4.2. Ekonometrik Metedoloji
4.2.2. Birim Kök Testi Analizi
Zaman serilerinde serilerin durağan olup olmadıklarının belirlemek amacı ile genellikle birim kök testi kullanılmaktadır. Oluşturulan zaman serilerinin durağan olup olmadıklarını belirlemek, yapılan çalışmanın doğru sonuçlar vermesi bakımından önemlidir. Bu çalışmada oluşturulan serilerin durağan olup olmadıklarını
belirlemek amacı ile Genişletilmiş Dickey- Fuller (ADF) testini kullanılmıştır. Bu bağlamda birim kök testi başlığı adı altında ADF testi anlatılmaya çalışılacaktır.
Durağanlık kavramı, serinin belirli bir değere yakınlaşmasını ya da beklenen değer etrafında dalgalanması şeklinde ifade edilmektedir. Serinin zaman içinde ortalaması, varyansı ve otokovayasının sabit olması zaman serisinin stokastik olması ayrıca serinin durağan olmadığının bir göstergesidir. Durağanlık kavramı, oluşturulan serilerin doğru sonuç vermesi neticesinde önem taşımaktadır. Çünkü durağan olmayan bir zaman serisi sadece ele alınan tahmin dönemi için geçerli olacaktır. Bu durumda gelecek hakkında yapılan yorumların sadece tahmin edilen dönemlerin toplam değerini gösteren yanıltıcı bir sonuç olmasına neden olacaktır. Bir zaman serisinde şokların belli bir süre süreceğine etkisinin zamanla azalacağına ve ortalama değerine geri dönmesi beklenir. Bu durum söz konusu değilse zaman serilerinin durağan olduklarından bahsedilemez (Bozkurt, 2013: 30).
Birim kök testlerinde serinin durağan olup olmadığının anlaşılması için serinin her dönemde aldığı değerinin daha önceki dönemdeki değeri ile regresyonunun bulunması ile gerçekleşebilir. Bunun için oluşturulan model (Tarı, 2018: 388);
Y
t= PY
t−1+ u
t(1)
Yukarıda oluşturulan model değişkenin bulunduğu dönemde aldığı değerin bir önceki dönemde aldığı ilişkisini göstermektedir. Burada
𝑢
𝑡 stokastik hata terimini ifade etmektedir. Modelde P katsayısının bire eşit çıkması durumu serinin birim köke sahip olduğu yani durağan olamadı durum ifade etmektedir. Bu durum (model 2) de gösterilmiştir.Y
t= Y
t−1+ u
t(2)
1 numaralı denklemde eşitliğin her iki tarafından 𝑌𝑡−1
çıkarılarak 3 numaralı
denklem elde edilmiş olur. Bu birinci fark işlemini göstermektedir.∆Y
t= (P − 1)Y
t−1+ u
t(3)
3 numaralı denklemde (P-1)
𝛿
ifade edildiğinde oluşacak yeni denklem 4 nolu denklemdir.∆Y
t= δY
t−1+ u
t(4)
P değerinin bire eşit olması 𝛿 değerinin sıfıra eşit olmasıdır. Bu durumda
∆𝑌
𝑡= 𝑌
𝑡− 𝑌
𝑡−1= 𝑢
𝑡olarak seri birinci farkında durağan hale gelecektir. Serinin birinci farkında durağan hale gelmiş olması orijinal seriye birinci dereceden entegre olmasını ifade eder ve I(1) şeklinde ifade edilir. Seri eğer birinci seviyede durağan hale gelmiyorsa seriyi durağanlaşana kadar fark alma işlemi uygulanır.
Bir serinin durağan olup olmadığı, bir nolu denkleme göre P katsayı değerininin bire eşit olması ya da dört nolu denkleme göre 𝛿 katsayısının sıfıra eşit olup olmaması durumuna bakılır. Bu durumda hipotezler şu şekilde kurulur (Erdoğan, 2006: 83).
H
0: δ = 0 Seri durağan değildir
H
1: δ ≠ 0 Seri durağandır.
Fakat serilerin bu yolla birim kök içerip içermedikleri genel olarak kullanılan t istatistik değeri ile belirlenememektedir. Çünkü
𝐻
0 hipotezi altında t istatistiğinin tutarlı olabilmesi için serilerin durağan olması gerekmektedir ve ayrıca t istatistik değerleri 0 etrafında dağılmamaktadır. Bu durumda Dickey- Fuller (1979) makalesinde yayınladığı τ (tau) istatistik değerleri ile değerlendirilmelidir ve literatürde Dickey- Fuller (DF) testi olarak bilinmektedir (Tarı, 2018: 378).DF testi aşağıda oluşturulacak olan modellere uygulanır (Aktaş, 2009: 39);
1. Trend ∆Yt
= δY
t−1+ u
t3. Trend, sabit terim ve deterministik trend ∆Yt
= b
0+ b
1t + δY
t−1+
u
tP değerinin bire eşit olması yani serinin durağan olmadığına ilişkin kurulan esas hipotezin kabul edilip edilemeyeceği sorusuna yanıt almak için Dickey- Fuller tarafından geliştirilen tau istatistik değerlerinden faydalanılmaktadır. Fakat bu değerlerin yeterli olmaması sonucunda MacKinnon bu değerleri genişletmiştir (Aktaran, Erdoğan, 2006: 84). Bunun sonucunda τ istatistiğinin mutlak değerce farklı anlamlılık düzeylerine göre bulunan Mackinnon kritik değerlerinden mutlak değerce küçük olması serinin durağan olmadığı, büyük ise serinin durağan olduğu sonucunu doğurmaktadır (Tarı, 2018: 389).
Fakat Dickey- Fuller testi hata terimlerinde otokorelasyon barındırması durumunda zaman serileri birinci dereceden otoregresif süreçle ifade edilememektedir. Yani DF testinin kullanılabilmesi için hata terimlerinin otokorelasyon içermemelidir. Bu duruma çözüm getirmek ve serilerin birim kök içerip içermediğini test etmek amacı ile ‘Genişletilmiş Dickey- Fuller’ (ADF) testi geliştirilmiştir (Göktaş, 2005: 35).
ADF birim kök testine göre eğer serilerin hata terimleri arasında otokorelasyon problemi varsa, bağımlı değişkeninin gecikmeli fark değerlerinin eşitliğin sağ tarafında yer alacağı bir test önermiştir. Bu öneriye uygun denklem şu şekildedir (Bozkurt, 2013: 41-42);
∆Y
t= b
0+ b
1t + δY
t−1+ ∑
mi=1α
i∆Y
t−i+ u
t(5)
ADF birim kök testi için geliştirilmiş 5 numaralı denklemde ana etmen serinin durağanlığını sağlanana kadar terimi denkleme ekleme işlemidir ve DF testi için geliştirilen bütün kriterler ADF birim kök testi içinde geçerli olmaktadır. Her iki testin de kritik değerleri aynı olup, P değerinin bire eşit olması ya da 𝛿 değerinin sıfıra eşit olması serinin durağan olmadığını gösteren esas hipotez geçerliliğini korumaktadır (Tarı, 2018: 390). Oluşturulan serilerde otokolerasyonu gidermek amacı ile gecikmeli fark terimlerinin sayısı programlar yardım ile bulunabilmektedir. Değişkenlere ne kadar terimin eklenmesi gerektiğin bulunması için pek çok yöntem
kullanılmaktadır. Bunlardan birisi Akaike Bilgi Kriteri (AIC)’ dir (Bozkurt, 2013: 42).
𝐴IC(m) = In│ ∑ (m)
~u│ +
2 T(6)
= 𝐼n│ ∑ (m)
~u│ +
2mK2 T6 numaralı denklem Akaiki Bilgi Kriterinin matematiksel olarak hesaplanma şeklidir. Denklemde k: gecikmeli hale getirilmiş modelde parametre sayısını, T ise gözlem sayısını ifade etmektedir.
AIC değerini en küçük yapan gecikme uzunluğu bizim gecikme uzunluğumuz olarak karşımıza çıkmaktadır. Çünkü modele fazladan terim eklemek AIC değerinde artışa sebep olacaktır (Lütkepohl, 2005: 147).