos os autovalores}

de ∂F ∂~y      ~ y=~y∗

tiverem parte real negativa. No segundo, é utilizado a propriedade da função exponencial ea+b _{= e}a_eb _{em conjunto com o Lema da desigualdade de Gronwall. Uma}

tentativa de reproduzir essas demonstrações no caso de sistemas de ordem não inteira não se mostraram viáveis. No primeiro caso, devido às propriedades da derivada de ordem não inteira do produto e da composta de funções e, no segundo caso, pois as funções de Mittag- Leffler Eα,α(z), α 6= 1, não satisfazem as mesmas propriedades da função exponencial

(α = 1).

Pelos mesmos motivos citados anteriormente, a aplicação de uma generalização do método direto de Lyapunov para sistemas de ordem não inteira (LI; CHEN; PODLUBNY,

2009; LI; CHEN; PODLUBNY, 2010) não se mostrou possível no caso geral em sistemas que não dependem explicitamente do tempo. Em Aguila-Camacho, Duarte-Mermoud e Gallegos (2014), a desigualdade

1

2CDα0 y2(t) ≤ y(t)CDα0 y(t) (6.4)

é utilizada para propor uma função de Lyapunov em que a estabilidade em torno do ponto fixo é garantida para a condição y F (y) < 0. A desigualdade em (6.4) também é utilizada para estudar a estabilidade em sistemas lineares de ordem não inteira segundo a derivada de Caputo, aplicando o método direto de Lyapunov no caso de ordem não inteira (DUARTE-MERMOUD et al., 2015). Contudo, observa-se que não é obtido o resultado geral que relaciona os argumentos dos autovalores da matriz do sistema e a ordem de derivação, α, como critério para a estabilidade da origem do sistema de coordenadas (Teorema 3.5.7, p. 97).

Uma generalização do primeiro método de Lyapunov para sistemas não lineares de ordem não inteira, segundo a derivada de Caputo, relacionando os argumentos dos autovalores do sistema linearizado em torno do ponto fixo com a ordem de derivação do sistema, é um problema que permanece em aberto. No entanto, observa-se, computacional- mente, que a estabilidade em torno dos pontos fixos para esses sistemas atendem ao que seria o resultado desse teorema e que não foi encontrado nenhum exemplo que indique o contrário. Na seguinte seção, serão ilustrados alguns exemplos de sistemas não lineares em que a estabilidade em torno do ponto fixo é verificada para a condição | arg(λ)| > απ/2 utilizando o método MHCCI (Capítulo 5).

6.2 Exemplos

Nesta seção, o método MHCCI será aplicado para obter diagramas de bifurcação para sistemas de ordem não inteira, não lineares, segundo a derivada de Caputo. Em cada

caso, a ordem de derivação do sistema será tomada como parâmetro de bifurcação. Dessa forma, o valor do parâmetro de bifurcação para o qual o ponto fixo perde a estabilidade será comparado com a ordem de derivação em que a origem do respectivo sistema linearizado, avaliado no ponto fixo, perde a estabilidade.