Çıkarsama, Tahmin, Hipotez Testi

(1)

C ¸ ıkarsama, Tahmin , Hipotez Testi

H¨useyin Ta¸stan¹

1Yıldız Teknik ¨Universitesi

˙Iktisat Bölümü

23 Eyl¨ul 2012

Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 1

(2)

Veriden anlam ¸cıkarılması, ¨ozetlenmesi

Belirsizlik: neyin oldu˘gu de˘gil, neyin olası oldu˘gu

Ornekleme (sampling): anak¨¨ utlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak ¸co˘gu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ili¸skin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir

¨

ornekleme dayandırılabilir.

˙Iktisadi ili¸skilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction)

Belirsizlik altında karar alma

(3)

¨

(4)

¨

(5)

¨

(6)

¨

(7)

¨

(8)

N tane nesne arasından n tanelik bir örneklem se¸cilmesinin istendi˘gini dü¸sünelim.

n nesneli olanaklı her örneklemin se¸cilme ¸sansını e¸sit kılan se¸cim sürecine rassal örnekleme (random sampling) denir.

Ama¸c: ¨Orneklem bilgisine dayanarak anak¨utleye ili¸skin

¸cıkarsamalar yapmak

Bu ¸cıkarsamalar anak¨utleden ¸cekilen ¨orneklem bilgisinin belli bir fonksiyonu olan bir istatisti˘ge dayanır.

Bu istatisti˘gin ¨ornekleme da˘gılımı, bu anak¨utleden

¸

cekilebilecek aynı büyüklükteki bütün örneklemlerde sözkonusu istatisti˘gin alabilece˘gi de˘gerlerin olasılık da˘gılımıdır.

(9)

¸

(10)

¸

(11)

¸

(12)

¸

(13)

n boyutlu Rassal ¨Orneklem: X1, X2, . . . , Xn, Bu r.d.’lerin aldı˘gı belirli de˘gerler:x₁, x₂, . . . , x_n

Rassal ¨Orneklem: her biri di˘gerinden ba˘gımsız ve aynı da˘gılıma sahip,f (xi), i = 1, 2, . . . , n

Kısaca

Xi ∼ i.i.d f (xi), i = 1, 2, . . . , n

Ba˘gımsızlık ¨ozelli˘ginden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (s¨urekli ise yo˘gunlu˘gu):

f (x1, x2, . . . , xn) = f1(x1) · f2(x2)·, . . . , ·fn(xn)

=

n

Y

j=1

f_j(x_j)

(14)

Kısaca

Xi ∼ i.i.d f (xi), i = 1, 2, . . . , n

f (x1, x2, . . . , xn) = f1(x1) · f2(x2)·, . . . , ·fn(xn)

=

n

Y

j=1

f_j(x_j)

(15)

Kısaca

Xi ∼ i.i.d f (xi), i = 1, 2, . . . , n

f (x1, x2, . . . , xn) = f1(x1) · f2(x2)·, . . . , ·fn(xn)

=

n

Y

j=1

f_j(x_j)

(16)

Kısaca

Xi ∼ i.i.d f (xi), i = 1, 2, . . . , n

f (x1, x2, . . . , xn) = f1(x1) · f2(x2)·, . . . , ·fn(xn)

=

n

Y

j=1

f_j(x_j)

(17)

Kısaca

Xi ∼ i.i.d f (xi), i = 1, 2, . . . , n

f (x1, x2, . . . , xn) = f1(x1) · f2(x2)·, . . . , ·fn(xn)

=

n

Y

j=1

f_j(x_j)

(18)

Populasyon: {6, 9, 12, 15, 18}, N = 5

f (x) = 1/5 farzedelim. Olasılık fonksiyonu ¸s¨oyle yazılabilir:

x 6 9 12 15 18

f (x) = P (X = x) ¹₅ ¹₅ ¹₅ ¹₅ ¹₅ Populasyon ortalaması, varyansı ve medyanını bulalım.

E(X) = µ = 6¹₅ + 9¹₅ + 12¹₅ + 15¹₅ + 18¹₅ = 12 E(X²) = 36¹₅ + 81¹₅ + 144¹₅+ 225¹₅ + 324¹₅ = 162 Var(X) = σ² = E(X²) − µ²= 162 − 144 = 18 M ed(X) = 12,

S

¸imde bu 5 nesneli anakütledenn = 3 nesneli örneklemler ¸cekmek istedi˘gimizi dü¸sünelim.

Olanaklı t¨um ¨orneklemlerin toplam sayısı:

5 3

=₅C₃ = 10 Orneklem ortalaması (X) ve medyanı (m) ve ¨¨ orneklem varyansının s² ¨ornekleme da˘gılımlarını bulalım.

(19)

Orne˘¨ gimizdeki populasyonda sadece5 nesne bulundu˘gundan olanaklı tüm örneklemleri (10 tane) listeleyip, herbiri i¸cin örneklem istatistiklerini hesaplayabiliriz:

x = 1 n

n

X

i=1

xi

s²= 1 n − 1

n

X

i=1

(xi− x)² m = medyan(x)

(20)

Olanaklı tüm örneklemler i¸cin örneklem istatistikleri Orneklem no¨ Orneklem de˘¨ gerleri x m s²

1 6, 9, 12 9 9 9

2 6, 9, 15 10 9 21

3 6, 9, 18 11 9 39

4 6, 12, 15 11 12 21

5 6, 12, 18 12 12 36

6 6, 15, 18 13 15 39

7 9, 12, 15 12 12 9

8 9, 12, 18 13 12 21

9 9, 15, 18 14 15 21

10 12, 15, 18 15 15 9

(21)

Orneklem ortalamasının ¨¨ ornekleme da˘gılımı

x 9 10 11 12 13 14 15

f (x) = P (X = x) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 Orneklem ortalamasının beklenen de˘¨ geri:

E X = µ_X =X

xf (x) = 9(0.1) + . . . + 15(0.1) = 12 E

X²

=X

x²f (x) = 81(0.1) + . . . + 225(0.1) = 147 Var X = E

X²

− µ²_X = 147 − 144 = 3

(22)

Orneklem medyanının ¨¨ ornekleme da˘gılımı

m 9 12 15

f (m) = P (M = m) 0.3 0.4 0.3 E(m) = µ_m = 12

Var(m) = σ²_m= 5.4

(23)

Orneklem varyansının ¨¨ ornekleme da˘gılımı

s² 9 21 36 39

f (s²) = P (S² = s²) 0.3 0.4 0.1 0.2 E(S²) =X

s²f (s²) = 9(0.3) + 21(0.4) + 36(0.1) + 39(0.2) = 22.5 Sonlu anak¨utle d¨uzeltmesi yaparsak:

E(S²) = N N − 1 = 5

4σ² = 22.5

(24)

Ortalamasıµ, varyansı σ²olan bir anak¨utleden ¸cekilmi¸sn boyutlu bir rassal ¨orneklem:X1, X2, . . . , Xn

µ i¸cin bir tahminci:

X = 1 n

n

X

i=1

Xi

Beklenen de˘ger:

E X

= 1 nE

n

X

i=1

Xi

!

= 1 n

n

X

i=1

E(Xi)

= 1

n(µ + µ + . . . + µ), ⇔ X’ler t¨urde¸s da˘gıldı˘gı i¸cin

= 1 nnµ

= µ

Gözlem sayısı arttık¸ca, örneklem ortalaması anakütle ortalamasına yakınsar:

n −→ ∞, Xn−→ µ

(25)

Orneklem ortalamasının varyansı:¨

V ar X

= 1

n²V ar

n

X

i=1

Xi

!

= 1 n²

n

X

i=1

V ar(Xi)

= 1

n²(σ²+ σ²+ . . . + σ²), ⇔ X’ler t¨urde¸s ve ba˘gımsız da˘gıldı˘gı i¸cin

= 1

n²nσ²

= σ² n

Rassal örneklem olma özelliklerini (türde¸s ve ba˘gımsız da˘gılma, i.i.d) kullandık.

G¨ozlem sayısı arttık¸ca, ¨orneklem ortalamasının varyansı 0’a yakınsar:

n −→ ∞, V ar(Xn) −→ 0 Orneklem Ortalamasının standart hatası:¨

sh(X) = σ_X= σ

√n

(26)

Anakütle normal da˘gılıyorsa örneklem ortalamasının örnekleme da˘gılımı da normal da˘gılır.

Normal da˘gılmı¸s r.d.’lerin do˘grusal fonksiyonları da normal da˘gılıma uyar:

X ∼ N (µ, σ²) ise a + bX ∼ N (a + bµ, b²σ²) Xi ∼ N (µ, σ²), i = 1, 2, . . . , n ise X ∼ N

µ, σ²

n

(27)

E˘ger X’lerin ¸cekildi˘gi anak¨utle normal da˘gılıma uyuyorsa:

Z = X − µ σ/√

n ∼ N (0, 1)

Daha genel olarak, e˘gerX’lerin ¸cekildi˘gi anak¨utle normal da˘gılıma uymuyorsa, g¨ozlem sayısı arttık¸ca, yukarıdaki ifade asimptotik olarak do˘grudur. Merkezi Limit Teoreminden hareketle:

Z = X − µ σ/√

n −→ N (0, 1)

(28)

Rassal de˘gi¸sken X, ba¸sarı olasılı˘gının p ve toplam deneme sayısının n oldu˘gu binom da˘gılımında toplam ba¸sarı sayısını ifade etsin:

X ∼ Binom(n, p), E(X) = np, V ar(X) = np(1 − p) Orneklem ba¸sarı oranı¨ p, toplam ba¸sarı sayısının g¨ˆ ozlem sayısına oranıdır:

ˆ p = X

n Beklenen de˘geri ve varyansı:

E(ˆp) = E X n

= 1

nE(X) = 1

nnp = p Var(ˆp) = Var X

n

= 1

n²Var(X) = 1

n²np(1 − p) = p(1 − p) n sh(ˆp) = σ_p_ˆ=

rp(1 − p) n

(29)

Ortalamasıµ, varyansı σ² olan bir anak¨utleden ¸cekilmi¸sn boyutlu bir rassal ¨orneklem: X1, X2, . . . , Xn

Ama¸c: Populasyon varyansıσ² i¸cin ¸cıkarasama yapmak.

Bu ama¸cla ¨orneklem varyansı kullanılabilir:

s² = 1 n − 1

n

X

i=1

(Xi− X)²

Beklenen de˘ger:

E(s²) = σ²

(30)

E(s²) = σ²

˙Ispat: s² formülünde parantezin i¸cine µ’yu ekleyip ¸cıkarır ve yeniden düzenlersek:

n

X

i=1

Xi− X2

=

n

X

i=1

(Xi− µ) − (X − µ)2

=

n

X

i=1

(Xi− µ)²− 2(X_i− µ)(X − µ) + (X − µ)²

=

n

X

i=1

(Xi− µ)²− 2(X − µ)

n

X

i=1

(Xi− µ) +

n

X

i=1

(X − µ)²

=

n

X

i=1

(X_i− µ)²− 2n(X − µ)²+ n(X − µ)²

=

n

X

i=1

(Xi− µ)²− n(X − µ)²

BuradaP Xi= nX ve P(Xi− µ) = n(X − µ) bilgisini kullandık.

(31)

s²= 1 n − 1

n

X

i=1

(X_i− X)²= 1 n − 1

n

X

i=1

(X_i− µ)²− n(X − µ)² Beklenen de˘gerini alırsak:

E(s²) = 1 n − 1E

n

X

i=1

(Xi− µ)²− n(X − µ)²

!

= 1

n − 1

n

X

i=1

E (X_i− µ)²

| {z }

σ²

−n E (X − µ)²

| {z }

σ2 n

= 1

n − 1(nσ²− nσ² n )

= 1

n − 1(n − 1)σ²

= σ²

(32)

Anakütlenin normal da˘gıldı˘gı varsayımı altında gözlem de˘gerlerinin ortalamadan sapmalarının karelerinin toplamının anakütle

varyansına oranı ki-kare da˘gılımına uyar:

(n − 1)s²

σ² =

Pn

i=1(X_i− X)²

σ² ∼ χ²_n−1

(33)

Tahmin teorisinde ama¸c örneklem (sample) bilgisine dayanarak anakütleye (population) ili¸skin ¸cıkarsamalar yapmaktır. Bu ¸cıkarsamalar örneklem de˘gerlerinin bir fonksiyonu olan istatistiklere dayanır.

˙Istanbul’da ya¸sayan hanehalklarının ortalama geliri ne kadardır?

Buna ili¸skin ¸cıkarsama yapabilmemiz i¸cin örneklem bilgisini kullanan istatistiklerin, örne˘gin örneklem ortalamasının,

¨

orneklem da˘gılımını bilmemiz gerekir.

Ger¸cek anakütle parametre de˘gerleri (örne˘gin anakütledeki ortalama gelir) hi¸cbir zaman bilinemeyece˘ginden, ¸cıkarsama

¨

orneklem istatistikleriyle yapılır.

Tahmin ikiye ayrılır: Nokta Tahmini ve Aralık Tahmini

(34)

¨

(35)

¨

(36)

¨

(37)

¨

(38)

Bir populasyon parametresinin bir tahmin edicisi (estimator)

¨

orneklem bilgisinin bir fonksiyonudur, dolayısıyla rassal bir de˘gi¸skendir.

Bu rassal de˘gi¸skenin belli bir ger¸cekle¸smesine, ba¸ska bir deyi¸sle fonksiyonun belli ¨orneklem i¸cin aldı˘gı de˘gere, tahmin

(estimate) denir.

˙Istanbul’da ya¸sayan tüm ailelerin ortalama gelirini tahmin etmek istedi˘gimizi dü¸sünelim. 100 ki¸silik rassal bir örneklem se¸cersek, bu örneklemdeki ortalama, diyelim 25348.65 YTL, anakütle ortalamasının bir tahminidir. Örneklemi yinelesek ba¸ska bir tahmin de˘geri elde edece˘gimiz neredeyse kesindir.

Bir populasyon parametresinin nokta tahmin edicisi, ¨orneklem bilgisinin tek bir sayı veren bir fonksiyonudur. Buna kar¸sılık gelen belli bir ger¸cekle¸smeye ise populasyon parametresinin nokta tahmini denir.

˙Istanbul hanehalklarının ortalama geliri örne˘ginde, populasyon ortalamasını tahmin etmekte kullanılan örneklem ortalaması bir nokta tahmin edicisi, 100 ki¸siden olu¸san her hangi bir rassal örneklem bilgisine dayanan 25348.65 YTL ise nokta tahminidir.

(39)

Pop¨ulasyon parametresi Tahmin edici Tahmin

Ortalama (µ) X x¯

Varyans (σ²) s²_X s²_x

Standart Sapma (σ) sX sx

Oran (p) pˆX pˆx

(40)

Anak¨utleye ili¸skin ger¸ce˘ge yakın ¸cıkarsamalar yapabilmemiz i¸cin tahmincilerin ¨ozelliklerini belirleyebilmemiz gerekir.

Nokta tahmin edicilerinin ¨ozelliklerini ikiye ayırabiliriz: Sonlu

¨

orneklem (finite sample) özellikleri ve asimptotik özellikler Sonlu örneklem özellikleri, büyüklü˘gü ne olursa olsun her

¨

orneklem i¸cin ger¸cerlidir.

Sonlu örneklem özellikleri: sapmasızlık, etkinlik Asimptotik ya da büyük örneklem özellikleri: tutarlılık, asimptotik etkinlik, asimptotik normallik

(41)

¨

(42)

¨

(43)

¨

(44)

¨

(45)

Bazı tanımlar:

θ: Bilinmeyen anak¨utle parametresi θ: θ’nın nokta tahmin edicisi (kısaca, t.e.)ˆ

TANIM: E˘ger ˆθ’nın ¨orneklem da˘gılımındaki ortalaması anak¨utle parametresiθ’ya e¸sitse, yani,

E(ˆθ) = θ

ise, ˆθ’ya θ’nın sapmasız bir tahmin edicisi (unbiased estimator) denir.

Ornekleme s¨¨ urecini ¸cok sayıda yinelesek, her bir ¨orneklem i¸cin θ’yı hesaplasak, bu ¸cok sayıda tahmin de˘ˆ gerinin ortalaması bizim bilmedi˘gimiz anak¨utledeki parametre de˘gerine (θ) e¸sit olur.

Ornekler:¨

E(X) = µ, E(s²_X) = σ², E(ˆpX) = p

(46)

Bazı tanımlar:

θ: Bilinmeyen anak¨utle parametresi θ: θ’nın nokta tahmin edicisi (kısaca, t.e.)ˆ

TANIM: E˘ger ˆθ’nın ¨orneklem da˘gılımındaki ortalaması anak¨utle parametresiθ’ya e¸sitse, yani,

E(ˆθ) = θ

ise, ˆθ’ya θ’nın sapmasız bir tahmin edicisi (unbiased estimator) denir.

Ornekleme s¨¨ urecini ¸cok sayıda yinelesek, her bir ¨orneklem i¸cin θ’yı hesaplasak, bu ¸cok sayıda tahmin de˘ˆ gerinin ortalaması bizim bilmedi˘gimiz anak¨utledeki parametre de˘gerine (θ) e¸sit olur.

Ornekler:¨

E(X) = µ, E(s²_X) = σ², E(ˆpX) = p

(47)

θˆ f ( ˆθ)

θ icin SAPMALI ve SAPMASIZ tahmin ediciler

θˆ1’ in or n. dag

ˆθ2’ nin or n. dag

θ

(48)

Orneklem varyansı¨ s²_X’nin beklenen de˘gerinin anakütle varyansı σ²’ye e¸sit oldu˘gunu daha önce göstermi¸stik.

S¸imdi anakütle varyansının ba¸ska bir tahmin edicisini tanımlayalım. Örneklem ortalamasından sapmaların kareleri toplamının − 1 yerine n’ye bölelim:

ˆ σ² = 1

n

X

i=1

(Xi− X)² Bu t.e.’nin sapmalı oldu˘gu a¸cıktır.

Bunu g¨ormek i¸cinPn

i=1(Xi− X)² = s²_X(n − 1) oldu˘gundan hareketle (bkz. ¨orneklem da˘gılımları)

ˆ

σ² = n − 1

n s²_X =⇒ E(ˆσ²) = n − 1

n E(s²_X) = n − 1 n σ² E(ˆσ²) 6= σ² oldu˘gundan, σˆ²,σ²’nin sapmalı bir tahmin edicisidir.

Ozellikle k¨¨ u¸c¨uk ¨orneklemlerdeσˆ²’ye dayandırılan ¸cıkarsamalar ge¸cersiz olur.

(49)

ˆ σ² = 1

n

X

i=1

ˆ

σ² = n − 1

n s²_X =⇒ E(ˆσ²) = n − 1

(50)

ˆ σ² = 1

n

X

i=1

ˆ

σ² = n − 1

n s²_X =⇒ E(ˆσ²) = n − 1

(51)

ˆ σ² = 1

n

X

i=1

ˆ

σ² = n − 1

n s²_X =⇒ E(ˆσ²) = n − 1

(52)

ˆ σ² = 1

n

X

i=1

ˆ

σ² = n − 1

n s²_X =⇒ E(ˆσ²) = n − 1

(53)

Sapmasız olmayan bir tahmin ediciye sapmalı (biased) denir.

Sapmanın öl¸cüsü tahmin edicinin ortalaması ile ger¸cek popülasyon katsayısı arasındaki farktır:

Sapma(ˆθ) = E(ˆθ) − θ

Sapmasız t.e.ler i¸cinSapma(ˆθ) = 0 oldu˘gu a¸cıktır.

Orne˘¨ gin anak¨utle varyansının bir tahmin edicisi olan daha

¨

once tanımladı˘gımız σˆ² i¸cin sapma:

Sapma(ˆσ²) = E(ˆσ²) − σ² = n − 1

n σ²− σ²= −1 nσ² Bir tahmin edicinin sapmasız olması, tahmin de˘gerinin do˘gru de˘gere e¸sit oldu˘gu anlamına gelmez. Soyut olarak örneklem sürecinin ¸cok sayıda tekrarlandı˘gını dü¸sünürsek, bu ¸cok sayıda

¨

orneklemlerden hesaplanan tahmin de˘gerlerinin ortalamasının bilinmeyen anak¨utle katsayısına e¸sit olmasıdır.

(54)

¨

Sapma(ˆσ²) = E(ˆσ²) − σ² = n − 1

¨

(55)

¨

Sapma(ˆσ²) = E(ˆσ²) − σ² = n − 1

¨

(56)

¨

Sapma(ˆσ²) = E(ˆσ²) − σ² = n − 1

¨

(57)

Sapmasızlık tek ba¸sına iyi tahmin ediciler t¨uretmede yeterli de˘gildir.

Genellikle bir anak¨utle parametresi i¸cin ¸cok sayıda sapmasız tahmin edici tanımlanabilir.

Bu tahmin edicilerin bilinmeyen ger¸cek anak¨utle de˘geri

etrafındaki de˘gi¸skenlikleri, yani varyansları da tahmin edicilerin se¸ciminde ¨onemlidir.

Tahmin edicilerin etkinli˘gi bunların ¨orneklem da˘gılımlarındaki varyansla ili¸skilidir.

TANIM: ˆθ₁ ve ˆθ₂,θ’nın aynı sayıda g¨ozleme dayanan iki sapmasız tahmin edicisi olsun. E˘ger

V ar(ˆθ₁) < V ar(ˆθ₂) ise ˆθ₁, ˆθ₂’dan daha etkin bir tahmin edicidir denir.

(58)

(59)

(60)

(61)

θˆ f ( ˆθ)

Tahmin Edicilerin Etkinlikleri

θˆ1’ nin orn. dag.

ˆθ2’ nin orn. dag

θ

(62)

TANIM: ˆθ₁ ve ˆθ₂,θ’nın aynı sayıda gözleme dayanan iki sapmasız tahmin edicisi olsun. Bir tahmin edicinin ötekine göre göreli etkinli˘gi varyanslarının oranıdır:

G¨oreli etkinlik= V ar(ˆθ2) V ar(ˆθ1)

TANIM: ˆθ₁, ˆθ₂, . . . , ˆθ_k,θ’nın aynı sayıda g¨ozleme dayanank tane sapmasız tahmin edicisi olsun. E˘ger

V ar(ˆθ₁) < V ar(ˆθ₂) < . . . < V ar(ˆθ_k)

ise ˆθ₁, bu k sapmasız tahmin edici kümesi i¸cinde en etkin ya da varyansı en kü¸cük sapmasız tahmin edici denir.

(63)

Ortalamasıµ ve varyansı σ² olan bir anakütleden X₁, X₂, . . . , X₁₀ ile gösterilen 10 gözlemli rassal bir örneklem ¸cekilmi¸stir. Anakütle ortalamasının iki tahmin edicisi tanımlanıyor: ˆθ1= X1 ve

θˆ₂ = 10⁻¹P Xi. Bu tahmin edicilerin sapmasız olup olmadıklarını g¨osterin. Hangisi daha etkindir?

CEVAP:

Sapmasızlık i¸cinE(ˆθ₁) = µ olmalı. E(ˆθ₁) = E(X₁) = µ oldu˘gundan ˆθ1,µ’nun sapmasız bir tahmin edicisidir. Benzer

¸sekildeE(ˆθ2) = E(10⁻¹P Xi) = µ oldu˘gundan ˆθ2,µ’nun sapmasız bir tahmin edicisidir.

Etkinlik i¸cin varyanslarını hesaplamamız gerekir.

V ar(ˆθ1) = V ar(X1) = σ² V ar(ˆθ2) = V ar(10⁻¹X

Xi) = 0.01σ² A¸cıktır ki V ar(ˆθ₂) < V ar(ˆθ₁) oldu˘gundan ˆθ₂, ˆθ₁’dan daha etkin bir tahmin edicidir.

G¨oreli Etkinlik= _{V ar(10}^{V ar(X}−1P X¹⁾ i) = _0.01σ^σ² 2 = 10

(64)

Sapmasız tahmin edicilerin varyanslarını kar¸sıla¸stırarak en etkin olanını ¸cıkarsama yapmakta kullanabiliriz.

Sadece sapmasız tahmin edicileri de˘gil sapmalı olanları da gözönünde bulundurmak istersek varyansları kar¸sıla¸stırmak ¸cok anlamlı olmayabilir.

Bunun yerine Ortalama Hata Karesi (MSE) kullanılabilir:

M SE(ˆθ) = E[(ˆθ − θ)²]

Ortalama Hata Karesinin a¸sa˘gıdaki ifadeye e¸sde˘ger oldu˘gu g¨osterilebilir:

M SE(ˆθ) = V ar(ˆθ) + (Sapma(ˆθ))²

MSE ˆθ’nın ger¸cek anak¨utle parametresinden ortalamada ne kadar uzakta oldu˘gunu ¨ol¸cer. MSE varyans ve sapmaya ba˘glı oldu˘gundan sapmalı tahmin edicilerin kar¸sıla¸stırılmasında kullanılabilir.

Sapma sıfır oldu˘gunda MSE varyansa e¸sittir.

(65)

M SE(ˆθ) = E[(ˆθ − θ)²]

(66)

M SE(ˆθ) = E[(ˆθ − θ)²]

(67)

M SE(ˆθ) = E[(ˆθ − θ)²]

(68)

M SE(ˆθ) = E[(ˆθ − θ)²]

(69)

ORNEK: Anak¨¨ utle varyansıσ²’yi tahmin etmek i¸cin a¸sa˘gıdaki iki tahmin ediciyi tanımlamı¸stık:

ˆ σ²= 1

n

X

i=1

(Xi− X)², ve s²= 1 n − 1

n

X

i=1

(Xi− X)²

Daha ¨onceE(ˆσ²) =ⁿ⁻¹_n σ²veE(s²) = σ²oldu˘gunu g¨ostermi¸stik.

Yaniσˆ²sapmalı,s²ise sapmasız bir tahmin ediciydi. Buradan hareketle ortalama hata kareleri:

M SE(ˆσ²) = V ar(ˆσ²) + [Sapma(ˆσ²)]²

Buradaσˆ²=ⁿ⁻¹_n s²veV ar(s²) = _n−1^2σ⁴ oldu˘guna dikkat edilirse ki-kare da˘gılımının ¨ozelliklerinden hareketle

V ar (n − 1)_n−1ⁿ σˆ² σ²

!

= V ar nˆσ² σ²

= 2(n − 1)

Buradan da n²

σ⁴V ar(ˆσ²) = 2(n − 1) =⇒ V ar(ˆσ²) =2(n − 1) n² σ⁴

(70)

ORNEK (dvm): ¨¨ Oyleyseσˆ² i¸cin ortalama hata karesi:

M SE(ˆσ²) = V ar(ˆσ²) + [Sapma(ˆσ²)]²

= 2(n − 1) n² σ⁴+

−1 nσ²

2

= (2n − 1) n² σ⁴ s² i¸cin ortalama hata karesi

M SE(s²) = V ar(s²) + Sapma(s²)

= 2

n − 1σ⁴+ 0

= 2

n − 1σ⁴

(71)

OZELL˙IKLER˙I ¨

Anak¨utle ortalamasını tahmin etmek i¸cin n g¨ozlemli bir rassal

¨

orneklemde nokta t.e. olarak bu örneklem de˘gerlerinden sadece birini, mesela X1, kullandı˘gımızı dü¸sünelim. Bu durumda

¨

orneklem bilgisinin tamamının kullanılmadı˘gına dikkat edin.

Bu tahmin edicinin sapmasız oldu˘gunu ancak örneklem ortalamasına göre varyansının ¸cok büyük oldu˘gunu daha önce görmü¸stük. Örneklemin boyutu ne olursa olsun bu tahmin edicinin varyansı de˘gi¸smeyecektir.

Ç o˘gu durumda gözlem sayısı n arttık¸ca tahmin sürecinin daha iyi sonu¸clar vermesini bekleriz.

Orne˘¨ gin,n büyürken,X’ın varyansı kü¸cülür, böylece µ’ya belli bir hızda yakla¸sır.X1 gibi bir t.e. isen büyüdük¸ce de˘gi¸smez.

X1 gibi aptalca tahmin edicileri bunların asimptotik

¨

ozelliklerini inceleyerek eleyebiliriz.

(72)

OZELL˙IKLER˙I ¨

Anak¨utle ortalamasını tahmin etmek i¸cin n g¨ozlemli bir rassal

¨

orneklemde nokta t.e. olarak bu örneklem de˘gerlerinden sadece birini, mesela X1, kullandı˘gımızı dü¸sünelim. Bu durumda

¨

orneklem bilgisinin tamamının kullanılmadı˘gına dikkat edin.

Bu tahmin edicinin sapmasız oldu˘gunu ancak örneklem ortalamasına göre varyansının ¸cok büyük oldu˘gunu daha önce görmü¸stük. Örneklemin boyutu ne olursa olsun bu tahmin edicinin varyansı de˘gi¸smeyecektir.

Ç o˘gu durumda gözlem sayısı n arttık¸ca tahmin sürecinin daha iyi sonu¸clar vermesini bekleriz.

Orne˘¨ gin,n büyürken,X’ın varyansı kü¸cülür, böylece µ’ya belli bir hızda yakla¸sır.X1 gibi bir t.e. isen büyüdük¸ce de˘gi¸smez.

X1 gibi aptalca tahmin edicileri bunların asimptotik

¨

ozelliklerini inceleyerek eleyebiliriz.