MA ve AR modellerinde gözlendiğinin aksine, otokorelasyonlar ve kısmi otokorelasyonlar belli bir yerden sonra sıfır olmayabilir. Bu tür seriler otoregresif hareketli ortalama (ARMA) serileridir.

2.4. Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) Serileri

MA ve AR modellerinde gözlendiğinin aksine, otokorelasyonlar ve kısmi otokorelasyonlar belli bir yerden sonra sıfır olmayabilir. Bu tür seriler otoregresif hareketli ortalama (ARMA) serileridir.

C( B )=(1−α ₁ B−α ₂ B ² −...−α _p B ^p )

olmak üzere, AR(p) modeli C( B )X _t =e _t şeklinde, MA(q) modeli de

1 2 2

( ) (1 B B B ... _q B ^q )

        

olmak üzere, X _t =θ (B ) e _t olarak verilmişti. Otoregresif hareketli ortalama modeli, bu iki zaman serisi modelinin birleştirilmiş hali olup

C( B )X _t =θ( B) e _t

şeklinde verilir. MA modelleri her zaman durağan olduğundan ARMA modellerinin durağanlığı AR kısmının durağanlığı ile ilgilidir. Dolayısı ile, C( B )X _t =θ( B) e _t olarak verilen ARMA(p,q) modeli

m ^p −α ₁ m ^p−1 −α ₂ m ^p−2 ...−α _p =0

karekteristik denkleminin bütün kökleri mutlak değerce 1 den küçük ise durağandır. Bilindiği gibi, durağan her zaman serisi modeli MA(∞) olarak yazılabilir. Yani, e _t ~ WN (0, σ ² ) _olmak

üzere, beklenen değeri μ olan ARMA(p,q) zaman serisi modeli

X _t − μ= ∑

i=1 p

α _i ( X _t−i − μ) + e _t + ∑

j=1 q

β _j e _{t− j}

şeklinde verildiğinde, zaman serisi modeli durağan ise

X _t = μ+ ∑

i=0

∞

w _i e _t−i

şeklinde yazılabilir. ARMA(p,q) modeli için C( B )X _t =θ( B) e _t şeklinde yazıldığında X ^t _zaman serisi,

0

( )

t ( ) t i t i

i

X B e w e

C B

 ^

 

  

olarak yazılabilir. Burada w _i katsayıları, | z|<1 olmak üzere,

w (z )= θ( z) c( z) = ∑

i=0

∞ w _i z ⁱ

özdeşliğinden bulunur.   ⁰ 1, i q  _için   _i 0 _ve i> p _için   i ⁰ olduğunu biliyoruz.

Buradan çözümler (Brockwell ve Davis, 1987)

w _i − ∑

0< k ≤ i

α _k w _i−k = β _i , 0≤ i<max( p,q+1) w _i − ∑

0< k ≤ i

α _k w _i−k = 0 , i≥max( p,q+1)

şeklindedir. Çözümlerden ilk üç tanesi

0 0

1 1 0 1 1 1

2 2 0 2 1 1 2 2 1 1 1 2

2 3

3 3 3 1 2 1 2 1 1 1

1 w

w w

w w w

w



   

       

        

 

   

      

     

olarak hesaplanmıştır. Diğer katsayılar da ardışık olarak elde edilir.

Örnek 2.4.1 e _t ~ WN (0, σ ² ) olmak üzere, ARMA(2,1) zaman serisi modeli,

X _t =1 .3 X _t−1 − 0. 4 X _t−2 + e _t +e _t−1 şeklinde verilsin. Modelin AR kısmına karşılık gelen

karekteristik denklem m ² −1.3m +0. 4=0 olup, kökleri m ₁ =0.8 _ve m ₂ =0. 5 olduğundan model durağandır. O halde, verilen ARMA(2,1) modeli MA(∞) olarak yazılabilir. Yani, ARMA(2,1) zaman serisi modeli

X _t = ∑

i=0

∞

w _i e _t−i

şeklinde ifade edilebilir. Buradan w _i katsayıları,

w ₀ = β ₀ =1 _, w ₁ = β ₁ + α ₁ =1+1. 3 =2. 3

başlangıç koşulları ile i≥2 _için w _i =1.3 w _i−1 −0.4 w _i−2 homojen fark denkleminin çözülmesi ile bulunur. m ₁ =0.8 _ve m ₂ =0.5 kökleri ile, genel çözümün, w _i =c ₁ m ₁ ⁱ + c ₂ m ₂ ⁱ _şeklinde

olduğunu biliyoruz. w ⁰  1

ve w ¹  2.3

başlangıç koşulları kullanılarak c _{1 ve} c ₂

katsayıları için w ⁰  1

ise c ¹  c ²  1 _ve w 1  2.3

ise 0.8 c ¹  0.5 c ²  2.3

denklemleri yazılır. Buradan katsayılar, c ¹  c ²  1 _ve 0.8 c 1  0.5 c 2  2.3

denklem sisteminin çözümleridir.

Bu denklemlerin çözümünden katsayılar c ₁ =6 _ve c ₂ =−5 olup genel çözüm,

w _i =6 (0.8) ⁱ −5 (0.5) ⁱ olarak elde edilir. O halde, verilen ARMA(2,1) zaman serisi modeli

X _t = ∑

i=0

∞ [ 6 (0.8) ⁱ −5 ( 0.5) ⁱ ] e _t−i

şeklinde ifade edilir. Şimdi, zaman serisi modelinin başlangıçta

X _t = ∑

i=0

∞ [ 6 (0.8) ⁱ −5 ( 0.5) ⁱ ] e _t−i

şeklinde verildiğini düşünelim. Böyle verilen MA ( )  zaman serisi modelinin, ARMA(2,1) şeklinde, yazılabileceğini görelim. Bunun için, X ^t _ ¹ ve X ^t _ ² zaman serileri

1 1

0

6(0.8) ⁱ 5(0.5) ⁱ

t t i

i

X e



  



 

    

ve

2 2

0

6(0.8) ⁱ 5(0.5) ⁱ

t t i

i

X e



  



 

    

şeklinde yazıldığında, eşitliğin sol tarafı X _t  1.3 X _{t } ¹  0.4 X _{t } ² olacak şekilde düzenlenirse,

0 1 2

6 (0.8)

ⁱ

5(0.5)

ⁱ

2.3 6(0.8)

^k

5(0.5)

^k

t t i t t t k

i k

X

^

e

_

e e

_ ^

e

_

 

   

           

1 1 0

1 2

1.3 7.8(0.8) 6.5(0.5)

1.3 13(0.5) 9.75(0.8)

i i

t t i

i

k k

t t k

k

X e

e e



  





 



 

     

 

     





2 2

0

0.4 _t 2.4(0.8) ⁱ 2(0.5) ⁱ _{t i}

i

X _ ^ e _{ }



 

    

2

3.75(0.8) ^k 8(0.5) ^k _{t k}

k

 e

 

 

    

eşitlikleri elde edilir. Bu ifadeler taraf tarafa toplandığında,

   

1 2 1 1

1 2

1.3 0.4 2.3 1.3

6 9.75 3.75 (0.8) 13 5 8 (0.5) 1.3

t t t t t t

k k

t k t t

k

X X X e e e

e e e

   



 



    

 

          

elde edilir. Yani, ARMA(2,1) olarak verilen X ^t zaman serisi modeli

X _t = ∑

i=0

∞

w _i e _t−i

olarak

yazılabilir. w _i katsayıları belirlenirse otokovaryans fonksiyonu

γ (h)=σ ² ∑

i=0

∞

w _i w _i+h

şeklinde olur. Burada, otokovaryans fonksiyonunun hesaplanabilmesi için (sonsuz toplam ile beklenen değerin

yer değiştirebilir)

2 0 i i

w





  

olması gerekir. Otokovaryans fonksiyonu w ⁱ

katsayılarının yerine konulması ile,

2 2

0 0

2 2 2

0 0

2 2 2

0 0

2 2

( ) 6(0.8) 5(0.5) 6(0.8) 5(0.5)

36 (0.8) (0.8) 30 (0.5) (0.4)

30 (0.8) (0.4) 25 (0.5) (0.5)

36 30 25 30

(0.8)

0.36 0.6 0.75 0.6

i i i h i h

i i h

i i

h i h i

i i

h i h i

i i

h

h w w

  

 

 

 

   

  

 

 

 

 

   

       

 

 

 

       

 

 

 

2 2

(0.5)

50 (0.5)

50(0.8) (0.5) 50 (0.8)

3 3

h

h h h h

 

 

 

 

 

 

             

olarak bulunmuştur. Buradan otokorelasyon fonksiyonu da, ( ) (0.5) 3(0.8) h ^h (0.5) ^h

      

şeklinde olur. Otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonların bazıları hesaplanarak aşağıda tablo halinde verilmiştir.

h ^{0 1 2 3 4 5}

ρ(h) ^{1.00 0.95 0.835 0.7055 0.58315 0.475895}

( ) h

 0.95 -0.6923 0.41 -0.29 0.225

Kısmi otokorelasyonlardan da ilk üç tanesi aşağıda hesaplanmıştır. Önce  (1)   (1) 0.95  olduğu açıktır.  (2) _{için P ve 2} P matrisleri ile bu matrislerin determinantları ₂ ^*

P ₂ = [ ^{ρ(1) 1 ρ(1 ) 1} ] ^{= [ 0.95 1 0.95 1 ] ⇒det (P 2 )=0 .0975}

P ₂

^¿

= [ ^{ρ(1) ρ(2) 1 ρ(1)} ] ^{= [} 0. 95 0. 835 ^{1 0. 95} ] ^{⇒det (P 2}

^¿

)=−0 . 0675

şeklinde olup, (2)  nin değeri ^{ (2) det(  P 2 * ) / det( ) P 2   0.6923} dür.  (3) _{için P ve 3} ^P ₃ ^* matrisleri ve determinantları da

3 3

1 (1) (2) 1 0.95 0.835

(1) 1 (1) 0.95 1 0.95 , det( ) 0.00495

(2) (1) 1 0.835 0.95 1

P P

 

 

 

  

   

   

   

   

   

*

3 3

1 (1) (1) 1 0.95 0.95

(1) 1 (2) 0.95 1 0.835 , det( ) 0.002025

(2) (1) (3) 0.835 0.95 0.7055

P P

 

 

  

  

   

   

   

   

   

olup,  (3) det(  P ^{3 *} ) / det( ) 0.4090909 0.41 P ³   dir. Her iki fonksiyon da mutlak değerce azalmasına rağmen, ne otokorelasyonlar ne de kısmi otokorelasyonlar belli bir noktadan sonra sıfır değildir ⊗

Yukarıda bahsedildiği gibi, ARMA modelleri AR ve MA modellerinin karışımıdır. ARMA modelleri MA bileşeni içerdiği için kısmi otokorelasyon fonksiyonu, C( B )=0 _ve θ( B)=0

denklemlerinin köklerine bağlı olmak üzere sinüs dalgalanmaları gösterir. Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi, kısmi otokorelasyonlar mutlak değerce azalmasına rağmen, bir dalgalanma göze çarpmaktadır.

Örnek 2.4.2 e _t ~WN (0, σ ² ) olmak üzere X

^t

 

¹

X

^t_¹

  e

^t



¹

e

^t_¹

şeklinde verilen ARMA(1,1) modelini ele alalım. AR kısmının karekteristik denkleminin kökü α _{1 olup,} |   1 | 1

ise seri durağandır. Buradan, |   ¹ | 1

ise verilen ARMA(1,1) modeli

X _t = ∑

i=0

∞

w _i e _t−i

şeklinde MA(∞) modeli olarak yazılabilir. C B X ( )

_t

  ( ) B e

_t

eşitliğinden,

1 1

1

( ) ( )

( ) 1

t t t t

B

X B e e w B e

C B B







   



olup w (B ) (1−α ₁ B) =(1+β ₁ B) olacağından

( 1−α ₁ B ) (1+w ₁ B+w ₂ B ² + w ₃ B ³ +.. .+w _i B ⁱ + ...)=1+β ₁ B

özdeşliği elde edilir. Bu özdeşlik

1+(w ₁ − α ₁ ) B+(w ₂ −α ₁ w ₁ ) B ² + ...+(w _i −α ₁ w _i−1 )B ⁱ +...=1+β ₁ B

şeklinde düzenlenebilir. Özdeşlik çözüldüğünde w ₁ − α ₁ = β ₁ başlangıç koşulu ile i≥2 _için w _i −α ₁ w _i−1 =0 şeklinde birinci dereceden homojen fark denklemi yazılır. w ₁ = α ₁ + β ₁

başlangıç koşulu altında genel çözüm w _i = cα ₁ ⁱ dir. Çözüm i≥1 _için, w _i =α ₁ ⁱ⁻¹ ( α ₁ + β ₁ )

şeklindedir.

Şimdi α ₁ =0.8 _ve β ₁ =1 alalım ve ARMA(1,1) zaman serisi modelini

X _t = 0. 8 X _t−1 + e _t + e _t−1 olarak yazalım. Modelin her iki tarafı X _t−h ile çarpılarak

X _t−h X _t =0 .8 X _t−h X _t−1 + X _t−h e _t + X _t−h e _t−1

eşitliği yazılabilir. Buradan her iki tarafın beklenen değeri alınırsa,

1 1

( _{t h t} ) 0.8 ( _{t h t} ) ( _{t h t} ) ( _{t h t} )

E X _ X  E X _ X _  E X _ e  E X _ e _ elde edilir. E X ( _t ) 0  olduğundan, otokovaryans fonksiyonu

( ) 0.8 ( h h 1) E X ( _{t h t} e ) E X ( _{t h t} e 1 )

     _  _{ }

haline gelir. h=0 _için E( X _t−h e _t )=σ ² _olup ^X _{t yerine} ^{0.8 X} _{t  1} ^{  e} _t ^e _{t  1} yazılırsa,

E( X _t e _t−1 )= 0.8 E( X _t−1 e _t−1 )+ E(e _t e _t−1 )+E(e _t−1 ² )=(0.8+1) σ ² =1.8 σ ²

elde edilir. Buradan da γ (0)=0.8 γ (1) +2.8 σ ² elde edilmiş olur. Benzer şekilde, h=0 _için

γ (1)=0.8 γ(0)+σ ² olup bu eşitliklerden serinin varyansı γ (0)=10 σ ² olarak bulunur. Diğer

taraftan, γ (1)=0.8 γ(0)+σ ² _dir. γ (0) değeri yerine konursa, birinci kovaryans

γ (1)=9 σ ² _ve h≥2 _için γ (h )=0 .8 γ (h−1) dır. Dolayısı ile serinin otokovaryans ve otokorelasyon fonksiyonları,

γ (h)= { ^10σ 0.8 γ( h−1) , h≥2 ^{2 9σ 2 , h=0 , h=1} _,

ρ(h)= { 0.8 ρ(h−1) , h≥2 ^{0.9 1 , h=0 , h=1}

şeklindedir. Kısmi otokorelasyonlardan birkaç tanesi aşağıda hesaplanmıştır. Önce, (1) (1) 0.9

    olduğu açıktır.  (2) ikinci kısmi otokorelasyon için P _{2 ve} P ₂ ^¿

matrisleri ile bunların determinantları

P ₂ = [ ^{ρ(1) 1 ρ(1) 1} ] ^{= [ 0.9 1 0.9 1 ] , det( P 2} )=1−0.81 =0.19

P ₂

^¿

= [ ^{ρ(1) ρ(2) 1 ρ(1)} ] ^{= [ 0. 9 0. 72 1 0. 9 ] , det( P 2}

^¿

)=0. 72−0. 81 =−0. 09

olarak hesaplanmış

2 * 2

(2) det( P ) / det( ) ( 0.09) /(0.19) P 0.47

      olarak bulunmuştur. Üçüncü kısmi

otokorelasyonu için ρ(3) değerinin hesaplanması gerekir. h  2 _için  ( ) 0.8 ( h   h  1) eşitliğinden  (3) 0.8(0.72) 0.576   dır. Buradan,  (3) _için P _{3 ve} P ₃ ^¿ matrisleri ile bunların determinantları sırası ile

3 3

1 (1) (2) 1 0.9 0.72

(1) 1 (1) 0.9 1 0.9 , det( ) 0.028

(2) (1) 1 0.72 0.9 1

P P

 

 

 

   

   

      

   

   

* *

3 3

1 (1) (1) 1 0.9 0.9

(1) 1 (2) 0.9 1 0.72 , det( ) 0.009 (2) (1) (3) 0.72 0.9 0.576

P P

 

 

  

   

   

      

   

   

dur. Üçüncü kısmi otokorelasyon değeri de  (3) det(  P ^{3 *} ) / det( ) 0.32 P ³  şeklinde bulunmuştur.

Görüldüğü gibi, hem otokorelasyonlar hem de kısmi otokorelasyonlar mutlak değerce olarak azalmaktadır ⊗

Zaman serilerinde otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonları, serilerin model derecelerinin belirlenmesinde kullanılmaktadır. Diğer taraftan, otokorelasyonların azalma hızına bakılarak serinin durağanlığı hakkında sezgisel sonuçlar gözlenir. Seri durağan ise, otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonları hesaplanabilir. Seri durağan değilse, otokorelasyon fonksiyonundan söz edilemez.

Örnek 2.4.3 e _t ~ WN (0,σ ² ) olmak üzere, X _t = X _t−1 +e _t + e _t−1 zaman serisi modelini göz önüne alalım. Bu model durağan değildir. Yani, otokorelasyon fonksiyonundan bahsedilemez. Bir an için durağan olduğunu varsayalım. O zaman, otokovaryans fonksiyonu,

γ (h )=Cov( X _t , X _{t +h} )=Cov( X _t , X _t−h )

şeklinde olmalıdır. Serinin her iki tarafı X _t−h ile çarpıldığında,

X _t−h X _t = X _t−h X _t−1 + X _t−h e _t + X _t−h e _t−1

elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafının beklenen değeri alındığında ise,

1 1

( _{t h t} ) ( _{t h t} ) ( _{t h t} ) ( _{t h t} )

E X _ X  E X _ X _  E X _ e  E X _ e _ bulunur. Buradan otokovaryans fonksiyonunun tanımından

( ) h ( h 1) E X ( _{t h t} e ) E X ( _{t h t} e 1 )

     _  _{ }

eşitliği yazılır. h=0 _için, ^{ ( ) h    ( h )} olduğundan (0) (1) E X e ( _{t t} ) E X e ( _{t t} 1 )

     _

eşitliği elde edilir. Ayrıca, E( X _t e _t )= σ ² _ve

2 2

2 2

1 1 1 1 1 1 1

( _{t t} ) (( _{t t} ) _t ) ( _{t t} ) ( _{t t} ) ( _t ) 2 E X e E X e e E X e E e e E e

 

       

 

     

 

olup serinin varyansı için

  0   1 E X e  _{t t}  E X e  _{t t} 1    1 ² 2 ²   1 3 ²

     _          

eşitliği elde edilir. Diğer taraftan,  (1) _değeri h=1 _yazılarak

2

1 1 1 2

0

(1) (0) E X e ( _{t t} ) E X e ( _{t t} ) (0)



  _{  }  

 

    

 

olarak bulunur. Buradan,  (0)   (1) 3   ² _ve  (1)   (0)   ² eşitlikleri yazılır. Bu eşitliklerin sağlanabilmesi için σ ² =0 olması gerekir. Bu ise bir çelişkidir. Örnekten de görüldüğü gibi durağan olmayan seriler için otokorelasyon fonksiyonu tanımlı değildir ⊗

Aşağıda, ARMA modellerine uygun rasgele üretilen serilerin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının değerleri Splus paket programı ile hesaplanmış ve grafikleri çizilmiştir.

X

_t

=0. 9 X

_t−1

+ e

_t

+0. 7e

_t−1

ρ(h) ^{ ( ) h}

0 20 40 60 80 100

-2-1012

L ag

ACF

0 5 1 0 1 5 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : x

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.2-0.10.00.10.20.3

Series : x

h _{0 1 2 3 4 5}

( ) h

 _{1.00 0.348}

0

0.300 2

0.3256 0.1238 -0.0007

( ) h

 _{0.384 0.203}

8

0.2036 -0.0084 -0.1597

X

_t

=1.7 X

_t−1

− 0.72 X

_t−2

+e

_t

+0.4e

_t−1

ρ(h) ^{ ( ) h}

0 20 40 60 80 100

-20-10010

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : x

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.50.00.51.0

Series : x

h 0 1 2 3 4 5

( ) h

 _{1.00 0.9726 0.9185 0.8475} 0.7691 0.6911

( ) h

 _{0.9726 -0.5065 -0.1404} 0.0108 0.0564

Örnek 2.4.4 e _t ~ WN (0,σ ² ) olmak üzere ARMA(2,1) zaman serisi modeli

X _t = 1.2 X _t−1 −0 .36 X _t−2 + e _t + 0.6e _t−1 şeklinde verilmiş olsun. Modelin AR kısmının

karekteristik denklemi m ² −1.2 m+0.36=0 olup kökleri ( m ¹  m ²  0.6 ) tekrar etmektedir.

Her iki kök mutlak değerce 1 den küçüktür. Buna göre, seri durağan olup MA ( )  modeli gibi yazılabilir. Yani, verilen ARMA(2,1) modeli,

X _t = ∑

i=0

∞

w _i e _t−i

şeklinde yazılabilir. Buradan, serinin otokovaryans fonksiyonu

γ (h)=σ ² ∑

i=0

∞

w _i w _i+h

olup, otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonların hesaplanabilmesi için w _i katsayılarının bulunması

gerekir. Bunun için,

0 1 1 2 2

1 0 1 1 2 2 3 1

2 0 2 1 3 2 4 2

... ....

1.2 1.2 1.2 1.2 ... 1.2 ....

0.36 0.36 0.36 0.36 ... 0.36 ....

t t t t i t i

t t t t i t i

t t t t i t i

X w e w e w e w e

X w e w e w e w e

X w e w e w e w e

  

     

     

     

       

     

eşitlikleri taraf tarafa toplandığında,

1 2 0 1 0 1

1 2

2

1.2 0.36 ( 1.2 )

( 1.2 0.36 )

t t t t t

i i i t i

i

X X X w e w w e

w w w e

  



  



    

   

elde edilir. Eşitliğin sağ tarafı e _t +0.6 e _t−1 olacağından, w ₀ = 1 _ve w ₁ =1.8 başlangıç koşulları ile i≥2 _için w _i −1.2w _i−1 +0. 36 w _i−2 =0 homojen fark denklemi yazılır. Homojen denklemin kökleri tekrar ettiğinden genel çözüm w _i =( c ₁ +i c ₂ ) ( 0.6) ⁱ şeklinde olup başlangıç koşulları kullanıldığında, genel çözüm için katsayılar c ₁ =1 _ve c ₂ =2 olarak bulunur. Yani genel çözüm, w _i = [ 1+2 i ] (0.6) ⁱ dir. Dolayısı ile serinin otokovaryans fonksiyonu,

2 2

0 0

( ) _{i i h} (1 2 )(0.6) (1 2( ⁱ ))(0.6) ^{i h}

i i

h w w i i h

  ^ _  ^{ }

 

      

2 2

0

2 2

0 2

(0.6) (1 2 )(1 2( ))(0.6) (0.6) (1 2 )(1 2 2 ) (0.6) (0.6) (12.54882812 6.640625 )

h i

i

h i

i h

i i h

i i h

h















   

   

 





otokorelasyon fonksiyonu da ρ(h)=(1+0.53h) (0.6) ^h şeklindedir. Otokorelasyon fonksiyonunun bazı değerleri ve grafiği aşağıdadır.

h 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( ) h

 1.0 0.92 0.74 0.56 0.40 0.28 0.19 0.13 0.088 0.058 0.038

Otokorelasyon fonksiyonu analitik bir olarak ifade edilebildiğinde fonksiyonun grafiği dikey çizgiler şeklinde verildiği gibi fonksiyonun genel yapısını görebilmek için yan tarafta verilen şekilde de ifade edilebilir.

2.5. Mevsimsel Zaman Serileri

Mevsimsel zaman serilerinde öncelik, uygun fark ve dönüşümün belirlenmesidir. Bir zaman serisinin günlük, haftalık, aylık, yıllık gibi birim zamanda gözlenen verilerin bir kümesi olduğunu söylemiştik.

Genellikle, aylık veriler yerine, deneyin özelliğine göre farklı periyodlarda da gözlemler toplanır.

Bununla birlikte, aylık olarak toplanan veriler de periyodik bir dalgalanma gösterebilir. Örneğin,

dondurma tüketimi yaz aylarında artar. Dolayısı ile, Agustos ayındaki dondurma tüketimi, bir önceki

yılın Ağustos ve Temmuz aylarındaki dondurma tüketimi ile ilişkili olabilir.

Otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarından model derecelerinin belirlenmesi bazen kolay olmayabilir. Bazı durumlarda, otokorelasyonlar periyodik artan veya azalan bir davranış gösterebilir.

~ (0, 2 )

e t WN  olmak üzere, (

12

)

 

_



   

t t t

X X e _, t  1, 2,.., n

zaman serisi modelini göz önüne alalım. Böyle bir model aylık olarak toplanan verilere uygulanabilir.

  100 ve   0.8 için en son Aralık ayına ait gözlem değeri X  120 ise önümüzdeki yılın Aralık ayının öngörü değeri 100 0.8(120 100) 116    olarak alınabilir. Bir sonraki Aralık ayına ait öngörü ise 100 0.8 (120 100) 112.8  ²   olur. Böylece, k .nci yılın Aralık ayının öngörüsü

100+0.8 ^k (120−100) şeklinde hesaplanabilir. Bu modele göre, Aralık ayına ait bir öngörü geçen yılın Aralık ayından etkilenir.

α=1 için, serinin beklenen değeri ( μ parametresi) modelden düşer ve X ^t  X ^t _ ¹²  e ^t şekline dönüşür. Bu modele karşılık gelen karekteristik denklem m ¹²   1 0 olup köklerin hepsi mutlak değerce 1 dir. Buradan, Z _t   (1 B ¹² ) X _t dönüşümü seriyi durağan hale getirir.

d pozitif bir tamsayı olmak üzere mevsimsel zaman serisi modeli,

X _t −μ=α ( X _t−d −μ )+e _t

şeklinde verilmiş olsun. Burada d , serinin mevsimsel (seasonality) gecikmesidir. Modelin karekteristik denklemi m ^d −α=0 olup, denklem AR(1) modelinin karekteristik denklemine benzemektedir. Bu model SAR _d (1) şeklinde ifade edilir. Örneğin, d=2 _ve μ=0 _için

model X ^t   X ^t _ ²  e ^t şeklinde olup, karekteristik denklem, m ² − α=0 dır. Model

1 2 2

t t d t d t

X   X _   X _  e

şeklinde ise karekteristik denklemi, m ^{2 d}   ¹ m ^d   ²  0 dir.

z=m ^d dönüşümü ile karekteristik denklem AR(2) modelinin karekteristik denklemi (

z ² − α ₁ z−α ₂ =0 ) ile aynıdır. Böylece model SAR _d (2) ile ifade edilmelidir. Genellikle,

d=3, 4, 6 ve 12 durumları ile karşılaşılır.

Pratikte çok karşılaşılan SAR ⁴ (1) modelini, ( X

_t

    ( X

_t⁴

  )  e

_t

veya   0 _alarak

X _t = α X _t−4 +e _t ) göz önüne alalım. Bu model, | α |<1 için durağandır. Otokovaryans fonksiyonu da,

4 4 2

( ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( 4) ( 0)

t t h t t h t t t h

t t h t t h

h Cov X X Cov X X Cov X e X

Cov X X Cov e X h I h

 

   

   

  

   

     

şeklindedir. Burada, I( h=0 ) gösterge fonksiyonu olup h=0 _için 1 , diğer durumlarda 0

değerlerini alır. Otokovaryanslar ( ) h ( h 4) 2 I h ( 0)

       

Yule-Walker denklemleri yardımı ile,

γ (0)=α γ (4)+σ ² _ve h  0 _için  ^{( ) h}   ^{( h}  ⁴⁾ olmak üzere, (1) (3) , (2) (2) , (3) (1)

            _ve γ (4)=α γ(0)

eşitliklerinden hesaplanır. Ancak, (1) (3), (2) (2),

         (3)    (1)

olduğundan eşitliklerin sağlanabilmesi için γ (1)=γ (2 )=γ(3 )=0 olması gerekir. Diğer taraftan serinin varyansı

γ (0)=α γ (4 )+σ ² =α (αγ (0) )+σ ² =α ² γ( 0)+σ ²

eşitliğinden γ (0)=σ ² /( 1−α ² ) olarak elde edilir. Diğer otokovaryanslar;

γ (0)= σ ²

( 1−α ² ) _, γ (1)=γ (2 )=γ(3 )=0 γ (4)=α γ(0 )=α σ ²

1−α ²

γ (5)=α γ(1 )=0 , γ(6 )=α γ (2)=0 , γ(7 )=α γ (3)=0 γ ( 4 )= α γ ( 0 )= α σ ²

1−α ²

γ (9 )=α γ (5 )=0 , γ (10)=α γ(6 )=0 , γ (11)=α γ(7 )=0 γ (12)=α γ(8 )=α ( ^{α 2 γ (0)} ) ^{= α 3 σ}

2

1−α ²

biçimindedir. Genel halde otokovaryans fonksiyonu,

2 / 4 /(1 2 ) , 4 , 0,1, 2,3,...

( ) 0 , . .

h h k k

h d d

  

 _{ } ^{    }



şeklindedir. Otokorelasyon fonksiyonu ise  ( ) h   ( ) / (0) h  eşitliğinden

/ 4 , 4 , 0,1, 2,3,...

( ) 0 , . .

h h k k

h d d

 _{ } ^{ }  ^{ }



olarak yazılır. Buna göre, otokorelasyonlar periyodik olarak azalır, kısmi otokorelasyonlar  (4)   ve h  4 _için  ^{( ) 0 h}  dır. Fonksiyonların grafikleri Örnek (2.3.2b) de verildiği gibidir.

Durağan SAR ² (2) zaman serisi modeli e _t ~ WN (0,  ² ) olmak üzere,

X _t =α ₁ X _t−2 +α ₂ X _t−4 +e _t

olarak verilmiş olsun. Bu şekilde verilen modelin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonları

aşağıdadır. Otokovaryans fonksiyonu,

γ (h )=Cov( X _t , X _t−h )=Cov (α ₁ X _t−2 +α ₂ X _t−4 +e _t , X _t−h )

=α ₁ Cov ( X _t−2 , X _t−h )+α ₂ Cov( X _t−4 , X _t−h )+Cov (e _t , X _t−h )

= α ₁ γ( h−2 )+α ₂ γ(h−4 )+σ ² I (h=0 )

eşitliğinden

γ (h )=α ₁ γ (h−2 )+α ₂ γ( h−4 )+σ ² I (h=0)

şeklinde yazılır. Otokovaryansların bazıları

γ (0 )=α ₁ γ (2)+α ₂ γ (4 )+σ ² γ (1)=α ₁ γ(1)+α ₂ γ(3 ) γ (2)=α ₁ γ(0)+α ₂ γ (2)

γ (3)=α ₁ γ (1)+α ₂ γ (1 )

γ (4 )=α ₁ γ(2 )+α ₂ γ( 0) γ (5)=α ₁ γ(3)+α ₂ γ (1) γ (6 )=α ₁ γ (4 )+α ₂ γ (2)

olarak hesaplanmıştır. Bu eşitliklerin sağlanabilmesi için, h=1,3,5,7,... için (tek değerler)

γ (h)=0 olacağı açıktır. Yukarıdaki denklemlerden,

γ (1)=α ₁ γ(1)+α ₂ γ(3 )⇒(1−α ₁ )γ (1)=α ₂ γ (3) γ (3)=α ₁ γ (1)+α ₂ γ (1 )⇒ γ (3)=(α ₁ +α ₂ ) γ(1 )

dir. Eşitliklerden parametreler arasında  ^{2 2}    ^{1 2}   ¹   1 0 şeklinde bir bağıntının olduğu

1 2 2 1 2

(1    ) (1)    (3)      (  ) (1) eşitliğinden açıktır.

Seri durağan olduğundan dolayı, α ₁ +α ₂ <1 olmalıdır. Diğer taraftan,

2 2

2 1 2 1 2 1 2

2 2 1 2

1 1 ( 1)

( 1)( 1) ( 1) 0

      

   

      

     

denklemi düzenlendiğinde, (α ₂ +1)(α ₂ −1+α ₁ )=0 elde edilir. Buradan da α ₂ =− 1 _{ya da} α ₁ +α ₂ =1 bulunur. Seri durağan olduğundan her ikisi de olamaz. O halde γ (1)=γ (3 )=0

olmalıdır. Model durağan olduğundan α ₁ +α ₂ <1 dir. Ancak, α ₂ ≠−1 olduğu da gösterilmelidir. Bunun için, karekteristik denklem ( m ⁴ −α ₁ m ² −α ₂ =0 ₎ z=m ² yazılarak tekrar düzenlenirse z ² −α ₁ z−α ₂ =0 şekline dönüşür. Model durağan olduğundan denklemin bütün kökleri ( m _{1 ve} m ₂ ) mutlak değerce 1 den küçüktür. O halde, | m ₁ m ₂ |=|−α ₂ | <1

olmalıdır. Yani, |α ₂ | <1 _olup α ₂ ≠−1 dir. Sonuç olarak h nin tek değerleri için

γ (h)=0 dır. Diğerleri için aşağıdaki üç denklemi ele alalım:

γ (0 )=α ₁ γ (2)+α ₂ γ (4 )+σ ² γ (2)=α ₁ γ(0 )+α ₂ γ (2) γ (4 )=α ₁ γ(2 )+α ₂ γ( 0) _.

Bu eşitliklerden α ₁ , α _{2 ve} σ ² değerlerinin çözümü için

1 2

(0) (2) (2)

(2) (0) (4)



  



  

 

   

  

   

     

denklem sistemi yazılır. Bu denklem sisteminin çözümleri

α ₁ = γ (0)γ(2)−γ (1)γ (4)

γ ² (0)−γ ² (2) _ve α ₂ = γ(0)γ( 4)−γ ² ( 2) γ ² ( 0)−γ ² ( 2)

olup bu çözümler  (0)    ¹ (2)    ² (4)   ² eşitliğinde yerine konulursa, beyaz gürültü serisinin varyansı,

σ ² = ( ^{1− α 1 2 +α 1 2 α 1−α 2 +α 2 2} 2 ^{( 1−α 2 )} ) ^{γ( 0 )}

olarak hesaplanmış olur. Otokovaryanslar parametrelere bağlı olarak da hesaplanabilir. İkinci otokovaryansın  (2) (  

¹

/(1   

²

)) (0) olduğu ^{ (2)   }

¹

^{(0)   }

²

⁽²⁾ eşitliğinden açıktır. Bu üçüncü denklemde yerine konursa γ (4) değerleri γ (0) ’e bağlı olarak

2

1 1 2 2

1 2 1 2

2 2

(1 )

(4) (2) (0) (0) (0) (0)

1 1

   

         

 

   

          

eşitliğinden

2

1 2 2

2

(1 )

(4) (0)

1

  

 



   

       

şeklinde bulunur. Bunlar birinci denklemde yerine yazıldığında ise serinin varyansı parametreler türünden

γ (0 )= (1−α ₂ ) σ ² ( 1+α ₂ ) ((1−α ₂ ) ² −α ₁ ² )

şeklinde olur. Buradan,

2 2 2

1 1 2 2

2 2 2 2

2 2 1 2 2 1

( (1 ))

(2) , (4)

(1 ) ((1 ) ) (1 ) ((1 ) )

     

 

     

 

 

     

eşitlikleri elde edilir. ρ(2) _ve ρ(4) otokorelasyonları da

1 1

2 2

(2) (0) dan (2)

1 1

 

  

 

 

 

2

1 2 2

2

(1 )

(4) (0)

1

  

 



   

      _dan

2

1 2 2

2

(1 )

(4) 1

  

 

 

 

dir. Diğer otokorelasyonlar da  ( ) h   

¹

( h   2)  

²

( h  4) eşitliğinden hesaplanır.

Örnek 2.5.1 e

_t

~ WN (0, 

²

) olmak üzere ^SAR

²

⁽²⁾ modeli,

X _t = 1. 1 X _t−2 −0 . 24 X _t−4 + e _t

şeklinde verilmiş olsun. m ⁴  1.1 m ²  0.24 0  denkleminin kökleri mutlak değerce 1 den küçük

olduğundan model durağandır.   ¹ 1.1 _ve    ₂ 0.24 olup, bu iki değerin bilinmesi ile bütün

otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlar hesaplanabilir. Bunlardan iki tanesi

1

2

(2) 1.1 0.887

1 1.24

 

   



ρ(4 )= α ₁ ² + α ₂ ( 1−α ₂ )

1−α ₂ ≈0 .7358

olup h nin tek değerleri için  ( ) 0 h  dır. Diğer otokorelasyonlar da

1 2

( ) h ( h 2) ( h 4)

         eşitliğinden hesaplanır. Bunlardan bazıları aşağıda verilmiştir.

h ^{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}

ρ(h) ^{1 0 0.887 0 0.736 0 0.596 0 0.480 0 0.385}

Model, AR(4) gibi olup kısmi otokorelasyonlar  (4)   0.24 ve h  4 için  ( ) 0 h  şeklindedir. Ayrıca  (1)   (1) 0  dır.  (2) _{için P ve}

₂

P

₂^*

matrisleri ve bu matrislerin determinantları

P ₂ = [ ^{ρ(1) 1 ρ(1 ) 1} ] ^{= [ 1 0 0 1 ] ⇒ det( P 2 )=1}

P ₂

^¿

= [ ^{ρ(1) ρ(2) 1 ρ(1)} ] ^{= [ 1 0 0 .887 0 ] ⇒ det( P 2}

^¿

^{)=0 . 887}

şeklinde olup, ikinci kısmi otokorelasyon  (2) det(  P ^{2 *} ) / det( ) 0.887 P ²  dir. Üçüncü kısmi otokorelasyon için P ve

³

P matrisleri ve bu matrislerin determinantları,

^3*

P ₃ = [ ^{ρ(1) ρ(2) ρ(1) 1 ρ(1) ρ(2) 1 ρ(1) 1} ] ^{= [ 0.887 0 1 0 0 0.887 1 0 1 ] ⇒ det( P 3 )=0.213}

P ₃ ^¿ = [ ^{ρ(1 )} ρ(2 ) ρ(1) ρ(3 ) ^{1 ρ(1) ρ(1 ) 1 ρ(2 )} ] ^{= [ 0 .887 0 1 0 0 1 0.887 0 0 ] ⇒det (P 3 )=0}

olup,  (3) det(  P ^{3 *} ) / det( ) 0 P ³  olduğu görülür 

Bilindiği gibi zaman serilerinde durağanlık en önemli araçtır. Seri durağan değil ise istatistiki sonuç çıkarımlar için seri durağanlaştırılır. Durağan olmayan seriler arasında (bir çok iktisadi seride olduğu gibi) birim köklü seriler geniş bir yer tutar. Hareketli ortalama serileri her zaman durağan olup, otoregresif serilerin durağanlığı karekteristik denklemin köklerine bağlıdır. Karekteristik denklemin köklerinden en az bir tanesi mutlak değerce 1 ise bu tür seriler birim köklü seriler olup, fark alma yöntemi ile seri durağanlaştırılır. Serinin kaç defa farkının alınacağı ise, serinin birim köklerinin sayısı ile ilgilidir. Örneğin, model

X _t = 1. 7 X _t−1 −0.7 X _t−2 +e _t

şeklinde ise, karekteristik denklemin kökleri m

¹

 1 ve m

²

 0.7 olup bir tane kök mutlak değerce 1 dir. Buna göre;  X

_t

 0.7  X

_t¹

 e

_t

şeklinde birinci dereceden fark ile seri durağan hale gelir. Model

X _t =2 .7 X _t−1 −2 . 4 X _t−2 +0 .7 X _t−3 +e _t

verildiğinde, karekteristik denkleminin kökleri m

¹

 m

²

 1 _ve m

₃

 0.7 dir. Böylece, 2 tane birim kök vardır. O zaman seriyi durağan hale getirmek için 2 defa fark almak gerekir. W

^t

 

²

X

^t

şeklindeki W

_t

 0.7 W

_t¹

 e

_t

ikinci derece fark serisi durağandır.

Mevsimsel serilerde durum biraz farklıdır. Aradaki farkı görebilmek için X

^t

  X

^t_³

 e

^t

şeklinde verilen SAR

³

(1) modelini ele alalım. Bu modele karşılık gelen karekteristik denklem m

³

   0 olup | α |< 1 ise seri durağandır. Aksi halde durağan değildir. Durağan olması durumunda serinin otokorelasyon fonksiyonu,

/ 3 , 3 , 0,1, 2,3,...

( ) 0 , . .

h h k k

h d d

 _{ } ^{ }  ^{ }



şeklindedir.   1 için model durağan değildir. Bu durumda karekteristik denklem m

³

  1 0 olup, eşitlik

3 1 ( 1)( 2 1) 0

m   m  m    m

şeklinde yazılabilir. Buradan, m

¹

 1 ve m

²

   m 1 0 eşitlikleri yazılır ve m

²

   m 1 0 denkleminin kökleri de

m _2,3 = −1± √ ¹⁻⁴

2 =− 1 2 ± √ ³

2 i

şeklinde kompleks sayılardır. Ayrıca,

2 2

| m

2,3

|  ( (1/ 2))   ( 3 / 2)  1

dir (bir kompleks sayı z=a+i b şeklinde verilmiş ise, | z |  a

²

 b

²

dir). Bütün kökler mutlak değerce 1 olduğundan serinin durağanlaştırılması için 3 defa fark alınması gerekir. Oysa,  ³ X ^t dönüşümü seriyi daha karmaşık hale getirir. Mevsimsel fark alarak da seri durağan hale getirilir.

Mevsimsel fark operatörü ∇ _d =1−B ^d şeklindedir. d=3 _için, ^W

^t

^{ }

³

^X

^t

dönüşümünden

W _t =e _t elde edilir. Bu seri ise durağandır.

Örnek 2.5.2 e _t ~ WN (0,  ² ) olmak üzere, ^SAR

²

⁽²⁾ mevsimsel zaman serisi modeli

2 4

1.7 0.7

t t t t

X  X

_

 X

_

 e olarak verilmiş olsun. Modelin karekteristik denklemi

4 2

1.7 0.7 0

m  m   olup kökleri sırası ile

m ₁ =1 , m ₂ =−1 _, m ₃ = √ ^0.7 _ve ^m 4 =− √ ^0.7

şeklindedir. İki tane kök mutlak değerce 1 olduğundan ikinci dereceden fark serisinin durağan olması gerekir. Model açık yazıldığında,

W _t =∇ ² X _t =( 1−B ) ² X _t = X _t −2 X _t−1 + X _t−2

elde edilir. Bu durumda,

X _t =1.7 X _t−2 −0.7 X _t−4 +e _t

2 X _t−1 = 3.4 X _t−3 −1.4 X _t−5 +2 e _t−1

X _t−2 = 1.7 X _t−4 − 0.7 X _t−6 +e _t−2

eşitlikleri taraf tarafa toplandığında, W

_t

 1.7 W

_t²

 0.7 W

_t⁴

 

_t

durağan olmayan zaman serisine ulaşılır. Oysa,

2

2

(1 )

t t t

Z   X   B X dönüşümü ( 

²

X

_t

 0.7 

²

X

_t²

 e

_t

) seriyi durağan hale getirir ⊗

Örnek 2.5.3 X _t = 0.9 X _t−3 +e _t modeline uygun rasgele üretilen 100 verinin grafikleri aşağıdadır.

X _t = 0.9 X _t−3 +e _t Otokorelasyon Fonk. Kısmi Otokor. Fonk.

0 20 40 60 80 100

-4-2024

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : y1

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.8

Series : y1

0.9

3

t t t

X  X

_

 e modeli başlangıçta regresyon modeline benzer. Model, X

^t

 

⁰

 

¹

X

^t_³

 e

^t

şeklinde yazılarak parametre tahminleri ve ilgili istatistiki değerleri hesaplanarak aşağıda verilmiştir.

Parametre Tahmin Standart Hata t-istatistiği p-değeri

 0 ^{0.193 0.113 1.707 0.0902}

 1 ^{0.813 0.059 13.702 0.0001}

1 3

t t t

X   X

_

 e regresyon denklemini için 

¹

parametresine ait tahmin değeri ile ilgili istatistiklerin değerleri de aşağıdadır.

Parametre Tahmin Standart Hata t-İstatistiği p-değeri

α ₁ ^{0.867 0.0509 17.020 0.0001}

Grafikler incelendiğinde, tahmini otokorelasyonlar periyodik olarak azalmakta, üçüncü kısmi otokorelasyon güven aralığının dışında (bir hayli büyük) diğer kısmi otokorelasyonlar güven aralığının içindedir (sıfıra yakın). O halde, böyle bir seri SAR

³

(1)

olarak modellenebilir. Yukarıdaki modele göre otokorelasyon fonksiyonunun bazı değerleri ile hesaplanan otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonları aşağıdaki gibidir.

h ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9}

ρ(h) ^{0 0 0.9 0 0 0.81 0 0 0.729}

ρ(h) ^ 0.138 0.173 0.804 0.099 0.168 0.616 0.063 0.197 0.400 ( ) h

 0 0 0.9 0 0 0 0 0 0

ˆ( ) h

 0.138 0.156 0.797 -0.041 -0.054 -0.080 -0.016 0.126 -0.196

Bu tabloya göre, fonksiyonların gerçek değerleri ile hesaplanan değerleri arasında bir benzerlik vardır.

ˆ(6) 0.080

   olarak gözlenmiş olup fonksiyon değeri 0 dır. Önemli olan ise  ˆ(6) _değerinin belli bir güven sınırı içinde kalmasıdır ⊗

Bu kısımda AR türü mevsimsel zaman serisi modelleri ele alındı. Aslında MA veya ARMA türü

mevsimsel modeller de ele alınabilirdi. Burada, aksi söylenmedikçe mevsimsel seriler denildiğinde

AR türü mevsimsel zaman serileri anlaşılacaktır.