Black-Scholes Yöntemi

Myron Scholes ve Fisher Black, kendilerine Nobel ödülü kazandıran ve literatüre Black-Scholes formülü olarak geçen opsiyon değerini hesaplamada kullanılacak olan bir yöntem ortaya koymuşlardır. Black-Scholes formülü finansal opsiyon ticaretinde kullanılmak üzere dönüştürülmüş ve global sermaye piyasası araçlarının oluşturulmasına yardımcı olmuştur (Owens, 2003).

Black-Scholes yönteminin ilk çıkış noktasını rastsal yürüyüş modeli teşkil etmektedir. Menkul kıymet fiyat gelişiminde olduğu gibi, elektrik fiyatlarındaki değişim için de rastsal yürüyüş modeli, fiyat değişimlerini birbirinden bağımsız olduğu varsayımına dayanır. Diğer bir ifadeyle, tarihsel fiyat eğrisi gelecek fiyat ile ilişkisizdir. Yani fiyatlar bir Markov süreci izler. Rastsal yürüyüşten sapma ise fiyat değişimlerinin bir dereceye kadar öngörülebileceğini gösterir (Önalan, 2007)

Mal fiyatlarını modellemek için en çok kullanılan süreç, 1900 yılında L. Bachelier tarafından hisse senedi fiyatları için önerilen Brownian hareket sürecidir. Bu süreç rastsal yürüyüş sürecinin limit durumudur. Fakat bu süreç negatif değerleri de alabildiğinden, makul bir model değildir. Standart bir boyutlu Brownian hareket süreci Weiner süreci olarak da adlandırılır. Bir Wiener süreci

dz dt _(4.6)

formunda bir süreçtir. Burada ε; standart normal dağılımdan çekilmiş bir rastsal değişkendir. Weiner süreci, Markov sürecinin özel bir halidir. Z ise normal dağılımdan çekilmiş bir rastsal değişkendir (Önalan, 2007).

Elektrik fiyatlarının Weiner süreci yerine, Brownian hareketin özel bir durumu olan Geometrik Brownian hareket süreci kullanılarak modellenmesi daha makul bir yaklaşımdır (Liang, 2003). Geometrik Brownian hareket getirilerin Lognormal dağılıma sahip olmasını gerektirir. Bu sayede getirilerin negatif olması önlenmiş olur. Mc Donald ve Siegel (1986) gerçek opsiyon değerleme modelini geliştirdiklerinde, hem opsiyon değeri (C), hem proje değeri (S), hem de yatırım maliyeti (X) in Geometrik Brownian Hareketi izlediğini varsaymışlar ve opsiyon değerleme yaklaşımını kullanmışlardır. Brownian hareketine göre bir varlığın bir sonraki durumu şu andaki durumunun stokastik bir fonksiyonudur ancak geçmişte izlediği yoldan etkilenmez. Stokastik fonksiyonlar ise; deterministik olmayan ve farklı rastsal sayılarla farklı sonuçların elde edilebildiği süreçlerdir.

Sürekli zamanda, elektrik fiyatlarının değişimi;

dS S dt S dt _(4.7)

dS

dt dt

s

dS

dt dz

S 





süreci ile modellenebilir.

Burada (dS/S) S değişkenindeki yüzdesel değişimi ifade etmektedir. Bu denklem basitçe bir deteministik (μ(dt)), bir de stokastik ( dt_{) bölümden oluşmaktadır.} Burada μ; sürüklenme (sapma) katsayısı yada büyüme parametresi olarak tanımlarnır. Bu parametre, dt ile ifade edilen zaman her adımının bir faktörü olarak artmaktadır. Öte yandan, σ ile sembolize edilen volatilite zamanın kareköküyle orantılı olarak bir seyir izlemekte olup, ε ile ifade edilen simüle edilen değişken ise genellikle ortalaması 0 standart sapması 1’e eşit olan bir normal dağılıma göre değişim göstermektedir (Mun, 2002).

Black- Scholes opsiyon değerleme yöntemi, değerin karlılık oranının periyot başına varyansının tahmin edilmesine ihtiyaç duyar (Benhani, 2007).

Elektrik fiyatlarının [0,τ] aralığında kaydedilmiş olduğunu kabul edilirse. Bu zaman aralığını, herbirinin uzunluğu t olan, n eşit aralığa bölünür. Herbir alt aralığın sonunda elektrik fiyatının bilindiğini varsayalım.

ri = ln(Si+1) – ln(Si) _(4.10)

logaritmik getiri serisi oluşturulur r1, r2,...., rn serisi için,

(4.11)

(4.12) formülleri kullanılarak fiyatların volatilitesi hesaplanmış olur. Bu denklemler μ ve σ için çözülürse,

(4.14) eşitlikleri elde edilir (Önalan,2007).

Şunu da belirtmek gerekir ki, ardışık zaman adımları içerisinde değişen fiyatlar lognormal dağılım izlereken, ardışık iki zaman dilimi arasında gerçekleşen fiyatların arasındaki farkların üzerinde gerçekleştirilen logaritmik dönüşümden sonra, yeni elde edilen verinin normal dağılıma uyduğu bilinmektedir (Liang, 2003).

Bütün bunlara paralel olarak, kurulumu yapılan yenilenebilir enerji kaynağının proje değeri de geometrik brownian hareketini takip eder. Bir rüzgar türbini yatırımında geometrik brownian hareketi dahilinde bulunan S; yatırım ömrü boyunca beklenen nakit akışlarının şimdiki değeri, X; ilk yatırım maliyeti, Rf; risksiz faiz oranını, μ; proje değerinin anlık beklenen getirisini, σ; proje değerindeki oransal değişimi, dzs Wiener sürecine göre meydana gelen artışı belirtmek üzere, Black-Scholes opsiyon değerleme formülüne göre bir alım opsiyonunun değeri;

(4.15)

(4.16) olmak üzere;

(4.17) formülü ile hesaplanmaktadır (Kahraman, 2008). Bu formülden yararlanarak bir satma hakkı opsiyonu da

2 1

( ) ( )

f

R t

PXe N d SX d _(4.18)

formülü ile hesaplanmaktadır. Bu formüller, ilk bakışta göründüğünden daha kolaydır. Örneğin alım opsiyonu formülünde bulunan, N(d1) ve N(d2) terimleri, d1 ve d2’nin standart tablolardaki karşılıklarıdır. N(d1) ve N(d2) değerlerinin 1’e yakın olması halinde, opsiyon işleme konacaktır. Bu olasılıkların bire yakın olması, varlık değeri varyansınn küçüldüğünü ve vadeye kalan zamanın azaldığını gösterir. Dolayısıyla satın alma opsiyonunun değeri S-X’e eşit olacaktır. Söz konusu sonuç, opsiyonun özgü değerine eşit olacaktır. Eğer opsiyonun işleme konması kesin ise,

yatırımcı varlık değerin S hak kazanmış olacak ve opsiyon değerinin bugünkü değeri PV(x) veya Xe–Rft eşit olacaktır.

Eğer N(d) değeri sıfıra yakınsa, opsiyonun işleme konma olasılığı çok düşüktür. N(d) değerlerinin 0 ile 1 arasında olması durumunda satın alma opsiyonunun değeri belirli olasılıklar arasındadır. N(d1) ve N(d2) olasılıkları, varlık değeri fiyatlarındaki belirsizliği ölçmek için kullanılır.

Formülde ln (S/X), yüzde cinsinden miktar olup opsiyonun parada ya da para dışında olduğunu gösterir. Bir örnekle açıklayacak olursak, S=105 X=100 ise opsiyon %5 parada demektir. ln (105/100)= 0,05.Aynı şekilde eğer S=95 ise opsiyon %5 para dışında demektir (Terzi, 2006)

Fiyatlardaki belirsizliğin yüksek oluşu, yüksek volatiliteleri netice vermekte, yüksek volatiliteler ise, gerçek opsiyon yöntemiyle de ortaya konulduğu gibi yatırımın bekleme değerini artırdığı için, yatırımın ertelenmesine sebep olmaktadır (Szolgayava, 2010).

Piyasalardaki fiyatların belirsizliğinden dolayı değişim gösteren fiyatlar çeşitli ekonomik ve siyasi nedenlerle ani yükselme ve düşmeler gösterseler bile uzun vadede ortalama seviyesine dönme ve belli bir trendi izleme eğilimi göstermektedirler (Önalan,2007).