Öğretmenin Öteleme ile ilgili Matematiksel Söylemler

4.1. Öteleme ile ilgili Matematiksel Söylemler

4.1.1. Öğretmenin Öteleme ile ilgili Matematiksel Söylemler

4.1.1.1. Öğretmenin Ötelemeyle ilgili Ders Gözlemindeki Matematiksel Söylemleri

Bu bölümde öğretmenin öteleme dönüĢümüyle ilgili bir ders saati boyunca yapılan gözlem sonucunda ortaya çıkarılan matematiksel söylemlerinin sözcük kullanımı, rutinler, görsel aracılar ve tasdik edilmiş anlatılarına göre analizi verilmiĢtir. Öteleme dönüĢümü 10.sınıflarda dönüĢümler öğrenme alanının ilk kavramıdır. DönüĢümler öğrenme alanının ortaöğretim öğretim programına yeni konulması sebebiyle, öğretmen öteleme dersi tecrübesinin çok olmadığını ve öteleme dönüĢümünü, “9.sınıflarda geçen sene bir kez(4)” ve “10.sınıflarda ise ilk kez(10)” iĢlediğini belirtmiĢtir. Ayrıca, öğretmen dönüĢümler öğrenme alanı ile ilgili lise geometri kitabı yazma tecrübesinin olduğunu resmi olmayan görüĢmeler sırasında belirtmiĢtir.

Öğretmen, dersin akıĢında ise sırasıyla görsel öteleme örneğinin, öteleme tanımının ve problemlerin yer aldığı sunuyu tahtaya yansıtarak dersi iĢlemiĢtir. Bunun dıĢında problem çözümlerinde sınıf tahtasını kullanmıĢtır. Dersin sonunda ise öğrencilere öteleme ile ilgili problemlerin yer aldığı çalıĢma kâğıdı dağıtılmıĢ ve öğrenciler cetvel, gönye, kalem ve silgi aracılığıyla problemleri çözmüĢlerdir.

4.1.1.1.1. Öğretmenin Ötelemeyle ilgili Ders Gözlemindeki Sözcük Kullanımı

Öğretmenin öteleme dönüĢümüyle ilgili ders gözlemindeki sözcük kullanımı niceliksel olarak analizinden ziyade niteliksel olarak bağlama bağlı analizi yapılmıĢtır. Bu durum göz önünde bulundurulduğunda öğretmenin sözcük kullanımının ağırlıklı olarak tabir-bazlı ve nesne-bazlı olduğu tespit edilmiĢtir. Bununla birlikte az da olsa rutin-bazlı kullanımına rastlanmıĢtır. Fakat öğretmenin söylemlerinde edilgen sözcük kullanımına rastlanılmamıĢtır. Rutin-bazlı sözcük kullanımı olarak; öğretmenin öteleme sözcüğünü bir eylem olarak kullandığı durumlar ele alınmıĢtır. Tabir-bazlı sözcük kullanımı olarak; öteleme eylemi hakkında konuĢtuğu durumlar ve öteleme ile ilgili kullandığı genel tabirler ele alınmıĢtır. Nesne-bazlı sözcük kullanımı olarak ise öğretmenin ötelemeyi bir nesne olarak ele aldığı durumlar ve sonlandırıcı ifadeler ele alınmıĢtır. Öğretmenin derste kullandığı nesne-bazlı sözcük kullanımına örnek verecek olursak, derste bir noktanın ötelenmesi problemini öğrencilere yönelten öğretmen sorunun açıklamasını yaparken kullandığı nesne-bazlı sözcük aĢağıdaki gibidir.

133.ÖT: A noktasının u vektörü doğrultusunda ötelenmiĢi olan yani ötelenmesiyle elde edilen[…] <öğrenciler sorunun çözümüyle uğraĢıyorlar> yani Ģöyle yazacaksınız.

Yukarıdaki alıntıda öğretmenin ötelemeyi bir sonlandırıcı ifade olarak kullandığı için bu durum nesne-bazlı sözcük kullanımına örnektir. Dersin sonunda öğretmenin öğrencilere sorduğu bir soru üzerine sınıfta öğrenciler ve öğretmen arasında geçen tartıĢmalar esnasında öğretmenin söylemlerinde nesne-bazlı sözcükler kullandığı tespit edilmiĢtir. Bununla ilgili alıntı aĢağıda verilmiĢtir:

251.ÖT: Evet soruyu herkes dinliyor mu? Önemli. Soru Ģu, tahtada giriĢte gördüğünüz dersin baĢlangıcında 4 tane dönüĢümden öteleme dönüĢümü; eĢlik dönüĢümü, benzerlik dönüĢümü mü?

252.SC: EĢlik, eĢlik 253.ÖT: Neden?

254.SC: Çünkü Ģekli bozmuyor, değiĢmiyor, boyutları değiĢmiyor 255.ÖT: ġeklin boyutları değiĢmiyor. Sadece yönü ve bulunduğu yer değiĢiyor. Bu yüzden sadece homoteti benzerlik dönüĢümü diğerlerinin hepsi eĢlik dönüĢümü. Bunu unutmuyorsunuz, çünkü homotetiye geçmeden önce bunları gördükten sonra üçgenlerin eĢliğini göreceğiz. Sonra homoteti, sonra benzerliği göreceğiz, sıralama bu diyoruz. Sorusu olan yoksa dersi bitiriyoruz.

Yukarıdaki alıntı, öğretmenin ötelemeyi bir nesne olarak ele aldığı nesne-bazlı sözcük kullanımına bir örnektir. Öğretmen öteleme dersini iĢlerken tabir-bazlı sözcük kullanımı da tespit edilmiĢtir. Örneğin, öğretmen öğrencilere bir noktanın vektör aracılığıyla ötelenmesini sorduğunda, sorunun açıklamasını sınıftaki öğrencilere yaparken öğretmenin kullandığı tabir-bazlı sözcükler aĢağıda verilmiĢtir.

133.ÖT: … Yani Ģöyle yazacaksınız. Bunu bir daha söylüyorum, yazmayın lütfen. [𝑇_𝑢(𝐴)] Parantez içine her zaman hangi noktayı öteleyeceksiniz onu yazacaksınız. T nin altına ise hangi vektör doğrultusunda öteliyorsanız onu yazacaksınız….

Öğretmen sınıfa bir üçgeninin ötelenmesi sorusunu yönelttiğinde, öğretmen ile öğrenciler arasında aĢağıdaki tabloda verilen diyalog gerçekleĢmiĢtir (Tablo 6). Bu diyalogda öğretmenin sıklıkla kullandığı nesne-bazlı ve tabir-bazlı sözcükler görülmektedir. Bunların yanı sıra öğretmen öteleme dersini iĢlerken az da olsa aĢağıdaki diyalogda görüldüğü gibi rutin-bazlı sözcük de kullandığı tespit edilmiĢtir.

Tablo 6. Öğretmenin Rutin-bazlı, Tabir-bazlı, Nesne-bazlı Sözcük Kullanımlarına Örnekler

Alıntılar Sözcük kullanımı çeĢidi

197.ÖT: 3 köĢe noktasını da ayrı ayrı öteleyeceksiniz.

Rutin-bazlı

198.Ö: Hocam Ģekli çizecek miyiz? Sözcük kullanılmamıĢ 199.ÖT: Evet. ABC yi çiz. Sonra

ötelenmiĢ noktalarını bul. Ve ötelenmiĢ üçgeni çiz.

Nesne-bazlı

200.Ö: Önce AB vektörünü bulsak, sonra AC yi bulsak, sonra BC yi bulsak.

Sözcük kullanılmamıĢ

201.ÖT: Olur ama gerek yok, çünkü noktaları ayrı ayrı ötelesen yeter.

Tabir-bazlı

Öğretmenin öteleme dersindeki söylemleri incelendiğinde, dersin giriĢ aĢamasında ve dersi sonlandırırken nesne-bazlı söylemler kullandığı tespit edilmiĢtir. Örneğin öğretmenin dersin baĢında nesne-bazlı sözcük kullanımına örnek verecek olursak, aĢağıda öğrencilere dönüĢüm çeĢitlerini sorarak baĢladığı dersten alıntı verilmiĢtir.

2.ÖT: Evet baĢlığı yazıyorsunuz. DönüĢümlerle geometri. […] Peki hangi dönüĢümleri biliyorsunuz önce soralım?

3.SC: Öteleme 4.ÖT: BaĢka?

5.SC: Yansıma, öteleme 6.ÖT: Hep beraber hep beraber 7.Ö: Öteleme, simetri, yansıma

8.ÖT: Öteleme, yansıma, simetri baĢka? 9.SC: Döndürme

10.ÖT: Dönme […] Bir tane daha vardı? 11.<Sınıftan cevap gelmedi.>

Öğretmen dersi bitirirken ise, dersin giriĢine benzer Ģekilde öğrencilerle aĢağıdaki alıntılarla da görüldüğü gibi eĢlik dönüĢümü ve benzerlik dönüĢümünü tartıĢırken nesne- bazlı sözcükler kullandığı tespit edilmiĢtir.

252.SC: EĢlik, eĢlik 253.ÖT: Neden?

Öğretmenin nesne-bazlı seviyede derse baĢlamasının nedenlerinden biri ise programın sarmal yapısından kaynaklandığı düĢünülmektedir. Çünkü öğrenciler bu konuyu ilköğretim seviyesinde 6., 7. ve 8. sınıfta ve 9. sınıfta iĢlemiĢler ve Ģimdi 10.sınıfta tekrar iĢlemektedirler. Dolayısıyla öğretmen, öğrencilerin bu konuyla ilgili daha öncesinden temel bilgilere sahip olduğu varsayıma dayanarak dersi iĢlediği görülmektedir. Öğretmenle yapılan öteleme dönüĢümü üzerine yapılan görüĢmede de öğretmenin öğrencilerin daha önceden bildiği konuları iĢlerken izlediği yöntemi Ģu Ģekilde açıklamaktadır: “…Eğer etkinlikleri yaparsanız ve önce örnek sonra teorem gibi yeni yapılandırmacı yaklaşıma

göre işlerseniz o zaman daha da sıkıntı oluyor. Ve onun için mümkün olduğu yerlerde eğer gerçekten o teoremi ilk defa öğreniyorlarsa, ilk defa görüyorlarsa onu teoremi kullanmadan öncesinde bir örnek sonra teoremi verecek şekilde işliyorum. Ama teoremi daha önceden gördükleri bir teoremse onu direk teoremi verip sonrasında örnek çözmeyi tercih ediyorum.(26)” Öğretmenin bu açıklaması da dersin giriĢindeki nesne-bazlı sözcük kullanımının nedenlerinden biri olduğu ve bu dersin temel giriĢ seviyesinde bir ders olmadığı söylenilebilir.

4.1.1.1.2. Öğretmenin Ötelemeyle ilgili Ders Gözlemindeki Görsel Aracıları

Öğretmenin öteleme dönüĢümüyle ilgili ders esnasında incelenen söylemlerindeki görsel aracılarının ağırlıklı olarak cebirsel notasyonlar ve vektörler olduğu tespit edilmiĢtir. Görsel aracılarında vektörlerin büyük önemi vardır ve öğretmenin ötelemeyi vektör doğrultusunda yaptığı tespit edilmiĢtir. Öğretmen, vektörü çoğunlukla cebirsel notasyonlarla göstermiĢtir. Örneğin, öğretmen bir noktanın vektör aracılığıyla ötelenmesi sorusunu sınıfta çözerken aĢağıda görüldüğü gibi sadece cebirsel notasyonları kullanmıĢtır

133.ÖT: A noktasının u vektörü doğrultusunda ötelenmiĢi olan yani ötelenmesiyle elde edilen[…] <öğrenciler sorunun çözümüyle uğraşıyorlar> yani Ģöyle yazacaksınız. Bunu bir daha söylüyorum, yazmayın lütfen. [𝑇_𝑢(𝐴)] Parantez içine her zaman hangi noktayı öteleyeceksiniz onu yazacaksınız. T nin altına ise hangi vektör doğrultusunda öteliyorsanız onu yazacaksınız. Burada ötelenen nokta A, öteleme vektörü u. <Tahtaya yazdığı cebirsel denklem üzerinden konuĢuyor>. Yerlerine yazdım. Peki, biraz önceki tanımdan, defterinizde var. [𝑇_𝑢(𝐴) = 𝐴 + 𝑢 ] Bunun ne olduğunu biliyoruz. Ġkisinin toplamı. [(-2,1)+(3,-1)=(1,0)] Yerlerine yazdığım zaman (-2,1) artı A noktası da (3,-1) , ikisini topladınız (1,0), bu kadar.

Sonuç olarak, öğretmenin görsel aracılarında, tasdik edilen anlatıların da rolü vardır. Anlatılarında ifade ettiği gibi, ötelemeyi bir toplam olarak gördüğü için görsel aracıları da bu bağlamda daha çok cebirsel olduğu görülmektedir. Öğretmenin vektör kavramına yaklaĢımına bakıldığında, anlatılarında yer alan ötelemenin bir toplam olduğu yaklaĢımına dayanmaktadır.

4.1.1.1.3. Öğretmenin Ötelemeyle ilgili Ders Gözlemindeki Rutinleri Öğretmenin öteleme dönüĢümüyle ilgili ders gözleminde, bir tek cebirsel rutin kullandığı tespit edilmiĢtir ve bu rutin: “Verilen Ģeklin uç noktalarının koordinatlarıyla vektörlerin koordinatlarını toplayıp yeni Ģeklin köĢe noktalarını buluyor (Ö-CR1)” dur. Bu rutin, noktanın ötelenmesi problemini öğretmen çözerken; doğrunun ötelenmesi ve üçgenin ötelenmesi probleminde öğretmenin yönlendirmesiyle öğrenciler çözerken kullanılmıĢtır. Kapanış olarak ise iki problemde de öğretmen ötelenen matematiksel nesnenin koordinatlarını cebirsel olarak yazmıĢtır. Bir diğer problemde ise kapanış olarak ötelenen matematiksel nesneyi çizmiĢtir. Öğretmenin kullandığı Ö-CR1 rutinine bir örnek verecek olursak, bir noktanın ötelenmesi probleminde öğretmenin Ö-CR1 rutinine ait söylemleri aĢağıda verilmiĢtir.

133.ÖT: A noktasının u vektörü doğrultusunda ötelenmiĢi olan yani ötelenmesiyle elde edilen[…] <öğrenciler sorunun çözümüyle uğraĢıyorlar> yani Ģöyle yazacaksınız. Bunu bir daha söylüyorum, yazmayın lütfen. [𝑇_𝑢(𝐴)] Parantez içine her zaman hangi noktayı öteleyeceksiniz onu yazacaksınız. T nin altına ise hangi vektör doğrultusunda öteliyorsanız onu yazacaksınız. Burada ötelenen nokta A, öteleme vektörü u. <Tahtaya yazdığı cebirsel denklem üzerinden konuĢuyor>. Yerlerine yazdım. Peki, biraz önceki tanımdan, defterinizde var. [𝑇_𝑢(𝐴) = 𝐴 + 𝑢 ] Bunun ne olduğunu biliyoruz. Ġkisinin toplamı. [(-2,1)+(3,-1)=(1,0)] Yerlerine yazdığım zaman (-2,1) artı A noktası da (3,-1) , ikisini topladınız (1,0), bu kadar.

AĢağıda öğretmenin öteleme dersini iĢlerken kullandığı cebirsel rutinini ne zaman ve nasıl kullandığı, tetikleyici ve kapanışları ile birlikte verilmiĢtir (Tablo 7).

Tablo 7. Öğretmenin Ötelemeyle ilgili Ders Gözlemindeki Rutin Tablosu

Tetikleyici Rutin Nasıl? Ne Zaman?

Uygulanabilirlik Kapanış Bir Ģeklin ötelenmesinin sorulması Ö-CR1. Verilen Ģeklin uç noktalarının koordinatlarıyla vektörlerin koordinatlarını toplama (cebirsel)

Verilen Ģeklin uç noktalarının

koordinatlarıyla vektörlerin koordinatlarını toplayıp yeni Ģeklin köĢe noktalarını buluyor.(cebirsel)

𝑇_𝑢(𝐴) = 𝐴 + 𝑢 cebirsel denklemini kullanarak cismin ötelenen her bir uç noktasını buluyor.

1.Koordinatı verilen bir noktanın ötelenmesi sorulduğunda

(Öğretmen çözüyor)

Ötelenen matematiksel nesnenin koordinatlarını cebirsel olarak yazdı.

-Bu kadar 2. Koordinatları verilen bir

doğrunun ötelenmesi sorulduğunda

(Öğretmen yönlendirmesiyle öğrenci çözüyor)

3. Koordinatları verilen bir üçgenin ötelenmesi sorulduğunda

(Öğretmen yönlendirmesiyle öğrenci çözüyor)

Ötelenen matematiksel nesneyi çizdi.

4.1.1.1.4. Öğretmenin Ötelemeyle ilgili Ders Gözlemindeki Anlatıları Öğretmenin öteleme dönüĢümüyle ilgili dersini iĢlerken kullandığı tasdik edilen anlatıları bu derste kullandığı; sözcükler, görsel aracılar ve rutinlerinden faydalanılarak ortaya çıkarılmıĢtır. Bunlar içinde öğretmenin en yaygın olarak kullandığı ve ilginç olan anlatısı: “Öteleme, bir toplama iĢlemidir” dir. Öğretmen bunu sözcük kullanımında dört kere kullanmıĢtır (6, 114-116, 120, 221). Öğretmen, bu anlatısını sözcük kullanımında Ģu Ģekilde kullanmıĢtır: “…hangi vektör doğrultusunda öteliyorsanız, o vektörün bileĢenlerini noktaya ekleyeceksiniz o kadar. (120) “, “…peki öteleme bir toplam olduğuna göre….(221)”. Böylece, öğretmenin sözcük kullanımının bu anlatısını tasdik ettiği görülmektedir. Benzer Ģekilde, öğretmenin derste kullandığı tek cebirsel rutini olan Ö-CR1 ve görsel aracılarında da kullandığı cebirsel notasyonlar da bu anlatıyı tasdik etmektedirler.

Öğretmenin kullandığı bir diğer anlatı ise, aĢağıda verilen öteleme tanımıdır. “Tanım: Düzlemde 𝑢 =𝑃𝑄 olacak Ģekilde tanımlanan Q noktasına, P noktasının 𝑢 doğrultusunda ötelenmiĢi denir ve Q=𝑇𝑢 (𝑃) Ģeklinde gösterilir. Düzlemin her P noktası için 𝑇𝑢 (𝑃) = 𝑃 + 𝑢 ötelemesi yapılabilir, dolayısıyla 𝑇𝑢 : 𝑅2 → 𝑅2 Ģeklinde bir dönüĢümdür.” Öğretmenin derste kullandığı tek cebirsel rutini olan Ö-CR1 ve görsel aracılarında kullandığı cebirsel notasyonların da bu anlatıyı tasdik ettiği belirlenmiĢtir.

Öğretmenin kullandığı bir diğer anlatı ise: “Ötelemede Ģeklin boyutları değiĢmiyor”. Öğretmen bunu sözcük kullanımında iki kere kullanmıĢtır (24, 255). Öğretmenin derste kullandığı tek cebirsel rutini olan Ö-CR1 ve görsel aracılarında kullandığı cebirsel notasyonlar da bunu aynı Ģekilde tasdik etmektedir.

Öğretmenin kullandığı bir diğer anlatı ise: “Öteleme, eĢlik dönüĢümdür”. Öğretmen bunu sözcük kullanımında bir kere kullanmıĢtır (255). Öğretmenin derste kullandığı tek cebirsel rutini olan Ö-CR1 ve görsel aracılarında kullandığı cebirsel notasyonlarının da bu anlatıyı tasdik ettiği tespit edilmiĢtir.

4.1.1.2. Öğretmenin Ötelemeyle ilgili Görüşmedeki Matematiksel Söylemleri

Bu bölümde öğretmenin öteleme dönüĢümüyle ilgili yapılan görüĢmedeki matematiksel söylemleri ortaya çıkarılmıĢtır. Öğretmenin öteleme dönüĢümüyle ilgili matematiksel söylemlerini incelemek için öteleme dersi tamamlandıktan dört hafta sonra görüĢme yapılmıĢtır. GörüĢmede ilk olarak aĢağıdaki EK-10 GörüĢme protokolünde yer alan genel program bilgisi ve özel olarak da öteleme dönüĢümüyle ilgili aĢağıdaki sorular yöneltilmiĢtir.

I. Program Bilgisi

1. Geometri öğretim programıyla ilgili genel olarak neler söyleyebilirsiniz? DüĢüncelerinizi paylaĢır mısınız?

2. Geometri öğretim programının “DönüĢümler” öğrenme alanının ilk iki kazanımıyla ilgili neler söyleyebilirsiniz?

3. Derslerinizi tasarlarken geometri dersi öğretim programından faydalanıyor musunuz? (Evetse) Nasıl?

4. “DönüĢümler” öğrenme alanı ile ilgili kazanımların yer aldığı dersi tasarlarken geometri öğretim programından faydalandınız mı? (Evetse) Nasıl? Ne Ģekilde?

GörüĢmenin ikinci bölümü olan “Okul Matematiği” bölümünde ise, öteleme dönüĢümüyle ilgili dört adet soru olan EK-9 GörüĢme protokolünde yer alan 2., 5., 6. ve 7. sorular verilmiĢtir. Ġlk soruda öteleme ile ilgili bir örnek istenmiĢtir. Öğretmen örneği verdikten sonra, daha detaylı tartıĢılması amacıyla önceden hazırlanan beĢ adet tetikleyici soru sorulmuĢtur. Hem geometrik hem de cebirsel gösterimler içeren ikinci soruda bir üçgeni vektör doğrultusunda ötelemesi istenmiĢtir. Üçüncü soruda ise bir çokgenin bir vektör doğrultusunda ötelenmesi geometrik yaklaĢıma göre sorulmuĢtur. Dördüncü soruda, bir öğrenci ile öğretmenin bir geometrik Ģeklin ötelenmesiyle ilgili öğrencinin çözümü ve öğretmenle aralarında geçen diyalogları yer almaktadır. Bu soruda öğretmenden öğrencinin çözüm sürecini analiz etmesi istenmiĢtir.

Tablo 8. Ötelemeyle ilgili GörüĢmede Sorulan Soruların Ġçerikleri Soru 1 Öteleme ile ilgili örnek isteme

Soru 2 Verilen üçgenin vektör doğrultusunda ötelenmesi (geometrik ve cebirsel gösterimler)

Soru 3 Verilen çokgenin bir vektör doğrultusunda ötelenmesi (geometrik yaklaĢım)

Soru 4 Bir öğrenci ile öğretmenin bir geometrik Ģeklin ötelenmesiyle ilgili olarak diyalogları ve öğrencinin çözümünün yer aldığı soru (geometrik ve cebirsel gösterimler)

Yukarıdaki Tablo 8 de verilen her bir soru için öğretmene aĢağıdaki EK-10 GörüĢme protokolünde, “Okul Matematiği” bölümünde yer alan sorular sorulmuĢtur:

II. Okul Matematiği

Her bir soru için aĢağıdaki sorular sorulacaktır.

6. Bu soruyu öğrencilerinize nasıl açıklardınız?

(Soruyu çözerken içinde dönüşüm, öteleme, yansıma, dönme kavramları geçiyorsa bu kavramlar sorulacak.)

7. Bu sorunun öğrenciler için zorluğu nedir sizce? 8. Bu soruyu öğrenciler için kolay (zor) yapan nedir?

(Eğer cevap gelmezse, kolay problem olması/benzer soruların derste çözdük/ Benzer sorularla kaynak kitaplarda karşılaşmış olması)

9. Öğrencilerden gelecek olan en yaygın cevap nedir? 10. Sizce öğrenciler neden bu cevabı seçmiĢtir?

(Eğer cevap doğru olmayan bir cevap ise, öğrencileri doğru olmayan cevaba iten şey nedir?)

Bu bölümde, öğretmenin öteleme dönüĢümüyle ilgili birinci görüĢmesindeki matematiksel söylemlerinin dört bileĢeni olan sözcük kullanımının, rutinlerinin, görsel aracılarının, tasdik edilen anlatılarının analizi verilmiĢtir.

4.1.1.2.1. Öğretmenin Ötelemeyle ilgili Görüşmedeki Sözcük Kullanımı

Öğretmenin bu görüĢmedeki sözcük kullanımı niceliksel olarak analizinden ziyade niteliksel olarak bağlama göre analizi yapılmıĢtır. Bu durum göz önüne alındığında, öğretmenin sözcük kullanımının ağırlık olarak nesne-bazlı olduğunu söyleyebiliriz. Bununla birlikte, öğretmenin tabir-bazlı kullanımı ve az da olsa rutin-bazlı kullanımı olduğu tespit edilmiĢtir. Öğretmenin söylemlerinde edilgen sözcük kullanımına rastlanılmamıĢtır.

Öğretmenden ötelemeye bir örnek vermesi istendiğinde, aĢağıdaki alıntıda da görüldüğü gibi öğretmenin nesne-bazlı sözcükler kullandığı tespit edilmiĢtir.

48b.ÖT: Öteleme vektörünü belirleyelim mesela (-1,2) vektörü doğrultusunda öteleyelim.

48c.ÖT: Öteleme dönüĢümü T ile gösteriliyordu. u vektörü doğrultusunda öteleyeceğim için, dönüĢüm formülümüz öteleme vektörünün nokta koordinatlarına eklenmesi Ģeklindeydi yani, (3,4) artı (-1,2) den, 3-1, 4+2 den (2,6), elde edeceğim nokta yani öteleme sonucunda (2,6) noktası olmalı.

Yukarıdaki alıntıda görüldüğü gibi öğretmen ilk üç “öteleme” sözcüğünü bir nesne olarak ele almıĢtır. Dördüncü öteleme sözcüğünü ise sonlandırıcı durum olarak kullanmıĢtır. Öğretmene bir çokgenin ötelenmesiyle ilgili bir soru sorulup, bu sorunun öğrenciler için zorluk derecesi sorulduğunda verdiği cevapta aĢağıdaki alıntıda görüldüğü gibi öğretmenin tabir-bazlı sözcükler kullandığı tespit edilmiĢtir.

84.ÖT: … Birincisi eksenleri çizmek, ikincisi AB vektörünü buradan yer vektörünü bulabilmek, AB vektörünün. Ama o ona göre biraz daha basit. Onun dıĢında zaten öğrenciler bir Ģekli ötelemek istedikleri zaman, köĢe noktalarını öteleyip Ģekli birleĢtirmeyi biliyorlar, orda bir sıkıntı yok.

Öğretmenin söylemlerinde az da olsa rutin-bazlı sözcük kullanımı da tespit edilmiĢtir. Örneğin, öğretmene koordinatları bilinen bir üçgenin ötelenmesi sorulduğunda,

68.ÖT.a: … Birincisi, A noktası demiĢiz, u artı A dan (1,2) artı (0,1), (1,3). Ġkinci noktayı öteliyorum. B noktası, bu sefer u artı B diyeceğim. (1,2) artı bu da (1,2) toplamı (2,4). Son olarak C noktası […] (2,2).

Ģeklinde cevap vermiĢtir. Burada öğretmenin öteleme kelimesini bir eylem olarak kullandığı görülmektedir.

4.1.1.2.2. Öğretmenin Ötelemeyle ilgili Görüşmedeki Görsel Aracıları

Öğretmenin söylemlerinde ön plana çıkan görsel aracılarının ağırlıklı olarak cebirsel notasyonlar olduğu tespit edilmiĢtir. Bunlar ise sıralı ikili noktalar, vektörler, vektörlerde ötelemede kullanılan cebirsel denklem, iki vektörün toplamıdır. Öğretmenin her problemde ötelenen Ģekli, öteleme ile ilgili cebirsel denklemi kullanarak bulduğu tespit edilmiĢtir. Bir Ģeklin ötelenmesini hesaplarken cebirsel denklemi Ģu Ģekilde kullanmaktadır:

Ötelenen noktanın koordinatları = Vektörün koordinatları + Ötelenecek noktanın koordinatları

Bunun cebirsel notasyonlarla ifadesi aĢağıdaki gibidir: 𝑇_𝑢(𝐴) = 𝐴 + 𝑢

Örneğin, öğretmene bir üçgenin ötelenmesi sorulduğunda, verilen üçgenin her bir köĢe noktasını sembolik notasyonlar aracılığıyla aĢağıda görüldüğü gibi ötelemiĢtir (ġekil 1).

Ayrıca öğretmenin koordinat sisteminin verilmediği sorularda koordinat sistemi oluĢturduğu belirlenmiĢtir. Bunun sebebi ise öğretmenin öteleme ile ilgili cebirsel denklemi kullanabilmesi için verilen Ģeklin köĢe noktalarını bilmesi gerekmektedir. AĢağıda bir çokgenin ötelenmesi sorusu sorulduğunda, öğretmenin koordinat sistemini oluĢturmasına örnek verilmiĢtir (ġekil 2).

ġekil 2. Öğretmenin koordinat sistemi oluĢturduğu görsel aracılarına bir örnek

Buna ek olarak hatalı soru durumunun yer aldığı problemde koordinat sistemi verilmemiĢtir. Problemin çözümü esnasında öğretmen aĢağıda görüldüğü gibi koordinat sistemini oluĢturduğu görülmektedir (ġekil 3).

ġekil 3.Öğretmenin koordinat sistemi oluĢturduğu görsel aracıya bir örnek

Ayrıca, öğretmenin geometrik olarak vektör çizimini görsel aracılarında az da olsa kullandığı tespit edilmiĢtir.

4.1.1.2.3. Öğretmenin Ötelemeyle ilgili Görüşmedeki Rutinleri Öğretmenle yapılan görüĢmede bir tek cebirsel rutin kullandığı tespit edilmiĢtir. Bu cebirsel rutin: “Verilen Ģeklin uç noktalarının koordinatlarıyla vektörlerin koordinatlarını toplayıp yeni Ģeklin köĢe noktalarını buluyor (Ö-CR1)” dur. Öğretmen bu rutini öteleme örneğinde, koordinatları verilen üçgenin ötelenmesinde, koordinatları verilmeyen bir çokgenin ötelenmesinde ve koordinatları verilmeyen geometrik Ģeklin ötelenmesinde kullanmıĢtır. Kapanış olarak ise ötelenen matematiksel nesneyi çizmiĢtir. Öğretmenin Ö- CR1 rutinini kullandığı probleme örnek verecek olursak, koordinatları verilmeyen bir çokgenin ötelenmesi probleminde öğretmenin Ö-CR1 rutinine ait söylemleri ve görsel aracıları aĢağıda verilmiĢtir (ġekil 4).

80c.ÖT: ġimdi buradan diyelim ki bu köĢeyi öteleyeceğim. Bu köĢe ne olur 1- 2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12 ye 1-2-3-4-5-6. 12 ye, -12 ye 6; A noktası. Bunu yine aynı öteleme vektörü formülünden u artı A desek (7, -11) artı (-12,6); (-5,- 5).Yani 1-2-3-4-5, 1-2-3-4-5. A noktasının ötelenmiĢi bu. Bütün noktaları tek tek bulup Ģekli çizebilirim.

ġekil 4. Öğretmenin kullandığı Ö-CR1 rutinine bir örnek

AĢağıdaki Tablo 9 da, öğretmenle yapılan görüĢmeler sonucu ortaya çıkarılan cebirsel rutinin nasıl ve ne zaman kullanıldığı ile birlikte tetikleyicileri, kapanışları verilmiĢtir.

Belgede Lise öğrencilerinin Geometrik Dönüşümlerle ilgili Matematiksel Söylemlerinin Gelişiminin İncelenmesi (sayfa 69-87)