4.2. Dönme ile ilgili Matematiksel Söylemler
4.2.1. Öğretmenin Dönme ile ilgili Matematiksel Söylemleri
4.2.1.1.Öğretmenin Dönmeyle ilgili Ders Gözlemindeki Söylemleri
Bu bölümde öğretmenin dönme dönüĢümüyle ilgili iki ders saati boyunca yapılan gözlemler sonucunda ortaya çıkarılan matematiksel söylemlerinin sözcük kullanımı, rutinler, görsel aracılar ve tasdik edilmiş anlatılarına göre analizi verilmiĢtir. Dönme dönüĢümü, 10. sınıflarda DönüĢümler öğrenme alanının öteleme dönüĢümünden sonra gelen ikinci kavramıdır. Öğretmen birinci ders saatinde sırasıyla dönme dönüĢümünün tanımının ve problemlerin yer aldığı sunuyu tahtaya yansıtarak dersi iĢlemiĢtir. Ġkinci ders
109
saatinde ise dönme dönüĢümüyle ilgili problemler çözmüĢtür ve problemlerin çözümlerinde sınıf tahtasını kullanmıĢtır.
4.2.1.1.1. Öğretmenin Dönmeyle ilgili Ders Gözlemindeki Sözcük Kullanımı
Öğretmenin dönme dönüĢümüyle ilgili gözlemlerinden ortaya çıkarılan sözcük kullanımında niceliksel olarak analizinden ziyade niteliksel olarak bağlama bağlı analiz yapılmıĢtır. Bu durum göz önünde bulunduğunda, öğretmenin sözcük kullanımının ağırlıklı olarak tabir-bazlı ve nesne-bazlı olduğu tespit edilmiĢtir. Ayrıca az da olsa rutin-bazlı sözcük kullanımına rastlanılmıĢtır. Fakat öğretmenin söylemlerinde edilgen sözcük kullanımı görülmemiĢtir. Derste dönme dönüĢümü tanımını verirken aĢağıda görüldüğü gibi sözcük kullanımının nesne-bazlı olduğu belirlenmiĢtir. Burada dönmeyi bir nesne olarak ele aldığı görülmektedir.
48.ÖT: Tanım: Düzlemde bir P(x,y) noktasının, O noktası etrafında α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen nokta,
Q= 𝑅𝛼 𝑃 = (xcosα − ysinα, xsinα + ycosα) dır. Burada 𝑅𝛼 ya dönme dönüĢümü denir. Düzlemin her P noktası için 𝑅𝛼 𝑃 dönmesi yapılabileceğinden 𝑅𝛼: 𝑅2 → 𝑅2 Ģeklinde bir dönüĢümdür.
Öğretmenin sınıfa yönelttiği problem ve gelen cevaplar doğrultusunda yaptığı açıklamalarda aĢağıda verilen öğretmen ve öğrenciler arasında geçen diyalogda görüldüğü gibi nesne-bazlı sözcükler kullanmıĢtır.
62.ÖT: Çünkü benzerlikle iliĢkisi vardı. Peki, bu dönme dönüĢümü, dönme dönüĢümü sonucunda Ģekillerin büyüklükleri değiĢir mi?
63.Ö(Burcu): Hayır.
64.ÖT: DeğiĢmez. Bir doğru parçası ise uzunluğu değiĢir mi? 65.Ö(Burcu): Hayır.
66.ÖT: DeğiĢmez, neyi değiĢir? 67.SC: Yeri, yönü
68.ÖT: Yeri yönü değiĢir. Peki, o zaman bu nasıl bir dönüĢümdür? DönüĢümleri ikiye ayırıyorduk?
69.Ö(Belvin): Benzer dönüĢüm
70.ÖT: Benzer olanlar ve eĢ olanlar. EĢlik dönüĢümü ve benzerlik dönüĢümü. Ġçlerinde sadece homoteti benzerlik dönüĢümüydü, diğerleri eĢlik dönüĢümü. […] Var mı burada bir sorusu olan? Kafasında canlanan? Peki, devam, örnek…
110
Öğretmenin verdiği dönme tanımını açıklarken aĢağıda verilen alıntıda görüldüğü gibi tabir-bazlı sözcükler kullandığı tespit edilmiĢtir.
52.ÖT: Gösterime dikkat, 𝑅𝛼 𝑃 , kaç derecelik açıyla döndürüyorsanız, R harfinin altına yazıyorsunuz, parantez içinde ise döndürdüğünüz noktayı yazıyorsunuz. xcosα-ysinα artı xsinα+ycosα kullanacağımız dönüĢüm formülü bu.
Öğretmenin dönme dönüĢümüyle ilgili ders gözlemlerinden elde edilen söylemler incelendiğinde, dersin giriĢinde dönme tanımını verdikten sonra nesne temelli söylemler kullandığı tespit edilmiĢtir. Örneğin öğretmen dersin baĢlangıcında eĢlik dönüĢümü ve benzerlik dönüĢümünü tartıĢmıĢtır ve “dönme dönüĢümü ne tür bir dönüĢümdür?” sorusunu öğrencilere yöneltmiĢtir. Öğretmenin nesne temelli bir seviyede derse baĢlamasının nedenlerinden birinin programın sarmal yapısı olduğu düĢünülmektedir. Çünkü öğrenciler bu konuyu ilköğretim seviyesinde 6., 7. ve 8. sınıflarda, 9. sınıfta ve Ģimdi 10.sınıfta tekrar iĢlemektedir. Dolayısıyla öğretmenin, öğrencilerin bu konuyu daha önceden bildiği varsayımına dayanarak dersi iĢlediği görülmektedir. Öğretmenle yapılan dönme dönüĢümü üzerine görüĢmede öğretmen öğrencilerin daha önceden bildiği konuları iĢlerken izlediği yöntemi de Ģu Ģekilde açıklamaktadır: “…Eğer etkinlikleri yaparsanız ve önce örnek sonra teorem gibi yeni yapılandırmacı yaklaşıma göre işlerseniz o zaman daha da sıkıntı oluyor. Onun için mümkün olduğu yerlerde eğer gerçekten o teoremi ilk defa öğreniyorlarsa, ilk defa görüyorlarsa onu teoremi kullanmadan öncesinde bir örnek sonra teoremi verecek şekilde işliyorum ama teoremi daha önceden gördükleri bir teoremse onu direk teoremi verip sonrasında örnek çözmeyi tercih ediyorum. (26)” Öğretmenin bu açıklaması da dersin giriĢindeki nesne-bazlı sözcük kullanımının nedenini bize açıklamaktadır. Kısacası bu dersin giriĢ seviyesinde bir ders olmadığı söylenilebilir. Örneğin, öğretmenin dersin baĢında nesne-bazlı sözcük kullanımına örnek olarak, aĢağıdaki alıntı verilebilir.
68.ÖT: … Peki, o zaman bu [dönme] nasıl bir dönüĢümdür? DönüĢümleri ikiye ayırıyorduk?
69.Ö(Belvin): Benzer dönüĢüm
70.ÖT: Benzer olanlar ve eĢ olanlar. EĢlik dönüĢümü ve benzerlik dönüĢümü. Ġçlerinde sadece homoteti benzerlik dönüĢümüydü, diğerleri eĢlik dönüĢümü. […] Var mı burada bir sorusu olan? Kafasında canlanan? Peki, devam, …
111
4.2.1.1.2. Öğretmenin Dönmeyle ilgili Ders Gözlemlerindeki Görsel Aracıları
Öğretmenin dönme dönüĢümüyle ilgili ders gözlemlerinde ortaya çıkarılan görsel aracılarında ağırlıklı olarak cebirsel notasyonları kullandığı tespit edilmiĢtir. Sıralı ikili noktalar, dönme dönüĢümü hesaplanırken kullanılan cebirsel denklem öğretmenin kullandığı cebirsel notasyonlara örnektir. Öğretmenin her problemde dönme dönüĢümü sonucunda oluĢan Ģekli dönme dönüĢümü cebirsel denklemini kullanarak bulduğu belirlenmiĢtir. AĢağıda verilen dönme dönüĢümü cebirsel denklemi aracılığıyla matematiksel nesnenin döndürülen her bir köĢe noktasını bulmaktadır:
Döndürülen noktanın koordinatları= (döndürülecek noktanın apsisi x Cos (dönme açısı)- döndürülecek noktanın ordinatı x Sin (dönme açısı), döndürülecek noktanın apsisi x Sin(dönme açısı) + döndürülecek noktanın ordinatı x Cos(dönme açısı))
Bunu öğretmen aĢağıdaki cebirsel notasyonlarla ifade etmiĢtir: 𝑅𝛼 𝑃 = (xcosα − ysinα, xsinα + ycosα)
Öğretmenin sadece bir tek soruda geometrik çizimleri kullandığı ve o sorunun yapısında da geometrik çizimlerin olduğu görülmüĢtür. Onun dıĢındaki derste çözdüğü bütün örneklerde cebirsel notasyonları kullandığı tespit edilmiĢtir. Örneğin, derste bir noktanın orijin etrafında döndürülmesi sorusunu öğrencilere yönelttiğinde, öğretmen sorunun çözümünü aĢağıda görüldüğü gibi sadece cebirsel notasyonları kullanarak yapmıĢtır.
72.ÖT: Zaten, orijin, güzel bir noktaya geliyorsun ama ona sonra geleceğiz. […] Evet, ilk soru beraber çözüyoruz formülü yazarak.
[𝑅𝛼 𝑂 = (xcosα − ysinα, xsinα + ycosα) ]
Evet buraya bakın dönüĢüm formülünü yazdım Noktamız O noktası, açı α, O noktasının koordinatları (0,0) ise eğer,
[x=0, y=0]
x yerine 0, y yerine 0 yazacağız. Ne olacak sonuç? 0 lar olduğu için, yine (0,0).
[ x=0, y=0
𝑅𝛼 𝑂 = xcosα − ysinα, xsinα + ycosα
= (0.cosα− 0. sinα, 0sinα + 0cosα) = (0,0) ]
Yani O noktası (0,0) ı orijin etrafında döndürdüm, gene noktanın kendisini elde ettim. …
112
4.2.1.1.3. Öğretmenin Dönmeyle ilgili Ders Gözlemlerindeki Rutinleri
Öğretmenin dönme dönüĢümüyle ilgili ders gözlemlerinde bir tek cebirsel rutin kullandığı tespit edilmiĢtir ve bu rutin: “Verilen Ģeklin her bir uç noktasının koordinatlarını dönme dönüĢümü formülü olan, 𝑅𝛼 𝑃 = (xcosα − ysinα, xsinα + ycosα) yı kullanarak cismin döndürülen her bir uç noktasını buluyor ve dönme sonucu oluĢan Ģekli çiziyor (D-CR1)” dur. Bir noktanın orijin etrafında döndürülmesi sorusunu kendisi çözerken; orijin etrafında döndürülen bir noktanın ön görüntüsünü bulma ve bir doğru parçasının ötelenmesi ve sonrasında döndürülmesi sorusunda ise öğretmenin yönlendirmesiyle öğrenciler çözerken bu rutin kullanılmıĢtır. Kapanış olarak ise iki problemde döndürülen matematiksel nesnenin koordinatlarını cebirsel olarak yazmıĢtır. Bir diğer problemde ise kapanış olarak döndürülen matematiksel nesneyi çizmiĢtir. Öğretmenin bir noktanın döndürülmesi probleminde D-CR1 rutinine ait söylemleri ve kullandığı cebirsel notasyonlar aĢağıda görülmektedir.
72.ÖT: Zaten, orijin, güzel bir noktaya geliyorsun. Ama ona sonra geleceğiz. […] Evet, ilk soru beraber çözüyoruz formülü yazarak.
[𝑅𝛼 𝑂 = (xcosα − ysinα, xsinα + ycosα) ]
Evet buraya bakın dönüĢüm formülünü yazdım Noktamız O noktası, açı α, O noktasının koordinatları (0,0) ise eğer,
[x=0, y=0]
x yerine 0, y yerine 0 yazacağız. Ne olacak sonuç? 0 lar olduğu için, yine (0,0).
[ x=0, y=0
𝑅𝛼 𝑂 = xcosα − ysinα, xsinα + ycosα
= (0cosα− 0. sinα, 0sinα + 0cosα) = (0,0) ] Yani O noktası (0,0) ı orijin etrafında döndürdüm, gene noktanın kendisini elde ettim. Buradan nasıl bir sonuç çıkar? Bu bütün noktalar için geçerli midir? Evet.
Öğretmenin kullandığı D-CR1 rutinine bir diğer örnek ise, bir doğru parçasının ötelenmesi ve sonrasında döndürülmesi sorulduğunda, verilen doğru parçasını önce ötelemiĢtir; sonrasında ötelenen doğru parçasının D-CR1 rutinini kullanılarak nasıl döndürdüğü aĢağıdaki alıntıda görülmektedir:
113
145.ÖT: Sağ üstteki formül [𝑅𝛼 𝑃 = (xcosα − ysinα, xsinα + ycosα)] yerine direk 90 derece yazarak oraya geçiriyoruz.
146.Ö: [A‟ 90 0
(5.0-2.1, 5-0) A‟=(-2,5) ]
147.Ö(Okan): Hocam oraya A üssü, üssü diyebilir miyiz? 148.ÖT: A iki üssü, <A‟ nü, A‟‟ =(-2,5) olarak değiĢtiriyor > 149.Ö: [B‟ 90
0
(5.0-4.1, 5.1-0)
B‟‟ =(-4,5) ] Doğru yaptım mı? Emin değilim pek.
AĢağıda öğretmenin dönme dersini iĢlerken kullandığı rutini ne zaman ve nasıl kullanıldığı tetikleyici ve kapanışları ile birlikte verilmiĢtir (Tablo 29).
114
Tablo 29. Öğretmenin Dönmeyle ilgili Ders Gözlemlerindeki Rutin Tablosu
Tetikleyici Rutin Nasıl? Ne zaman?
Uygulanabilirlik Kapanış
Bir Ģeklin döndürülmesinin sorulması
D-CR1. ġeklin her bir uç noktasının koordinatlarını dönme dönüĢümü formülünü kullanarak döndürme (cebirsel)
Verilen Ģeklin her bir uç noktasının koordinatlarını dönme dönüĢümü cebirsel denklemi olan,
𝑅𝛼 𝑃 = (xcosα − ysinα, xsinα + ycosα) yı kullanarak cismin döndürülen her bir uç noktasını buluyor ve dönme sonucu oluĢan Ģekli çiziyor. (cebirsel)
1.Bir noktanın orijin etrafında döndürülmesi
(Öğretmen çözüyor/öğrenci çözüyor)
Döndürülen matematiksel nesnenin koordinatlarını cebirsel olarak yazdı.
- Yani O noktası (0,0) ı orijin
etrafında döndürdüm, gene noktanın kendisini elde ettim. Buradan nasıl bir sonuç çıkar? Bu bütün noktalar için geçerli midir?
2. Orijin etrafında döndürülen bir noktanın ön görüntüsünü bulma (Öğretmen yönlendirmesiyle öğrenci çözüyor)
Döndürülen matematiksel nesnenin koordinatlarını cebirsel olarak yazdı.
3. Bir doğru parçasının
ötelenmesinin ve döndürülmesi (Öğretmen yönlendirmesiyle öğrenci çözüyor)
Döndürülen matematiksel nesneyi çizdi.
-Doğru yaptım mı? Emin
değilim pek.
- Kenar uzunlukları biraz farklı
115
4.2.1.1.4. Öğretmenin Dönmeyle ilgili Ders Gözlemlerindeki Anlatıları
Öğretmenin dönme dönüĢümüyle ilgili ders gözlemlerinden ortaya çıkarılan tasdik edilmiş anlatıları bu derste kullandığı; sözcük kullanımı, görsel aracılar ve rutinlerinden faydalanılarak ortaya çıkarılmıĢtır. Öğretmenin kullandığı anlatılarından biri, verdiği dönme tanımıdır: “Düzlemde bir P(x,y) noktasının, O noktası etrafında α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen nokta, Q =𝑅𝛼 𝑃 = (xcosα − ysinα, xsinα + ycosα) dır. Burada 𝑅𝛼 ya dönme dönüĢümü denir. Düzlemin her P noktası için 𝑅𝛼 𝑃 dönmesi yapılabileceğinden 𝑅𝛼: 𝑅2 → 𝑅2 Ģeklinde bir dönüĢümdür.” Öğretmenin bunu sözcük kullanımında bir kere kullandığı görülmüĢtür (48). Öğretmenin derste kullandığı tek cebirsel rutini olan D-CR1 de bu anlatıyı tasdik etmektedir. Görsel aracılarında da kullandığı cebirsel notasyonlar da bunu aynı Ģekilde tasdik etmektedir, çünkü öğretmen dersteki bütün problemlerin çözümünde tanımda yer alan cebirsel notasyonları kullanmıĢtır. Öğretmenin kullandığı bir diğer anlatı ise: “Dönme, eĢlik dönüĢümdür” dir. Öğretmen bunu sözcük kullanımında bir kere kullanmıĢtır (70). Öğretmenin derste kullandığı tek cebirsel rutini olan D-CR1 ve görsel aracılarında da kullandığı cebirsel notasyonlar da bu anlatıyı tasdik etmektedirler. Öğretmenin kullandığı bir diğer anlatı ise: “Dönme dönüĢümünde Ģekillerin büyüklükleri, açıları ve kenar uzunlukları değiĢmez, yeri ve yönü değiĢir” dir. Öğretmenin bu anlatıyı sözcük kullanımında üç kere kullandığı tespit edilmiĢtir (64, 68, 178). Öğretmenin derste kullandığı tek cebirsel rutini olan D-CR1 ve görsel aracılarında kullandığı cebirsel notasyonlar bu anlatıyı tasdik etmektedirler. Öğretmenin kullandığı bir diğer anlatı ise: “ġekilleri döndürürken köĢe noktalarını döndürüp birleĢtirdiğinizde Ģeklin görüntüsünü elde edeceksiniz.” Öğretmenin bunu sözcük kullanımında bir kere kullandığı belirlenmiĢtir (166). Öğretmenin derste kullandığı tek cebirsel rutini olan D-CR1 ve görsel aracılarında kullandığı cebirsel notasyonlar bu anlatıyı desteklemektedirler.
4.2.1.1.Öğretmenin Dönmeyle ilgili Görüşmedeki Matematiksel Söylemleri
Bu bölümde öğretmenin dönme dönüĢümüyle ilgili yapılan görüĢmedeki matematiksel söylemleri ortaya çıkarılacaktır. Öğretmenin dönme dönüĢümüyle ilgili matematiksel söylemlerini incelemek için dönme dönüĢümüyle ilgili dersler tamamlandıktan üç hafta
116
sonra görüĢme yapılmıĢtır. GörüĢmede EK-10 görüĢme protokolünde yer alan genel program bilgisi ile ilgili ve özel olarak da dönme kazanımıyla ilgili sorular yöneltilmiĢtir.
III. Program Bilgisi
5. Geometri öğretim programıyla ilgili genel olarak neler söyleyebilirsiniz? DüĢüncelerinizi paylaĢır mısınız?
6. Geometri öğretim programının “DönüĢümler” öğrenme alanının ilk iki kazanımıyla ilgili neler söyleyebilirsiniz?
7. Derslerinizi tasarlarken geometri dersi öğretim programından faydalanıyor musunuz? (Evetse) Nasıl?
8. “DönüĢümler” öğrenme alanıyla ile ilgili kazanımların yer aldığı dersi tasarlarken geometri öğretim programından faydalandınız mı? (Evetse) Nasıl? Ne Ģekilde?
GörüĢmenin 2. Bölümü olan “Okul Matematiği” bölümünde ise, dönme dönüĢümüyle ilgili dört adet soru -EK-9 GörüĢme protokolündeki 3., 8., 9. ve 10. sorular- sorulmuĢtur. Ġlk soruda dönme ile ilgili bir örnek istenmiĢtir. Öğretmen örneği verdikten sonra, daha detaylı tartıĢılması amacıyla önceden hazırlanan beĢ adet tetikleyici soru sorulmuĢtur. Hem geometrik hem de cebirsel gösterimler içeren ikinci soruda bir üçgeni vektör doğrultusunda ötelemesi istenmiĢtir. Üçüncü soruda bir çokgenin bir vektör doğrultusunda ötelenmesi geometrik yaklaĢıma göre verilmiĢtir. Dördüncü soruda ise bir öğrenci ile öğretmenin bir geometrik Ģeklin ötelenmesiyle ilgili olarak diyalogları ve öğrencinin çözümü yer almaktadır. Burada öğretmenden çözüm sürecini analiz etmesi istenmiĢtir.
Tablo 30. Dönmeyle ilgili GörüĢmede Sorulan Soruların Ġçerikleri Soru 1 Dönme ile ilgili örnek isteme
Soru 2 Koordinatları verilen bir paralel kenarın orijin etrafında döndürülmesi (geometrik ve cebirsel gösterimler)
Soru 3 Koordinatları verilmeyen bir çokgenin dıĢındaki bir nokta etrafında döndürülmesi (geometrik yaklaĢım)
Soru 4 Koordinatları verilmeyen bir üçgeni diğer bir üçgene dönüĢtüren dönüĢümün sorulması (geometrik yaklaĢım)
117
Yukarıda verilen her bir soru için öğretmene aĢağıdaki EK-10 görüĢme protokolünde, “Okul Matematiği” bölümünde yer alan sorular sorulmuĢtur.
IV. Okul Matematiği
Her bir soru için aĢağıdaki sorular sorulacaktır.
11. Bu soruyu öğrencilerinize nasıl açıklardınız?
(Soruyu çözerken içinde dönüşüm, öteleme, yansıma, dönme kavramları geçiyorsa bu kavramlar sorulacak.)
12. Bu sorunun öğrenciler için zorluğu nedir sizce? 13. Bu soruyu öğrenciler için kolay (zor) yapan nedir?
(Eğer cevap gelmezse, kolay problem olması/benzer soruların derste çözdük/ Benzer sorularla kaynak kitaplarda karşılaşmış olması)
14. Öğrencilerden gelecek olan en yaygın cevap nedir? 15. Sizce öğrenciler neden bu cevabı seçmiĢtir?
(Eğer cevap doğru olmayan bir cevap ise, öğrencileri doğru olmayan cevaba iten şey nedir?)
ġimdi öğretmenin dönme dönüĢümüyle ilgili birinci görüĢmedeki matematiksel söylemlerinin sözcük kullanımı, rutinler, görsel aracılar, tasdik edilmiş anlatılarına göre analizi aĢağıda verilmiĢtir.
4.2.1.2.1. Öğretmenin Dönmeyle ilgili Görüşmedeki Sözcük Kullanımı
Öğretmenle yapılan dönme dönüĢümüyle ilgili görüĢmedeki sözcük kullanımının niceliksel olarak analizinden ziyade niteliksel olarak bağlama göre analizi yapılmıĢtır. Bu durum göz önüne alındığında, öğretmenin sözcük kullanımının ağırlıklı olarak tabir-bazlı ve nesne- bazlı olduğu tespit edilmiĢtir. Bununla birlikte az da olsa rutin-bazlı sözcük kullanımı görülmüĢtür. Fakat öğretmenin söylemlerinde edilgen sözcük kullanımına rastlanılmamıĢtır. Örneğin, öğretmene bir çokgenin dıĢındaki bir nokta etrafında döndürülmesi sorulduğunda, nesne-bazlı sözcüğü aĢağıdaki gibi kullanmıĢtır.
153.ÖT: …ġimdi burada Ģöyle bir evet tam Ģöyle simetrik düĢündüğümüzde bu noktanın 180 derece döndürülmüĢ hali Ģurası olmalı [cetveli dönme merkezi üzerine ve bir köĢe noktasından geçecek Ģekilde yerleĢtiriyor, Ģeklin bir köĢe
118
noktasını gösteriyor ve cetvelin diğer ucundaki noktayı merkezden eĢit uzaklıkta olacak Ģekilde iĢaretliyor, kalemiyle 180 derecelik yayı gösteriyor].…
Öğretmenin yukarıda dönmeyi bir sonlandırıcı durum olarak kullandığı görülmektedir. Öğretmene bir paralelkenarın orijin etrafında döndürülmesi sorusu sorulduğunda, aĢağıda görüldüğü gibi tabir-bazlı sözcükler kullanmıĢtır. Öğretmenin burada dönme eylemi hakkında konuĢtuğu tespit edilmiĢtir.
141.ÖT: Saat yönünde 270 derece denilmiĢ, yani negatif yönde 270 derece. Ġster buraya -270 yazabiliriz, istersek -270 derece döndürmek demek artı 90 derece döndürmek demek. 90 yazabiliriz, değerleri bulurken 90 dereceyi bulmak daha kolay olduğu için onu yazıyorum.
Öğretmen bir paralelkenarın orijin etrafında döndürülmesi sorusunu çözerken, aĢağıda görüldüğü gibi dönme kelimesini rutin-bazlı olarak kullandığı tespit edilmiĢtir. Burada dönmeyi bir eylem olarak kullandığı ve bu da rutin-bazlı olduğunun göstergesidir.
139.ÖT: Açıölçer? [Açıölçeri koordinat sistemine yerleĢtiriyor] ġimdi buradan […] tam karĢılık […] yani [açıölçeri kullanmayı bırakıyor] bunu geometrik olarak da çıkarabiliriz ama [B noktası ile orijini birleĢtiriyor, orijinden bir doğru çiziyor]. En sağlıklısı tabi ki aslında formülü kullanmak olmalı. [Çizdiği doğrular arasındaki açıları hesaplıyor] Burası 45. [ Rα formülünü yazıyor,
sonrasında formüle bakarak düĢünüyor, birinci bileĢendeki artı iĢaretini eksi olarak değiĢtiriyor formüle bakarak düĢünüyor]. Ters mi yazdım ya [Formülü değiĢtiriyor] Evet deneyelim, 90 derece cos90 [konuĢmadan hesap yapıyor, değiĢtirdiği formülün altına yeni bir formül yazıyor, yeni yazdığı formüle bakarak düĢünüyor] Evet bu olmalı herhalde, devreler yandı [ilk yazdığı formülleri siliyor ve onun yerine Rα =(xcosα-ysinα, xsinα+ycosα) formülünü
yazıyor]. Evet buradan noktaların -270 derece yani artı 90 derece döndürüyorum.
Öğretmenle yapılan görüĢmeler esnasında, sıklıkla “dönme” kelimesi yerine “öteleme” kelimesini kullandığı tespit edilmiĢtir (135, 153, 157, 163, 165). Örneğin koordinatları verilmeyen bir paralel kenarın dıĢındaki bir nokta etrafında döndürülmesi sorusuna öğretmen Ģu cümle ile baĢlamıĢtır: “ [Sessizce soruları okuyor] Evet, yine noktaları teker teker öteleyeceğiz. (135)”. Sonrasında sorunun çözümünde ise noktaları dönme dönüĢümü cebirsel denklemini kullanarak aĢağıdaki gibi döndürmüĢtür.
143.ÖT: x yerine 1, y yerine 1 yazıyorum, açı yerine de 90 yazıyorum [değerleri yerine yazarak R900 =(1cos90-1sin90, 1sin90+1cos90) formülünü
yazıyor]. cos90lar 0 oldu, sin90 lar 1 oldu, yani (-1,1). A‟ noktası [koordinat sisteminde yerini iĢaretliyor], A‟ noktasına geldi A noktası. B noktasını aynı
119
formülle uyguluyorum. R 90 derece B noktası, biraz pratik yapayım, cos 90 lar sıfır olduğu için bunu yazmıyorum zaten, sin90 lar da 1, yani (–y,x) olacak bu (2,3) noktası (-3,2) ye dönüĢecek [R900 (B)=(-3,2) denklemini yazıyor]. 3, 2
[koordinat sisteminde noktayı iĢaretliyor ve B‟ olarak isimlendiriyor]. C noktası (-2,4) olacak [R90 (C)=(-2,4) denklemini yazıyor]. (-2,4) olacak C‟ [koordinat
sisteminde noktayı iĢaretliyor ve C‟ olarak isimlendiriyor]. D noktası da (0,-3)
olacak [R900 (D)=(0,-3) denklemini yazıyor]. Yani Ģurada bir yerde D‟ noktası
[koordinat sisteminde noktayı iĢaretliyor ve D‟ olarak isimlendiriyor]. O zaman, [köĢe noktaları birleĢtiriyor].
Öğretmenin, problemin çözümünde (135) kullandığı öteleme kelimesini söylerken aslında ötelemeyi değil de dönmeyi kastettiği açıktır. Bunlara ek olarak, problemde dönme dönüĢümü sorulmasına rağmen, öğretmenin dönme dönüĢümü kullanmak yerine öteleme dönüĢümü kullanma eğilimi olduğu tespit edilmiĢtir (147, 179, 181, 185, 187, 189(2 kere)). Örneğin öğretmene koordinatları verilen bir paralelkenarın orijin etrafında döndürülmesi probleminin öğrenciler için zorluğu sorulduğunda,
147.ÖT: Dönme dönüĢümü diğerlerine göre eğer formül kullanılacaksa, biraz daha sıkıntılı çünkü ben de karıĢtırdım. Yani sin lerin, cos ların ve eksilerin, artıların yerleri. 90 derece için tabi önemli değil biz onu gene öteleme yoluyla da yapabilirdik ama birinci zorluk o olur.
4.2.1.2.2. Öğretmenin Dönmeyle ilgili Görüşmedeki Görsel Aracıları Öğretmenin görsel aracılarında ağırlıklı olarak geometrik çizimleri ve açı hesaplamayı kullandığı tespit edilmiĢtir. Bunun nedenlerinden birinin yöneltilen soruların yapısında geometrik çizimlerin olması olduğu söylenebilir. Öğretmenin kullandığı görsel aracılarından bir diğeri ise öğretmenin açı hesaplamayı açıölçer kullanmadan göz kararı yapmasıdır. Bunu aynı zamanda tek rutini olan geometrik rutininde de (D-GR1) kullandığı görülmektedir. Örneğin, öğretmen açıölçer kullanmadan 450
, 900, 1800 açıları göz kararı ölçerek diğer açıları belirlemektedir. Buna bir örnek verecek olursak, aĢağıda görüldüğü gibi, öğretmenden dönme örneği istendiğinde, bir noktayı 1350
döndürmek istemiĢtir ve bunu önce 450
120
ġekil 22. Öğretmenin kullandığı görsel aracıya örnek
Ayrıca az da olsa öğretmen cebirsel notasyonları kullanmıĢtır bunlara örnek ise; sıralı ikili noktalar ve dönme dönüĢümü cebirsel denklemidir. Örneğin, koordinatları verilen bir çokgenin orijin etrafında döndürülmesi probleminde öğretmenin kullandığı görsel aracılardan cebirsel notasyonlar aĢağıda görüldüğü gibidir.
ġekil 23. Öğretmenin kullandığı cebirsel notasyonları içeren görsel aracıya örnek
4.2.1.2.3. Öğretmenin Dönmeyle ilgili Görüşmedeki Rutinleri Öğretmenin bu görüĢmede bir tek rutin kullandığı tespit edilmiĢtir ve bu rutin: “ġekli 450
- 900 ve/veya 1800 ye göre döndürüp soruda istenen açıya göre dönme dönüĢümü sonucu oluĢan Ģekli göz kararı çiziyor (D-GR1)” dur. Öğretmen bu rutini dönme örneğinde,
121
koordinatları verilmeyen çokgenin döndürülmesinde kullanmıĢtır. Kapanış olarak ise döndürülen matematiksel nesneyi çizmiĢtir. Koordinatları verilen çokgenin orijin etrafında döndürülmesi sorusunda ise cebirsel bir yaklaĢım kullanarak, dönme dönüĢümü cebirsel denklemi aracılığıyla, dönme sonucu oluĢan Ģekli bulmuĢtur. Fakat diğer sorularda geometrik Ģekillerin koordinatları verilmediği için bu yöntemi sadece bir kere kullandığı belirlenmiĢtir.
Örneğin, öğretmenden dönmeye bir örnek vermesi istendiğinde, D-GR1 rutinini nasıl kullandığı ve bu rutine ait söylemleri ve görsel aracıları aĢağıda verilmiĢtir.
52.ÖT.b: Gene 45 derece alabilirim Ģurada bir nokta. 1-2-3-4, 1-2-3-4 . A noktası (-4, -4). noktasını kaç derece? Mesela 135 derece döndürelim. ġimdi burası gene 45 derece, burası 90 derece. Pozitif yönde döndüreceğim için, A noktasının geleceği yer tam Ģurada 4 uzunluğunda A‟ noktası olmalı. O etrafında 135 derece döndürüyoruz. ġurası toplam 135 derece. Ve o zaman dönme sonucunda bulacağımız nokta (4,0) noktası.
ġekil 24. Öğretmenin kullandığı D-GR1 rutinine örnek
AĢağıda öğretmenin dönme dönüĢümüyle ilgili görüĢmeden elde edilen geometrik rutin tablosu tetikleyici, kapanışları ve rutinin ne zaman ve nasıl kullanıldığıyla birlikte verilmiĢtir (Tablo 31).
122
Tablo 31. Öğretmenin Dönmeyle ilgili GörüĢmedeki Geometrik Rutin Tablosu