Öğretmen ile Öğrencilerin Dönme ile ilgili Matematiksel Söylemlerinin

4.2.3.1. Okan ile Öğretmenin Dönme ile ilgili Matematiksel Söylemlerinin Karşılaştırılması

Bu bölümde, öğretmenin dönme dönüĢümüyle ilgili sınıf gözlemi ve görüĢmesinden ortaya çıkarılan matematiksel söylemleri ile Okan‟ın dönme dönüĢümüyle ilgili ders öncesi (1.görüĢme), ders sonrası (2.görüĢme), ve dönüĢüm öğrenme alanı tamamlandıktan sonra (3. görüĢme) yapılan görüĢmeler sonucu ortaya çıkarılan matematiksel söylemlerinin karĢılaĢtırılması yapılmıĢtır. Öğretmenin ve Okan‟ın matematiksel söylemlerinin dörtlü bileĢene göre (sözcük kullanımı, görsel aracılar, rutinler, anlatılar) farklılık ve benzerlikleri ortaya çıkarılarak karĢılaĢtırmalı bir analiz verilmiĢtir.

Yapılan analizler sonucunda, öğretmenin dönme ilgili sözcük kullanımının ağırlıklı olarak tabir-bazlı ve nesne-bazlı olduğu tespit edilmiĢtir. Okan‟ın ise dönmeyle ilgili ders öncesinde sözcük kullanımı rutin-bazlı iken, ders sonrasındaki sözcük kullanımı tabir-bazlı

168

olmuĢtur. Son görüĢmedeki sözcük kullanımı ise yine ikinci görüĢmede olduğu gibi tabir- bazlı olarak tespit edilmiĢtir.

Öğretmenin görsel aracıları incelendiğinde, ağırlıklı olarak cebirsel yaklaĢımı kullandığı belirlenmiĢtir. Bunu da daha çok, döndürülen geometrik Ģekillerin köĢe noktalarını cebirsel notasyonlar içeren dönme dönüĢümü cebirsel denklemini kullanarak bulurken ve döndürülen Ģekli çizerken kullandığı görülmüĢtür. Okan‟ın ise her üç görüĢmedeki görsel aracılarında, geometrik yaklaĢımı izlediği tespit edilmiĢtir. Ayrıca Okan‟ ın, geometrik yaklaĢıma ek olarak cebirsel yaklaĢımı öğretmen dönme dersini iĢledikten hemen sonra yapılan görüĢmede kullandığı gözlemlenmiĢtir.

Öğretmenin rutini görsel aracılarında olduğu gibi cebirsel bir yaklaĢıma dayanan “verilen Ģeklin her bir uç noktasının koordinatlarını dönme dönüĢümü cebirsel denklemi olan, 𝑅𝛼 𝑃 = (xcosα − ysinα, xsinα + ycosα) yı kullanarak cismin döndürülen her bir uç noktasını buluyor ve dönme sonucu oluĢan Ģekli çiziyor (D-CR1)” dır. Ayrıca öğretmenin yapılan görüĢmede tespit edilen: “Ģekli 450

- 900 ve/veya 1800 ye göre döndürüp soruda istenen açıya göre dönme dönüĢümü sonucu oluĢan Ģekli göz kararı çiziyor (D-GR1)” geometrik rutinini kullandığı gözlemlenmiĢtir. Bunun nedenlerinden birinin ise öğretmene görüĢmede yöneltilen problemlerin yapısı ile derste çözdüklerinin yapısının farklı olduğunu söyleyebiliriz. Okan dönme dönüĢümüyle ilgili ders öncesinde D-GR1 rutinini kullanırken, ders sonrasında biri geometrik (D-GR1) diğeri ise cebirsel (D-CR1) olmak üzere iki farklı rutin kullandığı tespit edilmiĢtir. Yapılan son görüĢme olan üçüncü görüĢmede de yine ikinci görüĢmeye benzer olarak biri geometrik (D-GR1) diğeri cebirsel (D-CR1) olmak üzere iki farklı rutin kullandığı belirlenmiĢtir. Sonuç olarak, Okan‟ın rutinlerinde hem geometrik hem de cebirsel yaklaĢımı kullanmaya eğilimli olduğu söylenebilir.

Öğretmenin dönme ile ilgili anlatılarının tabir ve nesne temelli olduğu tespit edilmiĢtir. Okan‟ın ise dönme dönüĢümüyle ilgili ders öncesindeki, ders sonrasındaki ve son görüĢmedeki söylemlerindeki anlatılarının benzerlik gösterdiği ve hepsinin tabir temelli olduğu tespit edilmiĢtir (Tablo 52). Öğretmenin anlatılarından olan “Dönme dönüĢümdür.” ve “Dönme dönüĢümünde Ģekillerin büyüklükleri değiĢmez, yeri ve yönü değiĢir.” anlatılarının Okan‟ın anlatıları arasında da yer aldığı görülmektedir. Fakat öğretmenin cebirsel olarak verdiği dönme tanımına rağmen, Okan‟ın dönmeyi geometrik yaklaĢımlarla ifade eden anlatılar kullandığı görülmektedir.

169

Tablo 52. Öğretmenin ve Okan‟ın Dönme ile ilgili Anlatıları

Öğretmenin Anlatıları Okan‟ın Anlatıları

-Tanım: “Düzlemde bir P(x,y) noktasının, O noktası etrafında α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen nokta, Q = 𝑅𝛼 𝑃 = (xcosα −

ysinα, xsinα + ycosα)dır. Burada 𝑅𝛼 ya dönme

dönüĢümü denir. Düzlemin her P noktası için 𝑅𝛼 𝑃 dönmesi yapılabileceğinden 𝑅𝛼: 𝑅2 →

𝑅2 _{Ģeklinde bir dönüĢümdür.”}

-“Dönme, eĢlik dönüĢümdür”

-“Dönme dönüĢümünde Ģekillerin büyüklükleri değiĢmez, yeri ve yönü değiĢir.”

-“Dönme dönüĢümdür”

1. görüĢmesindeki anlatıları: “Dönme bir dönüĢümdür.”

“Bir cismin döndürülmesi herhangi bir merkez alınarak, cismin saat yönünde ya da saat yönünün tersinde belirli yönde doğrusal olmayan bir açıyla döndürülmesidir.”

“Dönmede, iki nokta arasındaki uzaklık, alan, çevre değiĢmez ama koordinatların yerleri değiĢir.”

2.görüĢmedeki anlatıları: -“Dönme dönüĢümdür.”

-“Dönme, bir cismin dönme merkezi alınarak, düzlem üzerinde döndürülmesidir.”

-“Dönmede, alan, çevre, noktaların birbirlerine uzaklıkları, dönme merkezi değiĢmez”.

3.görüĢmedeki anlatıları: -“Dönme, bir dönüĢümdür.”

-“Dönme, cisimlerin belirli bir merkez etrafında noktaların çevrilmesi ve dönüĢüm elde edilmesidir.”

-“Dönme, alanı, çevreyi, açıları, noktaların birbirine uzaklığını, dönme merkezini korur. Noktaların koordinatlarını korumaz.”

Yukarıdaki tartıĢmaların ıĢığında, öğretmen ile Okan‟ın dönme ile ilgili söylemlerinin karĢılaĢtırılmasını özetlemek adına aĢağıda bir tablo verilmiĢtir (Tablo 53). Tabloda Öğretmenin dönme ile ilgili söylemleri ile Okan‟ın 1., 2. ve 3. görüĢmedeki dönme ile ilgili söylemlerinin dört bileĢeni olan sözcük kullanımı, görsel aracılar, rutinler ve anlatılarına göre analizi karĢılaĢtırılmalı bir Ģekilde verilmiĢtir.

170

Tablo 53. Öğretmen ile Okan‟ın Dönme ile ilgili Söylemlerinin KarĢılaĢtırılması Öğretmenin

Söylemleri

Okan‟ın Söylemleri

1.görüĢme 2.görüĢme 3.görüĢme

Sözcük kullanımı

Tabir-bazlı,

nesne-bazlı Ağırlıklı olarak

rutin-bazlı sözcük kullanımı ama

bunun yanı sıra

Tabir-bazlı ve nesne-bazlı kullanımı da var. Ağırlıklı olarak tabir-bazlı sözcük kullanımı, ama

bunun yanı sıra

rutin-bazlı ve nesne-bazlı sözcük kullanımı da var Ağırlıklı olarak tabir-bazlı sözcük kullanımı, ama

bunun yanı sıra

nesne-bazlı sözcük kullanımı da var Görsel aracılar Döndürülen Ģekli cebirsel notasyonları kullanarak bulma (cebirsel yaklaĢım) Dönme açısını kullanarak geometrik Ģeklin tahmini yerini belirleme (geometrik yaklaĢım) Döndürülen Ģekli cebirsel notasyonları kullanarak bulma (cebirsel yaklaĢım) Dönme açısını kullanarak geometrik Ģeklin tahmini yerini belirleme (geometrik yaklaĢım) Döndürülen Ģekli cebirsel notasyonları kullanarak bulma (cebirsel yaklaĢım) Dönme açısını kullanarak geometrik Ģeklin tahmini yerini belirleme (geometrik yaklaĢım) Rutinler D-CR1, D-GR1 D-GR1 D-GR1, D-CR1 D-GR1, D-CR1

Anlatılar Dönme ile ilgili

tabir ve nesne temelli anlatılar

Dönme ile ilgili

tabir-bazlı anlatılar Anlatılarından

çok emin olmama

Dönme ile ilgili

tabir-bazlı anlatılar Anlatılarından

çok emin olmama

Dönme ile ilgili

tabir-bazlı anlatılar Anlatılarından

çok emin olmama

4.2.3.2. Eda ile Öğretmenin Dönme ile ilgili Matematiksel Söylemlerinin Karşılaştırılması

Öğretmenin dönme dönüĢümüyle ilgili söylemleri ile Eda‟nın 1., 2. ve 3. görüĢmedeki matematiksel söylemleri dörtlü bileĢenlerine göre (sözcük kullanımı, görsel aracılar, rutinler, anlatılar) farklılık ve benzerlikleri ortaya çıkarılarak karĢılaĢtırmalı bir analizi verilmiĢtir.

Yapılan analizler sonucunda, öğretmenin dönme ilgili sözcük kullanımının ağırlıklı olarak tabir-bazlı ve nesne-bazlı olduğu tespit edilmiĢtir. Eda‟nın ise dönme dönüĢümüyle ilgili ders öncesindeki söylemlerinde sözcük kullanımı rutin-bazlı iken, ders sonrasındaki sözcük

171

kullanımı tabir-bazlı olarak tespit edilmiĢtir. Son görüĢmedeki sözcük kullanımının da yine tabir-bazlı olduğu belirlenmiĢtir.

Öğretmenin görsel aracıları incelendiğinde, ağırlıklı olarak cebirsel yaklaĢımı kullandığı belirlenmiĢtir. Bu da daha çok, döndürülen geometrik Ģekillerin köĢe noktalarını cebirsel notasyonlarla bularak, döndürülen Ģekli çizdiği durumlarda görülmüĢtür. Eda‟nın her üç görüĢmedeki görsel aracılarında, geometrik yaklaĢımı izlediği tespit edilmiĢtir. Ayrıca Eda‟nın, geometrik yaklaĢıma ek olarak cebirsel yaklaĢımı öğretmen dönme dönüĢümüyle ilgili dersi iĢledikten sonraki iki görüĢmede de kullandığı gözlemlenmiĢtir.

Öğretmenin kullandığı “D-CR1: verilen Ģeklin her bir uç noktasının koordinatlarını dönme dönüĢümü formülü olan, 𝑅𝛼 𝑃 = (xcosα − ysinα, xsinα + ycosα) yı kullanarak cismin döndürülen her bir uç noktasını buluyor ve dönme sonucu oluĢan Ģekli çiziyor.” rutini, görsel aracılarında olduğu gibi cebirsel bir yaklaĢıma dayanmaktadır. Ayrıca öğretmenle yapılan görüĢmede öğretmenin ”Ģekli 450

- 900 ve/veya 1800 ye göre döndürüp soruda istenen açıya göre dönme dönüĢümü sonucu oluĢan Ģekli göz kararı çiziyor (D-GR1)” geometrik rutinini kullandığı gözlemlenmiĢtir. Bunun nedenlerinden birinin ise öğretmene görüĢmede yöneltilen problemlerin yapısı ile derste çözdüğü problemlerin yapısının farklı olduğunu söyleyebiliriz. Eda‟nın ise dönme dönüĢümüyle ilgili ders öncesinde geometrik rutin olan D-GR1 rutinini kullanırken, ders sonrası biri geometrik (D-GR1), diğeri cebirsel (D-CR1) olmak üzere iki farklı rutin kullandığı tespit edilmiĢtir. Yapılan son görüĢmede ise biri geometrik (D-GR2), diğeri cebirsel (D-CR1) olmak üzere iki farklı rutin kullandığı tespit edilmiĢtir. Buradan, Eda‟nın rutinlerinde hem geometrik hem de cebirsel yaklaĢımı kullanmaya eğilimli olduğu söyleyebiliriz.

Öğretmenin dönme ile ilgili anlatıları tabir ve nesne temelli olduğu tespit edilmiĢtir. Eda‟nın ise dönmeyle ilgili ders öncesindeki, ders sonrasındaki söylemlerinde ve son görüĢmedeki söylemlerindeki anlatılarının benzerlik gösterdiği ve hepsinin tabir temelli olduğu tespit edilmiĢtir (Tablo 54). Öğretmenin “dönme dönüĢümünde Ģekillerin büyüklükleri değiĢmez, yeri ve yönü değiĢir.” anlatılarının Eda‟nın anlatıları arasında da yer aldığı görülmektedir. Fakat öğretmenin cebirsel olarak verdiği dönme tanımına rağmen, Eda‟nın dönmeyi geometrik yaklaĢımlarla ifade eden anlatılar kullandığı görülmektedir.

172

Tablo 54. Öğretmenin ve Eda‟nın Dönme ile ilgili Anlatıları

Öğretmenin Anlatıları Eda‟nın Anlatıları

-Tanım: “Düzlemde bir P(x,y) noktasının, O noktası etrafında α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen nokta, Q = 𝑅𝛼 𝑃 = (xcosα −

ysinα, xsinα + ycosα)dır. Burada 𝑅𝛼 ya dönme

dönüĢümü denir. Düzlemin her P noktası için 𝑅𝛼 𝑃 dönmesi yapılabileceğinden 𝑅𝛼: 𝑅2 →

𝑅2 _{Ģeklinde bir dönüĢümdür.”}

-“Dönme, eĢlik dönüĢümdür”

-“Dönme dönüĢümünde Ģekillerin büyüklükleri değiĢmez, yeri ve yönü değiĢir.”

-“Dönme dönüĢümdür”

1.görüĢmedeki anlatıları:

-“Dönme, bir Ģeklin tek bir noktasını sabit tutarak istenilen Ģekilde döndürülmesidir” -“Dönmede boyut korunuyor”

-“Dönme merkezi her iki Ģekle [verilen şekil ve

döndürülen şekil] eĢit uzaklıkta olmalıdır.”

2.görüĢmedeki anlatıları:

-“Dönme, bir Ģekli istenilen noktadan ve istenilen derecede çevirmedir.”

-“Dönmede, boyutu değiĢmiyordur.”

3.görüĢmedeki anlatıları:

-“Dönme, istenilen bir Ģekli veya bir noktayı, yine istenilen nokta veya doğruya göre veya istenilen derecede döndürmedir.”

-“Boyutu ve Ģekli koruyor, yeri değiĢiyor.” -“Dönme merkezi her iki Ģekle [verilen Ģekil ve döndürülen Ģekil] eĢit uzaklıkta olmalıdır.”

Yukarıdaki tartıĢmaların ıĢığında, öğretmen ile Eda‟nın dönme ile ilgili söylemlerinin karĢılaĢtırılmasını özetlemek adına aĢağıda bir tablo verilmiĢtir (Tablo 55). Tabloda öğretmenin dönme ile ilgili matematiksel söylemleri ile Eda‟nın 1., 2. ve 3. görüĢmedeki dönme ile ilgili matematiksel söylemlerinin dörtlü bileĢeni olan sözcük kullanımı, görsel aracılar, rutinler ve anlatılarına göre karĢılaĢtırılmalı bir Ģekilde analizi verilmiĢtir.

173

Tablo 55. Öğretmen ile Eda‟nın Dönme ile ilgili Söylemlerinin KarĢılaĢtırılması Öğretmenin

Söylemleri

Eda‟nın Söylemleri

1.görüĢme 2.görüĢme 3.görüĢme

Sözcük kullanımı

Tabir-bazlı, nesne-

bazlı Rutin-bazlı _{sözcük kullanımı} Ağırlıklı olarak

tabir-bazlı sözcük

kullanımı, ama

bunun yanı sıra

nesne-bazlı sözcük kullanımı da var Ağırlıklı olarak tabir-bazlı sözcük kullanımı, ama

bunun yanı sıra

nesne-bazlı sözcük kullanımı da var Görsel aracılar Döndürülen Ģekli cebirsel notasyonları kullanarak bulma (cebirsel yaklaĢım) Dönme açısını kullanarak geometrik Ģeklin tahmini yerini belirleme (geometrik yaklaĢım) Döndürülen Ģekli cebirsel notasyonları kullanarak bulma (cebirsel yaklaĢım) Koordinat sistemi verilmeyen sorularda koordinat sistemi oluĢturma (geometrik yaklaĢım) Döndürülen Ģekli cebirsel notasyonları kullanarak bulma (cebirsel yaklaĢım) Koordinat sistemi verilmeyen sorularda koordinat sistemi oluĢturma (geometrik yaklaĢım) Rutinler D-CR1, D-GR1 D-GR1 D-GR1, D- CR1 D-CR1, D- GR2

Anlatılar Dönme ile ilgili tabir

ve nesne temelli

anlatılar

Dönme ile ilgili tabir anlatılar Dönme ile ilgili tabir temelli anlatılar Dönme ile ilgili tabir temelli anlatılar