x ile y gerçel sayılardır. aralığıdır. k değerlerinin kümesidir. 2 x 3 olduğuna göre, 1 y 2 2x y nin alabileceği değerlerin kümesini bulunuz.

111 Birinci dereceden bir bilinmeyenli bir eşitsizliğin çözüm kümesinin nasıl bulunduğunun bilindiğini varsayıyoruz.

Bu çalışma, birden fazla eşitsizliğin oluşturduğu eşitsizlik sistemleri ile ilgili problemlerin çözümleri üzerine olacaktır.

ÖÖrÖrrnnneekekkPPPrroroobbbllleeemm m–––11 1 x ile y gerçel sayılardır.

   

   

2 x 3

1 y 2 olduğuna göre,



2x y’nin alabileceği değerlerin kümesini bulunuz.

ÇÇÇööözzzüüümmm–––111 (((CCCeeebbbiiirrrssseeelllyyyooolll))) x’li eşitsizlik 2 ile, y’li eşitsizlik -1 ile çarpılır.

Eşitsizlikler taraf tarafa toplanır:

 

        

          

   

2 / 2 x 3 4 2x 6

1/ 1 y 2 2 y 1

6 2x y 7



2x y değerlerinin kümesi



_{ }6,7 aralığıdır. ^

ÇÇÇööözzzüüümmm–––222 (((AAAnnnaaallliiitttiiikkkyyyooolll))) Verilen eşitsizlik sistemine xoy koordinat sistemin- de karşılık gelen bölge, ABCD dikdörtgensel böl- gesidir. (  AD ve   DC kenarı açık.)

Bulmamız gereken, ABCD dikdörtgensel bölgesin- deki

 

x,y noktalarının sağladığı 2x y k denk- lemindeki k değerlerinin kümesidir.

 

2x y k doğrusu B 3, 1 noktasından geç-



^



tiğinde k7 ; ^D



^2,2 noktasından geçtiğinde



  k 6 olur.



2x y değerlerinin kümesi



_{ }6,7 aralığıdır. ^

ÖÖÖrrrnnneeekkkPPPrrrooobbbllleeemmm–––222 x ile y gerçel sayılardır.

   

    

2 x 3

6 2x y 7 olduğuna göre,

y’nin alabileceği değerlerin kümesini bulunuz.

ÇÇöÇöözzzüüümmm –––111 (((CCCeeebbbiiirrsrsseeell l yyyooolll))) x değişkeni yok edilir.

Bunun için; x’li eşitsizlik 2 ile, 2x y ’li eşitsizlik -1 ile çarpılır. Eşitsizlikler taraf tarafa toplanır:

 

       

            

  

2 / 2 x 3 4 2x 6

1/ 6 2x y 7 7 2x y 6

11 y 12

y değerlerinin kümesi



^11,12 aralığıdır. ^_

ÇÇöÇöözzzüüümmm –––222 (((AAAnnnaaalliliitttiiikkkyyoyoolll))) Verilen eşitsizlik sistemine xoy koordinat sistemin- de karşılık gelen bölge, ABCD paralelkenarsal böl- gesidir. (  AB ve   AD kenarları açık.)

y

x O

-2 6 12

3 B

A D

C

   2x y 6

2x y 7

-3

-11 y

O x -2

2

-1

3 A B

2x y k

D C

y

O x -2

2

-1

3

A B

2x y k

D C

2x  y 6

2x y 7

222 ABCD paralekenarsal bölgesindeki

 

x,y noktala- rının y ordinatlarının kümesi



11,12 aralığıdır. ^

ÖÖÖrrrnnneeekkkPPPrrrooobbbllleeemmm–––333 x ve y birer gerçel sayıdır.

    

    

1 x y 3

3 x y 5

olduğuna göre, x’in alabileceği değerlerin kümesi ile y’nin alabileceği değerlerin kümesini bulunuz.

ÇÇöÇöözzzüüümm m–––11 1 (((CCeCeebbbiiirrrssseelell yyyooolll))) Eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa, x değerlerinin kümesi bulunur:

    

     

      

1 x y 3 3 x y 5

4 2x 8 2 x 4

x değerlerinin kümesi



2,4 aralığıdır.



İlk eşitsizlik -1 ile çarpılıp eşitsizlikler toplanırsa, y değerlerinin kümesi bulunur:

         

      

1/ 1 x y 3 3 x y 5

6 2y 6 3 y 3 y değerlerinin kümesi



3,3 aralığıdır.



ÇÇÇööözzzüüümmm–––222 (((AAAnnnaaallliiitttiiikkkyyyooolll))) Verilen eşitsizlik sistemine xoy koordinat sistemin- de karşılık gelen bölge, ABCD dikdörtgeninin iç bölgesidir.

ABCD dikdörtgensel bölgesindeki

 

x,y noktaları- nın x apsislerinin kümesinin



2,4 aralığı; y



ordinatlarının kümesinin



3,3 aralığı olduğu



görülür.

ÖÖÖrrrnnneeekkkPPPrrrooobbbllleeemmm–––444 x ve y birer gerçel sayıdır.

    

    

1 x y 3

3 x y 5

olduğuna göre, 2x y ’nin alabileceği değerlerin kümesini bulunuz.

ÇÇÇööözzzüüümmm–––111 (((CCCeeebbbiiirrrssseeelllyyyooolll))) x ve y değişkenleri, biri 2x y t olan iki değiş- ken cinsinden yazılır. Burada, x ve y değişkenleri



2x y ve x cinsinden yazılabilir. x yok edilir:

 

 

 

      

     

           

   

    

3 / 1 x 2x y 3

1 x y 3

3 x y 5 3 3x 2x y 5

6 2 2x y 14 3 2x y 7



2x y değerlerinin kümesi



3,7 aralığıdır.



ÇÇöÇöözzzüüümmm –––222 (((AAAnnnaaalliliitttiiikkkyyoyoolll))) Verilen eşitsizlik sistemine xoy koordinat sistemin- de karşılık gelen bölge, ABCD dikdörtgeninin iç bölgesidir.

Bulmamız gereken, ABCD dikdörtgeninin iç bölge- sindeki

 

x,y noktalarının sağladığı 2x y k denklemindeki k değerlerinin kümesidir.

y

O x -3

1 -1

3 B

A

x y 3

D

C

5

-3 5 3

2 4

-1 -2

   x y 3

x y 5

x  y 1

y

x O

-3

1 -1

3 B

A

x y 3

D

C

5

-3 5 3

2 4

-1 -2

   x y 3

x y 5

   x y 1

2x y k

333

 

2x y k doğrusu B 4,1 noktasından geçtiğin-

 

de k7 ; D



 2, 1 noktasından geçtiğinde



  k 3 olur.



2x y değerlerinin kümesi



3,7 aralığıdır.



AAçAççıııkklkllaaammmaa a

İki eşitsizlik taraf tarafa toplanabilir. Elde edilen toplam, bu iki eşitsizliğin doğruluk kümesinde sağlanan bir eşitsizlik olur.

Örneğin;

 

       

          

  

   

0 2x y 4 0 2x y 4

3 x y 5 3 x y 5

3 3x 9 1 x 3 olur.

İlk iki eşitsizliğin doğruluk kümesini oluşturan

 

^x,y ikililerindekixdeğerleri



1,3 aralığını tam



doldurur. Ancak;   1 x 3 koşulunu sağlayan her

 

^x,y ikilisi ilk eşitsizlik sisteminin doğruluk kümesinde bulunmayabilir.

Başka bir örnek verelim:

 

        

          

   

0 2x y 4 2 / 0 2x y 4

3 x y 5 3 x y 5

3 5x y 13 olur.

   

    

0 2x y 4

3 x y 5 sisteminin doğruluk kümesinin her

 

^x,y ikilisi için elde edilecek 5x y değerleri



3,13 aralığını tam doldurur. Ancak;



 3 5x y 13 koşulunu sağlayan her

 

^x,y

ikilisi ilk eşitsizlik sisteminin doğruluk kümesinde bulunmayabilir.

…

“x ve y birer gerçel sayıdır.

    

    

1 x y 3

3 x y 5

olduğuna göre, 2x y ’nin alabileceği değerlerin kümesini bulunuz.”

Bu problemin çözümü için, önce x ve y değişkenlerinin değişim aralıklarını bulup o aralıklar yardımı ile 2x y ’nin değer alabileceği aralığı bulmaya çalışmak yanlış yoldur. Çünkü;

    

    

1 x y 3

3 x y 5 sisteminin doğruluk kümesi ile

   

   

2 x 4

3 y 3 sisteminin doğruluk kümesi farklıdır.

İlkinden elde edilen doğru çözüm  3 2x y 7 iken, ikincisinden gelecek çözüm  7 2x y 11 olur.

Öyleyse; istenen 2x y değerleri doğrudan doğruya verilen eşitsizlik sisteminden elde edilmelidir. Bu da, x ve y değişkenleri, biri

 

2x y t olan iki değişken cinsinden yazılarak sağlanmıştır.

ÖÖrÖrrnnneeekk kPPrPrrooobbbllleeemm m –––555 x ve y gerçel sayılardır.

   

p : 3 2x y 2, q : a  x y b ve

   

r : 4 x 2y 6 açık önermeleri veriliyor.



p q önermesinin doğru olması r önermesinin de doğru olmasını gerektirdiğine göre, en geniş   a,b aralığını bulunuz.

ÇÇÇööözzzüüümmm–––111 (((CCCeeebbbiiirrrssseeelllyyyooolll))) p ile q önermelerindeki x ve y değişkenleri, x2y ve y cinsinden yazılır. r önermesi a ve b cinsinden elde edilir:

 

 

     

           

3 2 x 2y 5y 2

3 2x y 2

a x y b a x 2y y b

 

   

 

     

      

       

3 2 x 2y 5y 2 5 / a x 2y y b

5b 3 3 x 2y 5a 2

y

O x -3

1

-1 3 B

A

x y 3

D

C

5

-3 5 3

2 4

-1 -2

   x y 3

x y 5

x  y 1

  

2x y 3 2x y 7

444

 



       

 

   

 

4 6

5b 3 3 x 2y 5a 2

5a 2 5b 3

x 2y

3 3

    

  a,b 2,3 bulunur. 

ÇÇöÇöözzzüüümm m–––22 2 (((AAnAnnaalalliiitttiiikkk yyyooolll)))



p q önermesinin, r : 4  x 2y6 eşitsizliği- nin doğru olmasını sağlayan en geniş doğruluk kümesi, şekildeki boyalı bölgedir. Bu bölgeyi sınırlayan x y k doğrularından biri A 0, 2







noktasından, diğeri C 0,3 noktasından geçer.

 

A’dan geçen doğruda k 2 , C’den geçen doğru- da k3 olur.    2 x y 3 ve     a,b  2,3  bulunur.

ÖÖÖrrrnnneeekkkPPPrrrooobbbllleeemmm–––666 x ile y gerçel sayılardır.

   

   

2 x 3

1 y 2 olduğuna göre,

 

x y 2x değerlerinin kümesini bulunuz.

ÇÇöÇöözzzüüümmm

 

    

x y 2x x y 2 eşitliği kullanılarak; çözüm, verilen eşitsizlik sisteminin doğruluk kümesine dayandırılabilir:

 

 

      

       

       

     

2 x 3 2 x 3

1 y 2 1 y 2 4

2 4 x y 2 3 4 8 x y 2x 12 bulunur.

SSiSiizzz ÇÇÇööözzzüüünnnüüzüzz!! !

PPrPrrooobblblleeemmm ––– 111

x ile y gerçel sayılardır.

   

   

2 x 3

1 y 2 sisteminin doğruluk kümesinde,



x 2y’nin en büyük tam sayı değeri kaçtır?

PPPrrrooobbbllleeemmm–––222

x ile y gerçel sayılardır.

   

   

2 x 3

1 y 2 ve 2x y 5 olduğuna göre, x’in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

PPrPrrooobblblleeemmm ––– 333

x ile y gerçel sayılardır.

   

    

2 x 3

6 2x y 7 olduğuna göre,



x y ’nin alabileceği değerlerin kümesini bulunuz.

PPPrrrooobbbllleeemmm–––444

x ile y gerçel sayılardır.

   

    

2 x 3

6 2x y 7 olduğuna göre,



x y ’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

PPrPrrooobblblleeemmm ––– 555

x ile y gerçel sayılardır.

   

   

2 x 3

1 y 2 ve  2 2x y 4 olduğuna göre, x’in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

PPrPrrooobblblleeemmm ––– 666

x ile y gerçel sayılardır.

   

    

2 x 3

6 2x y 7 ve x y 2 olduğuna göre, y’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

PPPrrrooobbbllleeemmm–––777

x ve y gerçel sayılardır.

y

O x B

A

x y 3

D C

x y k

   x y 2

   x y 1

   x 2y 4

   2x y 3

  x 2y 6

2x y 2

- 3

555

   

p : 3 2x y 2, q : a y b ve

   

r : 6 x 2y 4 açık önermeleri veriliyor.



p q önermesinin doğru olması r önermesinin de doğru olmasını gerektirdiğine göre, en geniş   a,b aralığını bulunuz.

PPPrrrooobbbllleeemmm–––888

x ve y birer gerçel sayı olduğuna göre;

3 x y 2

1 2x 3y 4

    

    

sistemini sağlayan

 

x,y ikililerinde x ’nin en y büyük tam sayı değeri kaçtır?

PPPrrrooobbbllleeemmm–––999

x ve y birer gerçel sayı olduğuna göre;

  

  

x y 6 y 2x 12

sistemine, xoy dik koordinat sisteminde karşılık gelen şeklin uzunluğu kaç birimdir?

PPrPrrooobbbllleeemmm –––11100 0 x 2y 7

1 2x 5 13 3y 2 14

  

     



 

sisteminin ZxZ ’deki çözüm kümesi kaç eleman- lıdır?

PPrPrrooobbbllleeemmm –––11111 1

12 a 6

    ve 4 b 10  eşitsizliklerinde a ve b birer tam sayıdır.

a b   ifadesinin en küçük değeri kaçtır? a b

PPPrrrooobbbllleeemmm–––111222

12 a 4

    ve 6 b 4  

eşitsizliklerinde a ve b birer gerçel sayıdır.

Buna göre; ab kaç farklı tam sayı değer alabilir?

PPPrrrooobbbllleeemmm–––111333 x ile y gerçel sayılardır.

    

    

3 x y 2

1 2x 3y 4 olduğuna göre,



3x y’nin alabileceği değerlerin kümesini bulunuz.

PPrPrrooobblblleeemmm ––– 111444

x ve y birer gerçel sayı olduğuna göre;

2 x 2y 3

4 2x y 6

    

    

sistemini sağlayan

 

x,y ikilileri için, x2y’nin alabileceği değerlerin kümesini bulunuz.

PPPrrrooobbbllleeemmm–––111555 x ile y gerçel sayılardır.

     

4 x 2

1 y 6 olduğuna göre,

  

x y x y değerlerinin kümesini bulunuz.

YYaYaannnıııtttlllaararr

11.1.. 5 22.2.. 2 333.. . ^ 9,9



444... 15 55.5.. 2 666... 3 777... ^_^{ }_

 

 

9 6,

5 5 888.. . 1 999... 4 5 111000... 3 111111... 14 111222... 17 113133...



^5,6



^114144...



^5,6



^111555...



^14,16

