Binom Modeli Yöntemi

Risk içermeyen deterministik bir bir finansal değerleme modelinde, gelecek nakit akışları geçmiş veriler üzerinde uygulanan regresyon analizi, zaman serileri analizi yada yönetimsel bir takım var sayımlarla tahmin edilebilir. Ancak belirsizliğin var olduğu durumlarda bu tür deterministik yaklaşımlardan çok stokastik yöntemler kullanılmalıdır. Bu yöntemler arasında da, kapalı formdaki yaklaşımlar, uygulaması kolay, çabuk ve tam sonuçlar verirler ancak uygulama alanları sınırlıdır. Ayrıca stokastik matematiksel hesaplamalar içerdiğinden anlaşılmaları zor olabilir. Buna karşılık, binomial yaklaşım, hem uygulaması hem de anlaşılması kolay bir yöntem olarak karşımıza çıkmaktadır (Mun, 2002).

Yatırım kararlarında, belirsizlikler projenin değerini belirlemektedirler. Risk denilen faktör zaman içerisinde artmayabilir ancak, belirsizlik zamanla sürekli bir artışa

sahip olacaktır. Belirsizliğin doğasını anlamak için Şekil 4.2’deki “belirsizlik konisi”ni incelenebilir. Eğer biz simülasyon kullanarak belirsizliği ölçerken gelecekteki nakit akışlarını tahmin etmek istersek, iyi tanımlanmış bir metod Şekil 4.2’de gösterildiği gibi zaman içindeki nakit akışlarını binlerce kere simüle edecek ve simüle edilen bütün akışlar üzerine, her zaman periyodunda bir olasılık dağılımı oluşturulacaktır ve bu akışlar Geometrik Brownian hareketine uyacaktır (Mun, 2002).

Şekil 4.2 : Belirsizlik Konisi.

Belirsizlik Konisi’nde de görüleceği üzere volatilite (σ) birkaç bin simülasyonda aynı kalırken, sadece simüle edilen değişken (ε) sürekli olarak değişmektedir. Böylelikle, volatilite (σ) aynı kalsa bile, belirsizlik seviyesi zaman içerisinde ( dt) faktörüyle orantılı olarak artıyor olacaktır. Yani belirsizlik seviyesi zamanın kareköküyle orantılı olarak artmaktadır. Başka bir deyişle, zaman geçtikçe geleceği tahmin etmek zorlaşmaktadır. Belirsizlik konisi’nde de koninin yüksekliğinin zamanla arttığı anlaşılmaktadır. Buna paralel olarak, ani fiyat değişimleri gibi kısa süreli volatiliteler yatırım kararı üzerinde bariz bir etki oluşturmazlar. Ancak, hava durumu verileri, teknoloji maliyetleri ve diğer piyasa koşulları gibi etmenleri içeren uzun vadeli değişimler ve bunların simülasyonları gelecekteki fiyat beklentilerinin aşağı-yukarı değişeceğini fakat ortalamalarının değişmeden kalacağını anlatan rassal yürüyüş (Geometrik Brownian Hareket) fiyat sürecini dikkate alır (Prelipcean, 2008)

Ayrıca, farklı volatiliteye sahip binom ağaçlarına bakıldığında volatilitesi daha yüksek olan ağacın, en üst ve en alt dalları arasında daha geniş bir aralık olduğu ve daha fazla yayıldığı Şekil 4.3’de görülmektedir.

Şekil 4.3 : Volatilite ve Binom Ağaçları.

Temelde binom modeli belirsizlik konisinin kesikli simülasyonudur. Brownian Hareketi, sürekli bir stokastik simulasyon süreci iken, binom örgüsü kesikli simülasyon sürecidir. Limite varıldığında, yani adım sayısı sonsuza, dolayısıyla zaman adımları sıfıra yaklaştığında, binom örgüsünden kaynaklanan sonuçlar Brownian Hareketinde elde edilen sonuçlara yakınlaşmaktadır (Mun, 2002)

İlk olarak Cox, Ross ve Rubinstein (1979) tarafından ortaya konulan Binom ağaçları yöntemi, değerlemesi yapılacak finansal varlığın fiyat değişimlerinin bir dizi binom hareketiyle ifade edilebileceği varsayımını temel almaktadır (Özoğul, 2006) Binom merdiveni yöntemi, belirli bir zaman aralığında gerçekleşen opsiyon değerleme problem sürecini, sürekli zamandaki sonlu fark yaklaşımının aksine, tümevarım ve tümden gelim çözüm metotlarını kullanarak açık bir şekilde modellemektedir. Bu yaklaşım, fiyattaki belirsizliğin artış ve düşüş şeklinde gerçekleşebilecek iki olası sonuçla gerçekleşebileceğini varsaymaktadır (Siddiqui, 2007). Bir başka deyişle, binom ağaçları yöntemi, konu edilen finansal varlığın bir dönemin başındaki fiyatının bilinmesi durumunda, bir sonraki döneme ait fiyatının ancak olası iki değerden biri olabileceğini öngörmektedir.

Bu model bazı varsayımlar üzerine kurulmuştur. Bu varsayımlara göre;piyasada işlem gören tüm finansal araçların beklenen getirisi, risksiz getiri oranına eşittir.

Gelecekte oluşacak tüm nakit akışlarının değerlemesi, bu akışların beklenen değerlerinin risksiz getiri oranı ile iskontolanarak yapılır.

Bu varsayımlara göre; temettü dağıtmayan bir hisse senedi üzerine yazılmış bir opsiyonun değerlemesi için, önce opsiyonun ömrünü Δt uzunluğunda küçük zaman aralıklarına bölünür. Her zaman aralığında, hisse senedi fiyatının; S ilk değerinden, Su ve Sd değerlerine ilerlediğini varsayılır.. Bu model Şekil 4.4’te gösterilmiştir. Genellikle, u > 1 ve d <1’dir. S’den Su’ya geçiş hareketi bir ‘yukarıya doğru’ harekettir, S’den Sd’ye geçiş hareketi ise bir ‘aşağıya doğru’ harekettir. Yukarıya doğru bir hareketin olasılığı p ile gösterilir, dolayısıyla aşağıya doğru hareketin olasılığı 1 – p ile gösterilir (Özoğul, 2008). Ayrıca, u = 1/d olduğu kabul edilerek işlemler yapılmaktadır.

Şekil 4.4 : Binom modeline göre hisse senedi fiyatı hareketleri.

Bu bağlamda, ∆t uzunluğundaki zaman aralıklarında, S: hisse senedinin ilk fiyatı, u>1 , d<1, r: hisse senedinin beklenen değerinin hesaplandığı risksiz faiz oranı, ∆t uzunluğundaki zaman sonunda hisse senedinin beklenen değeri (Ser∆t), hisse senedi değişim varyansı (σ2_{Δt) ve a verilen bir değer olmak üzere;}

a d p u d    (4.19) t ue  _(4.20) t d e  (4.21) r t ae _(4.22)

denklemeleri elde edilir (Cheng,2011). Bu denklemlere göre, Şekil 4.5’de sunulan binom örgüsü ortaya çıkmaktadır.

Şekil 4.5 : Binom ağacı yaklaşımının işleyişi ve bir alım opsiyonunun incelenmesi. Binom modelinde opsiyon değerlemesi yapılırken ağaç; en sondan (T anından) başlayarak, geriye doğru taranarak çalışılır. Opsiyonun T anındaki değeri bilinmektedir.

Örnek olarak, bir satım opsiyonunun değeri max(X - ST, 0), bir alım opsiyonun maksimum değeri ise max(ST - X, 0) olsun. Burada ST hisse senedinin T anındaki fiyatı, X ise kullanım fiyatı olsun. Risk-nötr bir ortamda bulunulduğu varsayımı ile, T-Δt anında her düğümdeki değer; bir Δt zaman aralığı için, T anında, r faiz oranı ile iskontalanmış beklenen değer ile hesaplanabilir. Aynı şekilde, T - 2Δt anındaki her düğümdeki değer; bir Δt zaman aralığı için, T anında, r faiz oranı ile iskontalanmış beklenen değer ile hesaplanabilir.

Eğer opsiyon Amerikan tipi bir opsiyon ise, opsiyonu bir Δt zaman aralığı daha elde tutmaya karşı erken kullanım tercihi, her düğüm için kontrol edilmelidir. Sonuçta, ağaç boyunca tüm düğümlerden geriye doğru giderek, başlangıç anındaki opsiyonun değeri elde edilmiş olur.

Ağaç boyunca geriye doğru giderek, bir alım opsiyonu için n dönemlik genelleştirilmiş binom değerleme denklemi elde edilir.

(4.13) Tüm bu terimlerin toplamı ise opsiyonun beklenen değerini vermektedir. Pratikte n = 30 alınması durumda model kabul edilebilir oranda kesin sonuca yakınsamaktadır (Özoğul, 2008).