1.6. ĠKRARIN TÜRLERĠ
1.6.2. Beyanın Ġçeriğine Göre Ġkrar Türleri
1.6.2.3. BileĢik (Mürekkep) Ġkrar
M´etodos de reconstru¸c˜ao impl´ıcita procuram aproximar superf´ıcies alg´ebricas, como o conjunto zero de fun¸c˜oes polinomiais, aos dados esparsos. Em v´arios casos, o polinˆomio resultante gera m´ultiplas superf´ıcies que passam pr´oximas aos dados mas se conectam em locais arbitr´arios. Esse problema topol´ogico pode ser resolvido pela divis˜ao do espa¸co e pelo c´alculo de fun¸c˜oes alg´ebricas de menor grau em cada sub-divis˜ao. Blane et al. [BLA 00] apresentam um m´etodo para aproximar superf´ıcies impl´ıcitas polinomiais de grau arbitr´ario `a dados 2D e 3D. Esse m´etodo consiste em aproximar trˆes conjuntos de n´ıveis polinomiais aos dados de entrada, evitando o problema de m´ultiplas superf´ıcies. Os resultados obtidos s˜ao bastante superiores aos de outras t´ecnicas de aproxima¸c˜ao.
Outro tipo de aplica¸c˜ao envolve a reconstru¸c˜ao de superf´ıcies a partir de contornos. O objeto ´e representado por pilhas de contornos bidimensionais paralelos. Dados dessa natureza podem ser obtidos e utilizados em aplica¸c˜oes medicais e de engenharia reversa. Klein et al. [KLE 00] utilizam a distˆancia entre os elementos de uma grade retangular e os contornos fornecidos para extrair os eixos mediais entre eles. Esses eixos s˜ao o con- junto zero das distˆancias calculadas. A superf´ıcie ´e triangulada ao se percorrer os eixos mediais para conectar seus pontos aos dois contornos vizinhos. O resultado obtido ´e ent˜ao simplificado.
Cap´ıtulo 3
Epistemologia da abordagem de
Gideon Guy
Em sua tese, Guy abre um novo campo de pesquisa ao definir seu m´etodo de in- ferˆencia de estruturas em 2D e 3D. De um ponto de vista epistemol´ogico, este cap´ıtulo apresenta seu contexto cient´ıfico e discute alguns de seus aspectos. O objetivo ´e funda- mentar o trabalho de Guy, apresentar a metodologia de inferˆencia de orienta¸c˜oes e os algoritmos de extra¸c˜ao de estruturas em 3D. Este estudo ´e realizado de acordo com a abordagem epistemol´ogica proposta por Martins Jr. [MAR 99].
3.1
Fundamenta¸c˜ao epistemol´ogica
A primeira quest˜ao que se coloca ´e: em qual campo de conhecimento o trabalho de Guy se situa? Ele se insere no campo de vis˜ao computacional e no campo matem´atico. A matem´atica ´e seu instrumento na busca da solu¸c˜ao. Natural, pois a pr´opria ciˆencia da computa¸c˜ao ´e uma ciˆencia matem´atica.
A meta anunciada foi de preencher o espa¸co entre a sa´ıda de algoritmos de baixo- n´ıvel e o que ´e desej´avel como entrada para algoritmos de alto n´ıvel: contornos perfeitos, sem ru´ıdo, sem fragmenta¸c˜ao, etc. Como exemplo, a Figura 3.1a ilustra o resultado de um detector de borda que necessita ter os contornos fechados e menos ru´ıdo para posterior processamento.
Outro problema que Guy busca solucionar ´e a detec¸c˜ao e percep¸c˜ao de contornos ilus´orios que faz parte do campo de agrupamento perceptivo. A Figura 3.1b ilustra duas imagens com contornos ilus´orios.
Agrupamento perceptivo se refere a uma classe de fenˆomenos visuais nos quais um agrupamento de elementos n˜ao conectados fisicamente ocorre. As no¸c˜oes da Escola Gestalt s˜ao amplamente usadas no problema de percep¸c˜ao de contornos. Segundo Grossberg & Mingolla [GRO 85, GRO 87], desde o trabalho dessa escola tem-se reconhecido que carac- ter´ısticas locais de uma cena, tais como posi¸c˜oes de bordas, disparidades, comprimentos, orienta¸c˜oes e contrastes, s˜ao amb´ıguos mas podem ser rapidamente agrupados para gerar uma separa¸c˜ao entre fundo e objeto.
Nesse contexto, Guy afirma que seu m´etodo tenta imitar o fenˆomeno perceptivo de pr´e-aten¸c˜ao, isto ´e, tenta distinguir grupos de elementos organizados quando esses n˜ao
Cap´ıtulo 3. Epistemologia da abordagem de Gideon Guy 40
(a)
(b)
Figura 3.1: Imagens de interesse para o trabalho de Guy. (a) Uma imagem e suas bordas obtidas pelo detector
´otimo Shen-Castan com β = 1, 0 [SHE 92]. (b) O triˆangulo
e o quadrado de Kanizsa que induzem contornos ilus´orios.
est˜ao conectados ou n˜ao est˜ao dissociados de um fundo. Especialmente no que diz respeito ao problema de detec¸c˜ao de contornos ilus´orios.
Note que, em um primeiro momento, o trabalho de Guy n˜ao se preocupa com a reconstru¸c˜ao de dados esparsos. Suas metas concernem problemas de vis˜ao e, por con- seq¨uˆencia, seu trabalho se fundamenta em conceitos de agrupamento perceptivo.
3.1.1 Os princ´ıpios b´asicos
Qual a procedˆencia de suas proposi¸c˜oes, ou seja, seu ponto de partida? Por se situar no campo cognitivo de agrupamento perceptivo, a pergunta que Guy se coloca, dado um conjunto esparso de pontos, ´e: de todas as conex˜oes poss´ıveis entre os pontos, qual ´e a conex˜ao que, provavelmente, seria percebida pelo sistema visual humano? Essa conex˜ao pode ser aproximada atrav´es de atributos do conjunto de pontos e, obviamente, de hip´oteses de funcionamento da vis˜ao humana. O ponto central das proposi¸c˜oes de Guy envolve o conceito de forma das poss´ıveis conex˜oes entre pontos esparsos.
Guy se baseia na teoria de Ullman [ULL 76], amplamente utilizada em trabalhos de agrupamento perceptivo, que sugere que a curva usada pelo sistema visual humano para conectar dois fragmentos de contorno ´e constru´ıda a partir de dois arcos circulares. Dessa fam´ılia de curvas, o par que minimiza a energia E = R
k(s)2 ds, sendo k a fun¸c˜ao de curvatura e s a vari´avel de integra¸c˜ao sobre a curva, modela a forma do contorno ilus´orio. A outra base te´orica corresponde aos princ´ıpios b´asicos de agrupamento perceptivo da Escola Gestalt de psicologia:
3.1. Fundamentac¸ ˜ao epistemol´ogica 41
• boa continuidade de curvatura; • curvatura constante;
• favorecimento de baixas curvaturas; • proximidade.
Tais princ´ıpios podem ser interpretados diferentemente e ter car´ater amb´ıguo. A proposi¸c˜ao de Guy ´e favorecer o agrupamento de pontos principalmente pela proximidade e pela boa continuidade de curvatura.
A teoria de Ullman e os princ´ıpios da Escola Gestalt tˆem uma rela¸c˜ao de parale- lismo. A proposta de minimizar uma energia total da curvatura pode ser relacionada aos princ´ıpios de forma: boa continuidade de curvatura, curvatura constante e favorecimento de baixas curvaturas.
A solu¸c˜ao, portanto, ´e determinar a curva que minimiza a curvatura total entre pontos esparsos a partir de padr˜oes de forma circulares e de acordo com os princ´ıpios da Escola Gestalt. Guy prova que a escolha de um c´ırculo como conex˜ao entre dois pontos (com restri¸c˜oes) minimiza a equa¸c˜ao de curvatura total (Eq. 3.1) usada no algoritmo rede de saliˆenciade Sha’ashua & Ullman [SHA 88, ALT 95].
3.1.2 O instrumento matem´atico
Segundo Guy, os problemas de percep¸c˜ao podem ser resolvidos somente pela im- posi¸c˜ao de restri¸c˜oes n˜ao locais na solu¸c˜ao. Ou seja, n˜ao realizar decis˜oes de conex˜ao localmente como, por exemplo, em Ahuja & Tuceryan [AHU 89].
Guy utiliza duas no¸c˜oes matem´aticas b´asicas: campos vetoriais e matrizes de covariˆancia. A solu¸c˜ao proposta est´a na modalidade espacial segundo a teoria das mo- dalidades c´osmicas de Dooyeweerd [DOO 58]. Entretanto, a no¸c˜ao de campo ´e uma ante- cipa¸c˜ao de fenˆomenos f´ısicos realizada pela matem´atica. Assim, o processo pode tamb´em representar fenˆomenos da modalidade f´ısica. Uma analogia com a f´ısica de part´ıculas, por exemplo, ´e feita por Medioni et al. [MED 00].
Os campos vetoriais s˜ao constru´ıdos de acordo com a teoria de Ullman. Guy diz que esses campos codificam princ´ıpios de agrupamento perceptivo. Campos especiais s˜ao definidos para o problema de detec¸c˜ao de contornos ilus´orios.
O m´etodo proposto realiza um processamento global para determinar as conex˜oes entre os pontos. Para isso, os campos vetoriais s˜ao alinhados com todos os pontos de entrada e acumulados atrav´es de matrizes de covariˆancia. A representa¸c˜ao das orienta¸c˜oes por vetores n˜ao ´e adequada para capturar a complexidade de m´ultiplas contribui¸c˜oes.
A representa¸c˜ao matricial utilizada por Guy ´e um instrumento cl´assico amplamente utilizado. Por representar geometricamente elips´oides, Teichmann & Capps [TEI 98] a utilizam para definir formas-alfa anisotr´opicas. Em processamento de imagens, Di Zenzo [DIZ 86] utiliza matrizes de covariˆancia para calcular o gradiente de imagens multi- espectrais. E tamb´em utilizada em an´alise de componentes principais em estat´ıstica.´ Possui aplica¸c˜oes em c´alculo tensorial [DAN 96] e processamento de sinais [WES 94]. Em reconstru¸c˜ao de superf´ıcies, ´e a representa¸c˜ao utilizada para estimar normais e tangentes de um conjunto de pontos [HOP 92, GUY 96, OBL 98].
Cap´ıtulo 3. Epistemologia da abordagem de Gideon Guy 42
referˆencias que expliquem a liga¸c˜ao dos princ´ıpios de agrupamento perceptivo e a escolha dos instrumentos matem´aticos. Isso gera dificuldades para determinar se a abordagem ao problema foi indutiva ou dedutiva.
N˜ao h´a ind´ıcio de que t´ecnicas de indu¸c˜ao tenham sido usadas na busca da solu¸c˜ao; tentativa e erro por exemplo. Todavia, as escolhas feitas no campo instrumental s˜ao expli- cadas pelos conceitos de agrupamento perceptivo, o que sugere uma abordagem dedutiva ao problema.
J´a no primeiro trabalho de Guy [GUY 93], que busca inferir contornos globais a partir de caracter´ısticas locais, encontram-se os principais elementos de suas id´eias:
• representa¸c˜ao de estrutura local por matrizes de covariˆancia: utilizada para acumular a informa¸c˜ao de campos vetoriais, torna poss´ıvel a estima¸c˜ao de orienta¸c˜ao local a partir de m´ultiplas contribui¸c˜oes;
• campos vetoriais que codificam conex˜oes globais: induzem a organiza¸c˜ao de elementos de uma grade de matrizes de covariˆancia de acordo com formas de conex˜ao pr´e-definidas pelos princ´ıpios de agrupamento perceptivo;
• t´ecnicas de extra¸c˜ao de estruturas: adapta¸c˜ao de m´etodos cl´assicos para extrair estruturas do resultado da acumula¸c˜ao.
O que se vˆe nos trabalhos subseq¨uentes ´e um aperfei¸coamento desses elementos que s˜ao os pilares do m´etodo. Guy apresenta uma extens˜ao do m´etodo para reconstru¸c˜ao de estruturas em 3D [GUY 95], que ´e revisada [GUY 97] ap´os a publica¸c˜ao de sua tese [GUY 96].
3.1.3 Reconstru¸c˜ao de estruturas
A rigor, o m´etodo realiza organiza¸c˜ao espacial ao inv´es de organiza¸c˜ao perceptiva. Al´em disso, seus procedimentos podem ser percebidos diferentemente em outros campos cient´ıficos; n˜ao ´e inerente ao campo de agrupamento perceptivo. Isso ´e v´alido na migra¸c˜ao da solu¸c˜ao para o problema de reconstru¸c˜ao de superf´ıcies.
Um dos aspectos mais importantes do m´etodo proposto ´e a sua capacidade de asso- ciar orienta¸c˜oes e medidas de pertinˆencia a um conjunto esparso de pontos. Essa inferˆencia da organiza¸c˜ao espacial possui v´arias aplica¸c˜oes e constitui o principal interesse desta tese. Almejando os problemas de percep¸c˜ao, Guy desenvolveu um m´etodo para inferˆencia de tangentes e reconstru¸c˜ao de curvas em 2D. Utilizando campos espec´ıficos, o m´etodo provˆe bons resultados na detec¸c˜ao de contornos ilus´orios em imagens cl´assicas. Entretanto, seus resultados na reconstru¸c˜ao de pontos esparsos s˜ao mais consistentes.
Reconstruir estruturas em 3D ´e uma extens˜ao natural do m´etodo originalmente proposto para os problemas de vis˜ao. Os mesmos conceitos s˜ao aplicados na defini¸c˜ao dos campos vetoriais tridimensionais das trˆes entradas poss´ıveis: pontos, vetores normais e vetores tangentes `a superf´ıcie. O mesmo processo de acumula¸c˜ao global ´e aplicado. Na publica¸c˜ao mais recente [GUY 97], observa-se que a contribui¸c˜ao para o problema de reconstru¸c˜ao ´e assumida como a mais importante do trabalho.
3.1. Fundamentac¸ ˜ao epistemol´ogica 43
3.1.4 O epistemograma
Obviamente, problemas de agrupamento perceptivo tˆem uma complexidade muito maior que o da solu¸c˜ao proposta. Portanto, Guy n˜ao imita o fenˆomeno de pr´e-aten¸c˜ao mas o representa com seu instrumental matem´atico. O m´etodo funcionalmente n˜ao realiza um dos est´agios naturais da vis˜ao humana. A rela¸c˜ao entre o trabalho de Guy e os princ´ıpios de agrupamento perceptivo ´e de representa¸c˜ao.
Aparentemente, Guy parte das teorias de agrupamento perceptivo na busca da solu¸c˜ao e tenta confirm´a-las em seus resultados. Acredita-se que o sistema de inquiri¸c˜ao de seu trabalho, i.e., sistema de acesso `a verdade, ´e leibniziano (Se¸c˜ao 1.4.2).
A grosso modo, ele n˜ao desenvolveu empiricamente suas id´eias como, por exemplo, neurofisiologistas fazem ao buscar respostas sobre um sistema visual. Nesse ´ultimo caso a verdade ´e experimental, i.e., est´a nos dados, o que configura um sistema de inquiri¸c˜ao lockeanopelo menos em parte. As proposi¸c˜oes de Guy tˆem origem em um modelo formal de princ´ıpios de percep¸c˜ao.
O epistemograma [MAR 99] da Tabela 3.1 apresenta os objetivos e o contexto geral da tese de Guy. O m´etodo proposto pode ser aplicado em cada um dos objetivos descritos. Note, no entanto, que ´e o aspecto de reconstru¸c˜ao que guia essas aplica¸c˜oes.
Tabela 3.1: Epistemograma simplificado da tese de Gideon Guy [GUY 96]. Objetivos
Desenvolver um m´etodo
para realizar o processa-
mento intermedi´ario en-
tre algoritmos de baixo e
alto n´ıvel.
Desenvolver m´etodo
para reconstruir con-
tornos ilus´orios em
imagens.
Desenvolver m´etodo
para reconstruir su-
perf´ıcies e curvas.
Ciˆencias
- processamento de imagens;
- vis˜ao computacional;
- agrupamento perceptivo;
- matem´atica aplicada.
- vis˜ao computacional;
- agrupamento percep- tivo;
- matem´atica aplicada.
- vis˜ao computacional;
- matem´atica aplicada;
- reconstru¸c˜ao de formas.
Objetos reais
Objetos reais em cenas ar- bitr´arias,
Objetos ilus´orios em ce-
nas arbitr´arias.
Objetos reais. Objetos
de contato
Conjunto de pontos com ou sem tangente associada que representam objetos re- ais (como bordas ou pontos em cont´ınuo).
Conjunto de segmentos de uma imagem que in-
duzem conex˜oes ilus´orias
`
a percep¸c˜ao humana.
Conjunto de pontos, tan- gentes e normais que re- presentam parcialmente a forma de um objeto real. Processos naturais Alinhamento natural de fragmentos de contorno associados a um objeto
real (maior probabilidade de pertencer ao mesmo objeto).
Processamento prim´ario
na vis˜ao humana que
consiste em completar
estruturas n˜ao conexas
para assim perceber ob- jetos fisicamente inexis- tentes.
Produtos M´etodo para inferˆencia de
curvas em imagens.
M´etodo para inferˆencia
de contornos ilus´orios.
M´etodo para inferˆencia de superf´ıcies e curvas.
Cap´ıtulo 3. Epistemologia da abordagem de Gideon Guy 44