Bölüm III: Vektörler

Bölüm III: Vektörler

Cismin hareketinin belirlenmesi için uzaydaki konumunun tanımlanması gerekir. Cismin konumu ise koordinat sistemi kullanılarak tanımlanır. Düzlemdeki bir nokta Kartezyen (dik) koordinatlar (𝑥, 𝑦) ya da düzlem kutupsal koordinatlar (𝑟, 𝜃) kullanılarak temsil edililir. Kartezyen koordinatlar (𝑥, 𝑦) ve düzlem kutupsal koordinatlar (𝑟, 𝜃) arasındaki ilişki

𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃

şeklindedir. Burada, 𝑟 orijinden (𝑥, 𝑦) koordinatlarına sahip noktaya olan uzaklık ve 𝜃 pozitif 𝑥 ekseninden itibaren saat yönünün tersi yönünde ölçülen açıdır.

3.2. Skaler ve Vektörel Nicelikler

Uygun bir birime sahip tek bir sayı ile belirtilen ve yönü olmayan niceliğe sakaler nicelik denir. Kütle, zaman, sıcaklık ve hacim skaler niceliklere örnek olarak verilebilir.

3.3. Vektörlerin Bazı Özellikleri

i) İki vektörün eşitliği: Aynı büyüklüğe ve aynı yöne sahip vektörler eşit alıabilirler.

ii) Vektörlerin toplanması: Vektörler geometrik olarak iki farklı şekilde toplanabilir: Toplamanın üçgen yöntemi ve paralel kenar yöntemi. Vektörlerin toplanması değişme (𝐴⃗ + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴⃗) ve birleşme (𝐴⃗ + (𝐵 + 𝐶⃗) = (𝐴 + 𝐵)+𝐶⃗) özelliğine sahiptirler.

iii) Bir vektörün negatifi: 𝐴⃗ vektörü ile aynı büyüklükte zıt yöndeki vektöre 𝐴⃗ vektörünün negatifi (-𝐴⃗) denir. Öyleki 𝐴⃗ +(- 𝐴⃗ )=0’dır.

iv) Vektörlerin çıkarılması: 𝐴⃗ − 𝐵=𝐴⃗ + −𝐵 ya da (𝐴 − 𝐵) + 𝐵=𝐴⃗ olarak tanımlanır. 3.4. Vektörün Bileşenleri ve Birim Vektörler

𝐴⃗=𝐴⃗₅+𝐴⃗₆ = 𝐴₅ 𝚤̂ + 𝐴₆𝚥̂

Burada, 𝐴5 ve 𝐴6 𝐴⃗ vektörünün bilşenlerini gösterir ve sırasıyla 𝐴⃗ ‘nın 𝑥 ve 𝑦 eksenleri üzerindeki izdüşümleridir.

𝚤̂ ve 𝚥̂ ise 𝑥 ve 𝑦 eksenleri doğrultusundaki birim vektörlerdir. Birim vektör büyüklüğü bir olan boyutsuz bir vektördür ve yönü belirlemede kullanılırlar. Üç boyutta 𝑥, 𝑦, 𝑧 doğrultularını gösteren birim vektörler sırasıyla 𝚤̂ , 𝚥̂ ve 𝑘< ile gösterilirler. Böylece, 𝐴⃗ ve 𝐵 gibi iki vektörün toplamı, 𝑅 = (𝐴5 + 𝐵5)𝚤̂ + (𝐴6+𝐵6)𝚥̂ olarak bulunur. Bu vektörün büyüklüğü ve 𝑥

ekseni ile yaptığı açı

𝑅 = (𝐴₅ +𝐵₅)>_{+ (𝐴}

6+𝐵6)>

3.5. Skaler Çarpım

3.6. Vektörel Çarpım

𝐴⃗ve 𝐵 gibi iki vektörün skaler çarpımı, bu iki vektörün büyüklükleri ve bunların arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir:

𝐴⃗ A 𝐵 = A B cosθ

𝐴⃗ A 𝐵 = 𝐴₅𝐵₅ + 𝐴₆𝐵₆ + 𝐴_H𝐵_H +

Skaler çarpım sıradeğiştirir: 𝐴⃗ A 𝐵 = 𝐵 A 𝐴⃗ ve dağilma özelliğine sahiptir: 𝐴⃗ A 𝐵 + 𝐶⃗ = 𝐴⃗ A 𝐵 + 𝐴⃗ A 𝐶⃗

-𝐴⃗ve 𝐵 gibi iki vektörün vektörel çarpımı 𝐴⃗×𝐵 üçüncü bir 𝐶⃗ vektörü olarak tanımlanır: 𝐶⃗ = 𝐴⃗×𝐵. 𝐶⃗ vektörünün büyüklüğü 𝐶 ≡ A B 𝑠𝑖𝑛θ

ile verilir. Bu da 𝐴⃗ ve 𝐵 vektörleri tarafından oluşturulan paralel kenarın alanına eşittir. 𝐶⃗ vektörünün yönü 𝐴⃗ ve 𝐵 vektörlerinin oluşturduğu düzleme diktir ve yönü sağ el kuralı ile bulunur. 𝐴⃗×𝐵