y x ve y 4x 11 y x 2x 3 parabolünün y 2x 1

P P P r r r o o o b b b l l l e e e m m m - - - 1 1 1

yx22x1 parabolünün y eksenini kestiği noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz.

P P P r r r o o o b b b l l l e e e m m m - - - 2 2 2

yx22x3 parabolünün ^{A 4,1}

 

^nok-

tasından geçen teğetlerinin denklemlerini bulunuz.

P Pr P r ro o ob b bl l l e em e m m - - -3 3 3

y4x doğrusu 2 yax² parabolüne teğet olduğuna göre, değme noktasının koordinatlarını bulunuz.

P Pr P r ro o ob b bl l l e em e m m - - -4 4 4

yx2 parabolünün y2x doğrusu-1 na paralel teğetinin denklemini ve değme noktasını bulunuz.

P Pr P r ro o ob b bl l l e em e m m - - -5 5 5

yx2mx3 parabollerinden ikisi y x26x5 parabolüne teğet olduğuna göre, değme noktalarının koordinatlarını bulunuz.

P P P r r r o o o b b b l l l e e e m m m - - - 6 6 6

Tepe noktası, ^{T 2, 4}



^



olan bir parabol yx2 parabolüne teğet olduğuna göre değme noktasının koordinatlarını bulunuz.

P P P r ro r o ob b bl l l e em e m m - -7 - 7 7

yx2 ve yx²4x2 parabollerinin ortak teğetlerinin denklemini bulunuz.

P P P r ro r o ob b bl l l e em e m m - -8 - 8 8

y4x11 doğrusuna A 2, 3







nokta- sında teğet olan parabollerden biri x1 doğrusuna göre simetriktir.

Bu parabolün denklemini bulunuz.

P P P r r r o o o b b b l l l e e e m m m - - - 9 9 9

yx22x3 parabolünün y2x 1 doğrusuna en yakın noktasının koordinat- larını bulunuz.

P P P r r r o o o b b b l l l e e e m m m - - - 1 1 1 0 0 0

y 2xdoğrusunun yx²4x6 pa- rabolüne en yakın noktasının koordinat- larını bulunuz.

P P P r r r o o o b b b l l l e e e m m m - - - 1 1 1 1 1 1

yx2 parabolü, y 2x doğrusu ile 6 y2x doğrusunun ikisine de teğet 2 olacak biçimde öteleniyor.

İki doğruya da teğet olan parabolün denklemini bulunuz.

P P P r r r o o o b b b l l l e e e m m m - - - 1 1 1 2 2 2

y2x2 parabolü, tepe noktası x2y doğrusu üzerinde kalacak 0 biçimde ötelenerek y4x doğrusuna 5 teğet konuma getiriliyor.

Değme noktasının koordinatlarını bulunuz.

yx22x1 parabolünün y eksenini kestiği noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz.

Ç Çö Ç ö öz z z ü üm ü m m

x0 için y  olup parabolün y ekse-1 nini kestiği nokta ^{A 0, 1}



^



noktasıdır.

Parabolün A noktasındaki teğetinin eğimi m ise, teğetin denklemi

   

y 1 m x0  ymx1 olur.

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması için, kesim noktalarının apsislerini veren x²2x 1 mx denkleminin 1 kökleri birbirine eşit olmalıdır.

 

x2 m2 x0 denkleminin kökleri eşit olduğunda, diskriminantı sıfır olur.



m 2



² 0 m 2

      olmalıdır.

Teğetin denklemi, y2x bulunur. 1

yx22x3 parabolünün A 4,1

 

nok- tasından geçen teğetlerinin denklemlerini bulunuz.

Ç Ç Ç ö ö ö z z z ü ü ü m m m

Parabolün A noktasındaki teğetlerinin eğimleri m olsun. Teğetlerin denklemi

 

y 1 m x4  ymx4m1 olur.

Grafiklerin birbirlerine teğet olmaları için, kesim noktalarının apsislerini veren

x22x 3 mx4m 1 denkleminin kökleri eşit olmalı; bunun için de

 

x2 2m x4m40 denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.

 

²

 

2

1 2

2 m 4 4m 4 0 m 12m 20 0

m 2 ve m 10 olur.

     

   

  

Teğetlerin denklemleri y10x39 ve y2x olarak bulunur. 7

O y

 ²  y x 2x 1



^



x A 0, 1

2

1

Şekil 1

O y

 ²  y x 2x 1



^



x A 0, 1

2

1

Şekil2

4 1

O 1 y

 ²  y x 2x 3

x

4

1

Şekil3

 

A 4,1

4 1

1 O y

 ²  y x 2x 3

x

4

1

Şekil4

 

A 4,1

P Pr P r ro o ob b bl l l e em e m m - - -3 3 3

y4x doğrusu 2 yax² parabolüne teğet olduğuna göre, değme noktasının koordinatlarını bulunuz.

Ç Çö Ç ö öz z z ü üm ü m m

Parabol ile doğru birbirine teğet ise, kesim noktalarının apsislerini veren ax2 4x denkleminin kökleri birbiri-2 ne eşit olup diskriminantı sıfır olmalıdır.

 

2 2

1 2

ax 4x 2 0

2 a 2 0 a 2 x x 1 ve y 2 olur.

  

         

     

Değme noktası A



 1, 2



olarak bulunur.

P P P r r r o o o b b b l l l e e e m m m - - - 4 4 4

yx2 parabolünün y2x doğrusu-1 na paralel teğetinin denklemini ve değme noktasını bulunuz.

Ç Ç Ç ö öz ö z zü ü üm m m

y2x doğrusuna paralel doğruların 1 denklemleri y2x biçimindedir. Bu n doğrulardan, parabole teğet olanı isten- mektedir.

yx2 parabolünün y2x doğrusu-n na teğet olması için, kesim noktalarının apsislerini veren x² 2x denkleminin n kökleri birbirine eşit olup diskriminantı sıfır olmalıdır.

 

2 2

1 2

x 2x n 0

1 n 0 n 1 x x 1 ve y 1 olur.

  

        

   

Teğetin denklemi y2x ve değme 1 noktası A 1,1

 

olarak bulunur.

Şekil5

2

1

  ² y 2x O y

 

y 2x 4

x 2

1

O y

x

Şekil6

1

P Pr P r ro o ob b bl l l e em e m m - - -5 5 5

yx2mx3 parabollerinden ikisi y x26x5 parabolüne teğet olduğuna göre, değme noktalarının koordinatlarını bulunuz.

Ç Çö Ç ö öz z z ü üm ü m m

yx2mx3 parabolleri ile

y x26x5 parabolünün birbirlerine teğet olması için, kesim noktalarının apsislerini veren

x²mx  3 x²6x 5

denkleminin kökleri birbirine eşit olup diskriminantı sıfır olmalıdır.

 

 

2

2

1 2

2x m 6 x 2 0

m 6 4 2 2 0

m 10 ve m 2 olur.

   

       

  

m10 için x 1, y 12 ve

m2 için x1, y olup değme 0 noktaları ^A



^{ 1, 12}



^{ve B 1, 0}

 

^olarak

bulunur.

Tepe noktası ^{T 2, 4}



^



olan bir parabol yx2 parabolüne teğet olduğuna göre değme noktasının koordinatlarını bulunuz.

Ç Ç Ç ö öz ö z zü ü üm m m

Tepe noktası T 2, 4







olan parabollerin denklemleri ya x



2



² biçiminde-4 dir.

 

²

ya x2  parabolleri ile 4 yx² parabolünün birbirlerine teğet olması için, kesim noktalarının apsislerini veren

 

^{2 2}

a x2  4 x denkleminin kökleri birbirine eşit olup diskriminantı sıfır olmalıdır.

 

     

2 2

a 1 x 4ax 4a 4 0

2a a 1 4a 4 0

a 1 olur.

2

    

       

 

a 1

2 için x 2, y olup değme 4 noktası ^A



^{2, 4}



olarak bulunur. Teğet parabolün denklemi de 1 ²

y x 2x 2

2  

olur.

 ²  y x 10x 3

  ² 

y x 6x 5

O y

x

Şekil7

 ²  y x 2x 3

 

B 1,0



^{ }



A 1, 12

 1 ² 

y x 2x 2

2

O y

x

Şekil8

 ² y x



^



A 2, 4

P P P r r r o o o b b b l l l e e e m m m - - - 7 7 7

yx2 ve yx²4x2 parabollerinin ortak teğetlerinin denklemini bulunuz.

Ç Çö Ç ö öz z z ü üm ü m m

Ortak teğetin denklemi ymxn olsun.

x2 mx ve n x²4x 2 mx n denklemlerinin kökleri ayrı ayrı birbirleri- ne eşit olup diskriminantları sıfır olmalı- dır.

 

   

 

   

2 2 1 2

2 2

x mx n 0 ve 1 x m 4 x n 2 0 2

m 4n 0 ve 3

m 4 4n 8 0 4

  

    

    

     

(3) ve (4)’ten m 1 ve 1

n  bulunur. 4 Ortak teğetin denklemi 1

y x

  4 olur.

P P P r ro r o ob b bl l l e em e m m - -8 - 8 8

y4x11 doğrusuna A 2, 3







nokta- sında teğet olan parabollerden biri x1 doğrusuna göre simetriktir.

Bu parabolün denklemini bulunuz.

Ç Ç Ç ö öz ö z zü ü üm m m

Simetri ekseni x1 doğrusu olan parabollerin tepe noktaları



^1,k



^nokta-

ları, denklemleri de ^{ya x}



^1



^{2 olur. k}

İstenilen parabol, A 2, 3







noktasından geçenlerden biridir:

^{  3 a 2}



^1



^{2k  k   a 3}

Buna göre; ilk koşullara uyan parabollerin denklemi yax²2ax3 biçimindedir.

Bu parabol y4x11 doğrusuna teğet olacağına göre, ax²2ax 3 4x11 denkleminin köklerinin birbirine eşit olması gerekir.

 

 

2

2

ax 2 a 2 x 8 0 a 2 8a 0 a 2 bulunur.

   

     

 

Parabolün denklemi y2x²4x3 olur.

Şekil9

 ² y x

 ²  y x 4x 2

O y

  1

y x

4

x 1

Şekil 10

 ²  y 2x 4x 3

O y

 

y 4x 11



^



x A 2, 3

P Pr P r ro o ob b bl l l e em e m m - - -9 9 9

yx22x3 parabolünün y2x 1 doğrusuna en yakın noktasının koordinat- larını bulunuz.

Ç Çö Ç ö öz z z ü üm ü m m

Bir parabolün, kendisi ile ortak noktası bulunmayan bir doğruya en yakın noktası, o doğruya paralel teğetinin değme noktasıdır. Buna göre; y2x n doğrularından, yx²2x3 parabolüne teğet olan doğrunun değme noktası istenen noktadır. Bu doğrulardan biri ile parabolün teğet olması için,

2 2

x 2x 3 2xn  x    n 3 0 denkleminin kökleri birbirine eşit olmalıdır. Bu da, n3 olmasını gerektirir.

n3 ise x0 ve y3 olup parabolün y2x doğrusuna en yakın noktası 1

 

A 0,3 olarak bulunur.

P P P r r r o o o b b b l l l e e e m m m - - - 1 1 1 0 0 0

y 2xdoğrusunun yx²4x6 pa- rabolüne en yakın noktasının koordinat- larını bulunuz.

Ç Ç Ç ö ö ö z z z ü ü ü m m m

Bir doğrunun, kendisi ile ortak noktası bulunmayan bir parabole en yakın noktası, o parabolün o doğruya paralel teğetinin değme noktasından o doğruya çizilen dikmenin ayağıdır.

Önce; y 2x doğrusuna paralel olan y 2x doğrularından, n yx²4x6 parabolüne teğet olan doğrunun değme noktasını bulalım: Değme koşulu,

2

2

x 4x 6 2x n

x 2x n 6 0

    

    

denkleminin köklerinin birbirine eşit olmasıdır. Eşit kökler x₁x₂ 1 ve bunlar için y3 olup değme noktası

 

A 1,3 olarak bulunur.

A’dan geçen ve d : y₁  2x doğrusuna dik olan doğrunun denklemi,

 

2 2

1 1 5

d : y 3 x 1 d : y x

2 2 2

     

 

1 2

d d  1,2 olup d₁’in parabole en yakın noktası H



1, 2



olarak bulunur.

Şekil 11

 

y 2x 3

 ²  y x 2x 3

O y

 

y 2x 1

x

 

A 0,3

Şekil 12

 1 5

y x

2 2

 ²  y x 4x 6

O y

y 2x

x



^



H 1,2

   y 2x 5 A

P Pr P r ro o ob b bl l l e em e m m - - -1 1 1 1 1 1

yx2 parabolü, y 2x doğrusu ile 6 y2x doğrusunun ikisine de teğet 2 olacak biçimde öteleniyor.

İki doğruya da teğet olan parabolün denklemini bulunuz.

Ç Çö Ç ö öz z z ü üm ü m m

I I. I . . y y y o ol o l l

d : y1  2x ile 6 d : y₂ 2x doğrusu 2

 

A 2,2 noktasında kesişir. d₁d₂A 2,2

 

Parabolün d₁ doğrusuna paralel teğeti y2x n doğrularından biridir. Bu teğetin denklemini bulalım:

2 2

x 2xn  x 2x  denklemi-n 0 nin kökleri birbirine eşit olmalıdır.

Eşit kökler x₁ x₂ ^b 1

  2a ve bunlar için n 1 olup teğetin denklemi

d : y3 2x olur. 1

yx2 eğrisi y eksenine göre simetrik olduğundan, eğrinin eğimi 2 olan teğeti de d : y₄  2x olur. 1

d₃d₄B 0, 1







1 2

d d sistemi, d₃d₄ sisteminin B 0, 1







noktasından A 2,2 noktasına ötelenmiş

 

biçimidir. Ötelenmiş parabolün tepe noktası T r,k olsun.

 

  

^{r,k  0,0}

   

^{ 2,2  0, 1 }



^{ r,k}

   

^{ 2,3}

olup parabolün denklemi

 

^{2 2}

y 3 x2  yx 4x 7 olarak bulunur.

I I I I I I . . . y y y o o o l l l

yx2 parabolünün ötelenmiş biçiminin tepe noktası T r,k olsun.

 

Ötelenmiş parabolün denklemi,

 

^{2 2 2}

y xr k  y x 2rxr  olur. k Bu parabolün y2x ve y2  2x 6 doğrularına teğet olması istenmektedir.

 

 

   

   

2 2

2 2

2 2

1

2 2

2

x 2rx r k 2x 2 ve 1 x 2rx r k 2x 6 2 r 1 r k 2 0 ve 3 r 1 r k 6 0 4

    

     

       

      

(3) ve (4)’ten r2 ve k bulunur. 3 Parabolün denklemi yx²4x7 olur.

Şekil 13

 

y 2x 1

 ²  y x 4x 7

O y

   y 2x 1

x

 

y 2x 2

A

B

   y 2x 6

 ² y x

Şekil 14

 

y 2x 1

 ²  y x 4x 7

O y

x

 

y 2x 2

   y 2x 6

 ² y x

P Pr P r ro o ob b bl l l e em e m m - - -1 1 1 2 2 2

y2x2 parabolü, tepe noktası x2y doğrusu üzerinde kalacak 0 biçimde ötelenerek y4x doğrusuna 5 teğet konuma getiriliyor.

Değme noktasının koordinatlarını bulunuz.

Ç Ç Ç ö ö ö z z z ü ü ü m m m

Parabollerin tepe noktası x2y doğ-0 rusu üzerinde olduğuna göre, koordinatları ^{T 2k,k}

 

biçimindedir.

Bu parabollerin denklemleri

 

²

2 2

y k 2 x 2k

y 2x 8kx 8k k

  

    

biçimindedir. Bu parabollerden y4x 5 doğrusuna teğet olanının denklemi istenmektedir.

Parabol ile doğrunun kesim noktalarının apsislerini veren denklemin diskriminantı sıfıra eşitlenir:

 

   

2 2

2 2

2 2

2x 8kx 8k k 4x 5

2x 2 4k 2 x 8k k 5 0

4k 2 2 8k k 5 0

k 1 olur.

    

      

       

  

Bu değer denklemde yerine konulursa

  

1 2

x x 1; bu da y2x²8x7 parabol denkleminde yerine konulursa değme noktası ^A



^1,1



olarak bulunur.

Şekil 14

 

y 4x 5

 ² y 2x

O y

x

 1

y x

2

 

A 1,1

Şekil 15

 

y 4x 5

 ²  y 2x 8x 7

O y

x

 1

y x

2